Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

Teoria Completa

Todo mundo já tentou alguma vez girar um bola em cima de algum dedo da mão.

Será que é possível calcular o Momento de Inércia da bola, em volta do eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa? Bom a gente já viu a molezinha que é o cálculo do momento de inércia em um sistema de partículas, mas agora a “parada” fica mais séria. Porque a bola não pode ser considerada uma partícula, mas será que podemos de alguma forma tentar considerar todas as partículas que fazem parte da bola?

Fazemos isso pegando um auxilio lá das nossas aulas de cálculo, e para calcular o momento de Inércia de Corpos Extensos precisamos calcular essa integral:

I = ∫ r 2 d m

É agora que você para e pensa: “nem queria passar mesmo”.

Relaxa aí, aluno! Tu acha que eu vou te deixar na mão? Tudo tem seu significado!

Ta, então para facilitar nossas contas, ao invés de pensar logo de uma vez em uma bola de basquete, vamos primeiro tentar calcular essa integral para um barra homogênea, que você pode imaginar sendo um taco de beisebol beeeem simplificado. Então vamos calcular o momento de inércia de uma barra homogênea com um eixo que passa pelo seu centro de massa e é perpendicular ao comprimento da barra como na figura:

Consideremos uma barra de massa M e comprimento L . Considera-se, para esse cálculo, que as outras dimensões da barra são desprezíveis em comparação à L . Lembra que a gente sabe como calcular o momento de Inércia de uma partícula, a gente pode enxergar a nossa barra, como uma linha de varias partículas, uma seguida da outra!

Vamos lembrar da equação:

I = ∫ r 2 d m

Agora é necessário que toda a expressão de dentro da integral esteja em função de somente uma variável. Para isso, precisamos achar a relação de m com r , que é a distância do pedacinho de massa d m ao eixo. Cada pedacinho d m de massa, representa uma partícula que vai gerar um pouquinho de momento de inércia em relação ao nosso eixo de rotação e a integral vai ser a responsável por somar todos esses pedacinhos.

Bom sabemos que a barra é homogênea. O que isso significa?

Vamos mostrar em equações, que fica mais fácil. Quando um corpo é homogêneo, temos:

d m d l = M L = c t e .

Ou seja, a relação entre massa e comprimento é sempre constante. Com isso, podemos usar que:

d m = M L   d l

Estamos quase lá! Esse l se torna o r , se considerarmos que iremos realizar a nossa integração com relação ao eixo de rotação especificado. Portanto:

I b a r r a = ∫ - L 2 L 2 r 2 M L   d r

Resolvendo essa integral:

I b a r r a = M L r 3 3 - L 2 L 2 → I b a r r a = M L 2 12

Parece complicado né?

Mas poucas vezes você vai precisar realizar todo esse processo, porque alguém já fez isso uma vez! Se liga nessa tabela com os momentos de inércia das formas mais comuns.

Show! Bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 292-91

( a ) Mostre que o momento de inércia de um cilindro de massa M e raio R em relação ao eixo central é igual ao momento de inércia de um aro fino de massa M e raio R / 2 em relação ao eixo central. ( b ) Mostre que o momento de inércia I de um corpo qualquer de massa M em relação à qualquer eixo é igual ao momento de inércia de um aro equivalente em torno do mesmo eixo, se o aro tiver a mesma massa M e um raio k dado por

k = I M

O raio k do aro equivalente é chamado de raio de giração do corpo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

( a ) Aprendemos que o cálculo do momento de inércia de corpos extensos é feito por meio de integral, então, a primeira idéia é calcular a integral:

∫ r 2 d m

Certo?

Desespero bateu aí né?

Relaxa que papai aqui vai te passar o bizu. O bizu do estripador.

“Estripador? Que que é isso?!”

É aquele cara que faz parte por parte, bem devagar e com calma, então vamos lá!

Passo 2

A primeira coisa a se fazer é calcular o momento de inércia do aro homogêneo de massa M e raio R , em relação ao eixo central do mesmo.

Aqui podemos usar a integral, pois trata-se de uma integral simples, saca só:

I a r o = ∫ 0 M r 2 d m

No aro, todas as minipartículas que o compõem estão à mesma distância R do eixo de rotação, portanto:

I a r o = R 2 ∫ 0 M d m

Podemos concluir:

I a r o = M R 2

Passo 3

Beleza! Agora, vamos calcular o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo central. Vamos considerar um elemento da forma de cilindro no interior do cilindro de massa M , raio R   e comprimento L . Esse elemento cilíndrico tem massa d m , raio r < R e altura L , como na figura abaixo.

Devemos considerar também que o cilindro possui uma densidade volumétrica γ uniforme, de forma que:

M = γ π R 2 L

d m = γ 2 π r d r L

Assim, temos que o momento de inércia do cilindro maior pode ser obtido integrando o elemento infinitesimal para r de 0 até R :

I c i l i n d r o = ∫ I c i l i n d r o   i n f = ∫ d m r 2

Substituindo d m pela expressão obtida acima:

I c i l i n d r o = ∫ 0 R γ 2 π r 3 d r L = γ 2 π R 4 L 4 = γ π R 4 L 2

Substituindo γ por M π R 2 L   :

I c i l i n d r o = M π R 2 L π R 4 L 2 = M R 2 2

Passo 4

Agora que já temos o momento de inércia do cilindro e o momento de inércia do aro em relação ao eixo central, vamos voltar ao enunciado.

O momento de inércia de um cilindro de massa M e raio R é dado por: M R 2 2

O momento de inércia de um aro de massa M e raio R   / √ 2 é dado por: M R 2 2 = M R 2 2

Logo, eles são iguais! :)

Passo 5

( b ) Vamos lá, estamos quase acabando!

Agora o que ele quer que a gente mostre é que o momento de inércia de um corpo de mass M em relação a qualquer eixo é igual ao momento de inércia de um aro equivalente de massa M e um raio k = I M ao redor desse mesmo eixo. Parece complicado, né? Vamos com calma!

Passo 6

Bom, já vimos que o momento de inércia de um aro em relação ao eixo central é dado por:

I a r o = M k 2

onde k é o raio. Se k é dado por I M , onde I é o momento de inércia de um corpo em relação ao mesmo eixo, temos que:

I a r o = M I M   2 = I

Logo, mostramos que o momento de inércia de um corpo qualquer em relação a um dado eixo é igual ao momento de inércia de um aro em volta desse eixo de raio I M .

Resposta

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