Enunciado

A superfície de uma parede plana a 200 °C deve ser resfriada com aleta tipo pino de alumínio de perfil parabólico com ponta arredondada. Cada aleta tem comprimento de 25 mm e diâmetro de base de 4 mm. As aletas estão expostas à condição do ar ambiente de 25 °C, e o coeficiente de transferência de calor é 45   W / m 2 ⋅ K . Considerando que a condutividade térmica das aletas é 230   W / m ⋅ K , determine a taxa de transferência de calor a partir da única aleta e o aumento da taxa de transferência de calor por m 2 de área de superfície como resultado da fixação das aletas. Suponha que há 100 aletas por m 2 de superfície da área.

Passo 1

Começamos a questão deixando claro quais são as nossas hipóteses para o problema. Neste caso, temos condução de calor unidimensional e em regime permanente, propriedades térmicas constantes e é desconsiderado o efeito da radiação.

A questão nos pede para determinarmos duas coisas: a taxa de transferência de calor a partir de uma única aleta e o aumento desta taxa ao adicionarmos 100 aletas a uma superfície. Logo, nosso ponto de partida é obter a taxa de transferência de calor de uma aleta.

Para isto, vamos começar determinando os parâmetros geométricos e eficácia da nossa aleta, que possui perfil parabólico com ponta arredondada. Para isto, utilizaremos as fórmulas obtidas da tabela 3-3. Portanto,

m L = 4 h k D L = 4 ⋅ 45 230 ⋅ 0,004 ⋅ 0,025 = 0,3497

A a l e t a = π D 4 96 L 2 16 L D 2 + 1 3 2 - 1 = π ⋅ 0,004 4 96 ⋅ 0,025 2 16 0,025 0,004 2 + 1 3 2 - 1 = 2,099 ⋅ 10 - 4   m 2

η a l e t a = 3 2 m L I 1 4 m L 3 I 0 4 m L 3 = 3 2 ⋅ 0,3497 I 1 4 ⋅ 0,3497 3 I 0 4 ⋅ 0,349 7 3 = 4,2894 I 1 0,466 3 I 0 0,466 3

Estamos quase finalizando o cálculo dos parâmetros geométricos! Só que aconteceu um pequeno problema. Quem são essas funções I 1 e I 0 ?

Elas são funções de Bessel! Só que nós não temos nenhuma função para calcularmos algebricamente estes valores. É necessário então fazermos uma interpolação com os valores da tabela 3-4.

A partir desta interpolação e igualando as relações e - x I 0 x e e - x I 1 x , obtemos os seguintes valores: I 1 0,466 3 = 0,2368 e I 0 0,466 3 = 1,0598 . Portanto, a eficácia da aleta é dada por:

η a l e t a = 4,2894 0 , 2368 1,0598 = 0,958

Agora sim, estamos quase finalizando a primeira parte da questão! Utilizando estes parâmetros, vamos calcular agora a taxa de transferência de calor de uma aleta. Logo,

Q ˙ = η a l e t a h A a l e t a T - T ∞

Q ˙ = 0,958 ⋅ 45 ⋅ 2,099 ⋅ 10 - 4 ⋅ 200 - 25 = 1,58   W

Passo 2

Agora que determinamos a taxa de transferência de calor através de uma aleta, vamos calcular o aumento nesta taxa após adicionarmos 100 aletas a superfície. Então, este aumento é dado por:

Q ˙ a u m e n t o = Q ˙ c o m   a l e t a - Q ˙ s e m   a l e t a

Isto é, a diferença entre as taxas da superfície aletada e ela sem aletas. Vamos então começar calculando a taxa de transferência da superfície com aletas. Como temos 100 aletas, temos então:

Q ˙ a l e t a s = 100 ⋅ 1,58 = 158   W

Agora, vamos calcular a área da superfície que não tem aletas. Para isto, basta subtrairmos a área total da base das aletas. Logo,

A = 1 - 100 ⋅ π D 2 4 = 1 - 100 ⋅ π 0,004 2 4 = 0,9987   m 2

Portanto, o calor que a placa perde é:

Q ˙ p l a c a = h A Δ T = 45 ⋅ 0,9987 ⋅ 200 - 25 = 7864,7   W

Portanto, o calor perdido pela superfície ao possuir aletas é:

Q ˙ c o m   a l e t a = Q ˙ a l e t a s + Q ˙ p l a c a = 8022,7   W

Passo 3

Para finalizarmos a questão, vamos calcular a taxa de transferência da placa sem considerarmos a aleta e subtrairmos o valor obtido no final do Passo 2 com o valor calculado agora. Portanto,

Q ˙ s e m   a l e t a = h A Δ T = 45 ⋅ 1 ⋅ 200 - 25 = 78 75   W

Percebam que bastou considerarmos a área da placa como 1 metro quadrado, isto é, desconsideramos a presença das aletas!

Por fim, o aumento da taxa de transferência de calor foi de:

Q ˙ a u m e n t o = Q ˙ c o m   a l e t a - Q ˙ s e m   a l e t a

Q ˙ a u m e n t o = 8022,7 - 7875 = 147,7   W

E com isto finalizamos a questão!

Resposta

A taxa de transferência de calor de uma aleta é:

Q ˙ = 1,58   W

O aumento na transferência de calor após adicionar as aletas é:

Q ˙ a u m e n t o = 147,7   W

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