Intensidade de Radiação

Teoria Completa

Introdução

A radiação emitida por uma superfície plana para o hemisfério acima dela geralmente não é uniforme, dependendo inclusive da direção da radiação em relação a essa superfície.

Sendo assim, vamos precisar de algo que descreva a magnitude da radiação, seja emitida ou incidente sobre uma superfície, em uma determinada direção do espaço. A grandeza que irá descrever essa magnitude é a intensidade de radiação I .

Em um mundo ideal, se todas as superfícies no mundo emitissem radiação da mesma forma em todas as direções, a potência emissiva resolveria sem muitos problemas a nossa vida, mas não é bem isso que acontece na vida real.

Vamos considerar uma pequena superfície com área A 1 = 10 - 4   m 2 , que emite difusamente com um poder emissivo hemisférico total de E 1 = 5 × 10 4   W / m 2 .

O que queremos saber aqui é: a que taxa q essa emissão é interceptada por uma superfície com área A 2 = 5 × 10 - 4   m 2 , que se encontra orientada conforme mostrado na figura acima?

Além disso, qual é a irradiação sobre A 2 ?

Bom, antes de qualquer coisa, vamos precisar arranjar uma forma de quantificar adequadamente a direção com que essa radiação está sendo emitida.

Ângulo Sólido ω

Pra que a nossa vida fique mais tranquila, a melhor forma de especificar a direção com que a radiação está sendo emitida é utilizando coordenadas esféricas. Assim, a ideia é basicamente essa:

Agora vamos ao que interessa! O ângulo sólido, na verdade, é composto pelos ângulos θ (ângulo de zênite) e ϕ (ângulo de azimute) que usamos para as coordenadas esféricas, e é definido da seguinte forma:

A unidade do ângulo sólido e o steradian” s r .

Pra conseguirmos visualizar melhor esse cara, vamos pensar no seguinte... em uma circunferência de raio r , um ângulo plano α está associado com um comprimento de arco l da seguinte forma:

l = r . α

Então, assim como o ângulo plano está associado ao comprimento de um arco, o ângulo sólido está associado a uma área superficial A sobre a qual a radiação está incidindo:

d A = r 2 . d ω → d ω = d A r 2

Caso essa área não seja exatamente perpendicular à direção radial do nosso sistema de coordenadas, fazendo um ângulo α com o mesmo, podemos escrever que:

Voltando ao nosso problema, a direção normal da área A 2 está fazendo um ângulo de 30 ° com a direção de emissão da radiação. Como as áreas são muito menores que a distância entre elas, podemos tratar a área A 2 como sendo infinitesimal.

Assim, o ângulo sólido será dado por:

d ω 1 → 2 ≅ A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2 = 5 × 10 - 4 × cos ⁡ 30 ° 0,5 2

“Beleza, mas como esse ângulo está associado com a taxa de energia de radiação que a área A 1 emite sobre a área A 2 ?”

Muito boa a pergunta!

Intensidade de Radiação I e

A intensidade de radiação para a radiação emitida I e θ , ϕ é definida como a taxa de energia emitida d Q ˙ e por unidade de área e unidade de ângulo sólido, nesta direção:

W / m 2 . s r

O fluxo de radiação d Q ˙ e / d A para a radiação emitida é a potência emissiva E . Se observarmos o hemisfério acima da superfície plana que está emitindo radiação, essa potência emitida pode ser calculada da seguinte forma:

W / m 2

“Então vou ter sempre que calcular essa integral?”

Bom, no caso de uma superfície que esteja emitindo radiação difusamente (como é o nosso caso), a intensidade de radiação é constante (saindo da integral), não dependendo da direção. Nesse caso, a potência emissiva será dada por:

E = π . I e

Voltando ao nosso problema, como o mesmo já nos deu a potência emissiva, podemos calcula a intensidade da radiação emitida pela área A 1 , que será dada por:

I 1 = E 1 π = 5 × 10 4 π

I 1 = 1,591 × 10 4 W m 2 . s r

Se usarmos a definição de intensidade de radiação, podemos calcular a taxa de energia passada da superfície 1 para superfície 2 da seguinte forma:

Substituindo os valores:

q = 1,591 × 10 4 × 10 - 4 × cos ⁡ 60 ° × 1,732 × 10 - 3

Ainda temos que falar sobre a Irradiação G

Irradiação G é como definimos o fluxo de radiação incidente sobre uma superfície de todas as direções.

Vamos definir a irradiação de uma forma muito semelhante a como fizemos anteriormente com o poder emissivo, a diferença é que agora vamos usar a intensidade de radiação incidente I i θ , ϕ .

Dessa forma, temos que:

W / m 2

Assim, como antes, se a radiação que incide na superfície for difusa, podemos dizer que:

Voltando ao nosso problema, queremos calcular a irradiação sobre a superfície A 2 . Nesse caso, as coisas vão ser mais tranquilas porque, como já calculamos a taxa de energia trocada entre as superfícies q , a irradiação será dada por:

G = q 1 → 2 A 2 = 1,378 × 10 - 3 5 × 10 - 4

Radiosidade J

Quando a radiação incide sobre uma superfície, parte dela é refletida. Dessa forma, a radiação total que deixa uma superfície é a soma das radiações emitida e refletida pela mesma.

No entanto, é mais jogo para a gente se quantificarmos apenas uma energia de radiação deixando a superfície, ao invés de separar esses dois. Assim, a radiosidade J é a taxa de energia que deixa uma unidade de área em todas as direções.

Podemos expressá-la da seguinte forma:

W / m 2

Onde I e + r é a soma das intensidades de radiação emitida e refletida. Dessa forma, se novamente tivermos uma superfície que seja uma emissora difusa e uma refletora difusa, a radiosidade será dada por:

Agora já podemos partir pros exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Uma pequena superfície estacionária de área A 1 = 10 - 4 m 2 emite difusamente com uma intensidade total de I e = 100   W / ( m 2 . s r ) .

Uma segunda superfície de área equivalente A 2 = 10 - 4   m 2 está localizada a uma distância fixa de r = 0,5   m de A 1 . A linha de conexão entre as duas superfícies permanece perpendicular a A 1 , enquanto A 2 gira a uma frequência angular θ ˙ 2 = d θ 2 / d t = 2   r a d / s .

Qual é a quantidade de energia interceptada pelos dois lados de A 2 durante uma volta completa?

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Passo 1

A taxa de energia emitida por A 1 e interceptada por A 2 é dada por:

q = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . d ω 1 → 2

Como as dimensões das placas são muito menores do que a distância entre elas, podemos tratar o ângulo sólido da seguinte forma:

d ω 1 → 2 ≅ A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Assim, a taxa de transferência de calor será dada por:

q = I 1 . A 1 . cos ⁡ θ 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Além disso, como a linha que liga as duas placas é perpendicular à placa A 1 , θ 1 = 0 ° → cos ⁡ θ 1 = 1 . Logo:

q = I 1 . A 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2

Passo 2

O problema nos pediu pra calcular a energia interceptada pela placa A 2 em uma volta completa.

A taxa de energia de radiação que calculamos no Passo 1 pode ser escrita como:

q = d E d t → Δ E = ∫ 0 T q . d t

Substituindo a expressão que encontramos no Passo 1:

Δ E = ∫ 0 T I 1 . A 1 . A 2 . cos ⁡ θ 2 r 2 . d t

Nessa expressão, somente θ 2 varia com o tempo, onde a velocidade angular é dada por:

θ ˙ 2 = d θ 2 d t → d t = d θ 2 θ ˙ 2

Na hora de definir os limites de integração, temos que ter muito cuidado aqui!

Em uma volta completa, o ângulo entre a linha que liga as duas placas e a linha normal à placa 2 irá variar de 0 a π / 2 quatro vezes. Sendo assim, podemos fazer os limites integração 0 ≤ θ 2 ≤ π / 2 e multiplicar a expressão inteira por 4.

Extamos fazendo isso porque, se fizermos o ângulo variando entre 0 e 2 π , a integral será igual a zero, e serio o mesmo que dizer que nenhuma energia interceptou a placa 2, o que estaria errado.

Sendo assim:

Δ E = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 2 . d θ 2

Passo 3

Fazendo a integral:

Δ E = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 2 . d θ 2 = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2 . sen ⁡ θ 2 0 π / 2

Δ E = 4 . I 1 . A 1 θ ˙ 2 . A 2 r 2

Substituindo os valores:

Δ E = 4 × 100 × 10 - 4 2 . 10 - 4 0,5 2

Resposta

Δ E = 8 × 10 - 6   J

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Uma fornalha com uma abertura de 20   m m de diâmetro e poder emissivo de 3,72 × 10 5   W / m 2 é usada para calibrar um medidor de fluxo térmico que tem uma área sensora de 1,6 × 10 - 5   m 2 .

a A qual distância, medida ao longo da normal a partir da abertura, o sensor deve ser posicionado para receber uma irradiação de 1000   W / m 2 ?

b Se o sensor for inclinado para fora da normal em 20 ° , qual será a sua irradiação?

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Passo 1

a A qual distância, medida ao longo da normal a partir da abertura, o sensor deve ser posicionado para receber uma irradiação de 1000   W / m 2 ?

Vamos primeiro entender o problema: repara que o sensor está posicionado de frente pra abertura da fornalha. Então a “linha” que une essas duas superfícies passa exatamente pela normal deles, de modo que θ = 0 ° .

Aí em cima indicamos também a A 1 , calculada a partir do diâmetro dado, a A 2 dada e o E 1 dado.

E a gente quer saber qual deve ser a distância L entre a abertura da fornalha e o sensor para que a irradiação recebida pelo sensor G seja igual a 1000   W / m 2 .

Passo 2

Então vamos colocar isso em fórmulas.

A irradiação entre a fornalha e o sensor pode ser escrita como: