Vetor Velocidade e Aceleração Média

Teoria Completa

Vetor Velocidade Média

Calcular a velocidade média de um objeto que move-se em duas ou mais dimensões é igual a calcular quando ele move-se em apenas uma. Podemos calcular a velocidade média em cada dimensão ou usar diretamente a notação de vetor.

Primeiro vamos calcular a velocidade média de um objeto, olhando separademente o movimento em cada dimensão. Para isso, vamos calcular a velocidade média do movimento em x depois em y e depois em z .

Uma bola encontra-se na posição ( x = 2   m ; y = 5   m ) , passados 10   s a posição final da bola é x = 7   m   ; y = 15   m . Qual é a velocidade média da bola?

Como falamos, vamos calcular a velocidade média do movimento em x :

Temos que velocidade média é

v m = Δ S Δ t

O problema nos forneceu a posição inicial e final da bola e o tempo gasto, então podemos achar a velocidade média em x .

v x m = 7 - 2 10

v x m = 0,5   m / s

Vamos fazer o mesmo para o eixo y

v y m = 15 - 5 10

v y m = 1   m / s

Agora podemos escrever a velocidade da partícula em notação de vetor unitário

v → m = 0,5   i ^ + 1 j ^

Ou, podemos calcular isso por vetores diretamente. A velocidade média é o vetor deslocamento dividido pela variação do tempo.

v → = Δ r → Δ t

Como o tempo é um escalar essa divisão não é nenhum problema, o tempo vai dividir tanto as coordenadas de x quanto as de y ou z .

Vamos calcular o vetor deslocamento Δ r →

Δ r → = r → f - r → 0

Δ r → = ( 7 - 2 )   i ^ + ( 15 - 5 ) j ^

Δ r → = 5 i ^ + 10 j ^

Substituindo na equação da velocidade média

v → m = 5 i ^ + 10 j ^ 10

v → m = 0,5 i ^ + 1 j ^

Os dois jeitos de resolver o problema estão certos e sempre podem ser usados, escolha sempre o mais fácil de acordo com cada problema.

Vetor Aceleração Média

O vetor aceleração média é o quão rápido varia o vetor velocidade média no tempo. Assim como o vetor velocidade média ele pode ser calculado eixo por eixo, ou seja, podemos calcular o vetor aceleração média calculando a aceleração média do movimento em x , depois do movimento em y e por último em z .

Também podemos calcular a aceleração média diretamente por vetores, fazendo

a → m = v → f - v → 0 Δ t

Vamos fixar esses conceitos novos fazendo alguns exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

FMED Jundiaí

Ao se deslocar de sua casa (C) para faculdade (F), João Carlos faz o percurso esquematizado na figura, em que aparecem as velocidades vetoriais de partida ( v c → ) e de chegada ( v f → ) de seu movimento. Ambas as velocidades têm mesmo módulo. A aceleração vetorial média do movimento de João Carlos é melhor representada por:

a)

b)

c) Um vetor nulo.

d)

e)

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Passo 1

Se liga aí galera, nesse nosso caso não interessa o deslocamento tá? Vamos nos ater somente a velocidade, até por quê a aceleração média é dada pela seguinte equação:

a m → =   ∆ v ∆ t →  

Pra gente começar, vamos ver qual o sentido e direção de cada um dos vetores velocidade pra gente poder calcular a aceleração.

Passo 2

Se considerarmos ali o eixo horizontal sendo o eixo x e o vertical o eixo y , veremos que a velocidade v c aponta para baixo no eixo y (Negativo) e a velocidade v f aponta pra direita no eixo x (Positivo), em termos de vetores unitários temos então.

v c → = - j               v f → = + i                

Onde - j representa o sentido negativo do eixo y   que por convenção é para baixo. E + i o sentido positivo do eixo x que por convenção é para a direita.

E como a gente sabe, a aceleração média é dada por:

a m → = v f → - v c → ∆ t = + i - - j ∆ t =   + i + j ∆ t

Então nossa aceleração tem uma componente em i e uma em j, sendo o vetor correto o da letra b, na diagonal, sendo a soma dos dois! Show!

Resposta

b)

Exercício Resolvido #2

UNICAMP

Um corpo viaja pelo caminho ilustrado na figura abaixon onde os vetores A e B são as representações das velocidades nos tempos t A e t B respectivamente.

Qual é o vetor que melhor representa a aceleração adquirida pelo corpo, entre os tempos   t A e t B ?

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Passo 1

Pela formulinha a gente sabe que:

a → m = ∆ v → ∆ t

Substituindo pelos dados do problema, a gente tem que:

a → m = B → - A →   t B -   t A

Mas pra gente descobrir a direção e o sentido do vetor aceleração, nada melhor que a gente decompor esses vetores velocidade aí, né não? Como a questão só nos pediu a direção e o sentido, é só a gente analisar exatamente isso nos vetores velocidade, então, sendo o eixo x na horizontal e o y na vertical, a gente vê pelo desenho que:

A → = i + j

B → = - i + j

Substituindo isso na nossa formulinha lá do começo, temos que:

a → m = ( - i + j ) - ( i + j )   t B -   t A

a → m = - 2 i   t B -   t A

Ou seja, nosso vetor tá apenas na direção do eixo x no sentido negativo, sacou? Show! Fechamos!

Resposta

Exercício Resolvido #3

Brasil Escola

Um carro move-se em linha reta a uma velocidade de 30 m/s. Ao avistar um obstáculo, o motorista faz uma curva brusca, alterando a direção da velocidade do carro para uma direção perpendicular, passando a se mover a 10 m/s. Admitindo que a curva foi realizada em um intervalo de tempo de 0,5 segundo, a aceleração vetorial média desse veículo foi de

a) 3√10 m/s²

b) 30 m/s²

c) √10 m/s²

d) 10 m/s²

e) 20√10 m/s²

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Passo 1

Primeiro, vamos entender o percurso do problema:

Como a gente viu, a aceleração média pode ser calculada por:

a → m = ∆ v → ∆ t

Agora é só a gente calcular o a velocidade resultante, como temos um triângulo, é só jogarmos pitágoras na parada, sacou? Então:

∆ v → 2 = 30 2 + 10 2

∆ v → 2 = 1000 m / s

∆ v → = 1 0 10 m / s

Passo 2

Agora que já temos o vetor resultante da velocidade, é só dividirmos pelo tempo, né? Então:

a → m = ∆ v → ∆ t = 10 10 0,5

a → m = 20 10 m / s 2  

Showww!

Resposta

a → m = 20 10 m / s 2  

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Uma laranja possui as seguintes componentes vetoriais resultantes da velocidade: x = - 5,0   m / s ,   y = 8,0   m / s   e z = 11 m / s .

  1. Determine o vetor velocidade resultante da laranja.
  2. O módulo do vetor velocidade resultante.
  3. A aceleração média sabendo que o tempo de percurso durou 5 segundos.
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Passo 1

  1. Como a gente já viu, é só usar as coordenadas i ^ ;   j ^ ;     k ^   para representar os eixos x ;   y ;   z respectivamente.
  2. Então o vetor velocidade fica:

    v → = - 5 i ^ + 8 j ^ + √ 11 k ^

    Passo 2

  3. Agora calculando o módulo da velocidade:
  4. v = - 5 2 + 8 2 + ( 11 ) 2

    v = 10   m / s

    Passo 3

  5. Pra calcular a aceleração média, como a questão já nos deu o tempo, é só aplicar naquela formulinha:

a m = v ∆ t → a m = 2   m / s 2

Resposta

  1. v → = - 5 i ^ + 8 j ^ + √ 11 k ^
  2. v = 10   m / s
  3. a m = 2   m / s 2

Exercício Resolvido #5

Só Física

Um corpo se desloca com velocidade  v 0 → = 20 m / s , e aceleração constante  a → m = 2 m / s 2 , da forma como está descrita abaixo:

Qual é aproximadamente o vetor velocidade após 10 segundos?

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Passo 1

Pra gente calcular a velocidade vetorial em função de um tempo, precisamos decompor os vetores velocidade inicial e aceleração em suas projeções em e y, né? Então vamo lá:

a x = 1,73 i                 a y = 1 j                   v 0 x = 17 , 3 i                 v 0 y = 10 j

Assim a gente pode dividir o momento em x em y, sacou? E no final usamos pitágoras pra calcular o valor absoluto do vetor Velocidade. Então, em x temos:

v x → = v 0 → x + a x t

v x → = 17,3 + 1,73.10

v x → = 34,6 m / s

E em y:

v y → = v 0 → y + a y t

v y → = 10 + 1.10

v y → = 20 m / s

Showww! Agora que a gente tem as duas componentes da velocidade em 10 segundos, podemos calcular o vetor resultante, né? Vem comigo:

∆ v → 2 = v x → 2 + v y → 2

∆ v → 2 = 1597,16

∆ v → = 39,96 m / s  

∆ v → ≅ 40 m / s

Resposta

∆ v → ≅ 40 m / s

Exercício Resolvido #6

CocEducação

Uma partícula move-se em trajetória circular, com velocidade escalar constante de 10 m/s. A figura a seguir mostra suas passagens pelos pontos A e B, quando cumpre um quarto de volta em 2,0 segundos.

a) Essa partícula possui velocidade constante?

b) Determine o módulo do vetor  ∆ v →  que indica a variação de sua velocidade entre os pontos A e B.

c) Qual o módulo de sua aceleração média entre os pontos A e B?

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Passo 1

Bom, essa letra a é bem pegadinha :p

A velocidade não mudou de valor, o que pode induzir você a achar que a velodidade é constante, mas nossa velocidade mudou de direção, tá vendo ali? Antes ela tava na horizontal, e depois foi pra vertical, então ela não é constante!

Passo 2

A gente tem a seguinte configuração vetorial:

Show, né? É só a gente usar aquela regrinha:

∆ v → = v b 2 → + v a 2 →    

∆ v → = 10 2 + 10 2    

∆ v → = 10 2   m / s

Passo 3

E agora pra calcularmos a aceleração média tendo o tempo e a velocidade ficou moleza, né?

A partícula andou exatamente um quarto de volta, e no enunciado diz que o tempo desse movimento foi de 2 segundos! Vamo nessa:

a m = ∆ v → ∆ t = 10 2 2

a m = 5 2   m / s 2

Conseguimos! :D

Resposta

  1. Não.
  2. ∆ v → = 10 2   m / s
  3. a m = 5 2   m / s 2

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Um avião parte do Rio de Janeiro com destino a Recife, porém ele possui uma escala em Brasília. O primeiro trecho, entre Rio de Janeiro e Brasília, possui 935   k m e o avião demora 1 h 20 m i n nele. Em seguida, o avião fica parado em Brasília por 35 m i n para abastecimento e embarque/desembarque de passageiros. O segundo trecho, entre Brasília e Recife, possui 1600   k m e o avião demora 2 h 35 m i n para percorrê-lo. A figura abaixo ilustra o plano de vôo do avião. Determine o módulo, direção e sentido da velocidade vetorial média do avião do inicio do vôo, no Rio de Janeiro, até o fim do vôo, no Recife. Considerando como a origem do sistema cartesiano a cidade do Rio de Janeiro.

Dados: sen ⁡ 53 ° = 0,8 , c o s   53 ° = 0,6 ,   sen ⁡ 30 ° = 0,5 , c o s   30 ° = 0,86

OBS: Pegue uma calculadora, você vai precisar !!!

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Passo 1

Para calcular a velocidade média vetorial, devemos ter o deslocamento vetorial e o tempo total do percurso. Para isso devemos descobrir o deslocamento vetorial em cada trecho da viagem.

Vamos chamar de trecho 1 a parte Rio - Brasília e de trecho 2 a parte Brasília - Recife.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o tempo total do percurso. Ele é a soma do tempo de vôo de cada trecho mais o tempo parado em Brasília.

Δ t t o t a l = 1 h 20 m i n + 35 m i n + 2 h 35 m i n = 4,5 h

Passo 3

Vamos achar agora os deslocamentos do trecho Rio – Brasília.

Para isso devemos decompor o vetor deslocamento entre as cidades, da mesma forma que fizemos no capítulo de vetores, atento ao sinal.

Usando a “regra do COlado/SEparado” teremos

.

r x 1 = - r → 1 . cos ⁡ θ = - 935 . cos ⁡ 53 ° = - 935.0,6 = - 561   k m  

r y 1 = r → 1 . sen ⁡ θ = 935 . sen ⁡ 53 ° = 935.0,8 = 748   k m

Lembrando que para cima/para direita significa sinal positivo, enquanto para baixo/para esquerda significa sinal negativo.

Passo 4

Vamos achar agora os deslocamentos do trecho Brasília – Recife, da mesma forma que fizemos para o outro trecho.

Usando a “regra do COlado/SEparado” teremos.

r x 2 = r → 2 . cos ⁡ θ = 1600 . cos ⁡ 30 ° = 1600.0,86 = 1376   k m  

r y 2 = r → 2 . sen ⁡ θ = 1600 . sen ⁡ 30 ° = 1600.0,5 = 800   k m

Lembrando que para cima/para direita significa sinal positivo, enquanto para baixo/para esquerda significa sinal negativo.

Passo 5

Vamos agora achar o deslocamento total em cada direção,

r x t o t a l = r x 1 + r x 2 = - 561 + 1376 = 815   k m

r y t o t a l = r y 1 + r y 2 = 748 + 800 = 1548   k m

Podemos escrever esse deslocamento da seguinte forma vetorial

Δ r → = 815   i ^ + 1548 j ^   k m

Passo 6

A velocidade média vetorial pode ser calculada pela fórmula.

V → m = Δ r → Δ t

V → m = 815   i ^ + 1548 j ^ 4,5 = 181,11 i ^ + 344 j ^   k m / h

Escrever a velocidade média vetorial como vetor mostra a direção e sentido. Porém não o módulo.

Passo 7

O módulo de V → m será,

V → m 2 = 181,11 2 + 344 2

V → m = 388,76   k m / h

Resposta

V → m = 181,11 i ^ + 344 j ^   k m / h

V → m = 388,76   k m / h

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Uma ambulância está trafegando a 54   km/h em uma estrada. Em seguida, ela entra em uma curva, como indicado na figura, com sua velocidade na horizontal. Ao sair da curva, sua velocidade sofre uma mudança de direção, passando a fazer um ângulo de 53 ° , como mostrado na figura. Determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração vetorial média nesse trecho, sabendo que ela demora 5   min para fazer essa curva.

Dados: sen ⁡ 53 ° = 4 / 5 , c o s   53 ° = 3 / 5

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Passo 1

Para acharmos a aceleração vetorial média, podemos usar a fórmula.

a → m = Δ V → Δ t

Para usar a fórmula devemos, achar a variação do tempo e a variação da velocidade vetorial.

Passo 2

O valor de Δ t já temos pelo enunciado, só devemos colocar na unidade correta do SI.

Δ t = 5   min = 300   s

Passo 3

Antes de qualquer coisa, devemos passar o módulo da velocidade de km/h para m/s .

Para isso vamos dividir o valor em km/h por 3,6 .

V → = 54   km/h = 54 3,6   m/s = 15   m/s

Passo 4

Devemos achar agora a variação da velocidade, para isso devemos achar a velocidade vetorial inicial e final. Nesse caso, como os vetores são simples, e o enunciado pede direção e sentido vamos fazer na forma vetorial direto. Começando pela velocidade inicial vetorial.

V → 0 = 15 i ^   m/s

Passo 5

Agora vamos achar a velocidade final, para isso devemos achar suas componentes decompondo pelo seu módulo e ângulo como fizemos no capítulo de vetores.

V x = - V → ⋅ cos ⁡ 53 ° = - 15 ⋅ 3 5 = - 9   m/s

V y = - V → ⋅ sen ⁡ 53 ° = - 15 ⋅ 4 5 = - 12   m/s 

Lembrando que para cima/para direita significa sinal positivo, enquanto para baixo/para esquerda significa sinal negativo.

V → f = - 9 i ^ - 12 j ^   m/s

Passo 6

Agora vamos achar Δ V → ,

Δ V → = V → f - V → 0 = - 9 i ^ - 12 j ^ - 15 i ^ + 0 j ^

Δ V → = - 9 - 15 i ^ + - 12 - 0 j ^

Δ V → = - 24 i ^ - 12 j ^   m/s

Passo 7

A aceleração vetorial média será,

a → m = - 24 i ^ - 12 j ^ 300 = - 0,08 i ^ - 0,04 j ^     m / s 2

Passo 8

Agora devemos achar o módulo da aceleração.

a → m 2 = 0,08 2 + 0,04 2 = 80 10000

a → m = 4 5 100     m / s 2 = 5 25 m / s 2

Resposta

a → m = - 0,08 i ^ - 0,04 j ^     m / s 2

a → m = 5 25 m / s 2

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