Enunciado

Uma viga simplesmente apoiada de diâmetro D, comprimento L e módulo de elasticidade E é submetida a um escoamento transversal de fluido de velocidade V, massa específica ρ e viscosidade μ . A deflexão central δ é considerada uma função de todas essas variáveis. (a) Reescreva essa função proposta na forma adimensional. (b) Admita que se saiba que δ é independente de μ , inversamente proporcional a E e dependente somente de ρ V 2 , não de ρ e V separadamente. Dica: Considere L ,   ρ   e   V variáveis repetitivas.

Passo 1

Vamos para mais um desafio da mecânica dos fluidos?

Vamos escrever matematicamente como as coisas são função de outras?

δ = f ( ρ ,   D ,   L ,   E ,   V ,   μ )

Quais são as unidades bases desses parâmetros?

δ = L

ρ = M L - 3

D = L

E = M L - 1 T - 2

V = L T - 1

μ = { M L - 1 T - 1 }

Como temos 7 variáveis (n), e temos 3 dimensões bases (MLT), tem-se que o número de grupos pi iguais a 7 – 3 = 4 grupos!

Passo 2

Bem, podemos então escrever esses grupos pi e vamos seguir a dica da questão pra saber quais são as variáveis repetitivas.

Π 1 = L a ρ b V c δ

Π 2 = L a ρ b V c D

Π 3 = L a ρ b V c E

Π 4 = L a ρ b V c μ

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = L a ρ b V c δ

L a M L - 3 b L T - 1 c L = { M 0 L 0 T 0 }

M : b = 0

L : a - 3 b + c + 1 = 0 → a = - 1

T : - c = 0

Π 1 = δ L

Vamos para os próximos grupos!!!!

Grupo 2:

Π 2 = L a ρ b V c D

L a M L - 3 b L T - 1 c L = { M 0 L 0 T 0 }

Note que temos as mesmas dimensões do grupo 1, então o grupo 2 será por analogia teremos também que b = c = 0   e a = - 1

Π 2 = D L

Grupo 3:

Π 3 = L a ρ b V c E

L a M L - 3 b L T - 1 c M L - 1 T - 2 = { M 0 L 0 T 0 }

M : b + 1 = 0 → b = - 1

L : a - 3 b + c - 1 = 0

T : - c - 2 = 0 → c = - 2

a = 3 b + 1 - c = - 3 + 1 + 2 = 0

a = 0

b = - 1

c = - 2

Π 3 = E ρ V 2

Grupo 4:

Π 3 = L a ρ b V c μ

L a M L - 3 b L T - 1 c M L - 1 T - 1 = { M 0 L 0 T 0 }

M : b + 1 = 0 → b = - 1

L : a - 3 b + c - 1 = 0

T : - c - 1 = 0 → c = - 1

a = 3 b + 1 - c = - 3 + 1 + 1 = - 1

a = - 1

b = - 1

c = - 1

Π 3 = μ L ρ V

(a) Temos então que os grupos se relacionam da seguinte forma:

π 1 = f Π 2 , Π 3 ,   Π 4

δ L = f D L , μ L ρ V , E ρ V 2

Passo 4

(b) Admitindo que μ é desprezível sabe-se que o grupo Π 3 pode sumir, e assim já temos a combinação de ρ V 2 ! Além disso, podemos observar pela análise adimensional que

δ   ∝ 1 E

Portanto, temos que δ L = ρ V 2 E = f D L

Em outras palavras temos que:

δ E L ρ V 2 = f D L

Resposta

a δ L = f D L , μ L ρ V , E ρ V 2

b δ E L ρ V 2 = f D L

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