Lei de Coulomb

Teoria Completa

Introdução

Vimos que dois corpos carregados podem se atrair ou se repelir, não é? Mas como calcular exatamente quanto vale essa força de atração ou de repulsão entre as cargas? É pra isso que precisamos da Lei de Coulomb!!

A Lei de Coulomb

Considere duas cargas puntiformes positivas que estão separadas por uma distância d.

Existe uma força elétrica que atuará sobre cada uma dessas cargas e o módulo da força elétrica entre essas duas cargas Q 1 e Q 2 , separadas por uma distância d , é dado pela seguinte fórmula:

F e = K . | Q 1 | . | Q 2 | d 2

onde F e é a força elétrica e K , a constante eletrostática. E essa é a tal da Lei de Coulomb.

Se liga que, como estamos interessados no módulo da força elétrica, utilizamos somente o módulo das cargas Q 1 e Q 2 , não importando os seus sinais.

Opa! Mas a força elétrica é um vetor e, sendo assim, precisamos saber determinar também a sua direção e sentido.

A sua direção é a mesma da reta que liga os centros dos dois corpos em questão.

Já vimos que a força elétrica pode ser de atração (cargas de sinais opostos) ou de repulsão (cargas de mesmo sinal) e, assim sendo, para o nosso exemplo o seu sentido é dado conforme a figura abaixo:

É válido observar que, como o módulo das cargas se mantém o mesmo, a força aplicada em ambas as cargas possui o mesmo módulo, mas com sentidos opostos!

Só lembrando que estamos considerando a orientação positiva aquela que parte da esquerda para a direita, e por isso a força que age sobre a carga da esquerda é negativa, mas isso é apenas uma convenção!

Podemos agora estender para interação entre duas cargas negativas e cargas diferentes. O módulo continuará sendo dado pela Lei de Coulomb e a direção e sentido serão como na figura abaixo:

Observando a fórmula, podemos dizer que a força elétrica descrita pela Lei de Coulomb é:

  • Diretamente proporcional às cargas dos corpos: se duplicarmos uma das cargas, duplicamos a força.
  • Inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as cargas: se duplicarmos a distância (ou seja, utilizarmos 2 d ao invés de d ), iremos dividir a força por 2 2 = 4 .

A Lei de Coulomb também pode ser representada na sua forma vetorial:

F → e = K Q 1 Q 2 r 2 r ^

onde r ^ é o vetor unitário com direção da reta que interliga os centros dos corpos e sentido dado pela análise das cargas (se têm o mesmo sinal ou não).

Constante Eletrostática

Finalmente, vamos entender quem é essa tal de constante eletrostática, K .

Para isso devemos determinar duas coisas: as unidades de K no Sistema Internacional e o valor de K nesse mesmo sistema.

Para calcular as unidades, basta trabalhar na lei de Coulomb apenas com as unidades já conhecidas:

  • A unidade [ Q ] da carga é o coulomb ( C ) ;
  • A unidade [ d ] da distância é o metro ( m ) ;
  • A unidade [ F ] da força é o newton ( N ) .

Queremos saber a unidade [ K ] da constante eletrostática. Substituindo na equação da Lei de Coulomb, temos:

F = K . Q 2 D 2 → K = F . D 2 Q 2 = N . m 2 C 2   .  

Já o valor de K , expresso na unidade acima, é determinado experimentalmente. No vácuo (caso geral considerado nos problemas), chamaremos de K 0 , e esse valor é:

K 0 ≈ 9.10 9 N . m 2 C 2   .

Essa constante K 0 também pode ser expressa de outra forma, em função de uma nova constante ϵ 0 , denominada permissividade elétrica. Também no vácuo, temos:

K 0 = 1 4 . π . ϵ 0   .

O que nos diz que

ϵ 0 = 1 4 . π . K ≈ 8,85.10 - 12 . C 2 N . m 2   .

Note que, como a permissividade é calculada como o inverso de K 0 , a sua unidade é exatamente o inverso da unidade de K 0 (ou seja, K 0 - 1 ).

Podemos então reescrever a lei de Coulomb da seguinte forma (que às vezes é cobrada em muitas questões de prova):

F e = K 0 . | Q 1 | . | Q 2 | d 2 = 1 4 . π . ϵ 0 . | Q 1 | . | Q 2 | d 2    

Fora do vácuo, em outro material, devemos trocar as constantes K 0 e ϵ 0 utilizadas para K m e ϵ m , resultando em:

F e = K m . | Q 1 | . | Q 2 | d 2 = 1 4 . π . ϵ m . | Q 1 | . | Q 2 | d 2   .

Onde K m representa a constante eletrostática do material e ϵ m representa a permissividade elétrica no material.

Então atenção!

  • Quando se fala permissividade, estamos nos referindo à constante ϵ .
  • Quando se fala constante eletrostática, estamos nos referindo à constante K .

Mas e se tivéssemos mais de duas cargas interagindo?

Vamos imaginar o seguinte exemplo: dadas as três cargas na figura abaixo, a nossa missão aqui é calcular o módulo da força elétrica resultante sobre a carga A .

Sabe-se que os módulos das cargas A , B e C valem 1 C , 2 C e 3 C , respectivamente. O ângulo B Â C vale 60 graus.

Solução: Para resolvermos, devemos representar, primeiramente, as forças atuantes em A, que tem direções do segmento A B - e do segmento A C - . Como já vimos, as cargas A e B irão se atrair, já que seus sinais são opostos. O mesmo é valido para as cargas A e C.

Pela lei de Coulomb podemos calcular os módulos das forças F → A B e F → A C :

F → A B = K 0 . | Q A | . | Q B | 2 2 = K 0 . 1.2 2 2 = K 0 2  

F → A C = K 0 . | Q A | . | Q c | 3 2 = K 0 . 1.3 3 2 = K 0 3  

Vamos deixar para substituir o valor da constante K 0 no final do exercício. Assim fica mais fácil trabalhar com os números!

Agora, para obtermos a força elétrica resultante sobre a carga A temos que somar as duas forças, mas como é uma soma vetorial temos que aplicar a regra do paralelogramo para somar os vetores:

F → R 2 = F → A B + F → A C 2

Opa! Como conhecemos os módulos das forças e o ângulo formado entre elas, podemos usar a Lei dos Cossenos pra calcular o módulo do vetor resultante.

Então teremos o seguinte:

F → R 2 = F → A B 2 + F → A C 2 - 2 . F → A B . F → A C . cos ⁡ 120 º

Substituindo todos os dados que temos:

F → R 2 = K 0 2 2 2 + K 0 2 3 2 - 2 . K 0 2 . K 0 3 . - 1 2 = K 0 2 . 1 4 + 1 9 + 1 6 = 19 K 0 2 36

Logo:

F R = F → R = 19 K 0 2 36 = K 0 . 19 6 = 9.10 9 . 19 6 = 3.10 9 . 19 2   N

Note que somamos a contribuição individual da carga B sobre a carga A e da carga C sobre a carga A. Isso é o teorema da superposição.

Segundo este teorema, basta fazer a soma vetorial das forças que agem sobre um mesmo corpo para descobrir a força resultante.

Bom, por aqui é só. =]

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dado um sistema isolado conforme discriminado abaixo:

As cargas são dadas por: q 1 = 2 C e q 2 = 5 C .

Calcule a força elétrica que a partícula 1 faz na 2 e a que a partícula 2 faz na 1.

Dado: k = 9 × 10 9   N ∙ m 2 ∙ C - 2

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Passo 1

Aplicando a fórmula da força elétrica:

| F → | = k | q 1 | | q 2 | d 2

Substituindo os valores das cargas e da distância, podemos calcular o seu módulo:

F → = k × 2 × 5 10 2 = k 10

Substituindo o valor de k = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 :

F → = 9 × 10 9 10

F → = 9 × 10 8   N

Passo 2

A partir daí, basta orientar a força de cada partícula. Como ambas tem a mesma carga, a força é repulsiva, ou seja, no sentido de afastar as duas.

Portanto, a carga q 1 vai fazer em q 2 uma força para a direita. Logo:

F → 1 → 2 = 9 × 10 8 , 0 N

Ou, para quem gosta da outra notação, multiplicamos pelo vetor i ^ o módulo para que ele aponte na direção certa:

F → 1 → 2 = 9 × 10 8 i ^   ( N )

Passo 3

Pela mesma lógica, a partícula q 2 faz em q 1 uma força que aponta para a esquerda. Portanto:

F → 2 → 1 = 9 × 10 8 - i ^   ( N )

Ou seja:

F → 2 → 1 = - 9 × 10 8 i ^   ( N )

Sem fazer esse raciocínio, nós poderíamos também ter chegado à essa conclusão pela Lei de Newton da ação e reação.

Resposta

F → 1 → 2 = 9 × 10 8 i ^   ( N )

F → 2 → 1 = - 9 × 10 8 i ^   ( N )

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Dada a configuração de cargas abaixo:

Onde:

q 1 = - 2 Q

q 2 = - Q

q 3 = Q

Calcule a força resultante sobre a carga q 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para calcular a força resultante sobre a carga, basta somarmos todas as forças sendo exercidas nela! Então vamos começar calculando a força que q 1 faz em q 3 , que é contrária à força que q 3 faz em q 1 . Aplicando a fórmula:

F → 1 → 3 = - F → 3 → 1 = - k q 1 q 3 r 2 r ^

Substituindo o módulo das cargas:

F → 1 → 3 = - k 2 Q 2 r 2 r ^

E encontramos a distância ao quadrado por Pitágoras:

r 2 = - 3 2 + 4 2