Teorema dos Eixos Paralelos

Teoria Completa

Tá, a gente já viu como calcular o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, certo?

Agora se liga! Coloquei uma régua pra rodar em torno desse outro eixo em vermelho aqui. E se eu quisesse calcular o momento de inércia desse caso? Como faz?

O momento de inércia de um retângulo em relação ao eixo que passa no seu centro de massa é I = M 12 a 2 + b 2 . Que é esse caso aqui:

Pra calcular o momento de inércia em um eixo que está a uma distância d do centro de massa de um corpo basta usar a seguinte formulinha:

I f = I C M + M d ²

Sendo I f o momento de inércia no eixo que você quer calcular, I C M o momento de inércia no eixo que passa pelo centro de massa do objeto e M a massa desse corpo.

:D

Lá no nosso exemplo quem que era o d ?

d = b 2

Logo, a gente pode usar aquela relação:

I f = I C M + M d 2

I f = M 12 a 2 + b 2 + M b 2 2 = M 12 a 2 + 4 b 2

E isso você pode fazer pra qualquer corpo ou partícula. Só seguir os passos:

Passo 1: Identificar qual o eixo de rotação.

Passo 2: Identificar qual a distância do eixo de rotação para o eixo que passa pelo centro de massa (vulgo d ).

Passo 3: Calcular o momento de inércia do corpo com rotação no centro de massa ( I C M ).

Passo 4: Aplicar o Teorema dos eixos paralelos: I f = I C M + m d ²

Passo 5: Marcar a resposta correta e correr pro abraço.

Agora partiu exercitar! :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, p. 287-35

Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com uma massa de 0,56   k g , em relação a um eixo perpendicular à uma régua na marca de 20   c m . (Trate a régua como uma barra fina.)

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Passo 1

Neste problema nos foi pedido o momento de inércia em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa do corpo, portanto, iremos usar o teorema dos eixos paralelos.

Dá uma olhada na imagem pra facilitar a aplicação:

Passo 2

Nós sabemos que o valor do momento de inércia da régua é igual ao momento de inércia de uma barra homogênea, portanto, o seu I 0 , aquele momento de inércia calculado em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é dado por:

I 0 = M L 2 12

Queremos o momento de inércia em relação à um eixo que, como na imagem, dista 30   c m do eixo que passa pelo centro de massa, portanto:

d = 0,3   m

E então, aplicando o teorema, temos:

I = I 0 + M d 2

I = 0,56   .   1 2 12 + 0,56   .   0,3 2

I ≅ 0,097   k g . m 2

Resposta

I ≅ 0,097   k g . m 2

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 288-41

O bloco uniforme da Fig. 10-37 tem massa de 0,172   k g e lados a = 3,5   c m , b = 8,4   c m e c = 1,4   c m . Calcule o momento de inercia do bloco em relação a um eixo que passa por um canto e é perpendicular às faces maiores.

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Passo 1

Em todos os exercícios de cálculo de momento de inércia, devemos primeiramente saber se o que foi pedido não é um resultado conhecido.

Nesse caso, é conhecido o resultado do momento de inércia de um bloco em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa:

I 0 = M a 2 + b 2 12

Sim, ele é o mesmo de uma placa com espessura c desprezível!

Passo 2

No entanto, nos foi pedido o momento de inércia em relação à um eixo especial. Como esse eixo é paralelo ao eixo do qual conhecemos o momento de inércia relacionado, podemos usar o teorema dos eixos paralelos.

Vamos usar uma imagem para nos ajudar no cálculo da distância d entre os eixos.

Usando Pitágoras, temos:

d 2 = a 2 2 + b 2 2

Finalmente, usando o teorema, temos:

I = I 0 + M d 2

I = M a 2 + b 2 12 + M   a 2 2 + b 2 2

Substituindo os valores:

I = 0,172 3,5 2 + 8,4 2 12 + 0,172 1,75 2 + 4,2 2

I ≅ 4,74   k g . c m 2

Resposta

I ≅ 4,74   k g . c m 2

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2014.1-M03

Uma esfera oca e rígida de massa M e raio R tem momento de inércia I c m = 2 / 3 M R 2 relativo a um eixo que passa pelo seu centro de massa. Relativamente a um eixo que tangencia a periferia da esfera e é paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa, o momento de inércia da esfera é

  1. I c m
  2. 1 / 3 M R 2
  3. 5 / 3 M R 2
  4. 7 / 10 M R 2
  5. 2 I c m
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Passo 1

Para achar esse momento de inércia vamos usar o teorema dos eixos paralelos. Faremos isso porque o enunciado nos deu o valor do momento de inércia dessa esfera em relação a um eixo e pediu em relação a um eixo paralelo.

Passo 2

Vamos ter

I ' = I c m + M d 2

A distância entre os eixos vai ser o raio da esfera.

I ' = 2 3 M R 2 + M R 2

I ' = 5 3 M R 2

Resposta

Letra C

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