Circuitos de Mais de uma Malha

Teoria Completa

Introdução

Até agora a gente sabe resolver circuitos de malha simples ou usando o processo da resistência equivalente para circuito com mais de uma malha.

Acontece que nem sempre usar o método da resistência equivalente vai resolver o nosso problema mais rápido. Dá uma olhadinha nesse circuito aqui:

Se a nossa meta é calcular a corrente em todos os ramos, será que dá pra resolver isso rápido fazendo a resistência equivalente?

Essa parada ia demorar pra caramba, portanto vamos aprender um novo jeito de lidar com esse circuito aí, vem comigo!

Regra dos Nós (Lei dos nós de Kirchhoff)

A soma das correntes que entram no nó é igual à soma das correntes que saem do nó.

Vamos aplicar a Lei dos Nós nesse circuito:

Olhando para o nó a , vemos que a corrente i 1 está entrando no nó, enquanto as correntes i 2 e i 3 estão saindo, logo:

i 1 = i 2 + i 3

Ou você poderia ver isso desse jeito ainda:

i 2 + i 3 - i 1 = 0

Onde positivas são as correntes que saem do nó e negativa é a que entra no nó.

É basicamente isso. Sem muito mistério, né?!

Regra das Malhas (Lei das malhas de Kirchhoff)

Eu sei que já falamos dela em circuitos de uma malha, mas é uma boa dar uma relembrada pra sabermos como aplicar nesses casos.

A soma de todas as diferenças de potencial quando você percorre uma malha é igual a zero.

Vamos aplicar a Regra das Malhas no mesmo circuito de antes:

Nós podemos dividir o circuito em 3 malhas:

  • Malha 1:
  • E - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

    Substituindo nossos valores: E = 30 V , R 1 = 2 Ω e R 2 = 4 Ω temos:

    30 = 2 i 1 + 4 i 2   ( 1 )

  • Malha 2:
  • - i 3 R 3 + i 2 R 2 = 0

    Substituindo R 2 = 4 Ω   e R 3 = 3 Ω

    4 i 2 - 3 i 3 = 0

    i 2 = 3 4 i 3     ( 2 )

  • Malha 3:

E - i 1 R 1 - i 3 R 3 = 0  

Substituindo os valores temos:

30 = 2 i 1 + 3 i 3   ( 3 )

Em circuitos com mais de uma malha, quase sempre teremos que resolver um sistema no final das contas. Mas a Lei dos Nós já quebra um galhão porque:

i 1 = i 2 + i 3   ( 4 )

Analisando as nossas equações, teremos um sistema com 3 incógnitas e 4 equações. Vamos pegar a equação 2 e usar na equação 4 e tiraremos outra relação de i 3 com i 1 .

i 1 = 3 4 i 3 + i 3

i 1 = 7 4 i 3

Usando essa relação encontrada acima, na equação (3) temos:

30 = 2 7 4 i 3 + 3 i 3

30 = 7 2 i 3 + 3 i 3

30 = 1 3 2 i 3

Enfim isolando i 3 :

i 3 = 60 13 A

Usando a relação de i 3 e i 1 temos:

i 1 = 7 4 i 3 = 7 4 × 60 13 = 105 13 A

Por fim usando a equação da lei dos nós:

i 1 = i 2 + i 3

105 13 = i 2 + 60 13

i 2 = 45 13 A

Repara que todos os valores de corrente foram positivos, mas se algum valor negativo aparecer não entre em pânico. Basicamente significaria que adotamos o sentido errado na figura e aí era só indicar que o sentido é diferente.

Bora fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 190-17. Modificada

Na figura abaixo R 1 = 6 Ω ,   R 2 = 18 Ω e a força eletromotriz da fonte ideal é ε = 12 V . Determine

  1. O valor absoluto de i 1
  2. O sentido da corrente i 1

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Passo 1

  1. Primeira coisa que a gente faz aqui redesenhar esse circuito pra que ele fique um pouco mais bonitinho. Esse circuito aí é igualzinho a esse aqui. Se liga!

Passo 2

Agora a gente tem que dar aquele chutão pro sentido da corrente. Meu chute é esse aqui!

Passo 3

Tem como a gente descobrir logo o valor de i i ,não tem não?

Só calcular a resistência equivalente aqui que ta bem fácil, já que os três resistores R 2 estão em paralelo entre sim, que por sua vez estão em série com R 1 .

1 R e q 1 = 1 R 2 + 1 R 2 + 1 R 2 = 3 R 2

R e q 1 = R 2 3

R e q = R e q 1 + R 1 = R 2 3 + R 1 = 18 3 + 6 = 12 Ω

Passo 4

Agora é só usar a Lei de Ohm.

ε = R e q i

i = ε R e q = 12 12 = 1 A

Passo 5

Presta bem atenção nesse trecho aqui.

São três resistores iguais, isso significa dizer que as três correntes são iguais. :P

Pela Lei dos nós de Kirchhoff, teremos que:

i i = i 1 + i 2 + i 3

Mas como são todas iguais

i i = 3 i 1

i 1 = 0,33 A

Passo 6

b)

Como a corrente sempre vai da placa de maior para o menor potencial, podemos garantir que o sentido da corrente que eu escolhi está certo, pois lá na fonte a disposição das placas positiva e negativa nos diz isso aí. Mas se houvesse várias fontes aí sim teríamos que usar a Lei das Malhas também.

Poderíamos usar a Lei das Malhas nessa questão, mas aí iria render um sisteminha bem grande e queremos treinar você pra se garantir em todas formas possíveis! :}

Resposta

  1. i 1 = 0,33 A
  2. Da esquerda pra direita

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 191-21.

Determine na figura ao lado a corrente em cada resistor e a diferença de potencial entre os pontos a e b .

Considere ε 1 = 6,0   V , ε 2 = 5,0   V , ε 3 = 4,0   V , R 1 = 100   Ω e R 2 = 10,0   Ω . Suponha que a bateria não possui resistência.

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Passo 1

Pra começar, vamos adotar um sentido arbitrário para a corrente do circuito, aí conforme formos calculando os valores das correntes em cada resistor, existem duas possibilidades:

  1. Se o valor da corrente for positiva, significa que o sentido que escolhemos estava certo!
  2. Se o valor da corrente for negativa, significa que o sentido que escolhemos estava errado...

Mas não precisa se preocupar em voltar e corrigir, uma vez que você deixou claro o sentido que você escolheu, encontrar um valor negativo pra corrente não tem problema.

Bom, o sentido que vamos escolher é esse aqui:

Passo 2

Vamos analisar cada malha separadamente, beleza?

Antes de começar, vale lembrar que, quando a corrente passa por uma FEM, existem duas possibilidades:

  1. Se ela passar primeiro pela barra menor e depois pela barra maior, a voltagem vai ser positiva;
  2. Se ela passar primeiro pela barra maior e depois pela barra menor, a voltagem vai ser negativa;

Agora sim, vamos lá!

Passo 3

Malha I:

ε 3 + ε 2 - ε 1 - R 2 i 2 = 0

i 2 = ε 3 + ε 2 - ε 1 R 2

Onde:

  ε 1 = 6,0   V ;

ε 2 = 5,0   V ;

  ε 3 = 4,0   V ;

R 2 = 10,0   Ω ;

Logo:

i 2 = 4 + 5 - 6 10 = 0,3   A

Passo 4

Malha II:

- ε 2 - R 1 i 1 = 0

i 1 = - ε 2 R 1   .  

Onde:

ε 2 = 5,0   V ;

R 1 = 100   Ω ;

Logo:

i 1 = - 5 100 = - 0,05   A   ,

e o sinal negativo aqui significa que escolhemos o sentido dessa corrente contrário ao correto, mas o módulo da corrente é, de fato, 0,05   A .

Passo 5

A voltagem entre os pontos a e b é dada por:

V a b = ε 2 + ε 3

Onde:

ε 2 = 5,0   V ;

  ε 3 = 4,0   V ;

Logo:

V a b = 5 + 4

V a b = 9   V

Resposta

i 1 = 0,05   A

i 2 = 0,3   A

V a b = 9   V

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 190-16.

A fonte ideal da figura da esquerda tem uma força eletromotriz de ε = 6 V . A curva 1 da figura da direita mostra a diferença de potencial V entre os terminais do resistor 1 em função da corrente i no resistor. A escala do eixo vertical é definida por V s = 18 V e a escala no eixo horizontal é definida por i s = 3 m A . As curvas 2 e 3 são gráficos semelhantes para os resistores 2 e 3. Qual é a corrente no resistor 2?

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Passo 1

Bem. Primeiro temos que entender o que é porquê de a questão querer que a gente use o gráfico do lado direito.

Ele dá um gráfico de V × i . Se calculássemos a área abaixo do gráfico, teríamos a potência, certo? Já que P = V . i .

Se calculássemos a reta tangente encontraríamos a resistência, já que R = V i .

É interessante usar a potência, nessa questão? Acho que não, né?

Mas o valor das resistências podem nos ajudar bastante a resolver essa questão. Vamos calcula-las?

Passo 2

R 1 = V s i s = 18 V 3 m A = 6 k Ω  

R 2 = V s . 2 3 i s = 4 k Ω

R 3 = V s 3 i s = 2 k Ω

Passo 3

Agora a gente deve chutar um sentido pra corrente. Vou chutar esse aqui!

Usando a Lei das Malhas,na malha da direita, teremos:

- R 2 i 1 + R 1 i 2 = 0

i 1 = R 1 i 2 R 2

Passo 4

Agora, aplicando a Lei dos Nós no nó que fica logo após R 3 , teremos:

i = i 1 + i 2

Mas, pera! Quem é i ?

Da pra calcular com a resistência equivalente!

1 R e q 1 = 1 6 + 1 4

R e q 1 = 2,4 k Ω

R e q = 2,4 k Ω + 2 k Ω = 4,4 k Ω

Passo 5

Assim, pela Lei de Ohm, teremos:

ε = R e q . i

i = 6 4,4 = 1,36 m A

Agora puxando a equação da Lei dos nós, teremos:

1,36 m A = i 1 + i 2

i 2 = 1,36 m A - i 1

Mas também sabemos que:

i 1 = R 1 i 2 R 2

i 1 = R 1 [ 1,36 m A - i 1 ] R 2 = 3 2 . 1,36 m A - 3 2 i 1

5 2 i 1 = 3 2 1,36 m A

i 1 = 3 5 . 1,36 m A = 0,816 m A

Resposta

i 1 = 0,816 m A

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 193-46.

Na figura abaixo, um conjunto de n resistores em paralelo é ligado em série a um resistor e a uma fonte ideal. Todos os resistores têm a mesma resistência.

Se um outro resistor de mesmo valor fosse ligado em paralelo com esse conjunto, a corrente na fonte variaria de 1,25 % .

Qual é o valor de n ?

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Passo 1

Beleza, vamos começar encontrando uma expressão para a corrente i na fonte. Depois, nós vamos adicionar mais um resistor a esse arranjo, calcular a nova corrente i ' e comparar as duas.

Beleza?

Então partiu!

Pra calcular a corrente na fonte, utilizamos a Lei de Ohm para a resistência equivalente do circuito.

V = R e q i

Para calcular a resistência equivalente, vamos começar pelo arranjo que n resistores em paralelo.

1 R e q 1 = 1 R + 1 R + … + 1 R

Como se tratam de n resistores, nós teremos n termos no lado direito da igualdade acima. Logo:

1 R e q 1 = n R

R e q 1 = R n

Por fim, a resistência equivalente do sistema será:

R e q = R + R e q 1

R e q = R + R n

R e q = n R + R n

R e q = R n + 1 n

Passo 2

Com a resistência equivalente calculada, a corrente na fonte será dada por:

i = V R

i = V R n + 1 n

i = n R n + 1 V

Passo 3

Show! Agora vamos adicionar mais um resistor ao arranjo de resistores em paralelo e calcular a nova corrente i ' .

Seguindo o mesmo raciocínio que usamos anteriormente:

1 R ' e q 1 = 1 R + 1 R + … + 1 R

Agora, como temos n + 1 resistores, teremos n + 1 termos no lado direito da igualdade.

1 R e q 1 ' = n + 1 R

R e q 1 ' = R n + 1

Assim, a resistência equivalente do circuito será:

R ' e q = R + R e q 1 '

R e q ' = R + R n + 1

R e q ' = R n + 1 + R n + 1

R e q ' = R n + 2 n + 1

Passo 4

Agora, a nova corrente i ' na fonte será:

i ' = V R e q '

i ' = n + 1 R n + 2 V

Passo 5

O problema falou que, quando adicionamos mais um resistor ao arranjo de n resistores, a diferença de corrente é de 1,25 % . Logo:

i ' - i = 0,0125 i

Agora vamos substituir tudo, arrumar e ver se conseguimos resolver a nossa vida aqui.

n + 1 R n + 2 V - n R n + 1 V = 0,0125 n R n + 1 V

Logo de cara, pra simplificar isso aqui, podemos sumir com todos os V ' s nos numeradores de com os R ' s dos denominadores.

n + 1 n + 2 - n n + 1 = 0,0125 n n + 1

n + 1 n + 2 = 0,0125 n n + 1 + n n + 1

n + 1 n + 2 = 1,0125 n n + 1

n + 1 2 = 1,0125 n n + 2

n 2 + 2 n + 1 = 1,0125 n 2 + 2,025 n

0,0125 n 2 + 0,025 n - 1 = 0

Antes de você ficar tenso porque tem um monte de número com vírgula e calcular os valores de n vai ser um saco, tem um jeito de tentar simplificar um pouco isso aqui.

Pra começar, vamos multiplicar todos os termos por 10000 pra sumir com as vírgulas:

125 n 2 + 250 n - 10000 = 0

Agora podemos dividir todos os termos por 125 que é o máximo divisor comum a todos esses caras:

n 2 + 2 n - 80 = 0

Agora só temos que encontrar a solução dessa equação de segundo grau usando Bhaskara.

n = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

n = - 2 ± 2 2 - 4 × 1 × ( - 80 ) 2

Resolvendo isso, vamos achar 2 valores de n .

n = 8 - 10

Só que o valor de n não pode ser negativo. Logo:

n = 8

Resposta

n = 8

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 196-70.

Determine a) o valor absoluto e b) o sentido (se é para cima ou para baixo) da corrente i na figura abaixo, onde todas as resistências são de 4 Ω e todas as fontes são ideais e têm uma força eletromotriz de 10 V .

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Passo 1

Primeiramente tenho uma palavra a dizer.

Como diria a minha vó: “Que mulesta é isso, menino?

Agora é a hora que tu pensa: “ Esse cara do Responde Aí ta de sacanagem em me colocar pra resolver um exercício desse tamanho”.

Aí eu te digo, dá pra resolver de cabeça! :P

O ideal aqui é achar uma malha de fácil resolução , já que será impossível fazer diversas malhas assim.

Passo 2

Gosta de labirinto? Vamos tentar achar um caminho em que só passe por fontes, sem resistências. #Partiu?

Achei esse aqui, oh!

Viu? Fechou uma malha!

Passo 3

Chutando um sentido pra corrente, teremos:

Aplicando a Lei das Malhas nessa malha aí, teremos:

10 + 10 + 10 + 10 + 10 - 10 + 10 - 10 - 10 + 10 - 4 i t - 2 i t - 4 i t = 0

Ah, esse 2 i vem da resistência equivalente daqueles resistores em paralelo que estão logo abaixo da corrente i na figura.

Assim ,teremos que:

40 = 10 i t

i t = 4 A

Mas como o único ramo que tem naquele ponto ali é o qual i   está passando i t = i = 4 A .

Passo 4

Como em nossas contas, o i > 0 , o sentido da corrente estava certo, e naquele ramo i vai de baixo para cima.

Resposta

  1. i = 4 A
  2. De baixo para cima.

Exercício Resolvido #6

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 26.22, pp. 194.

Calcule a fem ε 1 e a fem ε 2 no circuito abaixo e a diferença de potencial do ponto b em relação ao ponto a .

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Passo 1

A gente tem dois valores de correntes, cujos sentidos já foram informados, em vermelho, na Figura. Então, olhando para o ponto a do circuito, chega a corrente de 1,0   A e sai uma outra corrente de valor 2,0   A .

Se usamos a lei dos nóis em a , então chega uma corrente de 1,0   A que, somada à outra de 1,0   A , resulta em uma de 2,0   A . Além disso, essa corrente em verde flui de b para a . Tranquilo?

Passo 2

Agora, vamos olhar para a malha ( I ) em verde na Figura acima. Partindo do ponto a e percorrendo essa malha em verde no sentido anti-horário e voltando para o ponto a , temos, aplicando a lei das malhas:

+ 1   A × 1   Ω - ε 1 + 1   A × 4   Ω - 1   A × 6   Ω + 20   V - 1 A × 1   Ω = 0   ,

em que indicamos as unidades para facilitar que você veja cada elemento do circuito nessa malha ( I ) . Reforçando, começamos do ponto a e voltamos ao ponto a , por isso, depois de uma volta completa, temos zero, blz?

Dessa expressão, a gente consegue tirar o valor da fem ε 1 , que é:

ε 1 = 18,0   V .

Passo 3

Para calcular o valor da outra fem ε 2 , utilizamos a outra malha ( I I ) indicada na cor laranha na Figura acima, que está no sentido anti-horário. De novo, partindo do ponto