Conservação da Energia Mecânica

Teoria Completa

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Hoje nós iremos falar sobre a Conservação da Energia Mecânica. Se você chegou até essa página é porque está precisando de ajuda para entender esse conceito e nós somos a plataforma certa para te ajuda. Bora lá!

Energia Mecânica

Antes da falar da conservação da energia mecânica é importante a gente entender o que é essa tal de energia mecânica.

A energia mecânica nada mais é que a soma de todas as energias que atuam em um corpo. Para nós aqui, é plausível considerar que em um corpo atuam apenas a Energia Cinética e a Energia Potencial, então a energia mecânica será a soma dessas duas formas de energia:

Fórmula da Energia Mecânica
Fórmula da Energia Mecânica

Onde:

  • $E_m$ é a energia cinética;
  • $K$ é a energia cinética, e;
  • $U$ é a energia potencial

É importante a gente ressaltar que a Energia Cinética é aquela associada ao movimento do corpo, enquanto a energia potencial que aparece na fórmula da energia mecânica ela é uma contribuição tanto da Energia Potencial Gravitacional, quanto da Energia Potencial Elástica.

Conservação da Energia Mecânica

Agora que entendemos a energia mecânica podemos começar a entender o que é essa conservação da energia mecânica.

Quando falamos em conservação de energia mecânica estamos querendo dizer que a energia mecânica de um corpo é a mesma em todos os instantes e em qualquer posição. Em outras palavras, a energia de um corpo pode sofrer transformações de energia cinética para energia potencial ou o contrário durante o tempo, porém a energia mecânica, que é a soma da energia cinética com a potencial, ela se mantém constante, ela se conserva.

Através da conservação da energia mecânica podemos relacionar a energia de um corpo em um instante inicial com a energia desse mesmo corpo em um instante final:

Expressão matemática da conservação de energia mecânica
Expressão matemática da conservação de energia mecânica

IMPORTANTE: A conservação da energia mecânica é válida se tiverem APENAS FORÇAS CONSERVATIVAS ATUANDO NO CORPO. As forças conservativas são aquelas que não adicionam e nem tiram energia do sistema, e por isso quando há somente forças conservativas atuando a conservação é válida. Porém, quando há forças não-conservativas atuando, que podem adicionar ou remover energia, a conservação não rola mais, sacou?

Exemplo

Vamos fazer um exemplo aqui rapidinho para você entender melhor como funciona esse lance de conservação de energia mecânica.

Imagina a seguinte situação: Uma maçã presa em uma macieira a $3 m$ de altura se desprende. Com que velocidade ela chegará ao solo?

RESOLUÇÃO:

Primeira coisa que precisamos ver são as forças que atuam no corpo (maça). Nesse caso, apenas a força peso atuando sobre a maça, e como a força peso é uma força conservativa, a conservação da energia mecânica pode ser aplicada.

Aplicando a conservação teremos:

Fórmula da conservação da energia mecânica para resolução do exemplo
Fórmula da conservação da energia mecânica para resolução do exemplo

Agora, vamos analisar com calma a situação. Inicialmente a maça está presa na árvore, ou seja, está parada, não tem movimento, então $K_{inicial}=0$. Se considerarmos o solo como o referencial, teremos que a energia potencial da maça ao chegar ao chão será zero, então $U_{final}=0$.

Assim, a equação da conservação fica:

Equação da conservação aplicada especificamente ao exemplo
Equação da conservação aplicada especificamente ao exemplo

Agora, podemos utilizar a fórmula da energia cinética e potencial:

Fórmula da energia cinética e potencial aplicadas à equação da conservação de energia para o exemplo
Fórmula da energia cinética e potencial aplicadas à equação da conservação de energia para o exemplo

Agora, podemos isolar a velocidade final, pois é ela que queremos calcular:

Expressão para o cálculo da velocidade final
Expressão para o cálculo da velocidade final

Agora, precisamos substituir os valores. A altura inicial é dita no problema, $h_{inicial}=3 m$, e a aceleração da gravidade podemos assumir que é aproximadamente $10~m/s^2$, e assim termos o seguinte valor de velocidade final:

Valor da velocidade da maçã ao chegar no solo
Valor da velocidade da maçã ao chegar no solo

E solucionamos o problema!!

De boas, não é?

Agora, você pode avançar nos seus estudos e conferir o nosso próximo tópico: Pêndulo, ou você pode fixar ainda mais esse conceito de conservação de energia mecânica assistindo o vídeo que eu vou deixar aqui em baixo 👇🏾

Vídeo

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Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Uma massa m está suspensa no campo gravitacional por uma mola de constante elástica k presa ao teto. Efeitos de atrito são desprezíveis e observa-se que o sistema oscila verticalmente em torno de sua posição de equilíbrio. A opção correta é:

  1. A energia mecânica do sistema não se conserva, pois alem da força gravitacional sobre a massa há, adicionalmente, a força elástica exercida pela mola.
  2. A energia mecânica do sistema se conserva, se considerarmos que esta é a soma das energias cinética e energia potencial gravitacional da massa.
  3. A energia mecânica do sistema se conserva, se considerarmos que esta é a soma das energias cinéticas e energia potencial elástica da mola.
  4. A energia potencial total, dada como a soma das contribuições de energia potencial gravitacional e energia potencial elástica, é conservada.
  5. A energia mecânica do sistema se conserva, se considerarmos que esta é a soma das energias cinética e das energias potencial gravitacional e potencial elástica da mola.
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Passo 1

As forças que atuam no corpo são o peso e a força elástica, que são forças conservativas

Isso nos diz que a energia mecânica se conserva, já que só temos forças conservativas atuando. Além disso, a energia mecânica, como temos a força gravitacional agindo e uma força elástica será:

E m = U g + U e l + K

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 1 , 9º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 194-Modificado

Um pequeno bloco, inicialmente em repouso, é liberado em uma rampa sem atrito a uma altura de 3,0   m . As alturas das elevações ao longo da rampa estão indicadas na figura. Os cumes das elevações são todos iguais, de forma circular, e o bloco não perde contato com o piso em nenhuma das elevações.

a ) Qual é a primeira elevação que o bloco não consegue superar?

b ) O que acontece com o bloco em seguida?

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Passo 1

a )

De acordo com a lei de conservação de energia mecânica, a energia mecânica antes tem que ser igual a energia mecânica depois.

Já que o bloco parte do repouso, ele possui apenas energia potencial. Tendo isso em vista, é impossível que ele alcance uma altura maior que a altura inicial dele ( 3,0   m ), pois caso isso aconteça, a energia mecânica depois será maior que a energia mecânica inicial.

Portanto, o bloco não irá conseguir superar a elevação de 3,5   m .

Passo 2

b )

O bloco irá escalar o ultimo cume até a altura de 3,0   m e depois inverterá a direção do seu movimento e retornará a posição inicial, entrando em movimento oscilatório entre a posição de inicio e a posição de altura 3,0   m do último cume.

Resposta

a ) Ele não ultrapassará o último cume.

b ) Ele retornará a posição inicial.

Exercício Resolvido #3

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 232 – 38.

Um bloco de 3,0 k g desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito com uma rapidez de 7,0   m / s . Após deslizar por uma distância de 2,0 m , o bloco faz uma suave transição para uma rampa sem atrito inclinada de um ângulo de 40 ° com a horizontal. Qual a distância, ao longo da rampa, que o bloco percorre até atingir momentanaeamente o repouso? ( sen ⁡ 40 ° = 0,64 )

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Passo 1

É importante saber que não há nenhuma força dissipativa atuando no objeto. O que vai acontecer é que toda a energia cinética que o bloco possui será convertida em energia potencial gravitacional.

Passo 2

Calculando a energia cinética da caixa.

m v 2 2 = 3,0 x 7,0 2 2

E c i n é t i c a = 73.5   J

Passo 3

Agora vamos converter essa energia cinética em energia potencial gravitacional

E p = E c i n é t i c a

E p = 73,5   J

m g h = 73,5   J

3,0 x 9,81 x h = 73,5

Isolando o h temos:

h = 2,5   m

Passo 4

Apesar sabermos a altura que ele subiu na rampa, precisamos saber quanto ele anda ao longo da rampa. Aqui vai entrar uma trigonometria bem tranquila, vou até botar um desenho pra te ajudar. Botei uma caixinha de leite pra ficar mais legal, hahahaha

s e n 40 ° = 2,5 x

x = 3,9m

Resposta

3,9   m

Exercício Resolvido #4

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 233 – 47.

Um carrinho de montanha-russa, de 1500 k g , parte do repouso de uma altura H = 23,0 m acima da base de uma laço de 15,0 m de diâmetro. Se o atrito é desprezível, determine a força para baixo exercida pelos trilhos sobre o carrinho, quando este está no topo do laço, de cabeça para baixo.

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Passo 1

O que vai acontecer aqui é o seguinte, o carrinho sai do repouso v 0 = 0 mas quando chega lá embaixo tem velocidade. Isso acontece por quê a energia mecânica envolvida no sistema se conserva e podemos usar a equação que iguala as energias inicial e final.

E 0 = E f

U 0 + K 0 = U f + K f

No looping o carrinho vai realizar um movimento circular, onde a força resultante é a força centrípeta que aponta para o centro da circunferência.

F c p = m a c = m v 2 R

Usaremos esses dois conceitos pra resolver essa questão, a conservação de energia vai ajudar a gente a encontrar a velocidade no topo do looping e a força centrípeta pra encontrar a força que os trilhos fazem no carrinho.

Passo 2

Vamos pegar o ponto de onde o carrinho parte do repouso e o topo do looping, e fazer aqui a conservação de energia.

No ponto mais alto da montanha a energia mecânica será a inicial, e como não tem velocidade é somente a energia potencial.

E 0 = U 0 = m g H

No topo do laço, o carrinho terá energia cinética e potencial, nesse caso ele já perdeu alguma altura agora em relação ao chão tem altura de 2 R que é o diâmetro da trajetória.

E f = U f + K f = m g 2 R + K f

Igualando as energias temos:

E 0 = U 0

m g H = m g 2 R + K f

m g H - 2 R = K f

Substituindo m = 1500 k g , g = 9,81 m / s 2 , H = 23 m e 2 R = 15 m , temos:

1500 × 9.81 ( 23,0 - 15 ) = K

K =   117720 J

Para descobrir a velocidade no ponto mais alto do laço, vamos usar a fórmula da energia cinética:

K = m v 2 2 = 117720

v = 2 × 117720 1500

v = 12,5 m / s

Passo 3

Agora que já sabemos a velocidade, podemos calcular a força que os trilhos exercem sobre o carrinho

A força peso e a força dos trilhos apontam pra baixo nesse ponto, sendo assim podemos aplicar a segunda lei de newton pra relacionar a força centrípeta com as forças atuantes.

∑ F = m a c

Como F c p = m a c , temos:

∑ F = F c p

Sendo assim temos:

P + F t r i l h o s = F c p

m v 2 R = m g + F t r i l h o s

Substituindo valores temos:

1500 x × 12,5 2 7,5 = 1500 × 9,81 + F t r i l h o s

F t r i l h o s = 16,5   k N

Resposta

F t r i l h o s = 16,5   k N

Exercício Resolvido #5

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 232 – 34.

Uma máquina de Atwood consiste em duas massas, m 1 e m 2 , e uma polia sem massa e sem atrito. Partindo do repouso, a rapidez das duas massas chega 4,0   m / s ao final de 3,0 s . Neste tempo, a energia cinética do sistema atinge 80 J e cada massa terá se deslocado uma distância de 6,0 m . Determine os valores de m 1 e m 2 .

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Passo 1

Como temos no problema duas incógnitas, m 1 e m 2 , precisamos de duas equações que as relacionem para depois descobri-las:

Passo 2

Vamos começar, relacionando as duas incógnitas, m 1 e m 2 , à energia cinética que é fornecida quando elas estão com a seguinte velocidade:

v = 4 m / s

Vamos lá!

1 2 m 1 v 2 + 1 2 m 2 v 2 = 80   J

m 1 ( 4 ) 2 + m 2 4 2 = 160   J

16 ( m 1 + m 2 ) = 160   J

m 1 + m 2 = 160   J 16   m 2 / s ²

m 1 + m 2 = 10   K g

Passo 3

Como temos duas incógnitas ( m 1   e m 2 ) precisamos de duas equações para montar um sistema.

Para encontrarmos essa nova equação podemos fazer de dois jeitos. Vou mostrar os dois aqui.

A primeira maneira é usando conservação da energia mecânica.

E i = E f

K i + U i = K f + U f

Mas o exercício diz que ambas as massas partem do repouso, então:

K i = 1 2 m 1 v 0 2 + 1 2 m 2 v 0 2 = 0

Além disso, o enunciado também nos diz que K f = 80 J .

Para analisarmos as energias potenciais vamos pensar no seguinte: considerando o zero de energia potencial na posição inicial de 2 e sabendo que ambas as massas se deslocam por 6 metros, temos:

Então:

U i = m 1 g h i 1 + m 2 g h i 2

Assumimos que h i 2 = 0   m , então:

U i = m 1 g h i 1

E

U f = m 1 g h f 1 + m 2 g h f 2

Como h f 1 = 0   m , temos:

U f = m 2 g h f 2

Substituindo isso na equação de conservação de energia mecânica:

K i + U i = K f + U f

m 1 g h i 1 = 80 + m 2 g h f 2

Mas,

h i 1 = h f 2 = 6   m  

Logo:

m 1 g 6 = 80 + m 2 g 6

Resolvendo isso daí:

m 1 - m 2 = 4 3

Show, temos então essas duas equações:

m 1 - m 2 = 4 3

m 1 + m 2 = 10   K g

Resolvendo esse sistemas, encontramos:

m 1 = 5,67   k g

m 2 = 4,33   k g

Maravilha!! Essa foi a primeira form de acharmos as massas, vou mostrar mais uma.

Passo 4

Vamos usar a segunda lei de Newton, para achar a segunda relação que falta entre m 1 e m 2 . Sabemos que a aceleração é a mesma para os dois blocos, certo? Só que enquanto um fio sobe, o outro desce. Por isso, consideremos o sentido positivo para cima:

∑ F = ∑ m ∙ a

Temos então, o seguinte sisteminha, onde P 1 ,   T e P 2 são respectivamente o peso do bloco de massa m 1 , a força de tração e o peso do bloco de massa m 2 .

P 1 - T = m 1 a T - P 2 = m 2 a

Somando então as duas equações do nosso sistema, chegamos a:

P 1 - P 2 = m 1 a + m 2 a

( m 1 - m 2 ) g = a ( m 1 + m 2 )

Só que tem um porém. A questão diz que as massas chegaram a 4,0   m / s ao final de 3,0   s . Ou seja elas foram aceleradas. Encontramos, o meio de achar a aceleração a :

Usando a fórmula da velocidade para o movimento uniformemente acelerado, partindo do repouso temos que:

v t = v 0 + a t

( 4,0   m / s ) = a ( 3,0   s )

a = 4 3   m / s ²

Voltemos à fórmula anterior:

( m 1 - m 2 ) g = 4 3 ( m 1 + m 2 )

3 g ( m 1 - m 2 ) = 4 ( m 1 + m 2 )

3 g m 1 - 4 m 1 = 3 g m 2 + 4 m 2

m 1 3 g - 4 = m 2 3 g + 4

m 1 m 2 = 3 g + 4 3 g - 4

m 1 m 2 = 1,4

m 1 = 1,31 m 2

Tínhamos obtido antes, que: m 1 + m 2 = 10   K g

Opa! Mas que beleza! Só susbtituir agora m 1 = 1,31 m 2 .

1,31 m 2 + m 2 = 10   K g

2,31 m 2 = 10   K g

m 2 = 10 2,4 K g

m 2 = 4,33   K g

E como:

m 1 = 10   K g - m 2

m 1 = 10   K g - 4,33   K g

m 1 = 5,67   K g

Resposta

m 1 = 5,67   K g e m 2 = 4,33   K g  

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