Enunciado

Um vaso muito alto com 10   c m de diâmetro contém 1.178   c m 3 de água. Quando sua rotação é aumentada uniformemente para atingir a rotação de corpo rígido, aparece uma área seca de 4   c m de diâmetro no fundo do vaso. Qual é a rotação em r p m para essa condição?

Passo 1

Fala galera!! Bora resolver essa questão comigo!!

Queremos aqui, encontrar a rotação em r p m para a condição especificada no problema. Podemos fazer a seguinte representação do processo:

Passo 2

Uma maneira de resolver essa questão é pelo cálculo do volume do liquido formado pela rotação do vaso. Como não a perda de liquido, esse volume será o inicial. Assim, temos que o volume do líquido sombreado no esquema acima em termos do raio do vaso R e do raio no ponto seco r formado pela rotação é:

d v = π R 2 - r 2 d z

Temos que z pode ser obtido a partir da relação:

z = Ω 2 r 2 2 g

Diferenciando, temos:

d z = Ω 2 r g d r

Substituindo na equação do volume, teremos o seguinte:

d v = π R 2 - r 2 Ω 2 r g d r

Integrando de r 1 = 0,02   m até R = 0,05   m , temos o seguinte:

v = ∫ r 1 R π R 2 - r 2 Ω 2 r g d r

v = π Ω 2 g ∫ r 1 R R 2 r - r 3 d r

v = π Ω 2 g R 2 r 2 2 - r 4 4 r 1 R

v = π Ω 2 g R 4 4 - R 2 r 1 2 2 + r 1 4 4

Substituindo os valores, temos:

0,001178 = π Ω 2 9,81 0,05 4 4 - 0,05 2 0,02 2 2 + 0,02 4 4

Ω 2 = 3336,46

Ω = 57,76   r a d / s

Transformando em r p m , temos:

Ω = 57,76     r a d / s 60   s 1   m i n 1   r e v 2 π   r a d

Ω = 552   r p m

Portanto, a rotação necessária é 552   r p m .

Resposta

Ω = 552   r p m

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