Resistencia em Série e em Paralelo

Teoria Completa

Os circuitos que vamos encontrar na prática nem sempre são simples, alguns parecem ser bem esquisitos, na verdade, mas tudo o que envolve resistências geralmente são conjuntos de associações de resistores em série e em paralelo.

Então vamos dar uma olhada em cada um desses tipos de associação.

Resistores em Série

Como a gente poderia encontrar a corrente de um circuito onde a associação dos resistores é feita em série? Vamos olhar o circuito abaixo pra entender melhor isso.

Dados:

R 1 = 2 Ω

R 2 = 4 Ω

R 3 = 6 Ω

ε = 24 V  

Se aplicarmos a Lei das malhas de Kirchhoff nesse circuito, teremos:

E - i R 1 - i R 2 - i R 3 = 0

Repara que é a mesma corrente que passa por cada resistor, isso rola na associação em série pois a corrente não tem nenhum outro caminho pra percorrer, então se a gente rearrumar vai ficar.

i = E R 1 + R 2 + R 3

O que você precisa saber é o seguinte:

“As resistências associadas em série podem ser substituídas por uma resistência equivalente R e q percorrida pela mesma corrente i e com a mesma diferença de potencial total que as resistências originais”.

Então, a gente pode reescrever a corrente da seguinte forma

i = E R e q

E substituindo os valores temos:

i = 24 2 + 4 + 6 = 2 A

E agora que a gente já encontrou tudo, se quisesse encontrar a diferença de potencial em cada resistor como faríamos? Só voltar pra configuração inicial:

E usar a lei de Ohm para cada resistor.

V = R i

V 1 = 2 × 2 = 4 V

V 2 = 4 × 2 = 8 V

V 3 = 6 × 2 = 12 V

A lógica é a mesma, independente do número de resistores ligados em série.

Assim, quando n resistores estão em série, a resistência equivalente será dada por:

Resistores em Paralelo

Agora a gente vai analisar um circuito com resistores ligados em paralelo, e o que isso quer dizer? Quer dizer que agora a corrente tem vários caminhos pra percorrer, sendo assim em cada resistor ligado em paralelo tem uma corrente diferente, mas a diferença de potencial para eles é a mesma.

Vamos dar uma olhada nesse circuito e encontrar a corrente total e após isso a corrente em cada resistor, tal como a voltagem.

Dados

R 1 = 3 Ω

R 2 = 6 Ω

R 3 = 9 Ω

ε = 24 V

Quando uma diferença de potencial E é aplicada a resistores associados em paralelo, todas as resistências são submetidas à mesma diferença de potencial E .

Vamos fazer pra cá o processo da resistência equivalente, ou seja vamos fazer aqueles resistores em paralelo virarem isso aqui:

Podemos dizer aqui pela lei dos nós que:

i = i 1 + i 2 + i 3

E como para todos os casos.

i = ε R

Vamos então substituir na equação encontrada a relação de cada resistor incluindo da resistência equivalente.

ε R e q = ε R 1 + ε R 2 + ε R 3

Temos então a equação geral para a resistência equivalente em paralelo.

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3

Aqui a gente vai ter então, com valores.

1 R e q = 1 3 + 1 6 + 1 9

1 R e q = 11 18

Invertendo:

R e q = 18 11 Ω

Um outro jeito bacana de encontrar a resistência equivalente é ir fazendo o processo de 2 em 2 resistores, daquela formula da resistência equivalente geral a gente pode tirar uma outra que é conhecida como produto sobre soma:

R e q = R 1 × R 2 R 1 + R 2

Aqui teríamos que usá-la duas vezes e não importa muito a ordem, desde que faça com resistores em paralelo. Vamos fazer primeiro pra R 1 e R 2   e criar uma resistência equivalente para eles.

R e q 1 = 3 × 6 3 + 6 = 2 Ω

E agora faremos para R e q 1 e R 3 .

R e q = R e q 1 × R 3 R e q 1 + R 3

R e q = 2 × 9 2 + 9 = 18 11 Ω

Os dois jeitos estão certos e você vai escolher qual é o mais fácil o importante é saber pelo menos um, beleza?

E para achar a corrente:

i = ε R e q

i = 24 × 11 18 = 44 3 A

E aí pra calcularmos a corrente em cada resistor é só fazer:

i = ε R

i 1 = 24 3 = 8 A

i 2 = 24 6 = 4 A

i 3 = 24 9 = 8 3 A

E cara se liga, a gente tá falando de associação em paralelo, ou seja:

ε = V 1 = V 2 = V 3 = 24 V

Então pra resumir a fórmula geral de se encontrar a resistência equivalente:

E para resistência equivalente entre dois resistores:

Bora pros exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 189-9.

Pretende-se obter uma resistência total de 3 Ω ligando uma resistência de valor desconhecido a uma resistência de 12 Ω . Qual deve ser o valor da resistência desconhecida?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Opa! Começando os exercícios desse tipo devemos prestar atenção em algo bem sutil aqui pra resolver essa questão.

Ele fala que R e q = 3 Ω e que R 1 = 12 Ω . A resistência equivalente é menor que uma das resistências. Isso implica dizer que teremos uma ligação em paralelo com um resistor que vou chamar de R 2 , pois se a ligação fosse em série a soma seria maior que 12 Ω .

Passo 2

Para resistências em paralelo, teremos:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2

1 3 = 1 12 + 1 R 2  

1 R 2 = 3 12 = 1 4

R 2 = 4 Ω

Resposta

R 2 = 4   Ω

Exercício Resolvido #2

UFF- Lista de Exercícios sobre Circuitos Elétricos- Questão n° 9.

Qual é a resistência equivalente do circuito da figura?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para determinar a resistência equivalente, vamos começar da parte mais “interna” que podemos resolver, nesse caso, as resistências de 30   Ω   e 45   Ω que estão em paralelo. Para resistências em paralelo, temos:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2

1 R e q = 1 30 + 1 45

R e q = 18   Ω

Agora, temos que essa resistência equivalente está em série com a resistência de 42   Ω , para resistências em série, temos:

R e q = R 1 + R 2

R e q = 18 + 42

R e q = 60   Ω

Agora, temos que essa resistência está em paralelo com a resistência de 40   Ω , teremos então:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2

1 R e q = 1 60 + 1 40

R e q = 24   Ω

Resposta

R e q = 24   Ω

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 197-81.

Na figura abaixo R = 10 Ω . Qual é a resistência equivalente entre os pontos A e B ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos mais um circuitinho cheio de resistores meio confusos. Mas bora lá!

A primeira coisa que podemos fazer aqui, e que não é difícil de perceber é calcular a resistência equivalente R e q 1 nesses dois resistores abaixo. Como o resistor de 6 R e 3 R estão em paralelo, teremos:

1 R e q 1 = 1 3 R + 1 6 R = 3 6 R

R e q 1 = 2 R

Passo 2

Assim que a gente fez isso, vamos ter o seguinte circuito equivalente.

Entre o terminal A e B, pelo ramo superior vão ficar o resistor de 4 R em série com o de 2 R e no ramo inferior vai ficar 2 R   em série com R . Dá pra sacar, né?

Assim, poderemos escrever:

R e q 2 = 4 R + 2 R = 6 R

R e q 3 = 2 R + R = 3 R

Passo 3

E vai sobrar isso aqui, oh!

Dois resistores paralelos entre A e B. Tudo que a gente precisa pra terminar a nossa questão.

1 R e q = 1 6 R + 1 3 R = 3 6 R

R e q = 2 R = 20 Ω

Resposta

  1. R e q = 20   Ω

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 191-26. Modificada.

A figura abaixo mostra cinco resistores de 5 Ω . Determine a resistência equivalente

a) entre os pontos F e H;

b) entre os pontos F e G.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vixi! Olhando assim de primeira da até uma dor de cabeça!

Mas calma, acho que tem como desenhar isso de uma forma melhor e as contas vão se simplificar. Se liga aí!

Isso aqui e a figura do enunciado são o mesmo circuito só que um pouco mais linear.

Melhorou né? Agora ficou tranquilo de calcular.

Passo 2

Para resistências em paralelo, teremos:

1 R e q = 1 R + R + 1 R + 1 R + R

De onde vieram esses R + R ? Das resistências em série que estão localizadas na parte superior e inferior dos fios.

Continuando, vai ficar:

1 R e q = 1 2 R + 1 R + 1 2 R = 4 2 R

R e q = R 2 = 5 2 = 2,5 Ω

Passo 3

b)

Aqui fica um tantinho mais complicado. Mas Keelp Calm and Vamos lá!

Primeiro de tudo vamos prestar atenção nesses dois resistores.

É fácil de ver que eles estão em série, né? Logo a R e q 1   ali é igual a R e q 1 = 2 R .

Podemos perceber também que eles estão em paralelo com o resistor que está entre F e H, certo? Por conseguinte isso que sobrar está em série com o resistor que está entre G e H. A resistência equivalente de tuuudo isso estará em paralelo com o resistor entre F e G e daí acabamos a questão.

Passo 4

Ficou confuso? Vamos por partes.

O que a gente já tem é isso aqui:

Calculando ali na esquerda esses resistores em paralelos, teremos:

1 R e q 2 = 1 R + 1 2 R

R e q 2 = 2 3 R

Passo 5

E aí nosso circuito se tornará:

Agora, o resistor da direita com o da esquerda estão em série. Basta soma-los.

R e q 3 = 2 R 3 + R = 5 3 R

Passo 6

É. Daquele monstrão lá agora só sobrou isso aqui.

E circuitos em paralelo assim você já está careca de saber calcular.

1 R e q = 1 R + 3 5 R = 8 5 R

R e q = 5 R 8 = 25 8 = 3,13 Ω

Resposta

  1. R e q = 2,5   Ω
  2. R e q = 3,13 Ω

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 198-88.

A figura abaixo mostra três resistores de 20 Ω . Determine a resistência equivalente

  1. entre os pontos A e B;
  2. entre os pontos A e C;
  3. entre os pontos B e C;

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa questão é bem famosinha. Várias faculdades colocam ela em listas de exercícios. A princípio ela se parece esquisita mas jajá você vai ver que ela é simples.

Presta bem atenção!

Perceba que acima do ponto A até chegar no último resistor da direita não nada entre eles. Isso significa que eles são pontos equipotenciais, ou seja, com mesmo potencial.

A mesma coisa podemos dizer para o fio que sai de B e vai pra C. Não tem nada entre eles, então podemos dizer que o potencial de B é igual ao potencial em C.

Passo 2

E mais,como vou mostrar na figura abaixo, a gente vai poder ver que todos os três resistores estão ligados entre A e B.

Saca só!

Passo 3

Podemos redesenhar o nosso circuito de uma forma bem melhor.

Agora ficou fácil,né?

1 R e q = 1 R + 1 R + 1 R = 3 R

R e q = R 3 = 20 3 = 6,67 Ω

Passo 4

b)

Como a gente já viu que o ponto B e o ponto C são os mesmo, a resistência equivalente vai ser igual, logo:

R e q = 6,67 Ω

Passo 5

C)

Se o ponto B e C são os mesmos, significa dizer que não tem nenhuma resistência entre eles, logo:

R e q = 0

Resposta

  1. R e q = 6,67   Ω
  2. R e q = 6,67 Ω
  3. R e q = 0

Exercício Resolvido #6

USP-P2-2012-Questão n°2

Um resistor cilíndrico de comprimento 2 L deveria ter uma seção reta S A ao longo de todo seu comprimento e uma resistência igual a R . Devido a um erro de fabricação, metade do resistor apresenta uma seção reta S B = 4 5 S A , conforme a figura.

a ) Determine a resistência R ' do resistor em termos do valor projetado R .

b ) Aplica-se uma ddp de V volts nas extremidades do resistor. Calcule os módulos dos campos elétricos E A e E B em cada um dos trechos do resistor em termos de V e L .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a ) Determine a resistência R ' do resistor em termos do valor projetado R .

Bom, se esse cara fosse construído da mesma forma que foi planejado, com área transversal S A e comprimento 2 L , a sua resistência R seria dada por:

R = ρ 2 L S A

Beleza! Mas alguém fez merda e o resistor saiu com essa cara...

Vamos pensar o seguinte... se vem uma corrente da esquerda para a direita, ela vai passar primeiro pela parte do resistor com área transversal S A e depois pela parte do resistor com área transversal S B , concorda?

Então seria a mesma coisa dizer que esses dois caras estão em série, conseguiu enxergar isso?

Assim, a resistência R ' será:

R ' = R A + R B

R ' = ρ L S A + ρ L S B = ρ L 1 S A + 1 S B

O problema já nos disse que S B = 4 5 S A . Então voltando ao problema:

R ' = ρ L 1 S A + 1 4 5 S A = ρ L 1 S A + 5 4 S A

R ' = 9 4 ρ L S A

Nós já achamos ali em cima que:

R = ρ 2 L S A

E como temos que comparar R com R ' , vamos tentar dar uma arrumada no R ' pra poder substituir o R :

R ' = 9 4 ρ L S A = 9 8 2 ρ L S A

R ' = 9 8   R

Passo 2

b ) Aplica-se uma ddp de V volts nas extremidades do resistor. Calcule os módulos dos campos elétricos E A e E B em cada um dos trechos do resistor em termos de V e L .

Quando aplicamos a ddp nas extremidades do resistor, V deve ser igual à soma das ddps de cada uma das duas partes do resistor.

V = V A + V B

Além disso, podemos associar a ddp com o campo elétrico através da relação V = E L , logo:

V = E A L + E B L

Agora que já encontramos a relação entre E A , E B e V , precisamos descobrir uma relação entre E A e E B .

Como esses dois caras estão em série, a corrente que passa pelas duas partes deve ser a mesma , assim, através da Lei de Ohm:

E A = ρ J A → E A = ρ I S A

E B = ρ J B → E B = ρ I S B

Novamente vamos usar a relação que o problema nos deu, S B = 4 5 S A :

E A = ρ I S A

E B = ρ I 4 5 S A = ρ 5 I 4 S A = 5 4   ρ I S A

E B = 5 4   E A

Agora ficou fácil! Vamos substituir isso na expressão de V para encontrarmos E A e E B em função de V e L .

Passo 3

V = E A L + E B L

Começando por:

E B = 5 4   E A

Teremos:

V = E A L + 5 4 E A L

V = 9 4 E A L

E A = 4 V 9 L  

Beleza! Para encontrar E B temos apenas que fazer a substituição inversa:

E B = 5 4   E A → E A = 4 5 E B

Portanto:

V = E A L + E B L

V = 4 5 E B L + E B L

V = 9 5 E B L

E B = 5 V 9 L

Resposta

a )

R ' = 9 8   R

b )

E A = 4 V 9 L

E B = 5 V 9 L

Exercício Resolvido #7

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 26.14, pp. 194.

Considere o circuito indicado na Figura abaixo. A corrente que passa pelo resistor de 6   Ω é igual a 4   A no sentido indicado. Quais são as correntes que passam pelos resistores de 25   Ω e 20   Ω ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para começar o exercício, dá uma olhada na Figura abaixo, e repara que a gente tem, além da corrente dada no enunciado de 4   A , as correntes I 1 e I 2 . Para começar, as correntes de 4   A e I 1 se somam no ponto b para dar a corrente I 2 , isto é,

I 2 = I 1 + 4   A   .

Agora, entre os pontos a e b , temos dois resistores em paralelo. Isso significa, como já vimos na teoria, que esses resistores estão à mesma diferença de potencial V a b . No resistor de 6   Ω , a ddp é de

V a b = R i = 6 × 4 = 24   V   .

Portanto, como essa é também a ddp para o resistor de 8   Ω , então

I 1 = 24 8 = 3   A   .

Disso, temos que a corrente que passa no resistor de 25   Ω é

I 2 = I 1 + 4   A = 7   A   .

Passo 2

Então, para completar nossa solução do exercício, repara lá na Figura que o resistor de 20   Ω está à mesma diferença de potencial V a c que tem os resistores entre os pontos a e c , então:

V R 20 Ω = V a c = R e q I 2

Para a gente saber que ddp é essa, podemos encontrar a resistência equivalente R e q entre os pontos a e c por onde passa a corrente total I 2 = 7   A . Então, os resistores de 6   Ω e 8   Ω estão em paralelo e o resultado disso está em série com o de 25   Ω , concorda?

Bom, colocando isso em contas, temos

R e q = 6 × 8 6 + 8 + 25 ⇒ R e q = 28,4   Ω   .

Portanto, a ddp entre as extremidades do resistor de 20   Ω é

V R 20 Ω = R e q I 2 = 28,4 × 7 ≈ 199   Ω   .

Então, a corrente que passa pelo resistor de 20   Ω é

I = 199 20 ≈ 9,95   A   .

Resposta

No resistor de 25   Ω passa uma corrente de

I 2 = 7   A   ,

e no de 20   Ω , uma de

I = 9,95   A   .

Exercício Resolvido #8

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 26.20, pp. 194.

No circuito indicado na Figura abaixo, a taxa de dissipação da energia elétrica de R 1 é igual a 20   W .

  1. Determine R 1 e R 2 .
  2. Qual é a fem da bateria?
  3. Ache a corrente que passa por R 2 e pelo resistor de 10   Ω .
  4. Calcule o consumo total de energia elétrica em todos os resistores e a energia elétrica fornecida pela bateria. Mostre que seus resultados estão de acordo com a conservação de energia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Então, vamos lá? Bom, para começar, o enunciado dá o valor da potência dissipada no resistor R 1 , que é de 20   W , e conhecemos da Figura o valor da corrente que passa nesse resistor,

P = R 1 I 2 ⇒ R 1 = 20 2 2 = 5   Ω   .

Agora que temos o valor dessa resistência, podemos encontrar o valor do potencial V a b entre os pontos a