Cálculo do Momento de Inércia de Partículas

Resumo Completo

Até aqui aprendemos sobre o movimento de translação dos corpos, ou seja, aquele em que todos os pontos se movem em uma mesma direção e sentido. A partir daqui, aprenderemos sobre o movimento de rotação.

O movimento de rotação é caracterizado por possuir um eixo de rotação, que se mantém fixo durante o movimento e todos os outros pontos rodam ao redor dele. Para analisarmos esse movimento, o primeiro passo é entender o que é momento de inércia.

Mas querido estudante, o que é momento de inércia?

Esse é um conceito novo muito difícil de se ver, mas a ideia é que o momento de inércia é a “rigidez à rotação” de um objeto. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer esse objeto girar ou parar quando já estiver girando.

Vamos fazer uma leve experiência para você sacar melhor esse conceito:

Pegue uma folha solta aí qualquer, de preferência uma A4 ou perto desse tamanho. Se você tentar segurar a folha por uma aresta dela ela vai cair né? Isso porque a rigidez à rotação dela é baixa, vamos agora aumentar a rigidez dessa parada ai. Enrola a folha fazendo um cilindro, segura de novo pela ponta da folha e vê o que acontece.

AHÁ, a folha não dobra mais. Você não mudou a massa está vendo? Só mudou a forma aumentando a rigidez à rotação da folhinha de papel. Você está mudando o momento de inércia!!

Mas beleza, o importante para nós é saber como calcular o momento de inércia.

Calculando Momento de Inércia

Vão aparecer dois tipos de objetos para calcular o momento de inércia, os objetos pontuais, que são os considerados muitos pequenos e os objetos extensos, nesses, o tamanho é importante.

OBS: O momento de inércia vai ser SEMPRE em relação à um EIXO e não à um PONTO.

Vamos tratar, nesse primeiro momento, dos objetos que chamamos acimas de “pontuais”, ou seja, consideraremos como partículas e analisaremos a rotação delas ao redor de um eixo.

A fórmula é bem simples,

I = m p a r t i c u l a r 2

O r é a distância dessa partícula ao EIXO, lembre-se é a distância ao EIXO.

Quando precisarmos de calcular o momento de inércia de um sistema de partículas, usaremos:

I s i s t e m a = I p a r t í c u l a

Se liga nesse exemplo bem simplesinho:

Vamos calcular o momento de inércia desse sistema com duas partículas.

I s i s t e m a = I p a r t í c u l a = I 1 + I 2

No entanto, temos que:

I 1 = m 1 R 1 2

I 2 = m 2 R 2 2

Portanto:

I s i s t e m a = m 1 R 1 2 + m 2 R 2 2

Logo mais discutiremos outras formas de se calcular o momento de inércia, por enquanto é isso. Não deixe de praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 288-44

As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes:

50   g ,   x = 2,0   c m ,   y = 2,0   c m

25   g ,   x = 0 ,   y = 4,0   c m

25   g ,   x = - 3,0   c m ,   y = - 3,0   c m

30   g ,   x = - 2,0   c m ,   y = 4,0   c m

Quais são os momentos de inércia desse conjunto em relação ao eixos (a) x , (b) y e (c) z ? (d) Suponha que as respostas de (a) e (b) sejam A e B , respectivamente. Nesse caso, qual é a resposta de (c) em termos de A e B ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sabemos que:

I = I p a r t í c u l a = i 4 m i r i 2

Ou seja, vamos fazer para cada partícula:

  • Descobrir a distância até o eixo desejado
  • Elevar essa distância ao quadrado
  • Multiplicar pela massa da partícula

E depois iremos somar todos os resultados para obter o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo. Comecemos pelo eixo x :

I x = 0,05   .   0,02 2 + 0,025   .   0,04 2 + 0,025   .   0,03 2 + 0,03   .   0,04 2

I x = 0,0001305   k g . m 2 I x = 1,305   .   10 - 4   k g . m 2

Passo 2

Fazendo o mesmo pro eixo y :

I y = 0,05   .   0,02 2 + 0,025   .   0 2 + 0,025   .   0,03 2 + 0,03   .   0,02 2

A segunda massa nessa equação aqui de cima tá exatamente sobre o eixo y , beleza? Isso faz com que a sua distância até o eixo y seja nula!

I y = 0,0000545   k g . m 2 I y = 0,545   .   10 - 4   k g . m 2

Passo 3

Já para o eixo z , temos que usar o teorema de Pitágoras para achar a distância do ponto ao eixo:

d z = d x 2 + d y 2

Realizando o mesmo método:

I z = 0,05   .   ( 0,02 2 + 0,02 2 ) + 0,025   .   ( 0 2 + 0,04 2 ) + 0,03   .   0,02 2 + 0,04 2 +   0,025   .   0,03 2 + 0,03 2

I z = 0,000185 I z = 1,85   .   10 - 4   k g . m 2

Outro jeito que a gente pode escrever é

d z 2 = d x 2 + d y 2

Ou seja

I z = m i d z i 2 = m i d x i 2 + d y i 2

E podemos dividir esse negócio em dois somatórios

I z = m i d x i 2 + m i d y i 2

Reconhece esses caras? Eles são I x e I y !!! :o

I z = I x + I y I z = 1,305   .   10 - 4 + 0,545   .   10 - 4

I z = 1,85   .   10 - 4   k g . m 2

Resposta

  1. I x = 1,3   .   10 - 4   k g . m 2
  2. I y = 0,55   .   10 - 4   k g . m 2
  3. I z = 1,85   .   10 - 4   k g . m 2
  4. I z = I x + I y

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFRJ-P2-2012.1-ME4

Considere um corpo rígido constituído por: hastes finas, rígidas, de massa desprezível e de comprimento l e um conjunto de nove massas iguais a m (que podem ser consideradas puntiformes) conforme a figura abaixo. O momento de inércia I A B desse conjunto em torno do eixo A B é dado por:

  1. I A B = 0  
  2. I A B = m l 2
  3. I A B = 6 m l 2
  4. I A B = 9 m l 2
  5. I A B = m 4 l 2 + 4 2 l 2
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O momento de inércia do conjunto é a soma dos momentos de inércia de cada objeto do conjunto.

O momento de inércia de uma partícula em relação ao eixo depende da massa da partícula e da distância da partícula ao eixo. Lembra da fórmula?

I = m r 2

Onde r é a distância da partícula até o eixo.

Passo 2

Vamos ter 3 partículas no eixo, então seu momento de inércia é zero. Enquanto vamos ter 6 partículas a uma distância l do eixo todas com massa m então o momento de inércia I A B vai ser

I A B = 6 m l 2 + 3 0 = 6 m l 2

Resposta

Letra C

Exercício Resolvido #3

Enunciado

USP-P3-2014-2 - a,b,c.

Considere um sistema de cinco objetos puntiformes dispostos em um plano de acordo com a figura a seguir. Cada um dos quatro objetos periféricos possui massa igual a m , enquanto que o quinto, localizado na origem do sistema de coordenadas indicado na figura, tem massa 2 m . Eles são unidos por hastes rígidas e de massas desprezíveis.

a ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo passando pelos objetos 2 e 3 .

b ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pela origem.

c ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto M indicado na figura.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a )

O momento de inércia do sistema pode ser encontrado da seguinte forma:

I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 + m 3 r 3 2 + m 4 r 4 2 + m 5 r 5 2

I = m r 1 2 + r 2 2 + r 3 2 + r 4 2 + 2 r 5 2

Como o eixo de rotação está passando pelos objetos 2 e 3, temos que as distâncias até o eixo de rotação serão:

r 2 = r 3 = 0

r 1 = r 4 = 2 d

r 5 = d

Logo:

I 23 = m 2 d 2 + 0 + 0 + 2 d 2 + 2 d 2

I 23 = 10 m d 2

Passo 2

b )

Temos agora o eixo passando perpendicularmente ao objeto 5. Neste caso, as distâncias dos objetos 1 ao 4 serão os comprimentos das hastes. Então os vetores posições serão agora:

r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = d 2

r 5 = 0

I 5 = m 4 d 2 2

I 5 = 8 m d 2

Passo 3

c )

Com o eixo passando pelo ponto M , teremos as seguintes distâncias:

r 1 = r 4 = r 5 = d

Para calcular as distâncias das partículas 2 e 3 ao eixo, podemos atentar para o triângulo azul abaixo:

A distância r 2 (que é igual a r 3 ) é dada pela hipotenusa do triângulo! Logo, temos:

r 2 2 = d 2 + 2 d 2 = 5 d 2 r 2 = r 3 = 5 d

Continuando, teremos:

I M = m d 2 + 5 d 2 + 5 d 2 + d 2 + 2 d 2 = 14 m d 2

Resposta

a )   I 23 = 10 m d 2

b ) I 5 = 8 m d 2

c ) I M = 14 m d 2

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