Enunciado

Suponha que saibamos pouco sobre a resistência dos materiais, mas nos informaram que a tensão de flexão σ em uma viga é proporcional à metade da espessura y da viga e também depende do momento de fletor M e do momento de inércia de área da viga I. Aprendemos também que, para o caso particular M = 328   N . m , y = 38   m m e I = 16,7   c m 4 , a tensão calculada é 75   M P a . Usando apenas essas informações e a argumentação dimensional, encontre, com três dígitos significativos, a única fórmula dimensionalmente homogênea possível σ = y f ( M , I )

Passo 1

O enunciado pede para a gente tentar encontrar a equação de σ usando a dimensão de cada uma das grandezas que estão relacionadas a σ .

Vamos começar pela equação que o enunciado deu para a gente:

σ = y f ( M , I )

σ tem dimensão de pressão, enquanto y tem de comprimento e f a gente não sabe exatamente, mas se sabemos do lado esquerdo, o lado direito tem que terminar com a mesma dimensão para que a equação fique homogênea.

Passo 2

Agora vamos precisar olhar os valores dados de cada grandeza, porque ali já tem a dimensão de cada uma delas, mas antes vamos converter elas para o SI:

M = 328   N . m

y = 38   m m = 0,038   m

I = 16,7   c m 4 = 16,7 × 10 - 8   m 4

σ = 75   M P a = 75 × 10 6   P a = 75 × 10 6   N / m 2

Pronto, do lado esquerdo tem N / m 2 , então do lado direito também precisa ter. Como tem y multiplicando a função f , sabemos que no numerador já tem a unidade de y , que é metros, agora falta só organizar o M e o I de maneira que fique homogêneo.

I tem m 4 então ele provavelmente vai ter que dividir o lado direito:

σ = y g M I

( N / m 2 ) = ( m ) g ( M ) m 4

A função que sobrou, g ( M ) , depende só das unidades de M , como o lado direito por enquanto tem dimensão / m 3 falta fazer ficar N / m 2 .

Então a gente faz o seguinte:

g M = M

Que deixa a equação assim:

( N / m 2 ) = m N ⋅ m m 4

E os dois lados estão homogêneos.

A equação então fica com essa cara:

σ = y M I

Passo 3

Mas ainda precisamos verificar o valor, se o resultado não for σ = 75   M P a , a relação que fizemos pode estar errada, então calculamos:

σ = 0,038   m ( 328   N . m ) 16,7 × 10 - 8   m 4 = 74634730   P a

Como a questão pede 3 algarismos significativos:

σ = 7,46 × 10 7   P a = 74,6   M P a

Que é aproximadamente o valor dado no enunciado, o que significa que a nossa dedução para a equação de σ está certa

Resposta

σ = y M I

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