Enunciado

A superfície externa de uma esfera oca de raio r 2 está sujeita a um fluxo térmico uniforme q 2 ' ' . A superfície interna em r 1 é mantida a uma temperatura constante T s , 1 .

(a) Desenvolva uma expressão para a distribuição de temperaturas T ( r ) na parede da esfera em termos de q 2 ' ' , T s 1 ,   r 1 e r 2 e da condutividade térmica do material da parede k .

(b) Se os raios interno e externo da esfera são r 1 = 50   m m e r 2 = 100   m m , respectivamente, que fluxo térmico q 2 ' ' é necessário para manter a superfície externa a T s , 2 = 50 ° C , estando a superfície interna a T s , 1 = 20 ° C ? A condutividade térmica do material da parede é de k = 10   W / m K .

Passo 1

Considerando regime permanente e transferência de calor apenas no sentido radial, por condução, a taxa de transferência de calor na esfera pode ser descrita pela Lei de Fourier:

q r A s = - k d T d r

Substituindo a área superficial da esfera:

q r 4 π r 2 = - k d T d r

q r 4 π d r r 2 = - k d T

Integrando dos dois lados:

q r 4 π ∫ r 1 r d r r 2 = - k ∫ T s , 1 T d T

q r 4 π 1 r 1 - 1 r = - k ( T - T s , 1 )

Passo 2

Sabemos que a superfície externa recebe um fluxo uniforme q 2 ' ' . Transformando este valor em taxa:

q r = A s , 2 q 2 ' '

q r = 4 π r 2 2 q 2 ' '

Substituindo na relação anterior:

4 π r 2 2 q 2 ' ' 4 π 1 r 1 - 1 r = - k ( T - T s , 1 )

T s , 1 - q 2 ' ' r 2 2 k 1 r 1 - 1 r = T ( r )

E temos o perfil de temperaturas em função de q 2 ' ' , T s 1 ,   r 1 , r 2 e k .

Passo 3

Vamos agora para o item (b). Devemos aplicar a equação de perfil de temperatura para a condição em que r 1 = 50   m m , r 2 = 100   m m , T s , 1 = 20 ° C , T s , 2 = 50 ° C e k = 10   W / m K para descobrir qual é o fluxo térmico q 2 ' ' para este caso. Substituindo os valores no perfil:

T r 2 = T s , 2 = T s , 1 - q 2 ' ' r 2 2 k 1 r 1 - 1 r 2

50 = 20 - q 2 ' ' ( 0,1 ) 2 10 1 0,05 - 1 0,1

q 2 ' ' ( 0,1 ) 2 10 1 0,05 - 1 0,1 = 20 - 50

q 2 ' ' = 10 × ( - 30 ) 0,1 2 1 0,05 - 1 0,1

q 2 ' ' = - 3.000   W / m 2

Resposta

(a) T r = T s , 1 - q 2 ' ' r 2 2 k 1 r 1 - 1 r

(b) q 2 ' ' = - 3.000   W / m 2

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