Enunciado

A variação da pressão com a densidade em uma camada de gás espessa é dada por P = C ρ n ,   onde C e n são constantes. Observando que a variação de pressão em uma camada de fluido diferencial com espessura d z na direção vertical z é dada por d P = - ρ g d z , obtenha uma relação para a pressão como função da elevação z . Considerando a pressão e a densidade em z = 0 como P 0   e   ρ 0 respectivamente.

Passo 1

Temos uma variação de pressão com a densidade em uma fina camada de gás. Temos que determinara relação da pressão em função de z .

Assumindo que P = C p n é valido para toda espaço.

Para relacionarmos a variação de pressão d P com uma variação do espaço d z é executar esta equação diferencial.

Passo 2

Temos que:

  d P = - ρ g d z

Notes que temos que inserir a equação da densidade relacionada à pressão e podemos escrever ela desta forma:

P = C ρ n

Isolando C :

C = P / ρ n

Temos que também a densidade no estado inicial dela:

C = P 0 / ρ 0 n

Como C é constante ele permanece igual e assim podemos relacionar as duas equações:

P ρ n = P 0 ρ 0 n

Isolando ρ , para substituirmos na primeira equação:

ρ = ρ 0 P P 0 1 n

Passo 3

Agora que temos a relação da densidade com a variação de pressão, podemos substituir na equação diferencial e aplicar os limites de variação:

d P = - ρ g d z

d P = - ρ 0 P P 0 1 n g d z

Temos uma equação diferencial de duas variáveis, homogenia e um meio de solucionar ela é a separação de variáveis, portanto:

P P 0 - 1 n d P = - ρ 0 g d z

Integrando dos dois lados para solucionara equação e aplicando os limites de integração do ponto inicial-( P 0   e   0 )- a qualquer ponto-( P   e   z )-, temos:

∫ P 0 P P P 0 - 1 n d P = - ρ 0 g ∫ 0 z d z

Resolvendo a integral temos:

P 0 P / P 0 - 1 n + 1 - 1 n + 1 P 0 P = - ρ 0 g z

P P 0 n - 1 n - 1 = - n - 1 n ρ 0 g z P 0

Isolando P :

P = P 0 1 - n - 1 n ρ 0 g z P 0 n n - 1

Resposta

P = P 0 1 - n - 1 n ρ 0 g z P 0 n n - 1

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