Campo Elétrico Gerado por uma Carga Pontual

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Teoria

Introdução

Vamos ver aqui o que geram as forças descritas pela Lei de Coulomb: os chamados campos elétricos.

A carga positiva pode ser entendida como um chafariz que expele água e a carga negativa como um ralo por onde a água escoa. De forma análoga, as linhas de campo elétrico saem das cargas positivas e entram nas cargas negativas.

Calma, logo você vai entender melhor!

Vamos começar olhando para a Lei de Coulomb

Se liga nesse exemplo!

Se tivermos duas cargas, Q 1 e Q 2 , separadas por uma distância d , então podemos calcular a força de atração ou de repulsão por meio da lei de Coulomb:

| F 21 → = | F 12 → = F = K . | Q 1 | .   | Q 2 | d 2   ,

onde F 21 representa a força que Q 2 faz sobre Q 1 , e F 12 representa a força que Q 1 faz sobre Q 2 , beleza?

Para começar, vamos observar apenas a carga Q 1 , reescrevendo a lei de Coulomb de forma a isolar a carga desse corpo:

F 21 = K . Q 1 .   Q 2 d 2 = Q 1 . K . Q 2 d 2 = Q 1 . E 21 .

Na equação acima, denominamos E 21 o módulo do campo elétrico que a carga Q 2 gera no ponto em que está a carga Q 1 . Note que E 21 depende apenas da carga Q 2 e da distância d entre as cargas.

Como eu te falei, o campo elétrico é uma grandeza vetorial. Assim, temos que encontrar a direção e o sentido do vetor campo elétrico E 21 → .

Como a força e o campo são grandezas vetoriais, temos:

Q 1 . E 21 → = F 21 →

Note que a carga Q 1 é positiva. Assim, o sentido e a direção do campo elétrico são idênticos aos da força que a carga Q 2 exerce na carga Q 1 .

No caso da carga negativa, ocorre o oposto:

Q 2 . E 12 → = F 12 →

Como a carga Q 2 é negativa, a direção do campo elétrico E 12 →   é igual à direção da força que a carga Q 1 exerce na carga Q 2 , mas os sentidos são opostos.

Temos, então, a seguinte situação:

Podemos então notar que:

  • O campo E 12 → gerado pela carga positiva (carga Q 1 ) aponta para fora dela.
  • O campo E 21 → gerado pela carga negativa (carga Q 2 ) aponta para dentro dela.

Um detalhe importante:

Como F → = q . E → , fica fácil determinar as unidades do campo elétrico no S.I:

E → = F → q

Como a força é expressa em Newton N , a carga é expressa em Coulombs C , temos que o campo elétrico é expresso em Newton por Coulombs N C .

Campo Elétrico Gerado por uma Carga Positiva

Temos aqui uma carga elétrica puntiforme positiva (e solitária):

O campo elétrico gerado por Q 1 num ponto P situado nos arredores dessa carga é dado por:

E → 1 = K . Q 1 d 2 . n ^

Onde d é a distância da carga até o ponto P .

Observe que o vetor n ^ unitário radial aponta “para fora” da carga Q 1 .

Logo, as linhas de campo elétrico “saem” da carga Q 1 > 0 , apontando para fora, como indicado pelas setas azuis.

Campo Elétrico Gerado por uma Carga Negativa

Vamos agora dar uma olhada na carga solitária negativa:

O caso é parecido e aqui o campo elétrico gerado por Q 2 e que atua num ponto P será dado por:

E → 2 = K . Q 2 d 2 . n ^

Porém, como agora a carga é negativa, então o sentido do vetor E → 2 se inverte em relação ao caso da carga positiva: as linhas de campo elétrico “entram” na carga Q 2 , como indicado pelas setas laranjas.

Resumindo...

Temos, então, uma diferença básica entre campos gerados por cargas positivas e os gerados por cargas negativas:

  • Cargas positivas “cospem” o campo elétrico.
  • As cargas positivas podem ser comparadas a um chafariz, que solta água em todos os seus arredores.

  • Cargas negativas “sugam” o campo elétrico.

As cargas negativas se comportam como um ralo, que suga a água dos seus arredores.

Superposição de campos elétricos

Lá na Lei de Coulomb aplicamos o princípio da superposição para casos onde tínhamos mais de duas cargas interagindo.

Esse mesmo princípio também pode ser aplicado a campos elétricos.

Vamos analisar a seguinte situação: temos uma carga positiva e outra negativa interagindo no vácuo. A boa de hoje é calcular o campo elétrico resultante dessa configuração no ponto P , de acordo com a figura abaixo.

Olá!

Vamos iniciar dando nomes aos bois nesse nosso exemplo:

Q 1 = - 1   n C = - 10 - 9   C

Q 2 = + 2   n C = 2 × 10 - 9   C

d 1 = 3   m

d 2 = 2   m

Vamos, agora, calcular o vetor campo elétrico gerado por cada uma dessas cargas no ponto P , ok?

E 1 → = K 0 . Q 1 d 1 2 . n ^ = 9 × 10 9 × - 10 - 9 3 2 . n ^ = - 3   n ^   N C

E 2 → = K 0 . Q 2 d 2 2 . n ^ = 9 × 10 9 × 2 × 10 - 9 2 2 . n ^ = 9   n ^   N C

Para as duas cargas, o vetor unitário que tomamos é o mesmo: um vetor de módulo n ^ = 1 , que aponta para a direita, como mostra a figura abaixo. Saca só!

Sendo assim, o campo elétrico resultante será a soma vetorial de todos os campos elétricos, logo:

E R → = E 1 → + E 2 →

E R → = - 3   n ^   N C + 9   n ^   N C

E R → = 6   n ^ N C

Show! Para fechar: e se colocássemos uma carga q = 3 C exatamente no ponto P , qual seria, nesse caso, a força resultante que age sobre ela?

Bom, poderíamos fazer isso calculando a força que cada carga exerceria sobre a nossa carga q e depois calcular a força resultante, ou podemos simplesmente utilizar o valor do campo elétrico resultante no ponto P , que nós acabamos de calcular.

Dessa forma, a força resultante sobre a carga q seria:

F R → = q . E R →

F R → = 3 × 6 = 18   n ^   N

Entendeu numa boa? #PartiuExercitar

Campo Elétrico Gerado por uma Carga Positiva

Campo Elétrico Gerado por uma Carga Negativa

Resumindo...

Superposição de campos elétricos

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Qual é o módulo de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50   c m de distância tem um módulo igual a 2,0 N C ?

Passo 1

Substituir na fórmula do campo elétrico:

E = K . q d 2 → 2 N C = 9.10 9 . q 50.10 - 2 2 → q = 2 . 50.10 - 2 2 9.10 9 C = 0,0555 … n C

Resposta

q =   0,0555 . . .   n C

Exercício Resolvido #2

Uma carga puntiforme q 1 = + 8   n C está na origem e uma segunda carga puntiforme q 2 = + 12,0   n C está no eixo x em x = 4,0   m . Determine o campo elétrico no eixo y em y = 3,0   m .

Passo 1

Sejam E → 1 e E → 2 respectivamente os campos gerados por q 1 e q 2 .

O campo elétrico total vai ser E → = E → 1 + E → 2 , sendo que E → 1 tem componente apenas no eixo y enquanto E → 2 tem componentes no eixo x e y .

O que a gente tem nesse problema é tipo isso aqui

O módulo do campo elétrico devido a uma carga pontual é

E = k q d 2

Vamos usar essa formulazinha pra calcular o campo elétrico em y = 3   m devido a cada uma das cargas puntiformes.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o módulo do campo elétrico em y = 3,0   m devido à carga q 1

E 1 = k q 1 3 2

E 1 = 7,99   N / C

Pela imagem do enunciado, percebemos que E → 1 tem componentes apenas no eixo y , logo E → 1 x = 0 e E → 1 y = 7,99   N / C .

Agora, vamos calcular o módulo do campo elétrico devido à carga q 2

E 2 = k q 2 5 2

E 2 = 4,32   N / C

Na imagem, vemos que E → 2 tem uma componente negativa no eixo x e uma positiva no eixo y . Elas são dadas por

E → 2 x = - 4,32 × s e n θ = - 3,46   N / C

E → 2 y = 4,32 × cos ⁡ θ = 2,59   N / C

Ah, lembrando que s e n θ = 4 5 e que cos ⁡ θ = 3 5 , por trigonometria.

Passo 3

Agora, podemos finalmente calcular o campo elétrico total E → . Suas componentes em cada eixo vão ser

E → x = E → 1 x + E → 2 x = - 3,46   N / C

E → y = E → 1 y + E → 2 y = 10,6   N / C

O módulo de E → vai ser

E = E x 2 + E y ² = 11,2   N / C

E, finalmente, vamos calcular o ângulo entre E → e o eixo x

∅ = t a n - 1 E y E x = 108 °

Agora já temos o módulo do nosso vetor campo elétrico e o ângulo que ele faz com o eixo x , logo, temos o campo elétrico total em y = 3   m :)

Resposta

E = 11,2   N / C ,   108 °

Exercício Resolvido #3

Três cargas de 1,0   n C estão dispostas como mostra a figura. Cada uma das cargas cria um campo elétrico E em um ponto diretamente à frente da carga central e a 3,0   c m da mesma.

a ) Quais são os três campos E 1 , E 2 e E 3 criados, respectivamente, pelas três cargas? Escreva sua resposta para cada um dos campos como um vetor em função das componentes correspondentes.

b ) O campo elétrico satisfaz o princípio da superposição, logo, existe um “campo resultante” neste ponto dado por E r e s = E 1 + E 2 + E 3 . Calcule o valor deste campo.

Passo 1

a )

Para resolver essa questão, vamos adotar o sistema de coordenadas usual:

Lembrando que uma carga genérica q produz um campo igual a:

E → = k . q r 2 r ^

Agora é só analisar os três casos, lembrando que o campo elétrico “sai” das cargas positivas. Vamos para a primeira carga q 1 !

Passo 2

Para a carga q 1 , teremos duas componentes, uma em x , que será positiva, e uma em y , que será negativa, dá uma olhada!

E x → = E 1 . cos ⁡ θ = E 1 . 3 3 2 + 1 2   i ^  

E y → = E 1 . sen ⁡ θ = E 1 . 1 3 2 + 1 2   ( - j ^ )

Para determinar o módulo de E 1 , basta usar a fórmula, se liga!

E = k . q r 2

E 1 = 9 × 10 9 . 1,0 × 10 - 9 3 2 + 1 2 × 10 - 2 2

E 1 = 9,0 × 10 3   N / C

Agora é só substituir e determinar as componentes!

E x → = E 1 . 3 10   i ^ = 9,0 × 10 3 . 3 10   i ^ = 8,54 × 10 3   i ^   N / C

E y → = E 1 . 1 10   - j ^ = 9,0 × 10 3 . 1 10   - j ^ = 2,85 × 10 3   - j ^   N / C

A resultante E 1 → fica:

E 1 → = E x → + E y →

E 1 → = 8,54 × 10 3   i ^   + 2,85 × 10 3   - j ^   N / C

Agora vamos para q 3 !

Passo 3

Para q 3 , é bem mais simples, temos apenas a componente x . Utilizando a fórmula, temos:

E 3 → = k . q r 2   i ^ = 9,0 × 10 9 .   1,0 × 10 - 9 3 × 10 - 2 2   i ^ = 1,0 × 10 4   i ^   N / C

Bora agora pra q 2 , que é bem parecida com q 1 . Simbora acabar com isso!

Passo 4

Para q 2 , temos uma situação bem parecida com q 1 , só que agora, a componente y será positiva. Temos então:

E x → = E 2 . cos ⁡ θ = E 2 . 3 3 2 + 1 2   i ^

E y → = E 2 . sen ⁡ θ = E 2 . 1 3 2 + 1 2   j ^

Vamos primeiro determinar E 2 , depois é só substituir!

E 2 = k . q r 2 = 9,0 × 10 9 .   1,0 × 10 - 9 3 2 + 1 2 × 10 - 2 2 = 9,0 × 10 3   N / C

Substituindo, temos:

E x → = 9,0 × 10 3 . 3 10   i ^ =   8,54 × 10 3   i ^   N / C

E y → = 9,0 × 10 3 . 1 10   j ^ = 2,85 × 10 3   j ^   N / C

A resultante E 2 → fica:

E 2 → = 8,54 × 10 3   i ^ + 2,85 × 10 3   j ^   N / C

Passo 5

b )

Para achar a resultante, basta somar os vetores que achamos no item anterior!

E → r e s = E 1 → + E 2 → + E 3 →

Substituindo, temos:

E → r e s = 8,54 × 10 3   i ^   + 2,85 × 10 3   - j ^ + 1,0 × 10 4   i ^ + 8,54 × 10 3   i ^ + 2,85 × 10 3   j ^  

E → r e s = 2,71 × 10 4   i ^   N / C

Resposta

a )  

E 1 → = 8,54 × 10 3   i ^   + 2,85 × 10 3   - j ^   N / C

E 3 → = 1,0 × 10 4   i ^   N / C

E 2 → = 8,54 × 10 3   i ^ + 2,85 × 10 3   j ^   N / C

b )

E → r e s = 2,71 × 10 4   i ^   N / C

Exercício Resolvido #4

Duas cargas puntiformes q são colocadas sobre o eixo O x , uma no ponto x = a a outra no ponto x = - a . Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo O x .

Passo 1

Começar desenhando o problema é sempre uma boa:

Beleza. À partir do desenho, podemos perceber que temos três regiões críticas:

  1. x < - a
  2. - a < x < a
  3. x > a

Não podemos tentar calcular o campo “em cima” de uma das cargas pois a distância dela para si mesma seria zero, o que resultaria numa divisão por zero na fórmula do campo. Beleza? Vamos agora calcular para cada um dos casos.

Passo 2

A expressão para o campo de uma carga puntiforme é a seguinte:

E → = k q r 2 r ^

Onde r é a distância do ponto que queremos até a carga.

- Para - a < x < a :

A contribuição da carga em x = - a é positiva (aponta para o sentido positivo de O x ), já a da carga em x = a é negativa. Portanto:

E x = k q a + x 2 - k q a - x 2

E x = k q 1 a + x 2 - 1 a - x 2

Desenvolvendo:

E x = k q a - x 2 a + x 2 a - x 2 - a + x 2 a - x 2 a + x 2

E x = k q a - x 2 - a + x 2 a + x 2 a - x 2

E x = k q a 2 - 2 a x + x 2 - ( a 2 + 2 a x + x 2 ) a + x 2 a - x 2  

Cancelando os termos da subtração:

E x = k q - 4 a x a + x 2 a - x 2

Ainda dá pra simplificar um pouco esse denominador fazendo

a + x 2 a - x 2 = a + x a - x a + x a - x

a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 a 2 - x 2

a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 2

Aí o campo fica

E x = k q - 4 a x a 2 - x 2 2