Intensidade de Radiação

Teoria Completa

Introdução

Vamos começar olhando para um objeto que está emitindo radiação, beleza?

Essas setinhas nos indicam o caminho que a radiação está fazendo… Mas então quer dizer que a radiação não é uniforme e atua em diferentes direções? Exatamente!!

A radiação emitida por uma superfície plana para o hemisfério acima dela depende da direção da radiação em relação a essa superfície.

Sendo assim, vamos precisar de algo que descreva a magnitude da radiação, seja emitida ou incidente sobre uma superfície, em uma determinada direção do espaço. A grandeza que irá descrever essa magnitude é justamente intensidade de radiação I .

Sabe quando a gente tá com um espelhinho na mão e a luz reflete no espelhinho e aparece uma claridade em um lugar diferente dependendo do ângulo que o espelho está? É mais ou menos esse o espírito da coisa!!

Vamos dar uma olhada nesse esquema:

Imagina que temos dois espelhos, um na nossa mão e outro na parede e dependendo de como eu posiciono o espelho que está na minha mão eu vou ter θ 1 e θ 2 diferentes!

Agora vamos pegar um exemplo de radiação!! Vamos considerar uma pequena superfície com área A 1 = 10 - 4   m 2 , que emite difusamente com um poder emissivo hemisférico total de E 1 = 5 × 10 4   W / m 2 , essa superfície é representada pela estrela.

Em um mundo ideal, se todas as superfícies no mundo emitissem radiação da mesma forma em todas as direções, a potência emissiva resolveria sem muitos problemas a nossa vida, mas não é bem isso que acontece na vida real.

O que queremos saber aqui é: a que taxa q essa emissão é interceptada por uma superfície com área A 2 = 5 × 10 - 4   m 2 , representada por um retângulo na figura acima?

Além disso, qual é a irradiação sobre A 2 ?

Olha só, nesse problema a gente tem a normal n 1 , fazendo um ângulo θ 1 na superfície emissiva em relação a radiação que está sendo emitida, e a normal n 2 , fazendo um ângulo θ 2 na superfície interceptada pela emissão… Além disso, o exemplo diz pra gente que a distância de uma superfície para a outra é de r 2 , beleza?

Bom, mas antes de qualquer coisa, vamos precisar arranjar uma forma de quantificar adequadamente a direção com que essa radiação está sendo emitida.

Ângulo Sólido ω

Para que a nossa vida fique mais tranquila, a melhor forma de especificar a direção com que a radiação está sendo emitida é utilizando coordenadas esféricas. Assim, a ideia é basicamente essa:

Tá lembrado de coordenadas esféricas? Observando a figura, vemos quais as coordenadas que trabalhamos nesse caso! Temos o ângulo de zênite, que varia 0 ≤ θ ≤ π , o ângulo de azimute, que varia 0 ≤ φ ≤ 2 π e teremos a terceira coordenada que será dada pelo raio que será a distância até o centro.

Porém, só essas não são suficientes pra gente resolver os problemas de intensidade de radiação… É que estamos trabalhando com duas áreas diferentes, então precisamos que alguma ajuda que indique uma relação entre essas áreas… Adivinha só quem vai fazer esse papel?

O ângulo sólido! Ele é composto pelos ângulos θ (ângulo de zênite) e φ (ângulo de azimute) que usamos para as coordenadas esféricas!

O ângulo sólido é definido da seguinte forma:

A unidade do ângulo sólido e o “steradian” s r ou esfera radiano.

Pra entender melhor, vamos fazer uma comparação com o ângulo plano que estamos mais acostumados!! Se temos um ângulo α a gente pode associar ele a um comprimento de arco ( l ), certo?

Podemos dizer então que:

l = r . α

Então, assim como o ângulo plano está associado ao comprimento de um arco, o ângulo sólido está associado a uma área superficial A sobre a qual a radiação está incidindo, beleza? Dessa forma aqui:

d A = r 2 . d ω

d ω = d A r 2

Bom, mas e se essa área não for exatamente perpendicular à direção radial do nosso sistema de coordenadas, fazendo um ângulo α com o mesmo… Bom, aí podemos escrever que:

Voltando agora ao nosso problema, a direção normal da área A 2 está fazendo um ângulo de 30 ° com a direção de emissão da radiação. Tanto A 1 como A 2 são muito pequenas em relação a entre elas, por isso podemos tratá-las como infinitesimal. Portanto vamos assumir que d A = A 2 , que é a área que está recebendo a radiação.

Assim, o ângulo sólido será dado por:

d ω 1 → 2 ≅ A 2 . c o s   θ 2   r 2

E substituindo nossas informações:

d ω 1 → 2 = 5 × 10 - 4 × c o s   30 °   0,5 2

“Beleza, mas como esse ângulo está associado com a taxa de energia de radiação que a área A 1 emite sobre a área A 2 ?”

Muito boa a pergunta!

Intensidade de Radiação I e

A intensidade de radiação para a radiação emitida I e θ , ϕ é definida como a taxa de energia emitida d q e por unidade de área e unidade de ângulo sólido, nesta direção:

W / m 2 . s r

Como não temos o valor da intensidade de radiação nem da taxa de troca de energia é necessário encontrar a intensidade de radiação a partir do poder emissivo, beleza?

O fluxo de radiação d q e / d A para a radiação emitida é a potência emissiva E . Se observarmos o hemisfério acima da superfície plana que está emitindo radiação, essa potência emitida pode ser calculada da seguinte forma:

W / m 2

“Então vou ter sempre que calcular essa integral?”

Bom, no caso de uma superfície que tenha uma emissão difusa (como é o nosso caso), a intensidade de radiação é constante (saindo da integral), não dependendo da direção. Nesse caso, a potência emissiva será dada por:

E = π . I e

Voltando ao nosso problema, como o mesmo já nos deu a potência emissiva, podemos calcular a intensidade da radiação emitida pela área A 1 , que será dada por:

I 1 = E 1 π = 5 × 10 4 π

I 1 = 1,591 × 10 4 W m 2 . s r

Se usarmos a definição de intensidade de radiação, podemos calcular a taxa de energia passada da superfície 1 para superfície 2 da seguinte forma:

Substituindo os valores:

q = 1,591 × 10 4 × 10 - 4 × c o s   60 °   × 1,732 × 10 - 3

Ainda temos que falar sobre a Irradiação G

Irradiação G é como definimos o fluxo de radiação incidente sobre uma superfície de todas as direções.

Vamos definir a irradiação de uma forma muito semelhante a como fizemos anteriormente com o poder emissivo, a diferença é que agora vamos usar a intensidade de radiação incidente I i θ , ϕ .

Dessa forma, temos que:

W / m 2

Assim, como antes, se a radiação incide na superfície difusa, podemos dizer que:

Vamos lembrar que o nosso exemplo também pediu a irradiação na superfície 2, ok? Nesse caso, as coisas vão ser mais tranquilas porque, como já calculamos a taxa de energia trocada entre as superfícies q , a irradiação será dada por:

G = q 1 → 2 A 2 = 1,378 × 10 - 3 5 × 10 - 4

Radiosidade J

Quando a radiação incide sobre uma superfície, parte dela é refletida. Dessa forma, a radiação total que deixa uma superfície é a soma das radiações emitida e refletida pela mesma… Dá uma olhadinha nesse esquema que dá pra visualizar melhor:

Temos uma superfície que está absorvendo e refletindo radiação ao mesmo tempo… E se a gente quantificar apenas uma energia de radiação deixando a superfície, ao invés de separar esses dois? Chegaremos assim na radiosidade J , que é a taxa de energia que deixa uma unidade de área em todas as direções.

Podemos expressá-la da seguinte forma:

W / m 2

Onde I e + r é a soma das intensidades de radiação emitida e refletida. Dessa forma, se novamente tivermos uma superfície difusa que seja uma emissora e uma refletora, a radiosidade será dada por:

Agora já podemos partir pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Uma pequena superfície estacionária de área A 1 = 10 - 4 m 2 emite difusamente com uma intensidade total de I e = 100   W / ( m 2 . s r ) .

Uma segunda superfície de área equivalente A 2 = 10 - 4   m 2 está localizada a uma distância fixa de r = 0,5   m de A 1 . A linha de conexão entre as duas superfícies permanece perpendicular a A 1 , enquanto A 2 gira a uma frequência angular θ ˙ 2 = d θ 2 / d t = 2   r a d / s .

Qual é a quantidade de energia interceptada pelos dois lados de A 2 durante uma volta completa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A taxa de energia emitida por A 1 e interceptada por A 2 é dada por:

q = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . d ω 1 → 2

Como as dimensões das placas são muito menores do que a distância entre elas, podemos tratar o ângulo sólido da seguinte forma:

d ω 1 → 2 ≅ A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Assim, a taxa de transferência de calor será dada por:

q = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Além disso, como a linha que liga as duas placas é perpendicular à placa A 1 , θ 1 = 0 ° → cos ⁡ θ 1 = 1 . Logo:

q = I 1 . A 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Passo 2

O problema nos pediu pra calcular a energia interceptada pela placa A 2 em uma volta completa.

A taxa de energia de radiação que calculamos no Passo 1 pode ser escrita como:

q = d E d t → Δ E = ∫ 0 T q . d t

Substituindo a expressão que encontramos no Passo 1:

Δ E = ∫ 0 T I 1 . A 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2 . d t

Nessa expressão, somente θ 2 varia com o tempo, onde a velocidade angular é dada por:

θ ˙ 2 = d θ 2 d t → d t = d θ 2 θ ˙ 2

Na hora de definir os limites de integração, temos que ter muito cuidado aqui!

Em uma volta completa, o ângulo entre a linha que liga as duas placas e a linha normal à placa 2 irá variar de 0 a π / 2 quatro vezes. Sendo assim, podemos fazer os limites integração 0 ≤ θ 2 ≤ π / 2 e multiplicar a expressão inteira por 4.

Extamos fazendo isso porque, se fizermos o ângulo variando entre 0 e 2 π , a integral será igual a zero, e serio o mesmo que dizer que nenhuma energia interceptou a placa 2, o que estaria errado.

Sendo assim:

Δ E = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 2 . d θ 2

Passo 3

Fazendo a integral:

Δ E = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 2 . d θ 2 = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2 . sen ⁡ θ 2 0 π / 2

Δ E = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2

Substituindo os valores:

Δ E = 4 × 100 × 10 - 4 2 . 10 - 4 0,5 2

Resposta

Δ E = 8 × 10 - 6   J

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Uma fornalha com uma abertura de 20   m m de diâmetro e poder emissivo de 3,72 × 10 5   W / m 2 é usada para calibrar um medidor de fluxo térmico que tem uma área sensora de