Diferença de Potencial entre Dois Pontos

Teoria Completa

De acordo com a Lei das malhas de Kirchhoff, a soma de todas as diferenças de potencial quando você percorre uma malha é igual a zero.

Beleza! Mas e se estivermos interessados em calcular a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito?!

Cálculo da Diferença de Potencial entre Dois Pontos

Primeiro, devemos escolher o nosso ponto inicial. Depois, devemos percorrer o circuito até chegar no ponto final, somando todas as variações de potencial que encontrarmos pelo caminho.

A soma do potencial no ponto inicial e das variações de potencial ao longo do percurso que escolhermos deve ser igual ao potencial no ponto final.

Vamos analisar o seguinte circuito simples, composto por uma fonte real (que possui resistência interna) e uma resistência:

O objetivo aqui é calcular a diferença de potencial entre os pontos a e b , ok?

Antes mesmo de começar a brincadeira, usando a Lei das Malhas de Kirchhoff, podemos ver que a corrente nesse circuito será:

i = E R + r

Agora sim, vamos lá!

Vamos fazer isso utilizando dois percursos distintos.

Vamos começar calculando a diferença de potencial entre a e b fazendo o percurso que passa pela fem E e pela resistência interna r .

Observe que, nesse caso, estaremos percorrendo a malha no mesmo sentido da corrente (sentido horário).

Assim, teremos:

V a + E - i r = V b

V b - V a = E - i r

Substituindo a expressão da corrente i , teremos:

V b - V a = E - E R + r r

V b - V a = E R + r R

É basicamente isso, entendeu o espírito da coisa?

Vamos agora pelo outro caminho

Beleza, agora vamos calcular a diferença de potencial entre a e b fazendo o percurso que passa pela resistência R , ok?

Agora estaremos percorrendo a malha no sentido oposto ao da corrente (sentido anti-horário).

Aqui vamos ter o seguinte:

V a + i R = V b

V b - V a = i R

Substituindo a expressão que temos para i , teremos:

V b - V a = E R + r R

Repare que a diferença de potencial entre os pontos a e b é a mesma, e independe do caminho que percorrermos... o que faz bastante sentido.

Isso é válido para quaisquer dois pontos em qualquer circuito, por mais complexo que seja.

E se percorrermos o circuito no sentido oposto?

O sentido que escolhemos pra percorrer o circuito é arbitrário, de forma que ele não irá alterar o resultado.

Por exemplo, vamos agora sair do ponto b e ir até o ponto a através da trajetória que contém a fem E e a resistência interna r .

Aplicando o que aprendemos aqui, teremos o seguinte:

V b + i r - E = V a

V b - V a = E - i r

Substituindo a expressão da corrente i , teremos:

V b - V a = E - E R + r r

V b - V a = E R + r R

No final das contas o resultado foi o mesmo dos outros casos.

Só mais uma coisa... Caso apareça esse símbolo em um ponto do seu circuito:

Quer dizer que o potencial naquele ponto é zero. Esse é o símbolo do aterramento.

Legal, né? Vamos agora para os exercícios!

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 189-5. Modificada.

Uma bateria de automóvel com uma força eletromotriz de 12 V e uma resistência interna de 0,040 Ω está sendo carregada com uma corrente de 50 A . Determine

  1. a diferença de potencial V entre os terminais da bateria;
  2. a potência P i dissipada no interior da bateria;
  3. a potência P f e m fornecida pela bateria
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Passo 1

a)

Se uma bateria está sendo carregada, ela está recebendo energia. Teríamos mais ou menos algo do tipo.

Passo 2

Como ele está carregando teremos um aumento do potencial dentro da bateria, logo V > 0 .

Logo, teremos que:

V A B = ε + r i = 12 + 0,04.50 = 14 V

Passo 3

b)

A potência vai ser dissipada pela resistência interna, ou seja, ele perguntou qual a potência dissipada pela resistência interna. Dada aqui por:

P = r i 2 = 0,04.50 2 = 100 W

Passo 4

c)

Nada mais nada menos é a potência do gerador, que pode ser calculada por:

P = i . ε = 12.50 = 600 W

E é isso aí, pessoal! :D

Resposta

  1. V A B = 14 V
  2. 100 W
  3. 600 W

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 190-13. Modificada.

Na figura abaixo o trecho A B do circuito dissipa uma potência de 50 W quando a corrente i = 1 A tem o sentido indicado. O valor da resistência R é 2 Ω .

  1. Qual é a diferença de potencial entre A e B ?
  2. O dispositivo X não tem resistência interna.

  3. Qual é a força eletromotriz do dispositivo X?

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Passo 1

a)

Temos dois dispositivos ligados, um resistor e X.

Independentemente do que está ligado ali, o potencial entre A e B será sempre P = V . I , sendo V a soma dos potenciais de R e de X .

V A B = V X + V R

Mas pera, para tudo! Nesse item A ele nos dá a potência e nos dá a corrente, logo a gente já tem V . :D

P A B = V A B . I

V A B = P A B I = 50 1 = 50 V

Passo 2

b)

Estamos seguros pelo enunciado que o dispositivo R e X estão dissipando potência, logo os sinais da diferença de potencial serão iguais.

Se ele nos diz que X não tem resistência interna, V x = ε x . Desta forma poderemos calcular, pela formulinha lá do passo 1.

V A B = V X + V R = ε x + R i

ε x = V A B - R i = 50 - 2.1 = 48 V

Resposta

  1. V A B = 50 V
  2. ε x = 48 V

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 190-18. Modificada

A figura abaixo mostra um resistor de resistência R = 6,00 Ω ligado a uma fonte ideal de força eletromotriz ε = 12 V através de dois fios de cobre. Cada fio tem 20 c m de comprimento e 1 m m de raio. Até então sempre desprezamos a resistência dos fios de ligação. Verifique se a aproximação é válida para o circuito da imagem, determinando:

  1. a diferença de potencial entre as extremidades do resistor;
  2. a diferença de potencial entre as extremidades de um dos fios.
  3. a potência dissipada em um dos fios;

Dados:

ρ c o b r e = 1,69.10 - 8 Ω . m

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Passo 1

a)

Bem, temos que demonstrar nessa questão o porquê de podermos desprezar a resistência nos fios. Então vamos à caça dessa demonstração respondendo as alternativas.

Considerando a resistência de cada fio de cobre, e concentrando-as em dois lugares,a gente vai ter algo mais ou menos assim:

Passo 2

Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff com uma corrente no sentido horário, teremos:

ε - r i - R i - r i = 0

i = ε 2 r + R = 12 2 r + 6

Passo 3

Mas como que calcula o r ? Você se lembra? Eu sim, haha!

Pela Lei de Ohm a gente tinha lá a seguinte relação:

r = ρ L A

Como o fio é circular, o A = π R a i o 2 .

r = ρ L π R a i o ² = 1,69.10 - 8 . 0,2 π . 10 - 6 = 0,0011 Ω

Logo, a corrente vai ser:

i = 12 0,0022 + 6 = 1,9993 A

Passo 4

Agora sim, achando a diferença de potencial nas extremidades do resistor, basta fazer

V = R i = 6.1,993 = 11,996 V ≈ 12 V

Viu como fica próximo de 12V? Só assim já provamos que é quase desprezível ter ou não ter considerado a resistência de cada fio.

Mas vamos lá seguindo na questão!

Passo 5

b)

Basta fazer a mesma coisa que fizemos no passo anterior só que pra resistência menor.

Bora lá!

V = r . i = 0,0011.1,993 = 2,15.10 - 3 V

Ou seja, eles tiram uma voltagem super mini do circuito. Desconsiderar r seria bem ok. :}

Passo 6

A potência dissipada em um fio de cobre, será dada por:

P = r i ² = 4,3.10 - 3 W

Também super mini potência.

Moral da história? Pra fios pequenos, como esse, de apenas 20 c m vale a pena desprezar a resistência.

Mas isso sempre é válido? Não! Por exemplo o fio que liga a hidrelétrica até a sua casa são milhares de kilômetros de distância e a energia dissipada seria beeeem maior!

Resposta

  1. V R = 11,996 V
  2. V r = 2,15 m V
  3. P r = 4,3 m W

Exercício Resolvido #4

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 25.68, pp. 165.

Dada a Figura abaixo,

  1. Qual é a diferença de potencial V a d ?
  2. Qual é a voltagem nos terminais da bateria de 4,0   V ?
  3. Uma bateria com fem igual a 10,30   V e resistência interna 0,50   Ω é inserida no circuito no ponto d , com seu terminal negativo conectado ao terminal negativo da bateria de 8,0   V . Qual é agora a diferença de potencial V b c nos terminais da bateria de 4,0   V ?

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Passo 1

a) Para encontrar a diferença de potencial V a d entre os pontos a e d , temos que encontrar primeiro qual o valor da corrente que circula no circuito. Para isso, vamos considerar a Figura abaixo, em que desenhamos a corrente I no sentido anti-horário, que também é o sentido que escolhemos para a malha.

Partindo do ponto a e voltando para ele percorrendo a malha no sentido anti-horário, temos que

- 8 I - 0,5 I - 8 - 9 I + 4 - 0,5 I - 6 I = 0 ⇒ - 24 I = 4   .

Com isso, chegamos a

I = - 1 6   A   .

Isso significa que escolhemos o sentido da corrente errado. Ou seja, a corrente na Figura acima está no sentido horário, porém seu módulo é I = 1 6   A   .

Agora, tomando o sentido horário para a corrente, vamos tomar apenas o trecho que vai do ponto a até o ponto d

V a + 1 6 × 8 + 1 6 × 0,5 - 8 = V d ⇒ V a - V d ≡ V a d = 79 12   V ≈ 6,58   V .

Passo 2

b) Indo de b para o ponto c , que é o sentido correto para a corrente I , temos

V b - 1 6 × 0,5 - 4 = V c ⇒ V b - V c ≡ V b c = 49 12   V ≈ 4,08   V   .

Passo 3

c) Com a nova bateria, precisamos calcular novamente o valor da corrente no circuito. Para isso, vamos utilizar o mesmo sentido anti-horário para a malha e para a corrente.

Partindo do ponto a e retornando a ele, temos

- 8 I - 0,5 I - 8 + 10,3 - 0,5 I - 9 I + 4 - 0,5 I - 6 I = 0   .

Resolvendo essa equação, temos

I = 0,257   A   .

Portanto, para sabermos a diferença de potencial entre os pontos b e c , podemos tomar o sentido nesse trecho indo de c para b

V c + 4 - 0,5 × 0,257 = V b   ⇒ V b - V c ≡ V b c = 3,87   V   .

Resposta

  1. V a d = 79 12   V ≈ 6,58   V   ;
  2. V b c = 49 12   V ≈ 4,08   V   ;
  3. V b c ≈ 3,87   V   .

Exercício Resolvido #5

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 25.53, Adaptado, pp. 163.

No circuito indicado na Figura abaixo, calcule:

  1. a taxa de conversão de energia interna (química) em energia elétrica no interior da bateria;
  2. a taxa de dissipação da energia elétrica na bateria;
  3. a taxa da dissipação a energia elétrica na resistência externa;
  4. a ddp entre os pontos a e d do circuito;
  5. a ddp entre a e c e entre os pontos b e c .

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Passo 1

a) Para sabermos qual é a taxa com a qual a bateria transforma energia química em energia elétrica, precisamos saber qual o valor da corrente I que circula no circuito. Para isso, vamos considerar o sentido anti-horário da malha e da corrente indicados na Figura abaixo.

Saindo do ponto b e percorrendo a malha até voltarmos para esse ponto, temos, pela lei das malhas, que

- 5 I + 12 - I = 0 ⇒ I = 2   A .

Portanto, a taxa de conversão de energia química em energia elétrica é

P = ε 1 I = 24   W   .

Passo 2

b) Como a bateria tem resistência interna, quando a corrente passa pela bateria, parte da energia é dissipada por r 1 e essa taxa é de

P = r 1 I 2 = 1 × 2 2 = 4   W   .

Passo 3

c) A taxa de dissipação de energia no resistor externo R é de

P = R I 2 = 5 × 2 2 = 20   W   .

Passo 4

d) Considerando apenas o trecho que vai do ponto d até o ponto a da Figura acima, temos o seguinte

V d + ε 1 - r 1 I = V a ⇒ V d - V a ≡ V a d = r 1 I - ε 1   .

Substituindo os valores dados non enunciado, temos

V a d = - 10   V   .

Passo 5

e) Como entre os pontos a e b não há nenhuma queda de potencial, a diferença de potencial V a c = V b c ≡ V . Portanto, o valor para essas duas ddp’s é de

V a - V c = V b - V c ≡ V = R I = 10   V   .

Resposta

  1. P = 24   W   ;
  2. P = 4   W   ;
  3. P = 20   W   ;
  4. V a d = - 10   V   ;
  5. V = 10   V   .

Exercício Resolvido #6

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 26.5, pp. 193.

Uma combinação triangular de resistores é indicada na Figura abaixo. Qual é a corrente que essa combinação consumirá de uma bateria de 35,0   V , com resistência interna desprezível, quando ela é conectada através dos pontos :

  1. a b ;
  2. b c   ;
  3. a c   ;

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Passo 1

a) Quando a bateria é conectada entre os pontos a e b , temos o resistores de 10   Ω e de 20   Ω em série e o resultado dessa associação em paralelo com o resistor de 15   Ω .

Então, a primeira coisa que precisamos calcular aqui é a resistência equivalente desse circuito. Nesse caso, o resistor R 1 resultado da associação entre os resistores 10   Ω e o de 20   Ω é

R 1 = 10 + 20 = 30   Ω   .

Esse resistor R 1 está em paralelo com o de 15   Ω . Por isso, teremos o seguinte:

1 R e q = 1 R 1 + 1 15 = 1 30 + 1 15   ⇒ R e q = 30 × 15 30 + 15 = 10   Ω   .

Portanto, a corrente do circuito nesse caso é

I = 35 R e q = 3,5   A   .

Passo 2

b) Agora, neste caso, o resistor de 10   Ω é que estará em paralelo com o resultado da associação em série dos resistores de 15   Ω e de 20   Ω . O valor dessa associação em série é R 1 = 35   Ω .

Portanto, a associação em paralelo terá resistência equivalente a

R e q = R 1 × 10 R e q + 10   = 35 × 10 35 + 10 = 7,78   Ω   .

A corrente é, então,

I = 35 7,78 ≈ 4,5   A   .

Passo 3

c) Aqui, de maneira semelhante a dos casos anteriores, os resistores de 15   Ω e o de 10   Ω estão em série e tem resistência equivalente dada por R 1 = 25   Ω .

A resistência equivalente do circuito todo será

R e q = 25 × 20 25 + 20 = 11,1   Ω   .

Então, a corrente será

I = 35 R e q = 35 11,1 = 3,15   A   .

Resposta

  1. I = 3,5   A   ;
  2. I = 4,5   A   ;
  3. I = 3,15   A   .

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