Amperímetro e Voltímetro

Teoria Completa

Amperímetro

Um amperímetro é um aparelho que mede a corrente elétrica em um determinado ponto do circuito, pra fazer a medição a gente coloca esse cara em série com os resistores e ele vai nos dizer qual é a corrente em Ampéres naquele ponto.

Vamos então calcular a corrente que o amperímetro mede, no circuito abaixo.

Dados:

R 1 = 2 Ω

R 2 = 3 Ω

  ε = 20 V

Bom galera vamos fazer a lei das malhas no sentido horário pra relacionar a corrente no ponto com os nossos dados, lembrando que por estar em série a corrente não muda ao longo de todo o fio.

ε - R 1 i - R 2 i - R A i = 0

Um amperímetro ideal tem resistência zero para poder não interferir na medição da corrente e é colocado em série com o elemento de circuito que se quer estudar.

R A → 0

Em um amperímetro real, é essencial que a sua resistência seja muito pequena em comparação com as outras resistências do circuito

ε = i R 1 + R 2 + R A

Isolando i :

i = ε R 1 + R 2 + R A

Se estivermos trabalhando com um caso ideal, a nossa corrente medida será:

i d e a l = 20 2 + 3 + 0 = 20 5 = 4 A

Então a leitura do amperímetro mostra 4 A . Mas se for um caso real, ainda que pequena a resistência do amperímetro pode mudar um pouquinho o valor aferido da corrente, vamos imaginar que o nosso amperímetro real tem R A = 0,2 Ω .

i r e a l = 20 2 + 3 + 0,2 = 20 5,2 = 3,85 A

Daqui tiramos algumas conclusões:

  1. O amperímetro mede a corrente e é sempre colocado em série com os resistores.
  2. Para todos os circuitos i d e a l > i r e a l , ainda que a diferença seja pequena.

Voltímetro

Analogamente, um voltímetro é um aparato feito para medir a voltagem em algum ponto do circuito. O voltímetro é colocado em paralelo com um resistor e vai funcionar como uma outra resistência em paralelo, lembra que resistores em paralelo possuem a mesma voltagem?

Vamos responder qual voltagem é calculada no voltímetro abaixo:

Dados:

R 1 = 2 Ω

R 2 = 4 Ω

i = 3 A

A gente pode novamente fazer a lei das malhas pra analisar o que vai rolar, agora a gente tem um caminho novo pra corrente percorrer e pela lei dos nós podemos dizer que no nó C.

i = i V + i 2     ( 1 )

E agora vamos fazer a lei das malhas do percurso mostrado no sentido indicado.

Fazendo a lei das malhas temos:

ε - R 1 i - R 2 i 2 = 0     ( 2 )

E para o outro percurso teremos:

ε - R 1 i - R V i v = 0       ( 3 )

Um voltímetro é colocado em paralelo com o elemento de circuito que se quer estudar e idealmente tem resistência infinita para não deixar desviar nenhuma corrente para seu caminho.

R V → ∞

Nos casos onde a gente tem um voltímetro ideal o que vai rolar é que por causa dessa resistência não vai passar nenhuma corrente no voltímetro, assim:

i v = 0

E aí o circuito passa a ser em série como se não existisse o voltímetro ali

E teríamos também:

i 2 = i

Assim só a segunda equação iria valer e aí:

ε - R 1 i - R 2 i = 0    

E como a voltagem no resistor 2 é dada por:

V 2 = R 2 i

V 2 i d e a l = 4 × 3 = 12 V

Seria a leitura do voltímetro ideal.

Já em um voltímetro real, é essencial que a sua resistência seja muito grande em comparação com as outras resistências do circuito, vamos fazer um exemplo pra entender melhor imagina que a resistência no voltímetro é R = 1000 Ω .

Então a lei das malhas que fizemos antes continuarão valendo e poderemos montar um sistema de equações com elas.

i = i V + i 2     ( 1 )

ε - R 1 i - R 2 i 2 = 0     ( 2 )

ε - R 1 i - R V i v = 0       ( 3 )

Igualando as equações 2 e 3 temos:

ε - R 1 i - R 2 i 2 = ε - R 1 i - R V i v

Cortando os semelhantes chegaremos em:

R 2 i 2 = R V i V

Usando a equação 1 podemos reescrever i V :

i v = i - i 2

R 2 i 2 = R V ( i - i 2 )

R 2 i 2 + R V i 2 = R V i

i 2 R 2 + R V = R V i

Por fim isolando i 2

i 2 = R V i R 2 + R V

E substituindo:

i 2 = 1000 × 3 4 + 1000

i 2 = 2,99 A

E assim:

V 2 = R 2 i 2

V 2 r e a l = 4 × 2,99 = 11,96 V

Daqui tiramos algumas conclusões:

  1. O Voltímetro mede a voltagem e é sempre colocado em paralelo com o resistor.
  2. Para todos os circuitos V i d e a l > V r e a l , ainda que a diferença seja pequena.

Show de bola!

Erros

Pra finalizar, vamos tratar do erro que cada instrumento possuirá e a gente poderá avaliar se esse erro é grande ou não. Existem dois tipos de erro, sendo eles absoluto e relativo.

O erro absoluto é dado por:

ϵ a b s = I d e a l - R e a l

Então nos nossos exemplos os erros absolutos do amperímetro e do voltímetro são.

ϵ a b s A = i d e a l - i R e a l

ϵ a b s A = 4 - 3,85 = 0,15

ϵ a b s V = V d e a l - V R e a l

ϵ a b s V = 12 - 11,96 = 0,04

E o erro relativo é em relação a medida referência:

ϵ r e l = I d e a l - R e a l I d e a l × 100 %

Ou:

ϵ r e l = ϵ a b s I d e a l × 100 %

Que nos exemplos feitos vão ficar:

ϵ r e l ( A ) = 0,15 4 × 100 % = 3,75 %

ϵ r e l ( V ) = 0,04 12 × 100 % = 0,33 %

Partiu exercícios?

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Exercício Resolvido #1

Circuitos RC

O amperímetro marca 3,0   A . Determine os valores de I 1 ,   I 2 e ε .

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Passo 1

Para resolver esse circuito, vamos usar a lei das malhas, sendo a primeira malha a da esquerda e a segunda malha a da direita, além disso, já sabemos que I 1 + I 2 = 3,0   A , pois essa é a corrente no ramo que as correntes se somam.

Na primeira malha, temos:

9 - 3 . I 1 - 2 I 1 + I 2 = 0

9 - 3 . I 1 - 2 .   3 = 0

I 1 = 1,0   A

Portanto, temos que:

I 2 = 2,0   A

Agora que já temos os valores das correntes, basta analisar a segunda malha para determinar ε .

Passo 2

Analisando a segunda malha, temos:

ε - 4,5 . I 2 - 2 . I 1 + I 2 = 0

ε - 4,5   .   2 - 2 .   3 = 0

ε = 15   V

Resposta

I 1 = 1,0   A

I 2 = 2,0   A

ε = 15   V

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 193-49.

Na figura abaixo suponha que ε = 3 V ,   r = 100 Ω ,   R 1 = 250 Ω   e   R 2 = 300 Ω . Se a resistência do voltímetro R V é 5 k Ω ,   que erro percentual o voltímetro introduz na medida da diferença de potencial entre os terminais de R 1 ? Ignore a presença do amperímetro.

,

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Passo 1

Aqui temos mais um circuito com mais de uma malha. Logo, de cara já sabemos que teremos que usar as Leis de Kirchhoff, tanto nos nós quanto nas malhas.

O erro percentual no potencial pode ser calculado pela divisão entre a ddp gasta pelo resistor R 1 se ele tivesse com ou sem voltímetro ligado em paralelo, e pra poder calcular isso temos que achar o valor da corrente nos dois casos. Vamos procurá-la

Passo 2

Aplicando a Lei de Kirchhoff na malha da esquerda utilizando a direção de corrente dada, teremos:

ε - r i - R 2 i + R 1 i 1 = 0

Já aplicando na malha da direita, teremos:

- R V . i 2 + R 1 i 1 = 0

Passo 3

Mas ah, pela Lei dos nós no nó C, teremos:

i = i 1 + i 2

i 2 = i - i 1

Substituindo na ultima equação do passo anterior, vai ficar:

R 1 i 1 - R v i - i 1 = 0

i = R 1 + R v R V i 1

Agora substituindo na primeira equação, vamos ter:

ε - r R 1 + R v R V i 1 - R 2 . R 1 + R v R V i 1 + R 1 i 1 = 0

ε - i 1 r + R 2 R 1 + R V + R 1 R V R V = 0

i 1 = ε R V r + R 2 R 1 + R V + R 1 R V

Passo 4

Achando o potencial entre os terminais do resistor R 1 , vamos ter:

V 1 = R 1 . i 1 = ε R V R 1 r + R 2 R 1 + R V + R 1 R V = 3.5000.250 100 + 300 250 + 5000 + 5000.250 = 1,12 V

Passo 5

Se não houvesse o voltímetro, teríamos uma malha única e a corrente seria apenas i , calculada, usando a Lei das Malhas, por:

ε = i [ r + R 1 + R 2 ]