Vetor Deslocamento

Teoria Completa

Vamos estudar o movimento em duas ou mais dimensões a partir de agora, e por isso vamos usar vetores para representar a posição, velocidade e aceleração das partículas, pois agora teremos componentes nos eixos x ,   y   e z .

O deslocamento de uma partícula será representado por

Δ r → = r → f - r → 0

O vetor deslocamento é a subtração do vetor posição inicial do vetor posição final.

E o módulo desse vetor deslocamento é a distância em linha reta do ponto final ao ponto inicial, ou seja, a distância entre dois pontos é o módulo vetor deslocamento entre os dois pontos.

Vetor Posição

O que seria um vetor posição??

Em duas dimensões, é muito comum escrevermos a posição de algum objeto na forma vetorial.

Está vendo o Smile laranja com cara de perdido?

Qual é a sua posição no eixo x ? 1 , certo? Isso nos diz que sua componente x é 1 , ou seja

r x = 1

Qual é a sua posição no eixo y ? 2 , certo? Isso nos diz que sua componente y é 2 , ou seja

r y = 2

A posição vetorial fica

r → = r x i ^ + r y j ^

r → = 1 i ^ + 2 j ^

r → = i ^ + 2 j ^

Lembrando que i ^   e j ^ é a notação usada para vetores unitários, onde representam o eixo x e y respectivamente.

Esse vetor posição é como se fossemos em linha reta da origem até o Smile laranja com cara de perdido. Como achamos essa distância, agora que temos o vetor posição?

Basta achar seu módulo.

r → 2 = 1 2 + 2 2

r → 2 = 1 + 4

r → 2 = 5

r → = 5

Agora que sabemos o que é um vetor posição vamos voltar ao deslocamento vetorial

Deslocamento Vetorial

O deslocamento vetorial nada mais é que o deslocamento através das direções x e y .

Definimos ele como a subtração da posição inicial da posição final, certo?

Δ r → = r → f - r → 0

Vamos imaginar o Papai Noel passeando por ai, curtindo as férias de janeiro.

Primeiro ele está na posição A , que está desenhado abaixo.

Sua posição vai ser

r x A = 2   m

r y A = 1   m

Agora ela foi para outra posição, a posição B .

Sua posição vai ser

r x B = 4   m

r y B = 4   m

Vamos calcular o deslocamento do Papai Noel de duas formas, analisando os eixos separados e depois por vetores, ambos os casos chegaremos ao mesmo resultado. Nos exercícios, vamos ver casos onde é melhor usar a forma vetorial direto, e outros onde é melhor fazer as dimensões separadas, fique tranquilo, as duas formas estão certas!

Quanto ele se moveu em x ? Ou seja, na horizontal? Vamos fazer seu deslocamento:

Δ x = x B - x A

Δ x = 4 - 2 = 2   m

Quanto ele se moveu em y ? Ou seja, na vertical? Vamos fazer seu deslocamento:

Δ y = y B - y A

Δ y = 4 - 1 = 3   m

O seu deslocamento vetorial fica

Δ r → = Δ x i ^ + Δ y j ^

Δ r → = 2 i ^ + 3 j ^

Em duas dimensões, às vezes, é mais fácil trabalharmos direto com vetores,

Como ficaria a posição A na forma vetorial?

r → A = r x A i ^ + r y A j ^

r → A = 2 i ^ + j ^     m

E a posição B na forma vetorial?

r → B = r x B i ^ + r y B j ^

r → B = 4 i ^ + 4 j ^     m

Só lembrando que o valor da componente x fica com i ^ e o valor da componente y fica com j ^ .

O seu deslocamento vetorial é

Δ r → = r → B - r → A

Δ r → = 4 - 2 i ^ + 4 - 1 j ^   m

Δ r → = 2 i ^ + 3 j ^   m

A distância entre as posições, lembrando que é em linha reta, vai ficar

Δ r → 2 = 2 2 + 3 2

Δ r → 2 = 13

| Δ r → | = 13

Propriedades dos vetores

Vamos relembrar algumas propriedades dos vetores que são bem úteis.

Módulo de um vetor v :

v → 2 = v x 2 + v y 2

Subtração e Adição de vetores:

v → + p → = v x + p x i ^ + ( v y + p y ) j ^

v → - p → = v x - p x i ^ + ( v y - p y ) j ^

Decomposição de vetores:

Dado o vetor v →

Para achar cada componente basta multiplicar o módulo pelo seno ou cosseno do ângulo.

Agora ferrou né? Quando usar seno? Quando usar cosseno?

Aqui vai uma malandragem para conseguir lembrar SEMPRE quando usar seno e quando usar cosseno.

Percebe que a componente x está “COlada” com o ângulo? Então vamos usar COsseno

v x = v → . c o s ⁡ ( θ )

Repare agora que a componente y está “SEparada” do ângulo, então vamos usar Seno

v y = v → . s e n ⁡ ( θ )

Multiplicação por um escalar:

5 v → = 5 . v x i ^ + 5 . v y j ^

Produto escalar:

v →   .   w → = v x . w x + v y . w y

Outro fórmula para produto escalar é

v → . w → = v →   . w →   .   c o s ⁡ ( θ )    

Onde o θ é o ângulo formado entre v → e w → , assim podemos reescrever a equação acima para acharmos o ângulo formado entre dois vetores.

θ = arccos ⁡ v → . w → v → . w →

As direções x   e y podem ser escritas como vetores unitários da seguinte forma

x → = 1 . i ^ + 0 . j ^

y → = 0 . i ^ + 1 . j ^

Ambos de módulo 1.

Vetor deslocamento x Distância percorrida

O vetor deslocamento é a diferença entre duas posições. É a posição final menos a posição inicial.

Δ r → = r → 2 - r → 1

Já a distância percorrida é a soma do módulo de todos os deslocamentos do objeto, ele mostra o quanto o objeto andou.

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a =   ∑ | Δ r → |

Tudo que vimos para duas dimensões, porém tudo vale exatamente igual para três dimensões, apenas acrescentando a coordenada k ^ referente ao eixo z .

Beleza? Vamos para os exercícios para fixar isso melhor!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFPB

Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a informação de que o endereço estaria situado a 2km ao norte. Após chegar ao referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar 4km para leste. Não encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informação a outra pessoa, que diz estar a festa acontecendo a 5km ao sul daquele ponto. seguindo essa dica, ele finalmente chega ao evento. Na situação descrita, o modulo do veto deslocamento do cidadão, da praça até o destino final, é?

a) 11kmb) 7km

c) 5km d) 4kme) 3km

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Passo 1

Bom, o primeiro passo é a gente desenhar os vetorzinhos que a questão tá descrevendo pra gente! Então bora lá, a gente fica com algo desse jeito:

Sacou? Então nosso deslocamento resultante é só a gente ligar o ponto inicial ao ponto final, tranquilo? Bora lá:

Massa! Então agora é só a gente fazer pitágoras e calcular a hipotenusa desse triângulo, que é exatamente o nosso vetor resultante! Então temos:

d 2 = 4 2 + 3 2 = 25 = 5 k m

Showwww!

Resposta

c) 5km

Exercício Resolvido #2

UFC-CE

Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta:

a) CB + CD + DE = BA + EA                             

b) BA + EA + CB = DE + CD                                

c) EA – DE + CB = BA + CD     

d) EA – CB + DE = BA – CD                           

e) BA – DE – CB = EA + CD

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Passo 1

Pra gente resolver essa parada vamos analisar o caminho percorrido pra chegar de um ponto ao outro e após isso analisar quais caminhos são iguais.

Por exemplo, temos dois jeitos de sair de C para A .

Podemos fazer o percurso C B A ou o percurso C D E A e em ambos os percursos o deslocamento resultante será de C para A .

É como quando pegamos um caminho mais longo pra chegar no mesmo local, mesmo que o percurso seja maior o resultado final é o mesmo pois acabamos andando no sentido oposto do que se queria chegar.

Passo 2

Conhecendo agora que esses percursos são iguais pois saem do mesmo ponto e chegam num mesmo ponto, podemos escrever isso do jeito que a questão nos pede.

C B + B A = C D + D E + E A

Putz mas não tem essa resposta lá, e agora?

Fica tranquilo, essa resposta tem lá sim só que não tá no formato certo das alternativas, vamos analisar.

a) CB + CD + DE = BA + EA

b) BA + EA + CB = DE + CD

c) EA – DE + CB = BA + CD

d) EA – CB + DE = BA – CD

e) BA – DE – CB = EA + CD

Temos que ter aqui C B e E A com sinais opostos isso não ocorre na alternativa b nem c e nem na alternativa e, sobrando só pra gente as alternativas a e d. Olhando pra alternativa a temos B A e E A no mesmo lado com mesmo sinal, o que não acontece na nossa igualdade.

Nossa vencedora então é a alternativa d, e pra chegarmos nela é só passar C B pra um lado e C D pro outro.

B A - C D = E A - C B + D E

E trocar os lados né já que essa alternativa maluca inverteu tudo pra confundir ainda mais a nossa cabeça.

d )   E A - C B + D E = B A - C D

Resposta

d )   E A - C B + D E = B A - C D

Exercício Resolvido #3

PUCCAMP SP

Num bairro onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam 100m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada no esquema:

O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, e metros, igual a:

  1. 300
  2. 350
  3. 400
  4. 500
  5. 700
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Passo 1

Como a gente sabe, o vetor deslocamento é só calcularmos o módulo da distância do ponto inicial até o ponto final, sacou? Então temos o seguinte triângulo:

Com catetos de 3 e 4 quadradinhos. Como cada um vale 100m, é só usarmos pitágoras pra encontrar a hipotenusa, que vale 500m, e é igual ao nosso vetor deslocamento! Show! :D

Resposta

d) 500

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 84-2

Uma semente de melancia possui as seguintes coordenadas: x = - 5,0   m ,   y = 8,0   m   e z = 0   m . Determine o vetor posição da semente a na notação de vetores unitários e como b um módulo e c um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x . d Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. Se a semente é transportada até as coordenadas   3 ,   00   m ,   0   m ,   0   m ,   determine seu deslocamento e na notação de vetores unitários e como f   um módulo e g um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x .

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Passo 1

a   A notação de vetor unitário, basta colocar as coordenadas i ^ ;   j ^ ;     k ^   para representar os eixos x ;   y ;   z respectivamente.

no início a semente de melancia possuía as coordenadas x , y e z que vão ser as posição

r x , r y e r z do vetor r → .  

Então o vetor posição fica:

r → = - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

Passo 2

b   Vamos fazer o módulo de r →

r   = r x 2 +   r y 2 +   r z 2

Substituindo os valores temos:

r = - 5 2 + 8 2 + 0 2

r = 9,434

Passo 3

c   Para achar o ângulo entre dois vetores, vimos uma fórmula, como queremos encontrar o ângulo entre o vetor r e o eixo x   positivo, vamos encontrar o ângulo do vetor com um vetor que esteja na direção do x positivo.

Então vamos achar o vetor que representa o sentido positivo do eixo x , que é o vetor unitário x → , onde :

x → = 1 . i ^ + 0 j ^ + 0 k ^

De módulo 1

Assim podemos aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores

θ = arccos ⁡ r →   .   x → r → . x →

Já temos os módulos dos dois vetores, basta acharmos o valor do produto escalar entre eles e calcularemos esse valor por essa fórmula

r →   .   x → = r x . x x + r y . x y + r z . x z

r →   .   x → = - 5.1 + 8.0 + 0.0

r →   .   x → = - 5

Substituindo todos os valores encontrado na equação do ângulo temos

θ = arccos ⁡ - 5 9,434

θ = 122 °  

Passo 4

d   Primeiro, o que é um sistema de coordenadas dextrogiro??

É simplesmente isso:

Como as coordenadas no eixo z são zero, podemos para simplificar o desenho desenhar em duas dimensões

O ângulo theta do desenho é o ângulo encontrado anteriormente θ = 122 ° .

Passo 5

e   O vetor deslocamento é dado por

Δ r → = r → f - r → 0

Substituindo a posição inicial e a final teremos

Δ r → = 3 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ - - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

Δ r → = 8 i ^ - 8 j ^ + 0 k ^

Passo 6

f   O modulo de ∆ r →   é

∆ r = 8 2 + - 8 2 + 0

∆ r = 11,314

Passo 7

g Como fizemos no item c   vamos primeiro achar o produto escalar entre r → e x →

∆ r →   .   x → = 8.1 + 8.0 + 0.0  

∆ r →   .   x → = 8

Assim podemos aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores

θ = arccos ⁡ ∆ r →   .   x → ∆ r → . x →

Substituindo todos os valores na equação do ângulo temos

θ = arccos ⁡ 8 11,314

θ = 45 °

Resposta

a   r → = - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

b   r = 9,434

c   θ = 122 °

e   Δ r → = 8 i ^ - 8 j ^ + 0 k ^

f   ∆ r = 11,314

g   θ = 45 °

Exercício Resolvido #5

UFRN

Uma característica da profissão de carteiro é que ele anda muito através das ruas, fazendo diversos percursos ao longo do seu dia de trabalho. Considere a situação do mapa representado pela figura abaixo, na qual um carteiro que se encontra no ponto A, localizado na Av. Amintas Barros, se desloca 400m até atingir o cruzamento desta com a Av. Xavier da Silveira, ambas as avenidas situadas em Natal.

Em seguida, a partir daquele cruzamento, o carteiro se desloca por mais 300m nesta última avenida até chegar ao endereço procurado, localizado no ponto B.

Considerando o percurso e as orientações indicadas no mapa, pode-se afirmar que o módulo, a direção e o sentido do vetor deslocamento do carteiro são, respectivamente,

a) 700m, L-O e para L.           

b) 500m, O-L e para O.           

c) 500m, O-L e para L.           

d) 700m, L-O e para O.

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Passo 1

Pra gente encontrar o vetor deslocamento vamos fazer a resultante desses dois vetores, traçando uma reta entre os pontos A e B formando um triângulo.

Agora pra gente encontrar a distância d é só aplicar o teorema de Pitágoras, já que temos um triângulo retângulo.

d 2 = 400 2 + 300 2

d = 500 m

Passo 2

Para encontrar a direção e o sentido vamos analisar o percurso do carteiro usando a rosa dos ventos mostrada no enunciado.

A direção a gente pode dizer que é de onde viemos para onde vamos, na definição matemática é o eixo cartesiano. No caso aqui o carteiro começa no oeste e vai para leste então a direção é o eixo desse deslocamento.

O - L

O sentido é como se disséssemos “está no sentido positivo do eixo x " . Se a gente analisar essa rosa dos ventos como um eixo cartesiano poderíamos dizer que leste é o sentido positivo do eixo O - L .

Então o carteiro está no sentido leste L .

Sendo assim a resposta é: c) 500m, O - L e para L .        

Resposta

c) 500m, O - L e para L .        

Exercício Resolvido #6

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 27 - Modificado

Uma velejadora encontra ventos que impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00   km de oeste para leste, a seguir 3,50   km para sudeste e depois uma certa distância em direção desconhecida. No final do trajeto ela se encontra a 5,80   km diretamente a leste de seu ponto de partida como a figura abaixo. Determine o modulo, a direção e o sentido do terceiro deslocamento.

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Passo 1

Precisamos achar os componentes da terceira etapa. Vamos primeiro achar os deslocamentos vetoriais da primeira e segunda etapa.

Na primeira etapa vamos ter só movimento na horizontal

r → 1 = + 2 i ^   km

Passo 2

Para a segunda etapa devemos decompor o deslocamento usando a “regra do COlado/SEparado”

r 2 x = + r 2 ⋅ cos ⁡ 45 ° = 2,475   km

r 2 y = - r 2 ⋅ sen ⁡ 45 ° = - 2,475   km

Escrevendo vetorialmente

r → 2 = 2,475 i ^ - 2,475 j ^

Passo 3

O enunciado diz que ele voltou na direção leste 5,8   km , dessa forma podemos ver que a soma dos três vetores deve resultar em um vetor indo para leste 5,8   km :

r → 1 + r → 2 + r → 3 = 5,8 i ^

r → 1 + r → 2 + r → 3 = 5,8 i ^

2 i ^ + 2,475 i ^ - 2,475 j ^ + r → 3 = 5,8 i ^

r → 3 = 5,8 i ^ - 2 i ^ - 2,475 i ^ + 2,475 j ^

r → 3 = 1,325 i ^ + 2,475 j ^

Passo 4

Escrever na forma vetorial já diz a direção e sentido, precisamos agora achar seu módulo

r 3 2 = r 3 x 2 + r 3 y 2

r 3 2 = 1,325 2 + 2,475 2

r 3 = 2,807   km

Resposta

r → 3 = 1,325 i ^ + 2,475 j ^

| r 3 | = 2,807   km

Exercício Resolvido #7

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 27 - Modificado

Um esquiador percorre 2,80   km com ângulo de 45 ° considerando rotação em sentido do sul para o oeste, a seguir 7,40   km a 30 ° em sentido do leste para o norte, e finalmente 3,30   km a 22,0 ° em sentido do oeste para o sul. Qual a distância entre o início e fim do trajeto.

Dados:

cos ⁡ 22 ° = 0,927

sen ⁡ 22 ° = 0,375

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Passo 1

Para calcular a distância entre o início e o final devemos achar o deslocamento vetorial desse esquiador. Vamos considerar o início saindo da origem.

Primeiro ele percorre 2,80   km com ângulo de 45 ° considerando rotação em sentido do sul para o oeste. Vamos ver uma figura para ver como isso fica.

Passo 2

Vamos achar agora suas componentes usando a “regra do COlado/SEparado”

r 1 x = - r 1 ⋅ sen ⁡ 45 ° = - 2,8 ⋅ sen ⁡ 45 ° = - 1,98   km

r 1 y = - r 1 ⋅ cos ⁡ 45 ° = - 2,8 ⋅ cos ⁡ 45 ° = - 1,98   km