Circuitos de Mais de uma Malha

Teoria Completa

Agora já começamos a lidar com circuitos mais complexos.

Esses circuitos, quando compostos por fontes e resistências, na maior parte das vezes podem ser resumidos em circuitos de uma única malha calculando-se uma resistência equivalente. Quando isso puder ser feito, ótimo! Vai ser muito mais fácil de resolver se você puder transformar o circuito em um de malha simples. Caso contrário, você vai ver abaixo como resolver um circuito de mais de uma malha.

Vamos começar colocando mais uma regra no jogo, e depois aplicando a Lei das malhas de Kirchhoff nesse tipo de circuito.

Regra dos Nós (Lei dos nós de Kirchhoff)

A soma das correntes que entram no nó é igual à soma das correntes que saem do nó.

Vamos aplicar a Lei dos Nós nesse circuito:

Olhando para o nó a , vemos que a corrente i 1 está entrando no nó, enquanto as correntes i 2 e i 3 estão saindo, logo:

i 1 = i 2 + i 3

É basicamente isso. Sem muito mistério, né?!

Regra das Malhas (Lei das malhas de Kirchhoff)

Eu sei que já falamos dela em circuitos de uma malha, mas é uma boa dar uma relembrada pra sabermos como aplicar nesses casos.

A soma de todas as diferenças de potencial quando você percorre uma malha é igual a zero.

Vamos aplicar a Regra das Malhas no mesmo circuito de antes:

Nós podemos dividir o circuito em 3 malhas:

  • Malha 1:
  • E - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

  • Malha 2:
  • - i 3 R 3 + i 2 R 2 = 0

  • Malha 3:

E - i 1 R 1 - i 3 R 3 = 0

Em circuitos com mais de uma malha, quase sempre teremos que resolver um sistema no final das contas. Mas a Lei dos Nós já quebra um galhão porque:

i 1 = i 2 + i 3

E pode ser aplicada em qualquer nó do circuito.

Sentido da Corrente

Em boa parte dos problemas o enunciado não vai indicar, com setas nas imagens, os sentidos das correntes num circuito.

Eita! Como eu faço então pra saber pra onde estão indo as correntes?!

Nesses casos, observando a imagem do circuito que o problema te der, você terá que “chutar” um sentido para a corrente. Na verdade, quanto maior for o número de questões que você fizer quando estiver estudando, mais malandro você vai ficando pra tomar essas decisões.

Mas como saber se o sentido que eu estou escolhendo está certo, ou errado?

É simples... se você escolheu o sentido correto para determinada corrente, no final dos cálculos, o valor da corrente será positivo. Se o sentido que você escolheu para determinada corrente estiver errado, o valor da corrente será negativo.

Exemplo: Vamos calcular o valor da corrente desse circuito simples de uma malha.

Como não sabemos o sentido da corrente, vamos “chutar” que ela esteja no sentido horário, beleza?

Dito isso, vamos aplicar a Lei das Malhas de Kirchhoff, começando pelo ponto b , percorrendo a malha no mesmo sentido que arbitramos para a corrente (horário):

6 - i . 3 - 30 = 0

3 i = - 24

i = - 8   A

Cuidado! Não é porque o valor de uma corrente deu negativo que você vai voltar lá no início da questão e inverter o sentido da corrente no seu desenho... uma vez que você definiu o sentido da corrente no início do problema, vá com ele até o final.

O valor negativo para corrente já deixa claro que o verdadeiro sentido é o inverso.

Vamos fazer mais alguns exercícios pra fixar isso? #SóVem

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 190-17. Modificada

Na figura abaixo R 1 = 6 Ω ,   R 2 = 18 Ω e a força eletromotriz da fonte ideal é ε = 12 V . Determine

  1. O valor absoluto de i 1
  2. O sentido da corrente i 1

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Passo 1

  1. Primeira coisa que a gente faz aqui redesenhar esse circuito pra que ele fique um pouco mais bonitinho. Esse circuito aí é igualzinho a esse aqui. Se liga!

Passo 2

Agora a gente tem que dar aquele chutão pro sentido da corrente. Meu chute é esse aqui!

Passo 3

Tem como a gente descobrir logo o valor de i i ,não tem não?

Só calcular a resistência equivalente aqui que ta bem fácil, já que os três resistores R 2 estão em paralelo entre sim, que por sua vez estão em série com R 1 .

1 R e q 1 = 1 R 2 + 1 R 2 + 1 R 2 = 3 R 2

R e q 1 = R 2 3

R e q = R e q 1 + R 1 = R 2 3 + R 1 = 18 3 + 6 = 12 Ω

Passo 4

Agora é só usar a Lei de Ohm.

ε = R e q i

i = ε R e q = 12 12 = 1 A

Passo 5

Presta bem atenção nesse trecho aqui.

São três resistores iguais, isso significa dizer que as três correntes são iguais. :P

Pela Lei dos nós de Kirchhoff, teremos que:

i i = i 1 + i 2 + i 3

Mas como são todas iguais

i i = 3 i 1

i 1 = 0,33 A

Passo 6

b)

Como a corrente sempre vai da placa de maior para o menor potencial, podemos garantir que o sentido da corrente que eu escolhi está certo, pois lá na fonte a disposição das placas positiva e negativa nos diz isso aí. Mas se houvesse várias fontes aí sim teríamos que usar a Lei das Malhas também.

Poderíamos usar a Lei das Malhas nessa questão, mas aí iria render um sisteminha bem grande e queremos treinar você pra se garantir em todas formas possíveis! :}

Resposta

  1. i 1 = 0,33 A
  2. Da esquerda pra direita

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 191-21.

Determine na figura ao lado a corrente em cada resistor e a diferença de potencial entre os pontos a e b .

Considere ε 1 = 6,0   V , ε 2 = 5,0   V , ε 3 = 4,0   V , R 1 = 100   Ω e R 2 = 10,0   Ω . Suponha que a bateria não possui resistência.

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Passo 1

Pra começar, vamos adotar um sentido arbitrário para a corrente do circuito, aí conforme formos calculando os valores das correntes em cada resistor, existem duas possibilidades:

  1. Se o valor da corrente for positiva, significa que o sentido que escolhemos estava certo!
  2. Se o valor da corrente for negativa, significa que o sentido que escolhemos estava errado...

Mas não precisa se preocupar em voltar e corrigir, uma vez que você deixou claro o sentido que você escolheu, encontrar um valor negativo pra corrente não tem problema.

Bom, o sentido que vamos escolher é esse aqui:

Passo 2

Vamos analisar cada malha separadamente, beleza?

Antes de começar, vale lembrar que, quando a corrente passa por uma FEM, existem duas possibilidades:

  1. Se ela passar primeiro pela barra menor e depois pela barra maior, a voltagem vai ser positiva;
  2. Se ela passar primeiro pela barra maior e depois pela barra menor, a voltagem vai ser negativa;

Agora sim, vamos lá!

Passo 3

Malha I:

ε 3 + ε 2 - ε 1 - R 2 i 2 = 0

i 2 = ε 3 + ε 2 - ε 1 R 2

Onde:

  ε 1 = 6,0   V ;

ε 2 = 5,0   V ;

  ε 3 = 4,0   V ;

R 2 = 10,0   Ω ;

Logo:

i 2 = 4 + 5 - 6 10 = 0,3   A

Passo 4

Malha II:

- ε 2 - R 1 i 1 = 0

i 1 = - ε 2 R 1   .  

Onde:

ε 2 = 5,0   V ;

R 1 = 100   Ω ;

Logo:

i 1 = - 5 100 = - 0,05   A   ,

e o sinal negativo aqui significa que escolhemos o sentido dessa corrente contrário ao correto, mas o módulo da corrente é, de fato, 0,05   A .

Passo 5

A voltagem entre os pontos a e b é dada por:

V a b = ε 2 + ε 3

Onde:

ε 2 = 5,0   V ;

  ε 3 = 4,0   V ;

Logo:

V a b = 5 + 4

V a b = 9   V

Resposta

i 1 = 0,05   A

i 2 = 0,3   A

V a b = 9   V

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 190-16.

A fonte ideal da figura da esquerda tem uma força eletromotriz de ε = 6 V . A curva 1 da figura da direita mostra a diferença de potencial V entre os terminais do resistor 1 em função da corrente i no resistor. A escala do eixo vertical é definida por V s = 18 V e a escala no eixo horizontal é definida por i s = 3 m A . As curvas 2 e 3 são gráficos semelhantes para os resistores 2 e 3. Qual é a corrente no resistor 2?

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Passo 1

Bem. Primeiro temos que entender o que é porquê de a questão querer que a gente use o gráfico do lado direito.

Ele dá um gráfico de V × i . Se calculássemos a área abaixo do gráfico, teríamos a potência, certo? Já que P = V . i .

Se calculássemos a reta tangente encontraríamos a resistência, já que R = V i .

É interessante usar a potência, nessa questão? Acho que não, né?

Mas o valor das resistências podem nos ajudar bastante a resolver essa questão. Vamos calcula-las?

Passo 2

R 1 = V s i s = 18 V 3 m A = 6 k Ω  

R 2 = V s . 2 3 i s = 4 k Ω

R 3 = V s 3 i s = 2 k Ω

Passo 3

Agora a gente deve chutar um sentido pra corrente. Vou chutar esse aqui!

Usando a Lei das Malhas,na malha da direita, teremos:

- R 2 i 1 + R 1 i 2 = 0

i 1 = R 1 i 2 R 2

Passo 4

Agora, aplicando a Lei dos Nós no nó que fica logo após R 3 , teremos:

i = i 1 + i 2

Mas, pera! Quem é i ?

Da pra calcular com a resistência equivalente!

1 R e q 1 = 1 6 + 1 4

R e q 1 = 2,4 k Ω

R e q = 2,4 k Ω + 2 k Ω = 4,4 k Ω