Deslocamento vetorial

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Teoria

Fala aí, você acaba de chegar no Responde Aí. Vamos aprender hoje sobre o deslocamento vetorial.

Deslocamento

Quando a gente começa a aprender o movimento dos corpos na física, uma das primeiras coisas que vemos é o deslocamento do corpo, que era dado pela diferença entre a posição final e a posição inicial:

Fórmula do deslocamento
Fórmula do deslocamento

Tudo lindo até aí, então para que eu tenho que saber o vetor deslocamento? Sempre que coloca vetor fica ruim, né? hahaha

A grande questão é que a grandeza deslocamento escalar funciona muito bem para o movimento em uma única dimensão, mas quando queremos estudar o movimento em duas ou mais direções, ou seja, haverá deslocamento na direção , e também , não tem jeito precisamos trabalhar com vetores.

Deslocamento Vetorial

Mas fica tranquilo, não muda muita coisa não. O deslocamento vetorial (ou vetor deslocamento) também é uma diferença entre posição final e inicial, mas agora consideramos o vetor posição final menos vetor posição inicial:

Fórmula do vetor deslocamento
Fórmula do vetor deslocamento

Representação por vetores unitários , e

Quando estamos estudando física, mecânica e movimento, a melhor forma de representar vetores é usando os vetores unitários.

É bem simples, pra cada um dos três eixos existe uma letra que representa a direção e sentido desse eixo:

Vetores unitários
Vetores unitários

Módulo do deslocamento vetorial

Uma coisa que costuma pedir nas questões é a distância absoluta entre as posições finais e iniciais e isso a gente encontra fazendo o módulo do vetor deslocamento.

Se nós temos um vetor deslocamento:

Para obter o módulo fazemos o seguinte:

Exemplo

Uma bola é deslocada do ponto e para no ponto , como mostra a imagem.

a) Qual é o deslocamento vetorial?

b) Qual o módulo do deslocamento vetorial?

Localização no plano cartesiano do ponto A e ponto B
Localização no plano cartesiano do ponto A e ponto B

Passo 1: Encontrar o vetor posição inicial e o vetor posição final

Os vetores posição inicial e final são os vetores que começam na origem do plano cartesiano e terminam no ponto e ponto , respectivamente.

Definição dos vetores posição inicial e final
Definição dos vetores posição inicial e final

Passo 2: Calculando o deslocamento vetorial

Uma vez que temos os vetores de posição inicial e final, vamos aplicar a fórmula para encontrar o vetor deslocamento:

Vetor deslocamento
Vetor deslocamento

Logo

E prontinho, temos o deslocamento vetorial.

Passo 3: Calcular o deslocamento vetorial.

Agora que a gente tem o deslocamento vetorial, podemos calcular o módulo desse vetor e descobrir o valor absoluto do deslocamento:

Videoaula

Pra ficar ainda mais ligado, dá uma olhada nessa videoaula

É isso que temos para esse tópico! Bora para os exercícios para fixar isso melhor? 👇

Módulo do deslocamento vetorial

Exemplo

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a informação de que o endereço estaria situado a 2km ao norte. Após chegar ao referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar 4km para leste. Não encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informação a outra pessoa, que diz estar a festa acontecendo a 5km ao sul daquele ponto. seguindo essa dica, ele finalmente chega ao evento. Na situação descrita, o modulo do veto deslocamento do cidadão, da praça até o destino final, é?

a) 11kmb) 7km

c) 5km d) 4kme) 3km

Passo 1

Bom, o primeiro passo é a gente desenhar os vetorzinhos que a questão tá descrevendo pra gente! Então bora lá, a gente fica com algo desse jeito:

Sacou? Então nosso deslocamento resultante é só a gente ligar o ponto inicial ao ponto final, tranquilo? Bora lá:

Massa! Então agora é só a gente fazer pitágoras e calcular a hipotenusa desse triângulo, que é exatamente o nosso vetor resultante! Então temos:

d 2 = 4 2 + 3 2 = 25 = 5 k m

Showwww!

Resposta

c) 5km

Exercício Resolvido #2

Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta:

a) CB + CD + DE = BA + EA                             

b) BA + EA + CB = DE + CD                                

c) EA – DE + CB = BA + CD     

d) EA – CB + DE = BA – CD                           

e) BA – DE – CB = EA + CD

Passo 1

Pra gente resolver essa parada vamos analisar o caminho percorrido pra chegar de um ponto ao outro e após isso analisar quais caminhos são iguais.

Por exemplo, temos dois jeitos de sair de C para A .

Podemos fazer o percurso C B A ou o percurso C D E A e em ambos os percursos o deslocamento resultante será de C para A .

É como quando pegamos um caminho mais longo pra chegar no mesmo local, mesmo que o percurso seja maior o resultado final é o mesmo pois acabamos andando no sentido oposto do que se queria chegar.

Passo 2

Conhecendo agora que esses percursos são iguais pois saem do mesmo ponto e chegam num mesmo ponto, podemos escrever isso do jeito que a questão nos pede.

C B + B A = C D + D E + E A

Putz mas não tem essa resposta lá, e agora?

Fica tranquilo, essa resposta tem lá sim só que não tá no formato certo das alternativas, vamos analisar.

a) CB + CD + DE = BA + EA

b) BA + EA + CB = DE + CD

c) EA – DE + CB = BA + CD

d) EA – CB + DE = BA – CD

e) BA – DE – CB = EA + CD

Temos que ter aqui C B e E A com sinais opostos isso não ocorre na alternativa b nem c e nem na alternativa e, sobrando só pra gente as alternativas a e d. Olhando pra alternativa a temos B A e E A no mesmo lado com mesmo sinal, o que não acontece na nossa igualdade.

Nossa vencedora então é a alternativa d, e pra chegarmos nela é só passar C B pra um lado e C D pro outro.

B A - C D = E A - C B + D E

E trocar os lados né já que essa alternativa maluca inverteu tudo pra confundir ainda mais a nossa cabeça.

d )   E A - C B + D E = B A - C D

Resposta

d )   E A - C B + D E = B A - C D

Exercício Resolvido #3

Num bairro onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam 100m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada no esquema:

O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, e metros, igual a:

  1. 300
  2. 350
  3. 400
  4. 500
  5. 700

Passo 1

Como a gente sabe, o vetor deslocamento é só calcularmos o módulo da distância do ponto inicial até o ponto final, sacou? Então temos o seguinte triângulo:

Com catetos de 3 e 4 quadradinhos. Como cada um vale 100m, é só usarmos pitágoras pra encontrar a hipotenusa, que vale 500m, e é igual ao nosso vetor deslocamento! Show! :D

Resposta

d) 500

Exercício Resolvido #4

Uma semente de melancia possui as seguintes coordenadas: x = - 5,0   m ,   y = 8,0   m   e z = 0   m . Determine o vetor posição da semente a na notação de vetores unitários e como b um módulo e c um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x . d Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. Se a semente é transportada até as coordenadas   3 ,   00   m ,   0   m ,   0   m ,   determine seu deslocamento e na notação de vetores unitários e como f   um módulo e g um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x .

Passo 1

a   A notação de vetor unitário, basta colocar as coordenadas i ^ ;   j ^ ;     k ^   para representar os eixos x ;   y ;   z respectivamente.

no início a semente de melancia possuía as coordenadas x , y e z que vão ser as posição

r x , r y e r z do vetor r → .  

Então o vetor posição fica:

r → = - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

Passo 2

b   Vamos fazer o módulo de r →

r   = r x 2 +   r y 2 +   r z 2

Substituindo os valores temos:

r = - 5 2 + 8 2 + 0 2

r = 9,434

Passo 3

c   Para achar o ângulo entre dois vetores, vimos uma fórmula, como queremos encontrar o ângulo entre o vetor r e o eixo x   positivo, vamos encontrar o ângulo do vetor com um vetor que esteja na direção do x positivo.

Então vamos achar o vetor que representa o sentido positivo do eixo x , que é o vetor unitário x → , onde :

x → = 1 . i ^ + 0 j ^ + 0 k ^

De módulo 1

Assim podemos aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores

θ = arccos ⁡ r →   .   x → r → . x →

Já temos os módulos dos dois vetores, basta acharmos o valor do produto escalar entre eles e calcularemos esse valor por essa fórmula

r →   .   x → = r x . x x + r y . x y + r z . x z

r →   .   x → = - 5.1 + 8.0 + 0.0

r →   .   x → = - 5

Substituindo todos os valores encontrado na equação do ângulo temos

θ = arccos ⁡ - 5 9,434

θ = 122 °  

Passo 4

d   Primeiro, o que é um sistema de coordenadas dextrogiro??

É simplesmente isso:

Como as coordenadas no eixo z são zero, podemos para simplificar o desenho desenhar em duas dimensões

O ângulo theta do desenho é o ângulo encontrado anteriormente θ = 122 ° .

Passo 5

e   O vetor deslocamento é dado por

Δ r → = r → f - r → 0

Substituindo a posição inicial e a final teremos

Δ r → = 3 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ - - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

Δ r → = 8 i ^ - 8 j ^ + 0 k ^

Passo 6

f   O modulo de ∆ r →   é

∆ r = 8 2 + - 8 2 + 0

∆ r = 11,314

Passo 7

g Como fizemos no item c   vamos primeiro achar o produto escalar entre r → e x →

∆ r →   .   x → = 8.1 + 8.0 + 0.0  

∆ r →   .   x → = 8

Assim podemos aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores

θ = arccos ⁡ ∆ r →   .   x → ∆ r → . x →

Substituindo todos os valores na equação do ângulo temos

θ = arccos ⁡ 8 11,314

θ = 45 °

Resposta

a   r → = - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

b   r = 9,434

c   θ = 122 °

e   Δ r → = 8 i ^ - 8 j ^ + 0 k ^

f   ∆ r = 11,314

g   θ = 45 °

Exercício Resolvido #5

Uma característica da profissão de carteiro é que ele anda muito através das ruas, fazendo diversos percursos ao longo do seu dia de trabalho. Considere a situação do mapa representado pela figura abaixo, na qual um carteiro que se encontra no ponto A, localizado na Av. Amintas Barros, se desloca 400m até atingir o cruzamento desta com a Av. Xavier da Silveira, ambas as avenidas situadas em Natal.

Em seguida, a partir daquele cruzamento, o carteiro se desloca por mais 300m nesta última avenida até chegar ao endereço procurado, localizado no ponto B.

Considerando o percurso e as orientações indicadas no mapa, pode-se afirmar que o módulo, a direção e o sentido do vetor deslocamento do carteiro são, respectivamente,

a) 700m, L-O e para L.           

b) 500m, O-L e para O.           

c) 500m, O-L e para L.           

d) 700m, L-O e para O.

Passo 1

Pra gente encontrar o vetor deslocamento vamos fazer a resultante desses dois vetores, traçando uma reta entre os pontos A e B formando um triângulo.

Agora pra gente encontrar a distância d é só aplicar o teorema de Pitágoras, já que temos um triângulo retângulo.

d 2 = 400 2 + 300 2

d = 500 m

Passo 2

Para encontrar a direção e o sentido vamos analisar o percurso do carteiro usando a rosa dos ventos mostrada no enunciado.

A direção a gente pode dizer que é de onde viemos para onde vamos, na definição matemática é o eixo cartesiano. No caso aqui o carteiro começa no oeste e vai para leste então a direção é o eixo desse deslocamento.

O - L

O sentido é como se disséssemos “está no sentido positivo do eixo x " . Se a gente analisar essa rosa dos ventos como um eixo cartesiano poderíamos dizer que leste é o sentido positivo do eixo O - L .

Então o carteiro está no sentido leste L .

Sendo assim a resposta é: c) 500m, O - L e para L .        

Resposta

c) 500m, O - L e para L .        

Exercício Resolvido #6

Uma velejadora encontra ventos que impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00   km de oeste para leste, a seguir 3,50   km para sudeste e depois uma certa distância em direção desconhecida. No final do trajeto ela se encontra a 5,80   km diretamente a leste de seu ponto de partida como a figura abaixo. Determine o modulo, a direção e o sentido do terceiro deslocamento.

Passo 1

Precisamos achar os componentes da terceira etapa. Vamos primeiro achar os deslocamentos vetoriais da primeira e segunda etapa.

Na primeira etapa vamos ter só movimento na horizontal

r → 1 = + 2 i ^   km

Passo 2

Para a segunda etapa devemos decompor o deslocamento usando a “regra do COlado/SEparado”

r 2 x = + r 2 ⋅ cos ⁡ 45 ° = 2,475   km

r 2 y = - r 2 ⋅ sen ⁡ 45 ° = - 2,475   km

Escrevendo vetorialmente

r → 2 = 2,475 i ^ - 2,475 j ^

Passo 3

O enunciado diz que ele voltou na direção leste 5,8   km , dessa forma podemos ver que a soma dos três vetores deve resultar em um vetor indo para leste 5,8   km :

r → 1 + r → 2 + r → 3 = 5,8 i ^

r → 1 + r → 2 + r → 3 = 5,8 i ^

2 i ^ + 2,475 i ^ - 2,475 j ^ + r → 3 = 5,8 i ^

r → 3 = 5,8 i ^ - 2 i ^ - 2,475 i ^ + 2,475 j ^

r → 3 = 1,325 i ^ + 2,475 j ^

Passo 4

Escrever na forma vetorial já diz a direção e sentido, precisamos agora achar seu módulo

r 3 2 = r 3 x 2 + r 3 y 2

r 3 2 = 1,325 2 + 2,475 2

r 3 = 2,807   km

Resposta

r → 3 = 1,325 i ^ + 2,475 j ^

| r 3 | = 2,807   km

Exercício Resolvido #7

Um esquiador percorre 2,80   km com ângulo de 45 ° considerando rotação em sentido do sul para o oeste, a seguir 7,40   km a 30 ° em sentido do leste para o norte, e finalmente 3,30   km a 22,0 ° em sentido do oeste para o sul. Qual a distância entre o início e fim do trajeto.

Dados:

cos ⁡ 22 ° = 0,927

sen ⁡ 22 ° = 0,375

Passo 1

Para calcular a distância entre o início e o final devemos achar o deslocamento vetorial desse esquiador. Vamos considerar o início saindo da origem.

Primeiro ele percorre 2,80   km com ângulo de 45 ° considerando rotação em sentido do sul para o oeste. Vamos ver uma figura para ver como isso fica.

Passo 2

Vamos achar agora suas componentes usando a “regra do COlado/SEparado”

r 1 x = - r 1 ⋅ sen ⁡ 45 ° = - 2,8 ⋅ sen ⁡ 45 ° = - 1,98   km

r 1 y = - r 1 ⋅ cos ⁡ 45 ° = - 2,8 ⋅ cos ⁡ 45 ° = - 1,98   km

O deslocamento fica

r → 1 = r 1 x i ^ + r 1 y j ^

r → 1 = - 1,98 i ^ - 1,98 j ^   km

Passo 3

Vamos agora achar o segundo deslocamento, fazendo de novo uma figura para ajudar.

Vamos achar agora suas componentes usando a “regra do COlado/SEparado”

r 2 x = r 2 ⋅ cos ⁡ 30 ° = 7,4 ⋅ cos ⁡ 30 ° = 6,409   km

r 2 y = r 2 ⋅ sen ⁡ 30 ° = 7,4 ⋅ sen ⁡ 30 ° = 3,7   km

O deslocamento fica

r → 2 = r 2 x i ^ + r 2 y j ^

r → 2 = 6,409 i ^ + 3,7 j ^   km

Passo 4

Vamos agora achar o terceiro trecho.

Vamos achar agora suas componentes usando a “regra do COlado/SEparado”

r 3 x = - r 3 ⋅ cos ⁡ 22 ° = - 3,3 ⋅ cos ⁡ 22 ° = - 3,06   km

r 3 y = - r 3 ⋅ sen ⁡ 22 ° = - 3,3 ⋅ sen ⁡ 22 ° = - 1,236   km

O deslocamento fica

r → 3 = r 3 x i ^ + r 3 y j ^

r → 3 = - 3,06 i ^ - 1,236 j ^   km

Passo 5

O total vai ser

r → t o t = r → 1 + r → 2 + r → 3

r → t o t = - 1,98 i ^ - 1,98 j ^ + 6,409 i ^ + 3,7 j ^   - 3,06 i ^ - 1,236 j ^

r → t o t = 1,369 i ^ + 0,484 j ^   k m

Passo 6

A distância entre o início e o fim é o módulo do vetor deslocamento total.

r → t o t = 1,369 i ^ + 0,484 j ^

r t o t 2 = r t o t x 2 + r t o t y 2

r t o t 2 = 1,369 2 + 0,484 2

r t o t = 1,45   km

d = 1,45   km

Resposta

d = 1,45   km

Exercício Resolvido #8

Um explorador caminha 2,4   k m para leste, a partir do acampamento, vira então para a esquerda e caminha 2,4   k m sobre um arco de círculo centrado no acampamento e, finalmente, caminha mais 1,5   k m direto para o acampamento. a   A que distância o explorador está do acampamento ao fim dessa caminhada? b Qual a orientação da posição do explorador em relação ao acampamento? c Qual é a razão entre a magnitude final do deslocamento e a distância total caminhada?

Passo 1

O primeiro passo é desenhar grosseiramente o movimento que o explorador fez, para conseguirmos analisar melhor o movimento que ele fez.

O movimento deve ser algo parecido com isso

Passo 2

a   Resolver esse item é necessário ter uma “sacada” não muito trivial.

Ao final de andar os primeiros 2,4   k m para leste o explorador começa a caminhar sobre um arco de círculo centrado no acampamento.

Se o centro do círculo é o acampamento, não importa se ele andou 2,4   k m sobre o círculo ou 300   k m , quando ele parar de andar, sua distância em relação ao acampamento será a mesma de quando ele começou, pois será o raio do círculo, que foi determinado pelos primeiros 2,4   k m andados.

Então quando ele termina de andar os 2,4   k m sobre o círculo centrado no acampamento, ele está a 2,4   k m do acampamento. Como o explorador anda 1,5   k m diretamente para o acampamento, significa que sua distância para o acampamento é:

d = 2,4 - 1,5

d = 0,9   k m

Passo 3

b   Para sabermos a orientação do explorador, precisamos saber quantos graus equivalem aos 2,4   k m   andados sobre o círculo. Para assim sabermos em qual posição o explorador parou.

Vamos fazer uma regra de três para descobrir o valor do ângulo.

Sabemos que 2 . π . r   equivale a 360 ° , assim:

2 . π . 2,4 → 360 °

    2,4 → θ

θ = 360.2,4 2 . π . 2,4

θ = 57,3 °

Temos que o vetor posição do explorador está a 57,3 ° acima do eixo leste.

Passo 4

O deslocamento já calculamos e vimos que d = 0,9   k m , a distância percorrida é a soma dos quando ele andou e por isso temos :

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a = 2,4   k m + 2,4   k m + 1,5   k m  

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a =   6,3   k m  

Fazendo a Razão do deslocamento final, com a distância percorrida, chegamos em:

d e s l o c a m e n t o   f i n a l d i s t â n c a   p e r c o r r i d a = 0,9 6,3

d e s l o c a m e n t o   f i n a l d i t â n c i a   p e r c o r r i d a = 1 7

Resposta

a   d = 0,9   k m

b   O vetor posição do explorador está a 57,3 ° acima do eixo leste.

c   d e s l o c a m e n t o   f i n a l d i t â n c i a   p e r c o r r i d a = 1 7

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