Enunciado

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Um sistema comum para o aquecimento de uma grande área superficial consiste em passar ar quente através de dutos retangulares localizados abaixo da superfície. Os dutos são quadrados e posicionados na metade do caminho entre as superfícies superior e inferior, que estão exposta ao ar ambiente e isolada, respectivamente. Para a condição na qual as temperaturas do chão e dos dutos são de 30 e 80°C, respectivamente, e a condutividade térmica do concreto é de 1,4 W m K , calcule a taxa de transferência de calor saindo de cada duto, por unidade de comprimento do duto. Use uma malha com espaçamento de Δ x = 2 Δ y , com Δ y   =   0,125   L e L = 150 mm.

Passo 1

Boom galerinha, vamos começar?

Desenhando o que está acontecendo aqui:

Ufaaa !! Foi difícil fazer Δ y   =   18,75   m m e Δ x   =   37,5   m m , mas deu certo !!

Nós queremos calcular a taxa de transferência de calor saindo de cada duto, como uma parte está isolada nós teremos que a condução para fora do tubo será:

q ' c o n d = q ' 1 + q ' 2 + q ' 3 + q ' 4 + q ' 5

q ' c o n d = k ∆ x ∆ y T 1 - T s 2 + T 2 - T s + T 3 - T s + T 4 - T s + T 5 - T s 2

Como Δ x = 2 Δ y :

q ' c o n d = k T 1 + 2 T 2 + 2 T 3 + 2 T 4 + T 5 - 8 T s

Já sabemos T s :

q ' c o n d = k T 1 + 2 T 2 + 2 T 3 + 2 T 4 + T 5 - 240

Agora nós só precisamos das temperaturas, bora calcular?

Para todos os pontos nós temos um nó no interior, quando é assim nós podemos usar a fórmula:

T i = 1 4 ∑ T v i z i n h o s

Por isso se preparem que lá vem chumbo:

4 T 1 = 2 T 2 + T 6 + 80

4 T 2 = T 1 + T 3 + T 7 + 30

4 T 3 = T 2 + T 4 + T 7 + 110

4 T 4 = T 3 + T 5 + 110

4 T 5 = 2 T 4 + 110

4 T 6 = T 1 + 2 T 7 + T 8

4 T 8 = T 6 + 2 T 9 + T 10

4 T 9 = T 7 + T 8 + T 11 + 80

4 T 10 = T 8 + 2 T 11 + T 12

4 T 11 = T 9 + T 10 + T 13 + 80

4 T 12 = T 10 + 2 T 13 + T 14

4 T 13 = T 11 + T 12 + T 15 + 80

4 T 14 = T 12 + 2 T 15 + T 16

4 T 15 = T 13 + T 14 + T 17 + 80

4 T 16 = T 14 + 2 T 17 + T 18

4 T 17 = T 15 + T 16 + T 19 + 80

4 T 18 = T 16 + 2 T 19 + T 20

4 T 19 = T 17 + T 18 + T 21 + 80

4 T 20 = T 18 + 2 T 21 + T 22

4 T 21 = T 19 + T 20 + T 23 + 80

4 T 22 = T 20 + 2 T 23 + T 24

4 T 23 = T 21 + T 22 + T 25 + 80

4 T 24 = T 22 + 2 T 25 + T 26

4 T 25 = T 23 + T 24 + T 30 + T 26

4 T 26 = T 25 + T 31 + T 27 + 80

4 T 27 = T 26 + T 32 + T 28 + 80

4 T 28 = 2 T 27 + T 33 + 80

4 T 29 = T 24 + 2 T 30

4 T 30 = T 29 + T 25 + T 31

4 T 31 = T 30 + T 26 + T 32

4 T 32 = T 31 + T 27 + T 33

4 T 33 = 2 T 32 + T 28

Quando resolvemos as equações simultâneas:

T 1 = 41,70 ° C

T 2 = 44,26 ° C

T 3 = 53,92 ° C

T 4 = 54,92 ° C

T 5 = 54,98 ° C

Substituindo no calor:

q ' c o n d = 1,4 W m K 41,70 ° C + 2 44,26 ° C + 2 53,92 ° C + 2 54,92 ° C + 54,98 ° C - 240 ° C

q ' c o n d = 228 W m

E acabou-se?

Claro que não kkkkk

Mas tá quase !! Precisamos lembrar que o duto é formado por duas partes iguais à que foi analisada, certo?

Se é assim a troca de calor total:

q ' = 2 × 228 W m

q ' = 456 W m

E acabamos mais uma galerinhaa !!

Resposta

q ' = 456 W m

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