Teoria Completa
Tá, a gente já viu como calcular o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, certo?
Agora se liga! Coloquei uma régua pra rodar em torno desse outro eixo em vermelho aqui. E se eu quisesse calcular o momento de inércia desse caso? Como faz?
O momento de inércia de uma placa retangular em relação ao eixo que passa no seu centro de massa é . Que é esse caso aqui:
Pra calcular o momento de inércia em um eixo que está a uma distância do centro de massa de um corpo basta usar a seguinte formulinha:
Sendo o momento de inércia no eixo que você quer calcular, o momento de inércia no eixo que passa pelo centro de massa do objeto e a massa desse corpo.
:D
Lá no nosso exemplo quem que era o ?
Logo, a gente pode usar aquela relação:
Percebe uma coisa, o menor momento de inércia é quando estamos rotacionando no eixo do próprio centro de massa, ou seja, quanto mais aumentamos a distância , mais estamos aumentando o momento de inércia!
E isso você pode fazer pra qualquer corpo ou partícula. Só seguir os passos:
Passo 1: Identificar qual o eixo de rotação. Presta atenção, porque o novo eixo TEM que ser PARALELO ao eixo do centro de massa!
Passo 2: Identificar qual a distância do eixo de rotação para o eixo que passa pelo centro de massa (vulgo ).
Passo 3: Calcular o momento de inércia do corpo com rotação no centro de massa ().
Passo 4: Aplicar o Teorema dos eixos paralelos:
Passo 5: Marcar a resposta correta e correr pro abraço.
Agora partiu exercitar! :D
Exercício Resolvido #1
Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com uma massa de , em relação a um eixo perpendicular à uma régua na marca de . (Trate a régua como uma barra fina.)
Passo 1
Neste problema nos foi pedido o momento de inércia em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa do corpo, portanto, iremos usar o teorema dos eixos paralelos.
Dá uma olhada na imagem pra facilitar a aplicação:
Passo 2
Nós sabemos que o valor do momento de inércia da régua é igual ao momento de inércia de uma barra homogênea, portanto, o seu , aquele momento de inércia calculado em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é dado por:
Queremos o momento de inércia em relação à um eixo que, como na imagem, dista do eixo que passa pelo centro de massa, portanto:
E então, aplicando o teorema, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #2
O bloco uniforme da Fig. 10-37 tem massa de e lados , e . Calcule o momento de inercia do bloco em relação a um eixo que passa por um canto e é perpendicular às faces maiores.
Passo 1
Em todos os exercícios de cálculo de momento de inércia, devemos primeiramente saber se o que foi pedido não é um resultado conhecido.
Nesse caso, é conhecido o resultado do momento de inércia de um bloco em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa:
Sim, ele é o mesmo de uma placa com espessura desprezível!
Passo 2
No entanto, nos foi pedido o momento de inércia em relação à um eixo especial. Como esse eixo é paralelo ao eixo do qual conhecemos o momento de inércia relacionado, podemos usar o teorema dos eixos paralelos.
Vamos usar uma imagem para nos ajudar no cálculo da distância entre os eixos.
Usando Pitágoras, temos:
Finalmente, usando o teorema, temos:
Substituindo os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Uma esfera oca e rígida de massa e raio tem momento de inércia relativo a um eixo que passa pelo seu centro de massa. Relativamente a um eixo que tangencia a periferia da esfera e é paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa, o momento de inércia da esfera é
Passo 1
Para achar esse momento de inércia vamos usar o teorema dos eixos paralelos. Faremos isso porque o enunciado nos deu o valor do momento de inércia dessa esfera em relação a um eixo e pediu em relação a um eixo paralelo.
Passo 2
Vamos ter
A distância entre os eixos vai ser o raio da esfera.
Resposta
Letra C