Conservação da Energia Mecânica

Teoria Completa

Imagina a seguinte situação:

Uma maçã presa em uma macieira a 3   m de altura se desprende. Com que velocidade ela chegará ao solo?

Como você ia abordar esse problema? Ia usar cinemática retilínea? Iam faltar dados né? Para isso vamos aprender o conceito de conservação da energia mecânica.

Mas primeiro precisamos saber o que a energia mecânica significa, né? Em poucas palavras energia mecânica é, basicamente, a capacidade de um corpo produzir trabalho.

  1. Cálculo da energia mecânica
  2. Já vimos dois tipos de energia, a energia cinética e a energia potencial.

    A energia mecânica nada mais é que a soma de todas as energias que atuam no corpo, para nós, vamos considerar apenas as energias cinética e potencial.

    E m = K + U

  3. Conservação da energia mecânica

Existem as forças conservativas e as não conservativas. Qual a principal diferença entre elas? Basicamente as energias potenciais geradas por forças conservativas não vão tirar energia do sistema, já a não conservativa vai.

As forças conservativas clássicas são: peso, elástica e elétrica, elas geram as respectivas energias potencias. As demais são forças não conservativas, como o atrito por exemplo. A definição delas direitinho nós vamos ver mais pra frente.

Quando o sistema não sofrer ação de força não conservativa nenhuma você vai poder conserva-la e ficar brincando com a energia, tacando de um lado pro outro, ora transformando em potencial gravitacional, elástica ou até mesmo cinética, ou uma combinação dessas, mas para isso NÃO PODE TER NENHUUUUUMA FORÇA NÃO CONSERVATIVA!!!!!!

Qualquer movimento é realizado através de transformação de energia, quanto você tá atrasado pra aula e da aquela corridinha você transforma a energia química do seu corpo em energia cinética. Assim, podemos relacionar as energias de um sistema em tempos diferentes.

E M . i n i c i a l = E M . f i n a l

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

Voltando ao nosso exemplo, vimos que a única força agindo na maçã é o peso, certo? Como ela é uma força conservativa:

E M . i n i c i a l = E M . f i n a l

1 2 m v i n i c i a l 2 + m g h i n i c i a l = 1 2 m v f i n a l 2 + m g h f i n a l

v i n i c i a l = 0

h i n i c i a l = 3

v f i n a l =   ?

h f i n a l = 0

Substituindo os valores ficamos com isso aqui:

0 + m . 10.3 = 1 2 m v f i n a l 2 + 0

v f i n a l = 60

Pegou? Agora é só ir pros probleminhas!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Uma massa m está suspensa no campo gravitacional por uma mola de constante elástica k presa ao teto. Efeitos de atrito são desprezíveis e observa-se que o sistema oscila verticalmente em torno de sua posição de equilíbrio. A opção correta é:

  1. A energia mecânica do sistema não se conserva, pois alem da força gravitacional sobre a massa há, adicionalmente, a força elástica exercida pela mola.
  2. A energia mecânica do sistema se conserva, se considerarmos que esta é a soma das energias cinética e energia potencial gravitacional da massa.
  3. A energia mecânica do sistema se conserva, se considerarmos que esta é a soma das energias cinéticas e energia potencial elástica da mola.
  4. A energia potencial total, dada como a soma das contribuições de energia potencial gravitacional e energia potencial elástica, é conservada.
  5. A energia mecânica do sistema se conserva, se considerarmos que esta é a soma das energias cinética e das energias potencial gravitacional e potencial elástica da mola.
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Passo 1

As forças que atuam no corpo são o peso e a força elástica, que são forças conservativas

Isso nos diz que a energia mecânica se conserva, já que só temos forças conservativas atuando. Além disso, a energia mecânica, como temos a força gravitacional agindo e uma força elástica será:

E m = U g + U e l + K

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 1 , 9º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 194-Modificado

Um pequeno bloco, inicialmente em repouso, é liberado em uma rampa sem atrito a uma altura de 3,0   m . As alturas das elevações ao longo da rampa estão indicadas na figura. Os cumes das elevações são todos iguais, de forma circular, e o bloco não perde contato com o piso em nenhuma das elevações.

a ) Qual é a primeira elevação que o bloco não consegue superar?

b ) O que acontece com o bloco em seguida?

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Passo 1

a )

De acordo com a lei de conservação de energia mecânica, a energia mecânica antes tem que ser igual a energia mecânica depois.

Já que o bloco parte do repouso, ele possui apenas energia potencial. Tendo isso em vista, é impossível que ele alcance uma altura maior que a altura inicial dele ( 3,0   m ), pois caso isso aconteça, a energia mecânica depois será maior que a energia mecânica inicial.

Portanto, o bloco não irá conseguir superar a elevação de 3,5   m .

Passo 2

b )

O bloco irá escalar o ultimo cume até a altura de 3,0   m e depois inverterá a direção do seu movimento e retornará a posição inicial, entrando em movimento oscilatório entre a posição de inicio e a posição de altura 3,0   m do último cume.

Resposta

a ) Ele não ultrapassará o último cume.

b ) Ele retornará a posição inicial.

Exercício Resolvido #3

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 232 – 38.

Um bloco de 3,0 k g desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito com uma rapidez de 7,0   m / s . Após deslizar por uma distância de 2,0 m , o bloco faz uma suave transição para uma rampa sem atrito inclinada de um ângulo de 40 ° com a horizontal. Qual a distância, ao longo da rampa, que o bloco percorre até atingir momentanaeamente o repouso? ( sen ⁡ 40 ° = 0,64 )

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Passo 1

É importante saber que não há nenhuma força dissipativa atuando no objeto. O que vai acontecer é que toda a energia cinética que o bloco possui será convertida em energia potencial gravitacional.

Passo 2

Calculando a energia cinética da caixa.

m v 2 2 = 3,0 x 7,0 2 2

E c i n é t i c a = 73.5   J

Passo 3

Agora vamos converter essa energia cinética em energia potencial gravitacional

E p = E c i n é t i c a

E p = 73,5   J

m g h = 73,5   J

3,0 x 9,81 x h = 73,5

Isolando o h temos:

h = 2,5   m

Passo 4

Apesar sabermos a altura que ele subiu na rampa, precisamos saber quanto ele anda ao longo da rampa. Aqui vai entrar uma trigonometria bem tranquila, vou até botar um desenho pra te ajudar. Botei uma caixinha de leite pra ficar mais legal, hahahaha

s e n 40 ° = 2,5 x

x = 3,9m

Resposta

3,9   m

Exercício Resolvido #4

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 233 – 47.

Um carrinho de montanha-russa, de 1500 k g , parte do repouso de uma altura H = 23,0 m acima da base de uma laço de 15,0 m de diâmetro. Se o atrito é desprezível, determine a força para baixo exercida pelos trilhos sobre o carrinho, quando este está no topo do laço, de cabeça para baixo.

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Passo 1

O que vai acontecer aqui é que como ele está em uma altura grande, quando descer vai ter velocidade. Dentro do laço os trilhos vão estar fazendo um força para acelerar o objeto, fazendo-o girar. Vamos fazer as contas?

Passo 2

Como não há força de atrito nesse problema, não há atuação de forças não conservativas nesse carrinho. Assim, podemos conservar a energia tanto no alto da montanha quanto no alto do laço. Como no alto da montanha o carrinho parte do repouso, ele não possui energia cinética ( E M . I n i c i a l = U I n i c i a l = m g H ). No topo do laço, o carrinho terá energia cinética e potencial ( E M . f i n a l = K f i n a l + U f i n a l = m g 2 R + E c i n é t i c a ):

m g H = m g 2 R + E c i n é t i c a

1500 x 9.81 x 23,0 = 1500 x 9,81 x 15,0 + E c i n é t i c a

E c i n é t i c a =   117720

Passo 3

Para descobrir a velocidade no ponto mais alto do laço, vamos usar a fórmula da energia cinética:

m v 2 2 =   E c i n é t i c a =   117720

v = 12,5

Passo 4

Agora que já sabemos a velocidade, podemos calcular a força que os trilhos exercem sobre o carrinho

F c p = P + F t r i l h o s

m v 2 R = m g + F t r i l h o s

Substituindo valores temos:

1500 x 12,5 2 7,5 = 1500 x 9,81 + F t r i l h o s

F t r i l h o s = 16,5   k N

Resposta

F t r i l h o s = 16,5   k N

Exercício Resolvido #5

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 232 – 34.

Uma máquina de Atwood consiste em duas massas, m 1 e m 2 , e uma polia sem massa e sem atrito. Partindo do repouso, a rapidez das duas massas chega 4,0   m / s ao final de 3,0 s . Neste tempo, a energia cinética do sistema atinge 80 J e cada massa terá se deslocado uma distância de 6,0 m . Determine os valores de m 1 e m 2 .

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Passo 1

Como temos no problema duas incógnitas, m 1 e m 2 , precisamos de duas equações que as relacionem para depois descobri-las:

Passo 2

Vamos começar, relacionando as duas incógnitas, m 1 e m 2 , à energia cinética que é fornecida quando elas estão com a seguinte velocidade:

v = 4 m / s

Vamos lá!

1 2 m 1 v 2 + 1 2 m 2 v 2 = 80   J

m 1 ( 4 ) 2 + m 2 4 2 = 160   J

16 ( m 1 + m 2 ) = 160   J

m 1 + m 2 = 160   J 16   m 2 / s ²

m 1 + m 2 = 10   K g

Passo 3

Como temos duas incógnitas ( m 1   e m 2 ) precisamos de duas equações para montar um sistema.

Para encontrarmos essa nova equação podemos fazer de dois jeitos. Vou mostrar os dois aqui.

A primeira maneira é usando conservação da energia mecânica.

E i = E f

K i + U i = K f + U f

Mas o exercício diz que ambas as massas partem do repouso, então:

K i = 1 2 m 1 v 0 2 + 1 2 m 2 v 0 2 = 0