Amperímetro e Voltímetro

Teoria Completa

Amperímetro

Um amperímetro é um aparelho que mede a corrente elétrica em um determinado ponto do circuito, pra fazer a medição a gente coloca esse cara em série com os resistores e ele vai nos dizer qual é a corrente em Ampéres naquele ponto.

Vamos então calcular a corrente que o amperímetro mede, no circuito abaixo.

Dados:

R 1 = 2 Ω

R 2 = 3 Ω

  ε = 20 V

Bom galera vamos fazer a lei das malhas no sentido horário pra relacionar a corrente no ponto com os nossos dados, lembrando que por estar em série a corrente não muda ao longo de todo o fio.

ε - R 1 i - R 2 i - R A i = 0

Um amperímetro ideal tem resistência zero para poder não interferir na medição da corrente e é colocado em série com o elemento de circuito que se quer estudar.

R A → 0

Em um amperímetro real, é essencial que a sua resistência seja muito pequena em comparação com as outras resistências do circuito

ε = i R 1 + R 2 + R A

Isolando i :

i = ε R 1 + R 2 + R A

Se estivermos trabalhando com um caso ideal, a nossa corrente medida será:

i d e a l = 20 2 + 3 + 0 = 20 5 = 4 A

Então a leitura do amperímetro mostra 4 A . Mas se for um caso real, ainda que pequena a resistência do amperímetro pode mudar um pouquinho o valor aferido da corrente, vamos imaginar que o nosso amperímetro real tem R A = 0,2 Ω .

i r e a l = 20 2 + 3 + 0,2 = 20 5,2 = 3,85 A

Daqui tiramos algumas conclusões:

  1. O amperímetro mede a corrente e é sempre colocado em série com os resistores.
  2. Para todos os circuitos i d e a l > i r e a l , ainda que a diferença seja pequena.

Voltímetro

Analogamente, um voltímetro é um aparato feito para medir a voltagem em algum ponto do circuito. O voltímetro é colocado em paralelo com um resistor e vai funcionar como uma outra resistência em paralelo, lembra que resistores em paralelo possuem a mesma voltagem?

Vamos responder qual voltagem é calculada no voltímetro abaixo:

Dados:

R 1 = 2 Ω

R 2 = 4 Ω

i = 3 A

A gente pode novamente fazer a lei das malhas pra analisar o que vai rolar, agora a gente tem um caminho novo pra corrente percorrer e pela lei dos nós podemos dizer que no nó C.

i = i V + i 2     ( 1 )

E agora vamos fazer a lei das malhas do percurso mostrado no sentido indicado.

Fazendo a lei das malhas temos:

ε - R 1 i - R 2 i 2 = 0     ( 2 )

E para o outro percurso teremos:

ε - R 1 i - R V i v = 0       ( 3 )

Um voltímetro é colocado em paralelo com o elemento de circuito que se quer estudar e idealmente tem resistência infinita para não deixar desviar nenhuma corrente para seu caminho.

R V → ∞

Nos casos onde a gente tem um voltímetro ideal o que vai rolar é que por causa dessa resistência não vai passar nenhuma corrente no voltímetro, assim:

i v = 0

E aí o circuito passa a ser em série como se não existisse o voltímetro ali

E teríamos também:

i 2 = i

Assim só a segunda equação iria valer e aí:

ε - R 1 i - R 2 i = 0    

E como a voltagem no resistor 2 é dada por:

V 2 = R 2 i

V 2 i d e a l = 4 × 3 = 12 V

Seria a leitura do voltímetro ideal.

Já em um voltímetro real, é essencial que a sua resistência seja muito grande em comparação com as outras resistências do circuito, vamos fazer um exemplo pra entender melhor imagina que a resistência no voltímetro é R = 1000 Ω .

Então a lei das malhas que fizemos antes continuarão valendo e poderemos montar um sistema de equações com elas.

i = i V + i 2     ( 1 )

ε - R 1 i - R 2 i 2 = 0     ( 2 )

ε - R 1 i - R V i v = 0       ( 3 )

Igualando as equações 2 e 3 temos:

ε - R 1 i - R 2 i 2 = ε - R 1 i - R V i v

Cortando os semelhantes chegaremos em:

R 2 i 2 = R V i V

Usando a equação 1 podemos reescrever i V :

i v = i - i 2

R 2 i 2 = R V ( i - i 2 )

R 2 i 2 + R V i 2 = R V i

i 2 R 2 + R V = R V i

Por fim isolando i 2

i 2 = R V i R 2 + R V

E substituindo:

i 2 = 1000 × 3 4 + 1000

i 2 = 2,99 A

E assim:

V 2 = R 2 i 2

V 2 r e a l = 4 × 2,99 = 11,96 V

Daqui tiramos algumas conclusões:

  1. O Voltímetro mede a voltagem e é sempre colocado em paralelo com o resistor.
  2. Para todos os circuitos V i d e a l > V r e a l , ainda que a diferença seja pequena.

Show de bola!

Erros

Pra finalizar, vamos tratar do erro que cada instrumento possuirá e a gente poderá avaliar se esse erro é grande ou não. Existem dois tipos de erro, sendo eles absoluto e relativo.

O erro absoluto é dado por:

ϵ a b s = I d e a l - R e a l

Então nos nossos exemplos os erros absolutos do amperímetro e do voltímetro são.

ϵ a b s A = i d e a l - i R e a l

ϵ a b s A = 4 - 3,85 = 0,15

ϵ a b s V = V d e a l - V R e a l

ϵ a b s V = 12 - 11,96 = 0,04

E o erro relativo é em relação a medida referência:

ϵ r e l = I d e a l - R e a l I d e a l × 100 %

Ou:

ϵ r e l = ϵ a b s I d e a l × 100 %

Que nos exemplos feitos vão ficar:

ϵ r e l ( A ) = 0,15 4 × 100 % = 3,75 %

ϵ r e l ( V ) = 0,04 12 × 100 % = 0,33 %

Partiu exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Circuitos RC

O amperímetro marca 3,0   A . Determine os valores de I 1 ,   I 2 e ε .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para resolver esse circuito, vamos usar a lei das malhas, sendo a primeira malha a da esquerda e a segunda malha a da direita, além disso, já sabemos que I 1 + I 2 = 3,0   A , pois essa é a corrente no ramo que as correntes se somam.

Na primeira malha, temos:

9 - 3 . I 1 - 2 I 1 + I 2 = 0

9 - 3 . I 1 - 2 .   3 = 0

I 1 = 1,0   A

Portanto, temos que:

I 2 = 2,0   A

Agora que já temos os valores das correntes, basta analisar a segunda malha para determinar ε .

Passo 2

Analisando a segunda malha, temos:

ε - 4,5 . I 2 - 2 . I 1 + I 2 = 0

ε - 4,5   .   2 - 2 .   3 = 0

ε = 15   V

Resposta

I 1 = 1,0   A

I 2 = 2,0   A

ε = 15   V

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 193-49.

Na figura abaixo suponha que ε = 3 V ,   r = 100 Ω ,   R 1 = 250 Ω   e   R 2 = 300 Ω . Se a resistência do voltímetro R V é 5 k Ω ,   que erro percentual o voltímetro introduz na medida da diferença de potencial entre os terminais de R 1 ? Ignore a presença do amperímetro.

,

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui temos mais um circuito com mais de uma malha. Logo, de cara já sabemos que teremos que usar as Leis de Kirchhoff, tanto nos nós quanto nas malhas.

O erro percentual no potencial pode ser calculado pela divisão entre a ddp gasta pelo resistor R 1 se ele tivesse com ou sem voltímetro ligado em paralelo, e pra poder calcular isso temos que achar o valor da corrente nos dois casos. Vamos procurá-la

Passo 2

Aplicando a Lei de Kirchhoff na malha da esquerda utilizando a direção de corrente dada, teremos:

ε - r i - R 2 i + R 1 i 1 = 0

Já aplicando na malha da direita, teremos:

- R V . i 2 + R 1 i 1 = 0

Passo 3

Mas ah, pela Lei dos nós no nó C, teremos:

i = i 1 + i 2

i 2 = i - i 1

Substituindo na ultima equação do passo anterior, vai ficar:

R 1 i 1 - R v i - i 1 = 0

i = R 1 + R v R V i 1

Agora substituindo na primeira equação, vamos ter:

ε - r R 1 + R v R V i 1 - R 2 . R 1 + R v R V i 1 + R 1 i 1 = 0

ε - i 1 r + R 2 R 1 + R V + R 1 R V R V = 0

i 1 = ε R V r + R 2 R 1 + R V + R 1 R V

Passo 4

Achando o potencial entre os terminais do resistor R 1 , vamos ter:

V 1 = R 1 . i 1 = ε R V R 1 r + R 2 R 1 + R V + R 1 R V = 3.5000.250 100 + 300 250 + 5000 + 5000.250 = 1,12 V

Passo 5

Se não houvesse o voltímetro, teríamos uma malha única e a corrente seria apenas i , calculada, usando a Lei das Malhas, por:

ε = i [ r + R 1 + R 2 ]

i = ε r + R 1 + R 2

E o potencial seria calculado por:

V ' = ε R 1 r + R 1 + R 2 = 3.250 100 + 250 + 300 = 1,15 V

Logo, o erro percentual vai ser calculado pela diferença percentual entre esses dois valores, dado por:

e = 1,15 - 1,12 1,15 = 3 %

Resposta

e = 3 %

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 194-51. Modificada

Na figura abaixo, determine a leitura do amperímetro para ε = 5 V (fonte ideal) , R 1 = 2 Ω ,   R 2 = 4 Ω   e   R 3 = 6 Ω .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se ele está nos pedindo a medição do amperímetro, ele está pedindo a corrente que passa ali, certo?

Então o que temos que fazer é calcular a corrente que passa naquele ramo! #VamoQueVamo!

Passo 2

A corrente sempre vai do menor para o maior potencial, logo o sentido da corrente será esse aqui, oh!

Passo 3

Aplicando a Lei dos Nós no nó em cima de R 2 , teremos:

i = i 1 + i 2

Tranquilo até aí, né?

Agora aplicando a Lei das Malhas, teremos:

Na esquerda.

ε - i 1 R 2 - i R 1 = 0

Na direita.

- R 3 . i 2 + i 1 R 2 = 0

Passo 4

Beleza, 3 equações, 3 incógnitas,é só resolver o sisteminha!

i 2 = i - i 1

- R 3 . i - i 1 + i 1 R 2 = 0

- R 3 i + R 3 i 1 + i 1 R 2 = 0

i = i 1 R 2 + R 3 R 3

Aplicando agora na equação da malha da esquerda, vamos ter:

ε - i 1 R 2 - i 1 R 2 + R 3 R 3 R 1 = 0

ε = i 1 R 2 . R 3 + R 1 . R 2 + R 3 R 3

i 1 = ε . R 3 R 2 . R 3 + R 1 . R 2 + R 3 = 5.6 4.6 + 2 [ 4 + 6 ] = 0,6818 A

Passo 5

A gente descobriu lá na Lei das Malhas na direita, que:

i 2 = i 1 R 2 R 3

Logo

i 2 = 0,6818.4 6 = 0,45 A

Resposta

i 2 = 0,45 A

Exercício Resolvido #4

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exemplo 26.10, pp. 180

Suponha que você queira medir uma resistência desconhecida R usando o circuito indicado na figura abaixo. As resistências dos instrumentos são R V = 10000   Ω (para o voltímetro) e R A = 2,0   Ω (para o amperímetro). Sabendo que o voltímetro lê 12,0   V e o amperímetro, 0,100   A , responda:

  1. Qual é o valor de R ?
  2. Qual é a potência dissipada em R ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, como você viu aqui com a gente lá na teoria, um amperímetro serve para medir a corrente elétrica e é dito que ele é ideal quando não possui resistência interna, ou seja, quando R A = 0 . Para medir uma corrente, a gente coloca esse amperímetro de modo que a corrente, cujo valor queremos conhecer, passe dentro dele, blz?

O voltímetro, por sua vez, é utlizado para medir diferença de potencial entre dois pontos e se fala que ele é ideal quando sua resistância é infinita, isto é, R V = ∞ e, por isso, não passa nenhuma corrente dentro do voltímetro, tranquilo? Há uma resistência infinita à passagem da corrente por dentro de um voltímetro ideal!!

Mas “A VIDA NÃO É IDEAL, e não seria diferente com os amperímetros e voltímetros e esse é o caso que temos aqui nesse exercício. O nosso objetivo é medir o valor da resistência R nesse contexto em que R A ≠ 0 e R V ≠ ∞ !

Passo 2

a) Como o amperímetro não é ideal, ou seja, R A ≠ 0 , então existe uma queda de potencial entre os pontos   b e c quando a corrente I passa dentro do amperímetro, fazendo com que V b c ≠ 0 (ddp entre os terminais do amperímetro!!) e aí, nessa situação, o que o voltímetro lê não é só a ddp V a b entre os pontos a e b .

Nesse caso, o que o voltímetro realmente lê é o seguinte:

V a c = V a b + V b c ,

tranquilo?

O enunciado diz para gente que V a c = 12,0   V , ou seja, essa é a leitura que o voltímetro faz. Mas como o amperímetro não é ideal e tem R A = 2,0   Ω , então,

V b c = R A I = 2,0   ×   0,1 = 0,2   V .

Substituindo V b c = 0,2   V na expressão para V a c , temos

V a b = V a c - V b c = 12 - 0,2 = 11,8   V   ⇒ V a b = R I = 11,8   V .

Como a corrente que passa pelo resistor R é I = 0,100   A , obtemos a resistência que é

R = V a b I = 11,8 0,1 = 118   Ω .

Passo 3

b) Como a potência dissipada pelo resistor R é dada por R I 2 , encontramos, com os valores que o exercício dá, que

P R = R I 2 = 118 × 0,1 2 = 1,18   W .

Resposta

  1. R = 118   Ω ;
  2. P R = 1,18   W .

Exercício Resolvido #5

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exemplo 26.11, pp. 180

Suponha que você queira medir uma resistência desconhecida R usando o circuito indicado na figura abaixo. As resistências dos instrumentos são R V = 10000   Ω (para o voltímetro) e R A = 2,0   Ω (para o amperímetro). Sabendo que o voltímetro lê V a b = 12,0   V e o amperímetro, 0,100   A e que, como indicado na figura abaixo, através do voltímetro passa uma corrente I V , responda:

  1. Qual é o valor de R ?
  2. Qual é a potência dissipada em R ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Na teoria, mostramos para você que um amperímetro serve para medir a corrente elétrica e é dito que ele é ideal quando não possui resistência interna, ou seja, quando R A = 0 . Para medir uma corrente, a gente coloca esse amperímetro de modo que a corrente, cujo valor queremos conhecer, passe dentro dele, blz?

O voltímetro, por sua vez, é utlizado para medir diferença de potencial entre dois pontos e se fala que ele é ideal quando sua resistância é infinita, isto é, R V = ∞ e, por isso, não passa nenhuma corrente dentro do voltímetro, tranquilo? Há uma “resistência infinita” à passagem da corrente por dentro de um voltímetro ideal!!

Mas “A VIDA NÃO É IDEAL, e não seria diferente com os amperímetros e voltímetros e esse é o caso que temos aqui nesse exercício. O nosso objetivo é medir o valor da resistência R nesse contexto em que R A ≠ 0 e R V ≠ ∞ !

Passo 2

a) Como a resistência do voltímetro é diferente de infinito na prática, significa que por dentro dele passa uma corrente elétrica I V ≠ 0 , blz? Ou seja, sempre existe, na vida real, alguma corrente que passa por dentro do voltímetro, porque, ainda que sua resistência seja muito grande, não é uma resistência infinita e sempre tem alguma carga que passa dentro, por mais difícil que o percurso dessa carga seja lá dentro do voltímetro!! Isso tá indicado lá na figura como I V .

Então, a corrente I A que atravessa o amperímetro é igual à soma da corrente I que passa no resistor com a corrente I V que passa por dentro do voltímetro, ou seja,

I A = I + I V = 0,1   A .

Como conhecemos o valor da resistência do voltímetro, R V = 10000   Ω e também V a b = 12,0   V , que é a diferença de potencial no voltímetro, a corrente I V dentro dele é

I V = V a b R V = 12 10000   = 1,2   ×   10 - 3   A .

A corrente que passa por R é, portanto,

I = I A - I V = 0,1 - 0,0012 = 0,0988   A .

Então, o valor da resistência R é

R = V a b I = 12,0 0,0988 = 121   Ω .

Passo 3

  1. A potência dissipada por esse resistor é

P R = R I 2 = 121   ×   0,0988 2 =   1,19   W .

Então guarda no coração isso que coloquei nos itens abaixo para você:

  1. Amperímetro da VIDA REAL: resistência R A ≠ 0 e sempre tem uma diferença de potencial V A ≠ 0 através dele;
  2. Voltímetro da VIDA REAL: resistência R V muito grande, mas não infinita, R V ≠ ∞ , e sempre tem, por isso, uma corrente I V ≠ 0 que circula através dele.

Resposta

  1. R = 121   Ω ;
  2. P R = 1,19   W .

Exercício Resolvido #6

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 26.79, pp. 199

O circuito indicado na figura abaixo denomina-se ponte de Wheatstone e é usado para determinar uma resistência desconhecida X por comparação com três resistores M , N e P , cujam resistências podem variar. Para cada conjunto, a resistência de cada um desses resistores pode ser conhecida com precisão. Com as chaves K 1 e K 2 fechadas, fazemos variar essas resistências até que a corrente indicada no galvanômetro seja igual a zero; dizemos, então, que a ponte está equilibrada.

  1. Mostre que, quando isso ocorre, a resistência desconhecida é dada por X = M P / N ?
  2. Sabendo que o galvanômetro indica deflexão igual a zero quando M = 850,0   Ω , N = 15,0   Ω e P = 33,48   Ω , qual é o valor da resistência desconhecida X ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como o exercício comenta, esse aparato serve para medir uma resistência desconhecida X . Como as outras resistências do circuito são variáveis, à medida que vão sendo mudadas de forma controlada e conhecida, o valor da corrente que passa através do galvanômetro (amperímetro) vai mudando e na figura abaixo desenho um pouco do que tá acontecendo e que vai ser útil para analisarmos os próximos passos.

Quando a corrente que passa pelo amperímetro é I G = 0 , como conhecemos os valores das resistências M , N e P referentes à essa situação, podemos determinar o valor da resistência X através da expressão que temos que provar...

Bom, vamos provar aquela expressão primeiro...Então, mãos à obra, galera...!!!

Passo 2

a) Na figura acima, desenhei para você o que tá rolando nesse exercício e vou tentar colocar o que acontece lá numerando as situações da seguinte maneira:

  1. I G = 0 implica que os pontos b e c tem o mesmo potencial: V b = V c , ou seja, como não tem corrente através do amperímetro (galvanômetro!), não tem queda de potencial entre esses pontos!! Fechou? Isso é crucial, hein?!! Fica de olho...
  2. Como V b = V c , então: V a b = V a c . Isso significa, olhando lá para figura, que a gente tem o seguinte:
  3. V a b = I 1 N = I 2 P = V a c ⇒ I 1 = P N   I 2     ;

  4. Também porque V b = V c , obtemos que: V b d = V c d . Com isso, chegamos a

V b d = I 1 M = I 2 X   ⇒ I 1 = X M I 2 .

Repara que só podemos fazer essas afirmações acima se I G = 0 !!!!

Se a gente iguala esses duas últimas expressões para a corrente I 1 dos itens 2) e 3), advinha o que acontece?? Tchãããrããã….

I 1 = X M   I 2 = P N   I 2   ⇒ X = M P N   ‼ ‼ !

Feliz ou não?? Kkk

Acabamos de chegar, com as etapas 1), 2) e 3) acima (válidas quando I G = 0 !!), na expressão que queríamos demonstrar para a resistência desconhecida X :

X = M P N .

Repara, ainda, que em nenhum momento a gente precisou conhecer o valor da fem ε do circuito!!! Ou seja, dado uma fem, uma bateria por exemplo, vamos variando as resistências M , N e P até que a corrente I G no amperímetro (galvanômetro!) seja NULA: I G = 0 ! Quando isso acontece, anotamos os valores das resistências para esse caso e, utilizando essa expressão que encontramos agora, obtemos o valor da resistência X , AGORA CONHECIDA….\0/\0/\0/

Passo 3

b) Esse item não tem segredo, porque agora é só substituir os valores fornecidos no enunciado do exercício para matar de vez a questão:

X = M P N = 850 × 33,48 15   = 1897   Ω   .

Resposta

  1. Demonstração de: X = M P N ;
  2. X = 1897   Ω .

Exercício Resolvido #7

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 26.81, adaptado, pp. 200

Um resistor de 224   Ω e outro de 589   Ω são ligados em série a uma fonte de 90,0   V . Considerando essa situação,

  1. Qual é a voltagem nos terminais de cada resistor?
  2. Um voltímetro conectado nos terminais do resistor de 224   Ω indica uma leitura de 23,8   V . Calcule a resistência do voltímetro.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Você vai perceber que esse exercício tem um pouco mais de detalhes, mas vale a pena seguir bem de perto os passos da solução aqui, porque se tiver um desses na sua prova, não vai ter erro: VOCÊ VAI MATAR O PROBLEMA SORRINDO... ;-) SEGUE FIRME...

a) Bom, vamos lá!! Nesse item, galera, a gente tem, inicialmente, apenas uma fonte ε que fornece uma corrente I para o circuito, que é composto de dois resistores R 1 e R 2 em série, como representei para você na figura abaixo.

Então, como os valores das resistências R 1 e R 2