Resistencia em Série e em Paralelo

Teoria Completa

Os circuitos que vamos encontrar na prática nem sempre são simples, alguns parecem ser bem esquisitos, na verdade, mas tudo o que envolve resistências geralmente são conjuntos de associações de resistores em série e em paralelo.

Então vamos dar uma olhada em cada um desses tipos de associação.

Resistores em Série

Como a gente poderia encontrar a corrente de um circuito onde a associação dos resistores é feita em série? Vamos olhar o circuito abaixo pra entender melhor isso.

Dados:

R 1 = 2 Ω

R 2 = 4 Ω

R 3 = 6 Ω

ε = 24 V  

Se aplicarmos a Lei das malhas de Kirchhoff nesse circuito, teremos:

E - i R 1 - i R 2 - i R 3 = 0

Repara que é a mesma corrente que passa por cada resistor, isso rola na associação em série pois a corrente não tem nenhum outro caminho pra percorrer, então se a gente rearrumar vai ficar.

i = E R 1 + R 2 + R 3

O que você precisa saber é o seguinte:

“As resistências associadas em série podem ser substituídas por uma resistência equivalente R e q percorrida pela mesma corrente i e com a mesma diferença de potencial total que as resistências originais”.

Então, a gente pode reescrever a corrente da seguinte forma

i = E R e q

E substituindo os valores temos:

i = 24 2 + 4 + 6 = 2 A

E agora que a gente já encontrou tudo, se quisesse encontrar a diferença de potencial em cada resistor como faríamos? Só voltar pra configuração inicial:

E usar a lei de Ohm para cada resistor.

V = R i

V 1 = 2 × 2 = 4 V

V 2 = 4 × 2 = 8 V

V 3 = 6 × 2 = 12 V

A lógica é a mesma, independente do número de resistores ligados em série.

Assim, quando n resistores estão em série, a resistência equivalente será dada por:

Resistores em Paralelo

Agora a gente vai analisar um circuito com resistores ligados em paralelo, e o que isso quer dizer? Quer dizer que agora a corrente tem vários caminhos pra percorrer, sendo assim em cada resistor ligado em paralelo tem uma corrente diferente, mas a diferença de potencial para eles é a mesma.

Vamos dar uma olhada nesse circuito e encontrar a corrente total e após isso a corrente em cada resistor, tal como a voltagem.

Dados

R 1 = 3 Ω

R 2 = 6 Ω

R 3 = 9 Ω

ε = 24 V

Quando uma diferença de potencial E é aplicada a resistores associados em paralelo, todas as resistências são submetidas à mesma diferença de potencial E .

Vamos fazer pra cá o processo da resistência equivalente, ou seja vamos fazer aqueles resistores em paralelo virarem isso aqui:

Podemos dizer aqui pela lei dos nós que:

i = i 1 + i 2 + i 3

E como para todos os casos.

i = ε R

Vamos então substituir na equação encontrada a relação de cada resistor incluindo da resistência equivalente.

ε R e q = ε R 1 + ε R 2 + ε R 3

Temos então a equação geral para a resistência equivalente em paralelo.

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3

Aqui a gente vai ter então, com valores.

1 R e q = 1 3 + 1 6 + 1 9

1 R e q = 11 18

Invertendo:

R e q = 18 11 Ω

Um outro jeito bacana de encontrar a resistência equivalente é ir fazendo o processo de 2 em 2 resistores, daquela formula da resistência equivalente geral a gente pode tirar uma outra que é conhecida como produto sobre soma:

R e q = R 1 × R 2 R 1 + R 2

Aqui teríamos que usá-la duas vezes e não importa muito a ordem, desde que faça com resistores em paralelo. Vamos fazer primeiro pra R 1 e R 2   e criar uma resistência equivalente para eles.

R e q 1 = 3 × 6 3 + 6 = 2 Ω

E agora faremos para R e q 1 e R 3 .

R e q = R e q 1 × R 3 R e q 1 + R 3

R e q = 2 × 9 2 + 9 = 18 11 Ω

Os dois jeitos estão certos e você vai escolher qual é o mais fácil o importante é saber pelo menos um, beleza?

E para achar a corrente:

i = ε R e q

i = 24 × 11 18 = 44 3 A

E aí pra calcularmos a corrente em cada resistor é só fazer:

i = ε R

i 1 = 24 3 = 8 A

i 2 = 24 6 = 4 A

i 3 = 24 9 = 8 3 A

E cara se liga, a gente tá falando de associação em paralelo, ou seja:

ε = V 1 = V 2 = V 3 = 24 V

Então pra resumir a fórmula geral de se encontrar a resistência equivalente:

E para resistência equivalente entre dois resistores:

Bora pros exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 189-9.

Pretende-se obter uma resistência total de 3 Ω ligando uma resistência de valor desconhecido a uma resistência de 12 Ω . Qual deve ser o valor da resistência desconhecida?

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Passo 1

Opa! Começando os exercícios desse tipo devemos prestar atenção em algo bem sutil aqui pra resolver essa questão.

Ele fala que R e q = 3 Ω e que R 1 = 12 Ω . A resistência equivalente é menor que uma das resistências. Isso implica dizer que teremos uma ligação em paralelo com um resistor que vou chamar de R 2 , pois se a ligação fosse em série a soma seria maior que 12 Ω .

Passo 2

Para resistências em paralelo, teremos:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2

1 3 = 1 12 + 1 R 2  

1 R 2 = 3 12 = 1 4

R 2 = 4 Ω

Resposta

R 2 = 4   Ω

Exercício Resolvido #2

UFF- Lista de Exercícios sobre Circuitos Elétricos- Questão n° 9.

Qual é a resistência equivalente do circuito da figura?

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Passo 1

Para determinar a resistência equivalente, vamos começar da parte mais “interna” que podemos resolver, nesse caso, as resistências de 30   Ω   e 45   Ω que estão em paralelo. Para resistências em paralelo, temos:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2

1 R e q = 1 30 + 1 45

R e q = 18   Ω

Agora, temos que essa resistência equivalente está em série com a resistência de 42   Ω , para resistências em série, temos:

R e q = R 1 + R 2

R e q = 18 + 42

R e q = 60   Ω

Agora, temos que essa resistência está em paralelo com a resistência de 40   Ω , teremos então:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2

1 R e q = 1 60 + 1 40

R e q = 24   Ω

Resposta

R e q = 24   Ω

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 197-81.

Na figura abaixo R = 10 Ω . Qual é a resistência equivalente entre os pontos A e B ?

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Passo 1

Temos mais um circuitinho cheio de resistores meio confusos. Mas bora lá!

A primeira coisa que podemos fazer aqui, e que não é difícil de perceber é calcular a resistência equivalente R e q 1 nesses dois resistores abaixo. Como o resistor de 6 R e 3 R estão em paralelo, teremos:

1 R e q 1 = 1 3 R + 1 6 R = 3 6 R

R e q 1 = 2 R

Passo 2

Assim que a gente fez isso, vamos ter o seguinte circuito equivalente.

Entre o terminal A e B, pelo ramo superior vão ficar o resistor de 4 R em série com o de 2 R e no ramo inferior vai ficar 2 R   em série com R . Dá pra sacar, né?

Assim, poderemos escrever:

R e q 2 = 4 R + 2 R = 6 R

R e q 3 = 2 R + R = 3 R

Passo 3

E vai sobrar isso aqui, oh!

Dois resistores paralelos entre A e B. Tudo que a gente precisa pra terminar a nossa questão.

1 R e q = 1 6 R + 1 3 R = 3 6 R

R e q = 2 R = 20 Ω

Resposta

  1. R e q = 20   Ω

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 191-26. Modificada.

A figura abaixo mostra cinco resistores de 5 Ω . Determine a resistência equivalente

a) entre os pontos F e H;

b) entre os pontos F e G.

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Passo 1

Vixi! Olhando assim de primeira da até uma dor de cabeça!

Mas calma, acho que tem como desenhar isso de uma forma melhor e as contas vão se simplificar. Se liga aí!

Isso aqui e a figura do enunciado são o mesmo circuito só que um pouco mais linear.

Melhorou né? Agora ficou tranquilo de calcular.

Passo 2

Para resistências em paralelo, teremos:

1 R e q = 1 R + R + 1 R + 1 R + R

De onde vieram esses R + R ? Das resistências em série que estão localizadas na parte superior e inferior dos fios.

Continuando, vai ficar:

1 R e q = 1 2 R + 1 R + 1 2 R = 4 2 R

R e q = R 2 = 5 2 = 2,5 Ω

Passo 3

b)

Aqui fica um tantinho mais complicado. Mas Keelp Calm and Vamos lá!

Primeiro de tudo vamos prestar atenção nesses dois resistores.

É fácil de ver que eles estão em série, né? Logo a R e q 1   ali é igual a R e q 1 = 2 R .

Podemos perceber também que eles estão em paralelo com o resistor que está entre F e H, certo? Por conseguinte isso que sobrar está em série com o resistor que está entre G e H. A resistência equivalente de tuuudo isso estará em paralelo com o resistor entre F e G e daí acabamos a questão.

Passo 4

Ficou confuso? Vamos por partes.

O que a gente já tem é isso aqui: