Vetor Velocidade e Aceleração Média

Teoria Completa

Vetor Velocidade Média

Calcular a velocidade média de um objeto que move-se em duas ou mais dimensões é igual a calcular quando ele move-se em apenas uma. Podemos calcular a velocidade média em cada dimensão ou usar diretamente a notação de vetor.

Primeiro vamos calcular a velocidade média de um objeto, olhando separademente o movimento em cada dimensão. Para isso, vamos calcular a velocidade média do movimento em x depois em y e depois em z .

Uma bola encontra-se na posição ( x = 2   m ; y = 5   m ) , passados 10   s a posição final da bola é x = 7   m   ; y = 15   m . Qual é a velocidade média da bola?

Como falamos, vamos calcular a velocidade média do movimento em x :

Temos que velocidade média é

v m = Δ S Δ t

O problema nos forneceu a posição inicial e final da bola e o tempo gasto, então podemos achar a velocidade média em x .

v x m = 7 - 2 10

v x m = 0,5   m / s

Vamos fazer o mesmo para o eixo y

v y m = 15 - 5 10

v y m = 1   m / s

Agora podemos escrever a velocidade da partícula em notação de vetor unitário

v → m = 0,5   i ^ + 1 j ^

Ou, podemos calcular isso por vetores diretamente. A velocidade média é o vetor deslocamento dividido pela variação do tempo.

v → = Δ r → Δ t

Como o tempo é um escalar essa divisão não é nenhum problema, o tempo vai dividir tanto as coordenadas de x quanto as de y ou z .

Vamos calcular o vetor deslocamento Δ r →

Δ r → = r → f - r → 0

Δ r → = ( 7 - 2 )   i ^ + ( 15 - 5 ) j ^

Δ r → = 5 i ^ + 10 j ^

Substituindo na equação da velocidade média

v → m = 5 i ^ + 10 j ^ 10

v → m = 0,5 i ^ + 1 j ^

Os dois jeitos de resolver o problema estão certos e sempre podem ser usados, escolha sempre o mais fácil de acordo com cada problema.

Vetor Aceleração Média

O vetor aceleração média é o quão rápido varia o vetor velocidade média no tempo. Assim como o vetor velocidade média ele pode ser calculado eixo por eixo, ou seja, podemos calcular o vetor aceleração média calculando a aceleração média do movimento em x , depois do movimento em y e por último em z .

Também podemos calcular a aceleração média diretamente por vetores, fazendo

a → m = v → f - v → 0 Δ t

Vamos fixar esses conceitos novos fazendo alguns exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

FMED Jundiaí

Ao se deslocar de sua casa (C) para faculdade (F), João Carlos faz o percurso esquematizado na figura, em que aparecem as velocidades vetoriais de partida ( v c → ) e de chegada ( v f → ) de seu movimento. Ambas as velocidades têm mesmo módulo. A aceleração vetorial média do movimento de João Carlos é melhor representada por:

a)

b)

c) Um vetor nulo.

d)

e)

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Passo 1

Se liga aí galera, nesse nosso caso não interessa o deslocamento tá? Vamos nos ater somente a velocidade, até por quê a aceleração média é dada pela seguinte equação:

a m → =   ∆ v ∆ t →  

Pra gente começar, vamos ver qual o sentido e direção de cada um dos vetores velocidade pra gente poder calcular a aceleração.

Passo 2

Se considerarmos ali o eixo horizontal sendo o eixo x e o vertical o eixo y , veremos que a velocidade v c aponta para baixo no eixo y (Negativo) e a velocidade v f aponta pra direita no eixo x (Positivo), em termos de vetores unitários temos então.

v c → = - j               v f → = + i                

Onde - j representa o sentido negativo do eixo y   que por convenção é para baixo. E + i o sentido positivo do eixo x que por convenção é para a direita.

E como a gente sabe, a aceleração média é dada por:

a m → = v f → - v c → ∆ t = + i - - j ∆ t =   + i + j ∆ t

Então nossa aceleração tem uma componente em i e uma em j, sendo o vetor correto o da letra b, na diagonal, sendo a soma dos dois! Show!

Resposta

b)

Exercício Resolvido #2

UNICAMP

Um corpo viaja pelo caminho ilustrado na figura abaixon onde os vetores A e B são as representações das velocidades nos tempos t A e t B respectivamente.

Qual é o vetor que melhor representa a aceleração adquirida pelo corpo, entre os tempos   t A e t B ?

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Passo 1

Pela formulinha a gente sabe que:

a → m = ∆ v → ∆ t

Substituindo pelos dados do problema, a gente tem que:

a → m = B → - A →   t B -   t A

Mas pra gente descobrir a direção e o sentido do vetor aceleração, nada melhor que a gente decompor esses vetores velocidade aí, né não? Como a questão só nos pediu a direção e o sentido, é só a gente analisar exatamente isso nos vetores velocidade, então, sendo o eixo x na horizontal e o y na vertical, a gente vê pelo desenho que:

A → = i + j

B → = - i + j

Substituindo isso na nossa formulinha lá do começo, temos que:

a → m = ( - i + j ) - ( i + j )   t B -   t A

a → m = - 2 i   t B -   t A

Ou seja, nosso vetor tá apenas na direção do eixo x no sentido negativo, sacou? Show! Fechamos!

Resposta

Exercício Resolvido #3

Brasil Escola

Um carro move-se em linha reta a uma velocidade de 30 m/s. Ao avistar um obstáculo, o motorista faz uma curva brusca, alterando a direção da velocidade do carro para uma direção perpendicular, passando a se mover a 10 m/s. Admitindo que a curva foi realizada em um intervalo de tempo de 0,5 segundo, a aceleração vetorial média desse veículo foi de

a) 3√10 m/s²

b) 30 m/s²

c) √10 m/s²

d) 10 m/s²

e) 20√10 m/s²

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Passo 1

Primeiro, vamos entender o percurso do problema:

Como a gente viu, a aceleração média pode ser calculada por:

a → m = ∆ v → ∆ t

Agora é só a gente calcular o a velocidade resultante, como temos um triângulo, é só jogarmos pitágoras na parada, sacou? Então:

∆ v → 2 = 30 2 + 10 2

∆ v → 2 = 1000 m / s

∆ v → = 1 0 10 m / s

Passo 2

Agora que já temos o vetor resultante da velocidade, é só dividirmos pelo tempo, né? Então:

a → m = ∆ v → ∆ t = 10 10 0,5

a → m = 20 10 m / s 2  

Showww!

Resposta

a → m = 20 10 m / s 2  

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Uma laranja possui as seguintes componentes vetoriais resultantes da velocidade: x = - 5,0   m / s ,   y = 8,0   m / s   e z = 11 m / s .

  1. Determine o vetor velocidade resultante da laranja.
  2. O módulo do vetor velocidade resultante.
  3. A aceleração média sabendo que o tempo de percurso durou 5 segundos.
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Passo 1

  1. Como a gente já viu, é só usar as coordenadas i ^ ;   j ^ ;     k ^   para representar os eixos x ;   y ;   z respectivamente.
  2. Então o vetor velocidade fica:

    v → = - 5 i ^ + 8 j ^ + √ 11 k ^

    Passo 2

  3. Agora calculando o módulo da velocidade:
  4. v = - 5 2 + 8 2 + ( 11 ) 2

    v = 10   m / s

    Passo 3

  5. Pra calcular a aceleração média, como a questão já nos deu o tempo, é só aplicar naquela formulinha:

a m = v ∆ t → a m = 2   m / s 2

Resposta

  1. v → = - 5 i ^ + 8 j ^ + √ 11 k ^
  2. v = 10   m / s
  3. a m = 2   m / s 2

Exercício Resolvido #5

Só Física

Um corpo se desloca com velocidade  v 0 → = 20 m / s , e aceleração constante  a → m = 2 m / s 2 , da forma como está descrita abaixo:

Qual é aproximadamente o vetor velocidade após 10 segundos?

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Passo 1

Pra gente calcular a velocidade vetorial em função de um tempo, precisamos decompor os vetores velocidade inicial e aceleração em suas projeções em e y, né? Então vamo lá:

a x = 1,73 i                 a y = 1 j                   v 0 x = 17 , 3 i                 v 0 y = 10 j

Assim a gente pode dividir o momento em x em y, sacou? E no final usamos pitágoras pra calcular o valor absoluto do vetor Velocidade. Então, em x temos:

v x → = v 0 → x + a x t

v x → = 17,3 + 1,73.10

v x → = 34,6 m / s

E em y:

v y → = v 0 → y + a y t

v y → = 10 + 1.10

v y → = 20 m / s

Showww! Agora que a gente tem as duas componentes da velocidade em 10 segundos, podemos calcular o vetor resultante, né? Vem comigo:

∆ v → 2 = v x → 2 + v y → 2

∆ v → 2 = 1597,16

∆ v → = 39,96 m / s  

∆ v → ≅ 40 m / s

Resposta

∆ v → ≅ 40 m / s

Exercício Resolvido #6

CocEducação

Uma partícula move-se em trajetória circular, com velocidade escalar constante de 10 m/s. A figura a seguir mostra suas passagens pelos pontos A e B, quando cumpre um quarto de volta em 2,0 segundos.

a) Essa partícula possui velocidade constante?

b) Determine o módulo do vetor  ∆ v →  que indica a variação de sua velocidade entre os pontos A e B.

c) Qual o módulo de sua aceleração média entre os pontos A e B?

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Passo 1

Bom, essa letra a é bem pegadinha :p

A velocidade não mudou de valor, o que pode induzir você a achar que a velodidade é constante, mas nossa velocidade mudou de direção, tá vendo ali? Antes ela tava na horizontal, e depois foi pra vertical, então ela não é constante!

Passo 2

A gente tem a seguinte configuração vetorial:

Show, né? É só a gente usar aquela regrinha:

∆ v → = v b 2 → + v a 2 →    

∆ v → = 10 2 + 10 2    

∆ v → = 10 2   m / s

Passo 3

E agora pra calcularmos a aceleração média tendo o tempo e a velocidade ficou moleza, né?

A partícula andou exatamente um quarto de volta, e no enunciado diz que o tempo desse movimento foi de 2 segundos! Vamo nessa:

a m = ∆ v → ∆ t = 10 2 2

a m = 5 2   m / s 2

Conseguimos! :D

Resposta

  1. Não.
  2. ∆ v → = 10 2   m / s
  3. a m = 5 2   m / s 2