Vetor Deslocamento

Teoria Completa

Vamos estudar o movimento em duas ou mais dimensões a partir de agora, e por isso vamos usar vetores para representar a posição, velocidade e aceleração das partículas, pois agora teremos componentes nos eixos x ,   y   e z .

O deslocamento de uma partícula será representado por

Δ r → = r → f - r → 0

O vetor deslocamento é a subtração do vetor posição inicial do vetor posição final.

E o módulo desse vetor deslocamento é a distância em linha reta do ponto final ao ponto inicial, ou seja, a distância entre dois pontos é o módulo vetor deslocamento entre os dois pontos.

Vetor Posição

O que seria um vetor posição??

Em duas dimensões, é muito comum escrevermos a posição de algum objeto na forma vetorial.

Está vendo o Smile laranja com cara de perdido?

Qual é a sua posição no eixo x ? 1 , certo? Isso nos diz que sua componente x é 1 , ou seja

r x = 1

Qual é a sua posição no eixo y ? 2 , certo? Isso nos diz que sua componente y é 2 , ou seja

r y = 2

A posição vetorial fica

r → = r x i ^ + r y j ^

r → = 1 i ^ + 2 j ^

r → = i ^ + 2 j ^

Lembrando que i ^   e j ^ é a notação usada para vetores unitários, onde representam o eixo x e y respectivamente.

Esse vetor posição é como se fossemos em linha reta da origem até o Smile laranja com cara de perdido. Como achamos essa distância, agora que temos o vetor posição?

Basta achar seu módulo.

r → 2 = 1 2 + 2 2

r → 2 = 1 + 4

r → 2 = 5

r → = 5

Agora que sabemos o que é um vetor posição vamos voltar ao deslocamento vetorial

Deslocamento Vetorial

O deslocamento vetorial nada mais é que o deslocamento através das direções x e y .

Definimos ele como a subtração da posição inicial da posição final, certo?

Δ r → = r → f - r → 0

Vamos imaginar o Papai Noel passeando por ai, curtindo as férias de janeiro.

Primeiro ele está na posição A , que está desenhado abaixo.

Sua posição vai ser

r x A = 2   m

r y A = 1   m

Agora ela foi para outra posição, a posição B .

Sua posição vai ser

r x B = 4   m

r y B = 4   m

Vamos calcular o deslocamento do Papai Noel de duas formas, analisando os eixos separados e depois por vetores, ambos os casos chegaremos ao mesmo resultado. Nos exercícios, vamos ver casos onde é melhor usar a forma vetorial direto, e outros onde é melhor fazer as dimensões separadas, fique tranquilo, as duas formas estão certas!

Quanto ele se moveu em x ? Ou seja, na horizontal? Vamos fazer seu deslocamento:

Δ x = x B - x A

Δ x = 4 - 2 = 2   m

Quanto ele se moveu em y ? Ou seja, na vertical? Vamos fazer seu deslocamento:

Δ y = y B - y A

Δ y = 4 - 1 = 3   m

O seu deslocamento vetorial fica

Δ r → = Δ x i ^ + Δ y j ^

Δ r → = 2 i ^ + 3 j ^

Em duas dimensões, às vezes, é mais fácil trabalharmos direto com vetores,

Como ficaria a posição A na forma vetorial?

r → A = r x A i ^ + r y A j ^

r → A = 2 i ^ + j ^     m

E a posição B na forma vetorial?

r → B = r x B i ^ + r y B j ^

r → B = 4 i ^ + 4 j ^     m

Só lembrando que o valor da componente x fica com i ^ e o valor da componente y fica com j ^ .

O seu deslocamento vetorial é

Δ r → = r → B - r → A

Δ r → = 4 - 2 i ^ + 4 - 1 j ^   m

Δ r → = 2 i ^ + 3 j ^   m

A distância entre as posições, lembrando que é em linha reta, vai ficar

Δ r → 2 = 2 2 + 3 2

Δ r → 2 = 13

| Δ r → | = 13

Propriedades dos vetores

Vamos relembrar algumas propriedades dos vetores que são bem úteis.

Módulo de um vetor v :

v → 2 = v x 2 + v y 2

Subtração e Adição de vetores:

v → + p → = v x + p x i ^ + ( v y + p y ) j ^

v → - p → = v x - p x i ^ + ( v y - p y ) j ^

Decomposição de vetores:

Dado o vetor v →

Para achar cada componente basta multiplicar o módulo pelo seno ou cosseno do ângulo.

Agora ferrou né? Quando usar seno? Quando usar cosseno?

Aqui vai uma malandragem para conseguir lembrar SEMPRE quando usar seno e quando usar cosseno.

Percebe que a componente x está “COlada” com o ângulo? Então vamos usar COsseno

v x = v → . c o s ⁡ ( θ )

Repare agora que a componente y está “SEparada” do ângulo, então vamos usar Seno

v y = v → . s e n ⁡ ( θ )

Multiplicação por um escalar:

5 v → = 5 . v x i ^ + 5 . v y j ^

Produto escalar:

v →   .   w → = v x . w x + v y . w y

Outro fórmula para produto escalar é

v → . w → = v →   . w →   .   c o s ⁡ ( θ )    

Onde o θ é o ângulo formado entre v → e w → , assim podemos reescrever a equação acima para acharmos o ângulo formado entre dois vetores.

θ = arccos ⁡ v → . w → v → . w →

As direções x   e y podem ser escritas como vetores unitários da seguinte forma

x → = 1 . i ^ + 0 . j ^

y → = 0 . i ^ + 1 . j ^

Ambos de módulo 1.

Vetor deslocamento x Distância percorrida

O vetor deslocamento é a diferença entre duas posições. É a posição final menos a posição inicial.

Δ r → = r → 2 - r → 1

Já a distância percorrida é a soma do módulo de todos os deslocamentos do objeto, ele mostra o quanto o objeto andou.

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a =   ∑ | Δ r → |

Tudo que vimos para duas dimensões, porém tudo vale exatamente igual para três dimensões, apenas acrescentando a coordenada k ^ referente ao eixo z .

Beleza? Vamos para os exercícios para fixar isso melhor!!!

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Exercício Resolvido #1

UFPB

Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a informação de que o endereço estaria situado a 2km ao norte. Após chegar ao referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar 4km para leste. Não encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informação a outra pessoa, que diz estar a festa acontecendo a 5km ao sul daquele ponto. seguindo essa dica, ele finalmente chega ao evento. Na situação descrita, o modulo do veto deslocamento do cidadão, da praça até o destino final, é?

a) 11kmb) 7km

c) 5km d) 4kme) 3km

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Passo 1

Bom, o primeiro passo é a gente desenhar os vetorzinhos que a questão tá descrevendo pra gente! Então bora lá, a gente fica com algo desse jeito:

Sacou? Então nosso deslocamento resultante é só a gente ligar o ponto inicial ao ponto final, tranquilo? Bora lá:

Massa! Então agora é só a gente fazer pitágoras e calcular a hipotenusa desse triângulo, que é exatamente o nosso vetor resultante! Então temos:

d 2 = 4 2 + 3 2 = 25 = 5 k m

Showwww!

Resposta

c) 5km

Exercício Resolvido #2

UFC-CE

Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta:

a) CB + CD + DE = BA + EA                             

b) BA + EA + CB = DE + CD                                

c) EA – DE + CB = BA + CD     

d) EA – CB + DE = BA – CD                           

e) BA – DE – CB = EA + CD

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Passo 1

Pela figurinha a gente consegue ver que o delocamento resultante em CD+DE+EA é o mesmo que o deslocamento resultante de CB+BA. Ou seja: CD + DE + EA =  CB + BA. Shiii, não temos essa alternativa, e agora? :o Não se desespere, é só a gente fazer umas alteraçõezinhas! Trocando o CD e o CB dos lados da equação, temos:  EA – CB +DE = BA – CD 

Resposta

d) EA – CB + DE = BA – CD                           

Exercício Resolvido #3

PUCCAMP SP

Num bairro onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam 100m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada no esquema:

O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, e metros, igual a:

  1. 300
  2. 350
  3. 400
  4. 500
  5. 700
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Passo 1

Como a gente sabe, o vetor deslocamento é só calcularmos o módulo da distância do ponto inicial até o ponto final, sacou? Então temos o seguinte triângulo:

Com catetos de 3 e 4 quadradinhos. Como cada um vale 100m, é só usarmos pitágoras pra encontrar a hipotenusa, que vale 500m, e é igual ao nosso vetor deslocamento! Show! :D

Resposta

d) 500

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 84-2

Uma semente de melancia possui as seguintes coordenadas: x = - 5,0   m ,   y = 8,0   m   e z = 0   m . Determine o vetor posição da semente a na notação de vetores unitários e como b um módulo e c um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x . d Desenho o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. Se a semente é transportada até as coordenadas   3 ,   00   m ,   0   m ,   0   m ,   determine seu deslocamento e na notação de vetores unitários e como f   um módulo e g um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x .

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Passo 1

a   A notação de vetor unitário, basta colocar as coordenadas i ^ ;   j ^ ;     k ^   para representar os eixos x ;   y ;   z respectivamente.

Então o vetor posição fica:

v → = - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

Passo 2

b   Vamos fazer o módulo de v →

v = - 5 2 + 8 2 + 0 2

v = 9,434

Passo 3

c   Para achar o ângulo entre dois vetores, vimos uma fórmula, então vamos achar o vetor que representa o sentido positivo do eixo x , que é o vetorunitário x → , onde :

x → = 1 . i ^ + 0 j ^ + 0 k ^