Teoria Completa
Até aqui aprendemos sobre o movimento de translação dos corpos, ou seja, aquele em que todos os pontos se movem em uma mesma direção e sentido. A partir daqui, aprenderemos sobre o movimento de rotação.
O movimento de rotação é caracterizado por possuir um eixo de rotação, que se mantém fixo durante o movimento e todos os outros pontos rodam ao redor dele. Para analisarmos esse movimento, o primeiro passo é entender o que é momento de inércia.
Mas querido estudante, o que é momento de inércia?
Esse é um conceito novo muito difícil de se ver, mas a ideia é que o momento de inércia é a “rigidez à rotação” de um objeto. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer esse objeto girar ou parar quando já estiver girando.
Vamos fazer uma leve experiência para você sacar melhor esse conceito:
Pegue uma folha solta aí qualquer, de preferência uma A4 ou perto desse tamanho. Se você tentar segurar a folha por uma aresta dela ela vai cair né? Isso porque a rigidez à rotação dela é baixa, vamos agora aumentar a rigidez dessa parada ai. Enrola a folha fazendo um cilindro, segura de novo pela ponta da folha e vê o que acontece.
AHÁ, a folha não dobra mais. Você não mudou a massa está vendo? Só mudou a forma aumentando a rigidez à rotação da folhinha de papel. Você está mudando o momento de inércia!!
Mas beleza, o importante para nós é saber como calcular o momento de inércia.
Calculando Momento de Inércia
Vão aparecer dois tipos de objetos para calcular o momento de inércia, os objetos pontuais, que são os considerados muitos pequenos e os objetos extensos, nesses, o tamanho é importante.
OBS: O momento de inércia vai ser SEMPRE em relação a um EIXO e não a um PONTO.
Vamos tratar, nesse primeiro momento, dos objetos que chamamos acimas de “pontuais”, ou seja, consideraremos como partículas e analisaremos a rotação delas ao redor de um eixo.
A fórmula é bem simples,
O é a distância dessa partícula ao EIXO, lembre-se é a distância ao EIXO.
Quando precisarmos de calcular o momento de inércia de um sistema de partículas, usaremos:
Se liga nesse exemplo bem simplesinho:
Vamos calcular o momento de inércia desse sistema com duas partículas.
No entanto, temos que:
Portanto:
Logo mais discutiremos outras formas de se calcular o momento de inércia, por enquanto é isso. Não deixe de praticar!
Exercício Resolvido #1
As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes:
Quais são os momentos de inércia desse conjunto em relação ao eixos (a) , (b) e (c) ? (d) Suponha que as respostas de (a) e (b) sejam e , respectivamente. Nesse caso, qual é a resposta de (c) em termos de e ?
Passo 1
Sabemos que:
Ou seja, vamos fazer para cada partícula:
- Descobrir a distância até o eixo desejado
- Elevar essa distância ao quadrado
- Multiplicar pela massa da partícula
E depois iremos somar todos os resultados para obter o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo.
Se desenharmos as posições dessas partículas, teremos:
Vamos começar desenhando a distância de cada uma das partículas até o eixo
Assim o momento de inércia em relação a esse eixo será:
Passo 2
Fazendo o mesmo pro eixo :
Repare que a massa de de cima está exatamente sobre o eixo , o que significa que a sua distância até o eixo é nula!
A segunda massa nessa equação aqui de cima tá exatamente sobre o eixo , beleza? Isso faz com que a sua distância até o eixo seja nula!
Passo 3
Já para o eixo , temos que usar o teorema de Pitágoras para achar a distância do ponto ao eixo:
Realizando o mesmo método:
Outro jeito que a gente pode escrever é
Ou seja
E podemos dividir esse negócio em dois somatórios
Reconhece esses caras? Eles são e !!! :o
Resposta
Exercício Resolvido #2
Considere um corpo rígido constituído por: hastes finas, rígidas, de massa desprezível e de comprimento e um conjunto de nove massas iguais a (que podem ser consideradas puntiformes) conforme a figura abaixo. O momento de inércia desse conjunto em torno do eixo é dado por:
Passo 1
O momento de inércia do conjunto é a soma dos momentos de inércia de cada objeto do conjunto.
O momento de inércia de uma partícula em relação ao eixo depende da massa da partícula e da distância da partícula ao eixo. Lembra da fórmula?
Onde é a distância da partícula até o eixo.
Passo 2
Vamos ter partículas no eixo, então seu momento de inércia é zero. Enquanto vamos ter partículas a uma distância do eixo todas com massa então o momento de inércia vai ser
Resposta
Letra C
Exercício Resolvido #3
Considere um sistema de cinco objetos puntiformes dispostos em um plano de acordo com a figura a seguir. Cada um dos quatro objetos periféricos possui massa igual a , enquanto que o quinto, localizado na origem do sistema de coordenadas indicado na figura, tem massa . Eles são unidos por hastes rígidas e de massas desprezíveis.
Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo passando pelos objetos e .
Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pela origem.
Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto indicado na figura.
Passo 1
O momento de inércia do sistema pode ser encontrado da seguinte forma:
Botando em evidência
Como o eixo de rotação está passando pelos objetos 2 e 3, temos que as distâncias até o eixo de rotação serão:
Logo:
Passo 2
Temos agora o eixo passando perpendicularmente ao objeto 5. Neste caso, as distâncias dos objetos 1 ao 4 serão os comprimentos das hastes. Então os vetores posições serão agora:
Passo 3
Com o eixo passando pelo ponto , teremos as seguintes distâncias:
Para calcular as distâncias das partículas 2 e 3 ao eixo, podemos atentar para o triângulo azul abaixo:
A distância (que é igual a ) é dada pela hipotenusa do triângulo! Logo, temos:
Continuando, teremos: