Circuitos de Mais de uma Malha
Teoria
Introdução
Até agora a gente sabe resolver circuitos de malha simples ou usando o processo da resistência equivalente para circuito com mais de uma malha.
Acontece que nem sempre usar o método da resistência equivalente vai resolver o nosso problema mais rápido. Dá uma olhadinha nesse circuito aqui:
Se a nossa meta é calcular a corrente em todos os ramos, será que dá pra resolver isso rápido fazendo a resistência equivalente?
Essa parada ia demorar pra caramba, portanto vamos aprender um novo jeito de lidar com esse circuito aí, vem comigo!
Regra dos Nós (Lei dos nós de Kirchhoff)
A soma das correntes que entram no nó é igual à soma das correntes que saem do nó.
Vamos aplicar a Lei dos Nós nesse circuito:
Olhando para o nó , vemos que a corrente está entrando no nó, enquanto as correntes e estão saindo, logo:
Ou você poderia ver isso desse jeito ainda:
Onde positivas são as correntes que saem do nó e negativa é a que entra no nó.
É basicamente isso. Sem muito mistério, né?!
Regra das Malhas (Lei das malhas de Kirchhoff)
Eu sei que já falamos dela em circuitos de uma malha, mas é uma boa dar uma relembrada pra sabermos como aplicar nesses casos.
A soma de todas as diferenças de potencial quando você percorre uma malha é igual a zero.
Vamos aplicar a Regra das Malhas no mesmo circuito de antes:
Nós podemos dividir o circuito em 3 malhas:
- Malha 1:
- Malha 2:
- Malha 3:
Substituindo nossos valores: , e temos:
Substituindo e
Substituindo os valores temos:
Em circuitos com mais de uma malha, quase sempre teremos que resolver um sistema no final das contas. Mas a Lei dos Nós já quebra um galhão porque:
Analisando as nossas equações, teremos um sistema com 3 incógnitas e 4 equações. Vamos pegar a equação 2 e usar na equação 4 e tiraremos outra relação de com .
Usando essa relação encontrada acima, na equação (3) temos:
Enfim isolando
Usando a relação de e temos:
Por fim usando a equação da lei dos nós:
Repara que todos os valores de corrente foram positivos, mas se algum valor negativo aparecer não entre em pânico. Basicamente significaria que adotamos o sentido errado na figura e aí era só indicar que o sentido é diferente.
Bora fazer uns exercícios?
Regra dos Nós (Lei dos nós de Kirchhoff)
Regra das Malhas (Lei das malhas de Kirchhoff)
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 190-17. Modificada
Na figura abaixo e a força eletromotriz da fonte ideal é . Determine
- O valor absoluto de
- O sentido da corrente
Passo 1
- Primeira coisa que a gente faz aqui redesenhar esse circuito pra que ele fique um pouco mais bonitinho. Esse circuito aí é igualzinho a esse aqui. Se liga!
Passo 2
Agora a gente tem que dar aquele chutão pro sentido da corrente. Meu chute é esse aqui!
Passo 3
Tem como a gente descobrir logo o valor de ,não tem não?
Só calcular a resistência equivalente aqui que ta bem fácil, já que os três resistores estão em paralelo entre sim, que por sua vez estão em série com .
Passo 4
Agora é só usar a Lei de Ohm.
Passo 5
Presta bem atenção nesse trecho aqui.
São três resistores iguais, isso significa dizer que as três correntes são iguais. :P
Pela Lei dos nós de Kirchhoff, teremos que:
Mas como são todas iguais
Passo 6
b)
Como a corrente sempre vai da placa de maior para o menor potencial, podemos garantir que o sentido da corrente que eu escolhi está certo, pois lá na fonte a disposição das placas positiva e negativa nos diz isso aí. Mas se houvesse várias fontes aí sim teríamos que usar a Lei das Malhas também.
Poderíamos usar a Lei das Malhas nessa questão, mas aí iria render um sisteminha bem grande e queremos treinar você pra se garantir em todas formas possíveis! :}
Resposta
- Da esquerda pra direita
Exercício Resolvido #2
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 191-21.
Determine na figura ao lado a corrente em cada resistor e a diferença de potencial entre os pontos e .
Considere , , , e . Suponha que a bateria não possui resistência.
Passo 1
Pra começar, vamos adotar um sentido arbitrário para a corrente do circuito, aí conforme formos calculando os valores das correntes em cada resistor, existem duas possibilidades:
- Se o valor da corrente for positiva, significa que o sentido que escolhemos estava certo!
- Se o valor da corrente for negativa, significa que o sentido que escolhemos estava errado...
Mas não precisa se preocupar em voltar e corrigir, uma vez que você deixou claro o sentido que você escolheu, encontrar um valor negativo pra corrente não tem problema.
Bom, o sentido que vamos escolher é esse aqui:
Passo 2
Vamos analisar cada malha separadamente, beleza?
Antes de começar, vale lembrar que, quando a corrente passa por uma FEM, existem duas possibilidades:
- Se ela passar primeiro pela barra menor e depois pela barra maior, a voltagem vai ser positiva;
- Se ela passar primeiro pela barra maior e depois pela barra menor, a voltagem vai ser negativa;
Agora sim, vamos lá!
Passo 3
Malha I:
Onde:
;
;
;
;
Logo:
Passo 4
Malha II:
Onde:
;
;
Logo:
e o sinal negativo aqui significa que escolhemos o sentido dessa corrente contrário ao correto, mas o módulo da corrente é, de fato, .
Passo 5
A voltagem entre os pontos e é dada por:
Onde:
;
;
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #3
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 190-16.
A fonte ideal da figura da esquerda tem uma força eletromotriz de . A curva 1 da figura da direita mostra a diferença de potencial entre os terminais do resistor 1 em função da corrente no resistor. A escala do eixo vertical é definida por e a escala no eixo horizontal é definida por . As curvas 2 e 3 são gráficos semelhantes para os resistores 2 e 3. Qual é a corrente no resistor 2?
Passo 1
Bem. Primeiro temos que entender o que é porquê de a questão querer que a gente use o gráfico do lado direito.
Ele dá um gráfico de . Se calculássemos a área abaixo do gráfico, teríamos a potência, certo? Já que .
Se calculássemos a reta tangente encontraríamos a resistência, já que .
É interessante usar a potência, nessa questão? Acho que não, né?
Mas o valor das resistências podem nos ajudar bastante a resolver essa questão. Vamos calcula-las?
Passo 2
Passo 3
Agora a gente deve chutar um sentido pra corrente. Vou chutar esse aqui!
Usando a Lei das Malhas,na malha da direita, teremos:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei dos Nós no nó que fica logo após , teremos:
Mas, pera! Quem é ?
Da pra calcular com a resistência equivalente!
Passo 5
Assim, pela Lei de Ohm, teremos:
Agora puxando a equação da Lei dos nós, teremos:
Mas também sabemos que:
Resposta
Exercício Resolvido #4
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 193-46.
Na figura abaixo, um conjunto de resistores em paralelo é ligado em série a um resistor e a uma fonte ideal. Todos os resistores têm a mesma resistência.
Se um outro resistor de mesmo valor fosse ligado em paralelo com esse conjunto, a corrente na fonte variaria de .
Qual é o valor de ?
Passo 1
Beleza, vamos começar encontrando uma expressão para a corrente na fonte. Depois, nós vamos adicionar mais um resistor a esse arranjo, calcular a nova corrente e comparar as duas.
Beleza?
Então partiu!
Pra calcular a corrente na fonte, utilizamos a Lei de Ohm para a resistência equivalente do circuito.
Para calcular a resistência equivalente, vamos começar pelo arranjo que resistores em paralelo.
Como se tratam de resistores, nós teremos termos no lado direito da igualdade acima. Logo:
Por fim, a resistência equivalente do sistema será:
Passo 2
Com a resistência equivalente calculada, a corrente na fonte será dada por:
Passo 3
Show! Agora vamos adicionar mais um resistor ao arranjo de resistores em paralelo e calcular a nova corrente .
Seguindo o mesmo raciocínio que usamos anteriormente:
Agora, como temos resistores, teremos termos no lado direito da igualdade.
Assim, a resistência equivalente do circuito será:
Passo 4
Agora, a nova corrente na fonte será:
Passo 5
O problema falou que, quando adicionamos mais um resistor ao arranjo de resistores, a diferença de corrente é de . Logo:
Agora vamos substituir tudo, arrumar e ver se conseguimos resolver a nossa vida aqui.
Logo de cara, pra simplificar isso aqui, podemos sumir com todos os nos numeradores de com os dos denominadores.
Antes de você ficar tenso porque tem um monte de número com vírgula e calcular os valores de vai ser um saco, tem um jeito de tentar simplificar um pouco isso aqui.
Pra começar, vamos multiplicar todos os termos por pra sumir com as vírgulas:
Agora podemos dividir todos os termos por que é o máximo divisor comum a todos esses caras:
Agora só temos que encontrar a solução dessa equação de segundo grau usando Bhaskara.
Resolvendo isso, vamos achar 2 valores de .
Só que o valor de não pode ser negativo. Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #5
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 196-70.
Determine a) o valor absoluto e b) o sentido (se é para cima ou para baixo) da corrente na figura abaixo, onde todas as resistências são de e todas as fontes são ideais e têm uma força eletromotriz de .
Passo 1
Primeiramente tenho uma palavra a dizer.
Como diria a minha vó: “Que mulesta é isso, menino?
Agora é a hora que tu pensa: “ Esse cara do Responde Aí ta de sacanagem em me colocar pra resolver um exercício desse tamanho”.
Aí eu te digo, dá pra resolver de cabeça! :P
O ideal aqui é achar uma malha de fácil resolução , já que será impossível fazer diversas malhas assim.
Passo 2
Gosta de labirinto? Vamos tentar achar um caminho em que só passe por fontes, sem resistências. #Partiu?
Achei esse aqui, oh!
Viu? Fechou uma malha!
Passo 3
Chutando um sentido pra corrente, teremos:
Aplicando a Lei das Malhas nessa malha aí, teremos:
Ah, esse vem da resistência equivalente daqueles resistores em paralelo que estão logo abaixo da corrente na figura.
Assim ,teremos que:
Mas como o único ramo que tem naquele ponto ali é o qual está passando .
Passo 4
Como em nossas contas, o , o sentido da corrente estava certo, e naquele ramo vai de baixo para cima.
Resposta
- De baixo para cima.
Exercício Resolvido #6
Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 26.22, pp. 194.
Calcule a fem e a fem no circuito abaixo e a diferença de potencial do ponto em relação ao ponto .
Passo 1
A gente tem dois valores de correntes, cujos sentidos já foram informados, em vermelho, na Figura. Então, olhando para o ponto do circuito, chega a corrente de e sai uma outra corrente de valor .
Se usamos a lei dos nóis em , então chega uma corrente de que, somada à outra de , resulta em uma de . Além disso, essa corrente em verde flui de para . Tranquilo?
Passo 2
Agora, vamos olhar para a malha em verde na Figura acima. Partindo do ponto e percorrendo essa malha em verde no sentido anti-horário e voltando para o ponto , temos, aplicando a lei das malhas:
em que indicamos as unidades para facilitar que você veja cada elemento do circuito nessa malha . Reforçando, começamos do ponto e voltamos ao ponto , por isso, depois de uma volta completa, temos zero, blz?
Dessa expressão, a gente consegue tirar o valor da fem , que é:
Passo 3
Para calcular o valor da outra fem , utilizamos a outra malha indicada na cor laranha na Figura acima, que está no sentido anti-horário. De novo, partindo do ponto e voltando para o ponto , teremos:
Como , teremos que
Passo 4
Para fechar, vamos tomar o trecho do circuito de para apenas. Se o potencial do ponto é e o de é , então:
Portanto, a diferença de potencial de em relação a é dada por
Resposta
Exercício Resolvido #7
Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 26.23, pp. 194.
No circuito indicado na Figura abaixo, calcule:
- a corrente no resistor de ;
- a fem e a fem ;
- a resistência .
Observe que foram fornecidas os valores de três correntes.
Passo 1
a) Como o exercício deu para gente três valores de corrente, bem como o sentido delas, ficou mais fácil para descobrirmos os valores das outras. Dá uma olhada na Figura abaixo.
Antes de olharmos para as malhas, considere primeiro o nó da Figura. Nesse ponto, chega a corrente de valor e sai outra de . Portanto, no sentido do ponto para , deve chegar outra corrente de valor . Blz?
Agora, olhando para o nó , saem desse ponto, duas correntes, uma de e outra de . Portanto, no sentido de para , tem uma corrente de . Tranquilo?
Olhando para o nó , saem as correntes e . Isso nos leva a concluir que de para , tem uma corrente cujo valor é . Essa é a corrente que passa no resistor de .
Passo 2
b) Vamos considerar a malha em verde na Figura acima. Percorrendo essa malha, no sentido anti-horário, partindo do nó e voltando a esse mesmo nó, teremos
Dessa expressão, a gente tira que:
Agora para a malha em azul na Figura acima, partindo do nó e volto para esse mesmo nó, termos que
que tem como resultado
Passo 3
c) Para obtermos a resistência , precisamos, agora, da malha representada em laranja na Figura acima. Saindo do ponto e voltando para esse mesmo ponto, teremos o seguinte:
Resolvendo essa equação, temos que
Resposta
- ;
- ;
Exercício Resolvido #8
Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 26.24, pp. 195.
No circuito indicado na Figura abaixo, determine:
- a corrente em cada ramo;
- a diferença de potencial do ponto em relação ao ponto .
Passo 1
a) Nesse exercício, precisamos encontrar o valor das três correntes , e mostradas na Figura abaixo. Por isso, temos que ter também três equações.
Colocamos as correntes no sentido indicado, como chegando no nó e e saindo desse nó, de maneira que a gente tenha, a partir da lei dos nós, que:
Agora tomando a malha indicada, que está no sentido anti-horário, saindo do nó e voltando para esse ponto, teremos:
Reorganizando essa equação
Aplicando a leis das malhas para a malha