Lei de Coulomb

Teoria Completa

Fala aí, n��s somos o Responde Aí, e estamos aqui hoje para fazer você entender de uma vez por todas a Lei de Coulomb.

Quando falamos de cargas e corpos elétricos existem dois princípios que são muito importantes:

  • Cargas de mesmo sinal se repelem

  • Cargas de sinais opostos se atraem

Essa atração ou repulsão ocorre porque existe uma força, que chamamos de força elétrica atuando sobre essas cargas. E a grande questão é: Como calcular exatamente quanto vale essa força de atração ou de repulsão entre as cargas? E foi pra acabar com esse "problema" que surgiu a Lei de Coulomb.

Lei de Coulomb

O responsável pelo desenvolvimento da Lei de Coulomb foi o físico francês Charles Augustin de Coulomb.

Considere duas cargas puntiformes positivas que estão separadas por uma distância d.

Existe uma força elétrica que atuará sobre cada uma dessas cargas e o módulo da força elétrica entre essas duas cargas $Q_1$ e $Q_2$, separadas por uma distância $d$ , é dado pela seguinte fórmula:

$$F_e=\frac{K|Q_1||Q_2|}{d^2}$$

Onde:

  • $F_e$ é o módulo/intensidade da forçaa elétrica, em $Newton (N)$;
  • $|Q_1|$ e $|Q_2|$ são os módulos das cargas $Q_1$ e $Q_2$, respectivamente, em $Coulomb (C)$;
  • $d$ é a distância entre as cargas, em $metros (m)$, e;
  • $K$ é a constante eletrostática. Ela é uma constante de proporcionalidade e depende do meio no qual as cargas estão. Quando estamos no vácuo o seu valor é esse aqui: $K=9,0~.~10^9 ~~Nm^2/C^2$.

E essa é a tal da Lei de Coulomb.

Opa! Mas estamos falando de uma força elétrica, que é uma grandeza vetorial, sendo assim, precisamos saber determinar também a sua direção e sentido.

A sua direção é a mesma da reta que liga os centros dos dois corpos em questão.

Já vimos que a força elétrica pode ser de atração (cargas de sinais opostos) ou de repulsão (cargas de mesmo sinal) e, assim sendo, para o nosso exemplo o seu sentido é dado conforme a figura abaixo:

É importante a gente observar também que há uma força elétrica atuando em casa uma das cargas que estão interagindo, e como o módulo das cargas se mantém o mesmo, a força aplicada em ambas as cargas possuem o mesmo módulo , mas com sentidos opostos. Essa informação é importante ein, guarda no coração, combinado? hahaha

Só lembrando que estamos considerando a orientação positiva aquela que parte da esquerda para a direita, e por isso a força que age sobre a carga da esquerda é negativa, mas isso é apenas uma convenção! Você podia convencionar o contrário caso quisesse, mas é importante deixar sempre bem claro o que você esta considerando.

Podemos agora estender para interação entre duas cargas negativas e cargas diferentes. O módulo continuará sendo dado pela Lei de Coulomb e a direção e sentido serão como na figura abaixo:

Observando a fórmula, podemos dizer que a força elétrica descrita pela Lei de Coulomb é:

  • Diretamente proporcional às cargas dos corpos: se duplicarmos uma das cargas, duplicamos a força.
  • Inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as cargas: se duplicarmos a distância (ou seja, utilizarmos $2d$ ao invés de $d$ ), iremos dividir a força por $2^2=4$.

Exercício

Topa fazer um exercício aqui comigo para fixar esse conceito? Então bora lá.

Dado a figura abaixo, calcule o vetor força elétrica que a partícula 1 faz na partícula 2 e o que a partícula 2 faz na partícula 1. Sabendo que as cargas são dadas por: $q_1=2C$ e $q_2=5C$.

RESOLUÇÃO:

Primeira coisa que vamos fazer é aplicar a Lei de Coulomb para sabermos o módulo da força elétrica e, para isso precisamos organizar os dados que temos:

$$d=10m ~~; ~~|q_1|=2~C~~;~~|q_2|=5~C~~e~~K=9~.~10^9~Nm^2/C^2$$

Sabendo esses dados, podemos aplicar a Lei de Coulomb:

$$F_e=\frac{K|Q_1||Q_2|}{d^2}=\frac{9~.~10^9~.~2~.~5}{10^2}=9~.~10^8 N$$

Prontinho, já calculamos o módulo, agora só precisamos orientar as forças. Como as duas cargas são positivas as forças serão de repulsão. Então a força que 1 faz em 2 será da esquerda para direita (sentido positivo) e a força que 2 faz em 1 será da direta para esquerda (sentido negativo):

$$\vec F_{1-2}=9~.~10^8 N$$
$$\vec F_{2-1}=~-~9~.~10^8 N$$

Prontinho!

Vídeo

Sim, nós temos esse conteúdo em vídeo também, então se você prefere assistir uma boa aula, é só conferir aqui:

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dado um sistema isolado conforme discriminado abaixo:

As cargas são dadas por: q 1 = 2 C e q 2 = 5 C .

Calcule a força elétrica que a partícula 1 faz na 2 e a que a partícula 2 faz na 1.

Dado: k = 9 × 10 9   N ∙ m 2 ∙ C - 2

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Passo 1

Aplicando a fórmula da força elétrica:

| F → | = k | q 1 | | q 2 | d 2

Substituindo os valores das cargas e da distância, podemos calcular o seu módulo:

F → = k × 2 × 5 10 2 = k 10

Substituindo o valor de k = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 :

F → = 9 × 10 9 10

F → = 9 × 10 8   N

Passo 2

A partir daí, basta orientar a força de cada partícula. Como ambas tem a mesma carga, a força é repulsiva, ou seja, no sentido de afastar as duas.

Portanto, a carga q 1 vai fazer em q 2 uma força para a direita. Logo:

F → 1 → 2 = 9 × 10 8 , 0 N

Ou, para quem gosta da outra notação, multiplicamos pelo vetor i ^ o módulo para que ele aponte na direção certa:

F → 1 → 2 = 9 × 10 8 i ^   ( N )

Passo 3

Pela mesma lógica, a partícula q 2 faz em q 1 uma força que aponta para a esquerda. Portanto:

F → 2 → 1 = 9 × 10 8 - i ^   ( N )

Ou seja:

F → 2 → 1 = - 9 × 10 8 i ^   ( N )

Sem fazer esse raciocínio, nós poderíamos também ter chegado à essa conclusão pela Lei de Newton da ação e reação.

Resposta

F → 1 → 2 = 9 × 10 8 i ^   ( N )

F → 2 → 1 = - 9 × 10 8 i ^   ( N )

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Dada a configuração de cargas abaixo:

Onde:

q 1 = - 2 Q

q 2 = - Q

q 3 = Q

Calcule a força resultante sobre a carga q 3 .

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Passo 1

Para calcular a força resultante sobre a carga, basta somarmos todas as forças sendo exercidas nela, essa estratégia é conhecida também como superposição dos efeitos. Usaremos pra ambas as cargas a equação:

F → = k q 1 q 2 r 2 r ^

Onde r ^ é a direção da força entre a cargas e r ² é o quadrado da distância entre elas. Vamos desenhar as distâncias das cargas até a carga q 3

Então vamos começar calculando a força que q 1 faz em q 3 :

F → 1 → 3 = k q 1 q 3 r 2 2 r ^ = k 2 ( - 2 Q ) ( Q ) r 1 2 r ^

F → 1 → 3 = - k 2 Q 2 r 1 2 r ^

E encontramos a distância ao quadrado por Pitágoras:

r 1 2 = - 3 2 + 4 2

r 1 2 = 25

Substituindo:

F → 1 → 3 = - 2 k Q 2 25 r ^

Passo 2

Agora precisamos achar o vetor unitário r ^ . É apenas um exercício de trigonometria. Sabemos que ele aponta de q 1 para q 3 :

Decompondo, nós temos:

r ^ = sen ⁡ θ i ^ - cos ⁡ θ j ^

Agora temos:

sen ⁡ θ = 3 5

cos ⁡ θ = 4 5

Por consequência, obtemos:

F → 1 → 3 = - 2 k Q 2 25 3 5 i ^ - 4 5 j ^

F → 1 → 3 = k Q 2 - 6 125 i ^ + 8 125 j ^

Passo 3

Fazendo o mesmo processo para a interação entre as cargas 2 e 3:

F → 2 → 3 = k q 2 q 3 r 2 2 r ^ = k ( - Q ) ( Q ) r 2 2 r ^

Encontramos:

r 2 2 = 5 2 + 12 2

r 2 2 = 13 2

Portanto:

F → 2 → 3 = - k Q 2 13 2 r ^

Passo 4

Buscamos agora encontrar o vetor que dá a direção da força que a carga 3 exerce em 2.

Temos:

r ^ = - sen ⁡ ϕ i ^ - c o s ⁡ ( ϕ ) j ^

Onde:

sen ⁡ ϕ = 12 13

cos ⁡ ϕ = 5 13

Portanto obtemos:

F → 2 → 3 = - k Q 2 13 2 - 12 13 i ^   - 5 13   j ^

F → 2 → 3 = k Q 2 12 13 3 i ^ - 5 13 3 j ^

Passo 5

Para achar a força resultante, basta somar!

F → R = F → 1 → 3 + F → 2 → 3 = k Q 2 - 6 125 i ^ + 8 125 j ^ + k Q 2 12 13 3 i ^ - 5 13 3 j ^

Não vamos nem brincar de arrumar isso aí, né..? Ninguém merece.

O importante é você ter entendido a ideia.

Resposta

F → R = k Q 2 - 6 125 i ^ + 8 125 j ^ + k Q 2 12 13 3 i ^ - 5 13 3 j ^

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física III – Eletromagnetismo, 12ª ed. São Paulo, 2010, pp. 32

Três cargas puntiformes estão dispostas ao longo do eixo x . A carga q 1 = 3   μC está na origem e a carga q 2 = - 5   μC está em x = 0,2   m . A carga q 3 = - 8   μC . Onde q 3 estará localizado quando a força resultante sobre q 1 for 7   N no sentido - x ?

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Passo 1

Se tomarmos a liberdade de desenhar essa bagaça, vamos poder começar a entender melhor o problema:

Lembrando que não precisa colocar o q 3 no desenho pois sua posição é desconhecida. Você pode até colocar, mas contanto que isso não te sugestione a pensar que a carga deve ficar necessariamente na parte positiva do eixo x (que é o que 90% das pessoas fazem).

Podemos ver que, pelo sinal das cargas, a força em q 1 é atrativa e portanto aponta para a direita ( x ^ ).

Passo 2

Do enunciado, sabemos que a resultante em q 1 é 7   N no sentido de - x ^ , portanto:

F → 2 → 1 + F → 3 → 1 = - 7 x ^

Uma vez que tenhamos uma dessas forças, podemos calcular a outra.

Passo 3

Podemos aplicar a Lei de Coulomb para achar a força resultante em q 1 , onde nossa incógnita é a distância entre q 1 e q 3 , pois a posição de q 3 é desconhecida.

F → 2 → 1 = k q 1 q 2 r 12 2 r ^

Plugando os valores, e sabendo que o vetor unitário r ^ (que aponta da carga que faz a força para aquela que sofre a força) no eixo O x é o nosso - x ^ (menos xis chapéu).

F → 2 → 1 = ( 9 × 10 9   N∙ m 2 ∙ C -2 ) 3   μC × - 5   μC 0,2   m 2 ( - x ^ )

F → 2 → 1 = ( 9 × 10 9   N∙ m 2 ∙ C -2 ) 3 × 10 - 6   C × - 5 × 10 - 6   C 0,2   m 2 ( - x ^ )

Fazendo de cabeça:

F → 2 → 1 = 3,37   N   x ^

Passo 4

Aplicando esse valor encontrado na equação da resultante:

F → 2 → 1 + F → 3 → 1 = - 7   N   x ^

3,37 x ^ + F → 3 → 1 = - 7 x ^

F → 3 → 1 = - 10,37   N   x ^

Agora show. Como a carga q 3 e q 1 tem sinais opostos, sabemos que ela fazem uma força atrativa entre si. Logo, o único jeito dela fazer uma força atrativa no sentido de - x é estando na parte negativa do eixo x :

Se não se convenceu tente colocar ela em outra posição.

Passo 5

Aplicando a mesma lógica para as cargas q 3 e q 1 :

F → 3 → 1 = k q 1 q 3 r 13 2 r ^

Neste caso, tratar com o módulo do vetor facilita nossa vida:

F 3 → 1 = k q 1 q 3 r 13 2

Sabendo que o r 13 é a nossa incógnita desejada:

x = r 13

Isolamos:

x 2 = k q 1 q 3 F 3 → 1

Plugamos os valores:

x = ± 0,144   m

Como já conseguimos inferir que q 3 deve estar na parte negativa do eixo x , substituímos:

x = - 0,144   m

Resposta

x = - 0,144   m

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física III – Eletromagnetismo, 12ª ed. São Paulo, 2010, pp. 36

Duas esferas idênticas de massa m estão suspensas em fios de seda (??) de comprimento L , como indicado na figura abaixo. Cada esfera possui a mesma carga; logo, q 1 = q 2 = q . O raio de cada esfera é muito pequeno em comparação à distância entre as esferas, de modo que elas podem ser consideradas cargas puntiformes. Mostre que, se o ângulo θ for pequeno, a distância d no equilíbrio entre as esferas será dada por d = q 2 L 2 π ϵ 0 m g 1 / 3 .

Sugestão: quando θ for pequeno, então t g θ ≈ sen ⁡ θ

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Passo 1

Belezinha. Questão que remete à Física I, a parada é fazer as equações do equilíbrio para as esferas:

Σ F x = 0

Σ F y = 0

Na realidade, por causa da simetria só precisa fazer as equações pra uma delas. Então partiu.

Decompondo para a esfera da esquerda:

Temos que as equações são:

Σ F x = T s e n θ - F c = 0

Σ F y = T c o s θ - m g = 0

A brincadeira é resolver para a distância d entre as esferas, que ainda não apareceu na equação. Ainda tem uma incógnita que não tratamos, que é a força repulsiva F c entre as esferas.

Passo 2

Sabemos também que a força F c entre as esferas é dada pela equação de Coulomb:

F c = k q × q d 2

F c = k q 2 d 2

Substituindo:

T s e n θ - k q 2 d 2 = 0

d 2 = k q 2 T s e n θ

Agora falta se livrar dessa tensão, que não é dado.

Passo 3

Usando a equação do equilíbrio em y , temos:

T c o s θ - m g = 0

T = m g cos ⁡ ( θ )

Substituindo:

d 2 = cos ⁡ θ m g × k q 2 s e n θ

Arrumando a bagunça:

d 2 = k q 2 m g × 1 t g ( θ )

Agora é a hora de usar o dado do enunciado!

Passo 4

Como foi dado que, para θ pequeno temos:

t g θ ≈ sen ⁡ θ

Tiramos da figura o seno:

sen ⁡ θ = d 2 L

Substituindo na equação:

d 2 = k q 2 m g × 2 L d

Agora é só isolar o d :

d 3 = 2 k q 2 L m g

Substituindo o valor de k :

k = 1 4 π ϵ 0

Temos que:

d 3 = q 2 L 2 π ϵ 0 m g

E fim de papo. O resto é só tirar a raiz:

d = q 2 L 2 π ϵ 0 m g 1 / 3

Resposta

Exercício Resolvido #5

UFRJ-P1-2014.2-Múltipla Escolha n°1

Considere um quadrado, com aresta de comprimento a , com partículas em todos os seus 4 vértices, conforme mostra a figura.

Qual é o módulo da força elétrica resultante sobre a partícula no vértice superior direito?

a 2 q 2 / ( 4 π ϵ 0 a 2 )

b 2 q 2 / ( 8 π ϵ 0 a 2 )

c 0

d 5 q 2 / ( 4 π ϵ 0 a 2 )

e 2 + 2 q 2 / ( 4 π ϵ 0 a 2 )

f 2 - 2 q 2 / ( 4 π ϵ 0 a 2 )

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Passo 1

Beleza, vamos começar calculando o vetor força elétrica resultante sobre a partícula no vértice superior direito. Pra isso, vamos calcular, separadamente, as forças que cada outra partícula faz sobre a partícula que estamos interessados.

Lembrando que a força elétrica entre duas cargas é dada por:

F → = 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r 2 r ^

Vamos começar numerando as cargas pra não nos enrolarmos:

Levando em consideração os sinais das cargas, as forças terão os seguintes sentidos:

Agora já podemos começar a escrever as forças elétricas.

Passo 2

  • Força elétrica de 2 sobre 1:
  • F → 21 = 1 4 π ϵ 0 q 2 a 2 x ^

  • Força elétrica de 4 sobre 1:
  • F → 41 = 1 4 π ϵ 0 q 2 a 2 y ^

  • Força elétrica de 3 sobre 1:

F → 31 = 1 4 π ϵ 0 2 2 q 2 2 a 2 - sen ⁡ 45 ° x ^ - cos ⁡ 45 ° y ^

F → 31 = 1 4 π ϵ 0 2 2 q 2 2 a 2 - 2 2 x ^ - 2 2 y ^

F → 31 = - 1 4 π ϵ 0 2 q 2 a 2 2 2 x ^ + y ^

F → 31 = - 1 4 π ϵ 0 2 q 2 2 a 2 x ^ + y ^

F → 31 = - 1 4 π ϵ 0 q 2 a 2 x ^ + y ^

Finalmente, o vetor força resultante sobre a carga 1 será:

F → 1 = F → 21 + F → 31 + F → 41