Vetor Deslocamento

Teoria Completa

Vamos estudar o movimento em duas ou mais dimensões a partir de agora, e por isso vamos usar vetores para representar a posição, velocidade e aceleração das partículas, pois agora teremos componentes nos eixos x ,   y   e z .

O deslocamento de uma partícula será representado por

Δ r → = r → f - r → 0

O vetor deslocamento é a subtração do vetor posição inicial do vetor posição final.

E o módulo desse vetor deslocamento é a distância em linha reta do ponto final ao ponto inicial, ou seja, a distância entre dois pontos é o módulo vetor deslocamento entre os dois pontos.

Vetor Posição

O que seria um vetor posição??

Em duas dimensões, é muito comum escrevermos a posição de algum objeto na forma vetorial.

Está vendo o Smile laranja com cara de perdido?

Qual é a sua posição no eixo x ? 1 , certo? Isso nos diz que sua componente x é 1 , ou seja

r x = 1

Qual é a sua posição no eixo y ? 2 , certo? Isso nos diz que sua componente y é 2 , ou seja

r y = 2

A posição vetorial fica

r → = r x i ^ + r y j ^

r → = 1 i ^ + 2 j ^

r → = i ^ + 2 j ^

Lembrando que i ^   e j ^ é a notação usada para vetores unitários, onde representam o eixo x e y respectivamente.

Esse vetor posição é como se fossemos em linha reta da origem até o Smile laranja com cara de perdido. Como achamos essa distância, agora que temos o vetor posição?

Basta achar seu módulo.

r → 2 = 1 2 + 2 2

r → 2 = 1 + 4

r → 2 = 5

r → = 5

Agora que sabemos o que é um vetor posição vamos voltar ao deslocamento vetorial

Deslocamento Vetorial

O deslocamento vetorial nada mais é que o deslocamento através das direções x e y .

Definimos ele como a subtração da posição inicial da posição final, certo?

Δ r → = r → f - r → 0

Vamos imaginar o Papai Noel passeando por ai, curtindo as férias de janeiro.

Primeiro ele está na posição A , que está desenhado abaixo.

Sua posição vai ser

r x A = 2   m

r y A = 1   m

Agora ela foi para outra posição, a posição B .

Sua posição vai ser

r x B = 4   m

r y B = 4   m

Vamos calcular o deslocamento do Papai Noel de duas formas, analisando os eixos separados e depois por vetores, ambos os casos chegaremos ao mesmo resultado. Nos exercícios, vamos ver casos onde é melhor usar a forma vetorial direto, e outros onde é melhor fazer as dimensões separadas, fique tranquilo, as duas formas estão certas!

Quanto ele se moveu em x ? Ou seja, na horizontal? Vamos fazer seu deslocamento:

Δ x = x B - x A

Δ x = 4 - 2 = 2   m

Quanto ele se moveu em y ? Ou seja, na vertical? Vamos fazer seu deslocamento:

Δ y = y B - y A

Δ y = 4 - 1 = 3   m

O seu deslocamento vetorial fica

Δ r → = Δ x i ^ + Δ y j ^

Δ r → = 2 i ^ + 3 j ^

Em duas dimensões, às vezes, é mais fácil trabalharmos direto com vetores,

Como ficaria a posição A na forma vetorial?

r → A = r x A i ^ + r y A j ^

r → A = 2 i ^ + j ^     m

E a posição B na forma vetorial?

r → B = r x B i ^ + r y B j ^

r → B = 4 i ^ + 4 j ^     m

Só lembrando que o valor da componente x fica com i ^ e o valor da componente y fica com j ^ .

O seu deslocamento vetorial é

Δ r → = r → B - r → A

Δ r → = 4 - 2 i ^ + 4 - 1 j ^   m

Δ r → = 2 i ^ + 3 j ^   m

A distância entre as posições, lembrando que é em linha reta, vai ficar

Δ r → 2 = 2 2 + 3 2

Δ r → 2 = 13

| Δ r → | = 13

Propriedades dos vetores

Vamos relembrar algumas propriedades dos vetores que são bem úteis.

Módulo de um vetor v :

v → 2 = v x 2 + v y 2

Subtração e Adição de vetores:

v → + p → = v x + p x i ^ + ( v y + p y ) j ^

v → - p → = v x - p x i ^ + ( v y - p y ) j ^

Decomposição de vetores:

Dado o vetor v →

Para achar cada componente basta multiplicar o módulo pelo seno ou cosseno do ângulo.

Agora ferrou né? Quando usar seno? Quando usar cosseno?

Aqui vai uma malandragem para conseguir lembrar SEMPRE quando usar seno e quando usar cosseno.

Percebe que a componente x está “COlada” com o ângulo? Então vamos usar COsseno

v x = v → . c o s ⁡ ( θ )

Repare agora que a componente y está “SEparada” do ângulo, então vamos usar Seno

v y = v → . s e n ⁡ ( θ )

Multiplicação por um escalar:

5 v → = 5 . v x i ^ + 5 . v y j ^

Produto escalar:

v →   .   w → = v x . w x + v y . w y

Outro fórmula para produto escalar é

v → . w → = v →   . w →   .   c o s ⁡ ( θ )    

Onde o θ é o ângulo formado entre v → e w → , assim podemos reescrever a equação acima para acharmos o ângulo formado entre dois vetores.

θ = arccos ⁡ v → . w → v → . w →

As direções x   e y podem ser escritas como vetores unitários da seguinte forma

x → = 1 . i ^ + 0 . j ^

y → = 0 . i ^ + 1 . j ^

Ambos de módulo 1.

Vetor deslocamento x Distância percorrida

O vetor deslocamento é a diferença entre duas posições. É a posição final menos a posição inicial.

Δ r → = r → 2 - r → 1

Já a distância percorrida é a soma do módulo de todos os deslocamentos do objeto, ele mostra o quanto o objeto andou.

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a =   ∑ | Δ r → |

Tudo que vimos para duas dimensões, porém tudo vale exatamente igual para três dimensões, apenas acrescentando a coordenada k ^ referente ao eixo z .

Beleza? Vamos para os exercícios para fixar isso melhor!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFPB

Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a informação de que o endereço estaria situado a 2km ao norte. Após chegar ao referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar 4km para leste. Não encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informação a outra pessoa, que diz estar a festa acontecendo a 5km ao sul daquele ponto. seguindo essa dica, ele finalmente chega ao evento. Na situação descrita, o modulo do veto deslocamento do cidadão, da praça até o destino final, é?

a) 11kmb) 7km

c) 5km d) 4kme) 3km

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Passo 1

Bom, o primeiro passo é a gente desenhar os vetorzinhos que a questão tá descrevendo pra gente! Então bora lá, a gente fica com algo desse jeito:

Sacou? Então nosso deslocamento resultante é só a gente ligar o ponto inicial ao ponto final, tranquilo? Bora lá:

Massa! Então agora é só a gente fazer pitágoras e calcular a hipotenusa desse triângulo, que é exatamente o nosso vetor resultante! Então temos:

d 2 = 4 2 + 3 2 = 25 = 5 k m

Showwww!

Resposta

c) 5km

Exercício Resolvido #2

UFC-CE

Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta:

a) CB + CD + DE = BA + EA                             

b) BA + EA + CB = DE + CD                                

c) EA – DE + CB = BA + CD     

d) EA – CB + DE = BA – CD                           

e) BA – DE – CB = EA + CD

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Passo 1

Pra gente resolver essa parada vamos analisar o caminho percorrido pra chegar de um ponto ao outro e após isso analisar quais caminhos são iguais.

Por exemplo, temos dois jeitos de sair de C para A .

Podemos fazer o percurso C B A ou o percurso C D E A e em ambos os percursos o deslocamento resultante será de C para A .

É como quando pegamos um caminho mais longo pra chegar no mesmo local, mesmo que o percurso seja maior o resultado final é o mesmo pois acabamos andando no sentido oposto do que se queria chegar.

Passo 2

Conhecendo agora que esses percursos são iguais pois saem do mesmo ponto e chegam num mesmo ponto, podemos escrever isso do jeito que a questão nos pede.

C B + B A = C D + D E + E A

Putz mas não tem essa resposta lá, e agora?

Fica tranquilo, essa resposta tem lá sim só que não tá no formato certo das alternativas, vamos analisar.

a) CB + CD + DE = BA + EA

b) BA + EA + CB = DE + CD

c) EA – DE + CB = BA + CD

d) EA – CB + DE = BA – CD

e) BA – DE – CB = EA + CD

Temos que ter aqui C B e E A com sinais opostos isso não ocorre na alternativa b nem c e nem na alternativa e, sobrando só pra gente as alternativas a e d. Olhando pra alternativa a temos B A e E A no mesmo lado com mesmo sinal, o que não acontece na nossa igualdade.

Nossa vencedora então é a alternativa d, e pra chegarmos nela é só passar C B pra um lado e C D pro outro.

B A - C D = E A - C B + D E

E trocar os lados né já que essa alternativa maluca inverteu tudo pra confundir ainda mais a nossa cabeça.

d )   E A - C B + D E = B A - C D

Resposta

d )   E A - C B + D E = B A - C D

Exercício Resolvido #3

PUCCAMP SP

Num bairro onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam 100m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada no esquema: