Teoria

Esse tipo de exercício não envolve nenhuma teoria nova, ok? Só vamos aplicar o que a gente aprendeu antes, que foi a conservação da energia cinética e da energia potencial gravitacional.

“Mas, pô, se não tem teoria nova, por que eu tenho que aprender?”

O pêndulo é um caso muito comum em algumas questões, cai direto. Daí, já vamos aprendendo uns macetinhos que a gente sempre pode usar para ficar mais fácil!

Energia mecânica no pêndulo

Já percebeu o que sempre ta acontecendo no pêndulo? Sempre que ele chega às extremidades ele para e começa a fazer o movimento inverso, certo? Existem dois pontos super importantes para a gente: quando ele chega as extremidades e quando ele está no ponto mais baixo da trajetória!

Extremidades: Nesse ponto a gente sabe que a velocidade dele é zero, certo? Então nesse ponto toda a energia mecânica dele vai ser a energia potencial gravitacional, pois a energia cinética é nula!

v = 0

K c i n é t i c a = m v 2 2 = 0

E m e c â n i c a = U g r a v i t a c i o n a l = m g h

Obs: calma que a gente vai arranjar um macetinho pra esse h ai.

Ponto mais baixo: Sempre que pegarmos um pêndulo o macete é adotar esse ponto aqui como sendo h = 0 , mas por que?

A força peso durante toda a trajetória antes de chegar a esse ponto vai acelerando a bolinha, quando chega nesse ponto a aceleração chega a zero! Assim, a velocidade nesse ponto é máxima, e como adotamos esse ponto como h = 0 , vamos ter que toda a energia mecânica é a energia cinética.

h = 0

U g r a v i t a c i o a n l = m g h = 0

E m e c â n i c a = K c i n é t i c a = m v 2 2

Lembrando sempre que vamos adotar o ponto mais baixo do pêndulo como sendo h = 0 !!!

Calculando o h

Se lembra do h que a gente tinha deixado pra depois? Não deixamos ele passar não!

Bom, nós queremos calcular o valor de h certo? A gente sabe que h faz parte de l , ou seja:

l = h + x  

Pra descobrir esse x vamos ter que usar esse ângulo que a corda faz com a vertical quando a altura é máxima!!! Repara só, vamos usar uma trigonometria aqui!

Se nós pegarmos o triângulo formado por x e a corda l no ponto máximo, vamos conseguir escrever o x em função do l !

Olhando pra esse triângulo ai e achando o x , vamos conseguir escrever tudo em função de l e θ !

x = l cos ⁡ θ

Como já tínhamos visto antes

l = h + x

h = l - x

Substituindo o que acabamos de encontrar:

h = l - l cos ⁡ θ

h = l   ( 1 - cos ⁡ θ )

Ângulo máximo

Mas e se ele pedir o ângulo máximo que a corda faz com a vertical? Bom, vamos usar a mesma expressão que achamos antes, só que agora vamos isolar o ângulo!

h = l   ( 1 - cos ⁡ θ )

h l = 1 - cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 1 - h l

c o s θ = l - h l  

Dependendo do que o problema pedir você usa a relação certa! Conseguimos relacionar o tamanho da corda, o ângulo e a altura máxima! Quando o problema pedir alguma coisa desse tipo você já sabe o que usar!

Calculando o h

Ângulo máximo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma criança de 16 k g , em um balanço de 6,0 m de comprimento, move-se com uma rapidez de 3,4   m / s quando o assento do balanço passa pelo seu ponto mais baixo. Qual é o ângulo que o balanço forma com a vertical quando atinge seu ponto mais alto? Despreze a resistência do ar e suponha que a criança não está forçando o balanço.

Passo 1

Vamos considerar que a criança não pega impulso quando está no balanço. O que está acontecendo com ela? Toda a energia que ela tem vai ser convertida em energia potencial gravitacional. Quando você chega no ponto mais alto no balanço, sua velocidade é zero. Vamos considerar aqui o chão como sendo o ponto mais baixo do balanço.

Passo 2

Para começar a questão, vamos calcular a energia total que ele possui. Quando ele passa pelo ponto mais baixo do balanço, sua energia cinética é máxima e ele não possui energia gravitacional, pois h = 0 .

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

U g r a v i t a c i o n a l = 0 → p o i s   h = 0

E c i n é t i c a = m v 2 2

v = 3,4 m / s  

m = 16 k g

E c i n é t i c a = 92,48   J

Passo 3

Assim, no ponto mais alto do balanço, toda a energia mecânica da criança irá se transformar em energia gravitacional, pois v = 0 , logo, E c i n é t i c a = 0 .

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

E c i n é t i c a = 0 → p o i s   v = 0

92,48 J = U g r a v i t a c i o n a l  

m g h = U g r a v i t a c i o n a l

16 x 9,81 x h = 92,48

h = 0,58

Passo 4

Agora que já sabemos a altura, vamos usa-la para calcular o ângulo que a corda faz no ponto mais alto. Sabendo a altura, conseguiremos descobrir o c o s ⁡ ( θ ) , pois sabemos a hipotenusa do ângulo, 6 m , e o cateto adjacente, L - h .

cos ⁡ θ = L - h l

C o s θ = 5,42 m 6,00 m

C o s θ = 0,90

θ = 25 °

Resposta

θ = 25 °

Exercício Resolvido #2

Um pêndulo de 80 c m de comprimento, com uma bolinha de 0,60 k g , é largado do repouso quando forma um ângulo de θ 0 com a vertical. Na parte mais baixa da oscilação, a rapidez da bolinha é 2,8   m / s .

  1. Quanto vale θ 0 ?
  2. Qual é o ângulo que o pêndulo forma com a vertical quando a rapidez da bolinha é 1,4   m / s ? Este ângulo é igual a 1 2   θ 0 ? Explique o porquê da resposta.

Passo 1

A ideia desse exercício é quase a mesma do anterior. Durante a oscilação ele não perde e nem ganha energia mecânica, pois não há nenhuma força dissipativa atuando no pêndulo. O que vai acontecer é que a energia potencial gravitacional do sistema vai ser transformada em energia cinética. Vamos achar as respostas?

Passo 2

Alternativa a)

Vamos usar dois pontos, certo? Vamos chamar de P 1 o ponto onde o pêndulo é largado do repouso e P 2 o ponto mais baixo da oscilação. Vamos considerar o ponto mais baixo da oscilação como h = 0 .

Calculando a energia mecânica em P 2 :

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

E m e c â n i c a = m g h + m v 2 2

E m e c â n i c a = 0,6 x 9,81 x 0 + 0,6 x 2,8 2 2

E m e c â n i c a = 2,352   J

Passo 3

Agora que já sabemos a energia mecânica do sistema, podemos usa-la para achar a energia gravitacional em P 1 , já que como o pêndulo estava no repouso, ele não possui velocidade.

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

E m e c â n i c a = m g h + m v 2 2

2,352 = 0,6 x 9,81 x h + 0,6 x 0 2 2

h = 0,4

Passo 4

Agora que já sabemos a altura, vamos usa-la para calcular o ângulo que a corda faz no ponto mais alto. Sabendo a altura, conseguiremos descobrir o c o s ⁡ ( θ 0 ) , pois sabemos a hipotenusa do ângulo, 0,8 m , e o cateto adjacente, l - h .

cos ⁡ θ 0 = l - h l

C o s θ 0 = 0,4 m 0,8 m

C o s θ 0 = 1 2

θ 0 = 60 °

Passo 5

Alternativa b)

O que ta acontecendo agora de diferente? Agora, ele não vai ter só energia cinética ou só energia gravitacional, ele vai ter ambas. Vamos calcular a energia cinética com a velocidade que ele deu e a energia mecânica nós já sabemos, pois ela é igual em todos os pontos!!!

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

2,352 = 0,6 x 9,81 x h + 0,6 x 1,4 2 2

h = 0,3 m

Passo 6

Para calcular o ângulo vamos usar a mesma idéia:

cos ⁡ θ = l - h l

cos ⁡ θ = 0,5 0,8

θ =   51 °

O ângulo não é metade do ângulo inicial, pois esse ângulo é linearmente dependente da energia gravitacional, e essa energia não é linearmente depende da velocidade, por isso que não fica a metade

Resposta

Alternativa a)

60 °

Alternativa b)

51 °

Exercício Resolvido #3

Uma partícula de massa m está presa a um fio ideal de comprimento l cuja outra extremidade está fixada a um ponto A no teto.

A partícula é largada do repouso quando o fio faz um ângulo β com a vertical. Ao passar pelo ponto mais baixo de sua trajetória, o fio se rompe. Utilize o sistema de coordenadas indicado na figura e despreze todas as resistências.

a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a partícula no momento imediatamente anterior ao rompimento do fio.

b) Calcule o vetor velocidade da partícula neste momento, justificando seus cálculos.

c) Calcule o módulo da tensão no fio no instante imediatamente anterior ao seu rompimento.

d) Sendo h a altura que a partícula se encontra no momento do rompimento do fio, medida a partir do chão, obtenha a distância horizontal percorrida por ele desde o instante do rompimento do fio até o instante em que ele atinge o chão.

Passo 1

a)

As únicas forças atuando na partícula nesse momento são a força peso P → e a força de tensão T → do fio (ou tração, tanto faz). Então o diagrama é:

Passo 2

b)

Queremos a velocidade da partícula logo antes do fio romper, sendo que ela partiu do repouso. Então parece uma boa aplicar a conservação da energia mecânica.

Vejamos, a força peso é conservativa. E a força de tensão é sempre perpendicular ao movimento da partícula, então ela não realiza trabalho. Ou seja, não tem nenhuma força não-conservativa realizando trabalho.

Beleza, podemos aplicar a conservação da energia mecânica! A energia mecânica inicial E m i é igual à energia mecânica final E m f :

E m i = E m f

Passo 3

Sendo K a energia cinética e U g a energia potencial gravitacional, a equação fica:

K i + U g i = K f + U g f

A partícula sai do repouso, então K i = 0 .

A energia potencial gravitacional é relativa, então vamos considerar U g f = 0 que vai facilitar bastante as nossas contas. Ou seja:

0 + U g i = K f + 0

⇒ m g h i = 1 2 m v f 2

⇒ v f = 2 g h i ,

sendo h i a altura inicial da partícula.

Passo 4

Então só precisamos da altura h i . Pra isso vamos ter que aplicar uma trigonometriazinha. Dá uma olhada nessa figura:

Podemos ver que

h i = l - l cos ⁡ β

⇒ h i = l 1 - cos ⁡ β

Passo 5

Show! Então o módulo da velocidade final que a gente queria é:

v f = 2 g h i

⇒ v f = 2 g l 1 - cos ⁡ β

Mas ele pediu o vetor velocidade, então temos que ver pra onde ele aponta.

Até logo antes do fio se romper, a partícula está seguindo um movimento circular, então o vetor velocidade é tangente à trajetória. O fio, quando se rompe, está na vertical, então o vetor velocidade está na horizontal, apontando pra direita:

Sendo î   o vetor unitário do eixo x , o vetor velocidade vai ser:

v → f = v f î = 2 g l 1 - cos ⁡ β   î  

Passo 6

c)

A força resultante atuando na partícula logo antes do fio se romper é:

F → r = T → + P →

E pela 2ª lei de Newton,

F → r = m a →

Logo,

T → + P → = m a →

Como a força de tensão aponta pra cima, no sentido do eixo y , e a força peso pra baixo, em módulo isso dá:

T - P = m a

⇒ T - m g = m a

⇒ T = m a + m g = m ( a + g )

Passo 7

E essa aceleração a a gente consegue achar!

Que nem eu falei antes, logo antes do fio se romper a partícula está seguindo um movimento circular. Na parte mais baixa da trajetória, que é onde o fio se rompe, a sua aceleração é puramente centrípeta!

a = a c p

E a aceleração centrípeta é:

a c p = v e l o c i d a d e 2 r a i o

A velocidade a gente já calculou, é v f , e o raio seria o comprimento do fio l , ou seja:

a = v f 2 l = 2 g l 1 - cos ⁡ β 2 l = 2 g l 1 - cos ⁡ β l

⇒ a = 2 g 1 - cos ⁡ β

Passo 8

Voltando ao que achamos antes:

T = m a + g

⇒ T = m 2 g 1 - cos ⁡ β + g

⇒ T = m g ( 2 1 - cos ⁡ β + 1 )

⇒ T = m g 3 - 2 cos ⁡ β

Passo 9

d)

Quando o fio se rompe, a tração some então a força resultante sobre a partícula é a força peso:

F → r = P →

Então, pela 2ª lei de Newton, vamos ter

P → = m a →

⇒ m g → = m a →

⇒ g → = a →

Agora a partícula está em queda livre! Mas ela não deixa de ter um movimento horizontal, devido à velocidade v f que ela tinha quando o fio se rompeu, beleza?

Passo 10

Então o que queremos achar é o alcance da partícula, sabendo que ela foi lançado de uma altura h com uma velocidade v f î , e somente sob ação da gravidade.

Vamos separar o movimento em uma componente horizontal e uma vertical, ok?

Passo 11

Começando pela componente horizontal:

A gravidade só age no eixo y , no eixo x não tem nenhuma força agindo! Ou seja, no eixo x a partícula segue um MRU com velocidade v f = 2 g l 1 - cos ⁡ β .

Então no eixo x as equações do movimento são:

a x t = 0 v x t = 2 g l 1 - cos ⁡ β r x t = 2 g l 1 - cos ⁡ β ⋅ t

Passo 12

Agora vamos ver a componente vertical.

Como já vimos, na vertical o movimento é de queda livre, um MRUV com aceleração a = - g . A velocidade da partícula quando o fio se rompe é somente horizontal, no eixo y ela é nula.

Então no eixo y as equações do movimento são:

a y t = - g v y t = - g t r y t = - g t 2 2 + h

Passo 13

Quando a partícula chega no chão, seu deslocamento vertical r y é nulo. Então digamos que t c é o tempo no qual a partícula toca o chão. Isso significa que:

r y t c = - g t c 2 2 + h = 0

⇒ g t c 2 = 2 h

⇒ t c = 2 h g

Passo 14

No tempo t c o deslocamento horizontal r x da partícula é justamente o alcance que queremos achar. Vamos chamar esse alcance de A . Então temos

r x t c = 2 g l 1 - cos ⁡ β ⋅ t c = A

⇒ 2 g l 1 - cos ⁡ β 2 h g = A

⇒ 2 g l 1 - cos ⁡ β 2 h g = A

⇒ A = 4 h l 1 - cos ⁡ β = 2 h l 1 - cos ⁡ β

Resposta

a)

b)

v → f = 2 g l 1 - cos ⁡ β   î  

c)

T = m g 3 - 2 cos ⁡ β

d)

A = 2 h l 1 - cos ⁡ β

Exercício Resolvido #4

Um pêndulo consiste em uma pequena bola de massa m presa a um fio de comprimento L . A bola é segurada lateralmente, com o fio na horizontal. Então, ela é largada do repouso. No ponto mais baixo da trajetória, o fio se prende a um pequeno prego, a uma distância R acima desse ponto. Mostre que R deve ser menor do que 2 L 5 para que o fio permaneça tenso enquanto a bola completa uma volta inteira em torno do prego.

Passo 1

Bom, vamos lá, pra começar, ele fala que o fio tem que estar tensionado ali, certo? Pra ele estar esticado, tem que ter uma forcinha fazer a bolinha girar, que vai ser a força centrípeta da parada.

Vamos começar a calcular?

Passo 2

Para essa força ser mínima e o fio continuar esticado, a força centrípeta vai ter que ser igual ao peso

m v 2 R = m g

Assim temos

v = R g

Se a velocidade dele for maior, é melhor, que ai a corda fica mais tensionada. Como quanto maior o R maior a velocidade, sabemos que vamos encontrar o valor mínimo dele.

Passo 3

Agora que a gente já sabe a velocidade dele quando ele ta rodando, vamos conservar a energia mecânica nos pontos que a gente sabe.

m g L = m R g 2 2 + m g ( 2 R )

Como consideramos a altura medida a partir do ponto mais baixo (com h = 0 nesse ponto), então a altura que o pêndulo atinge é h = 2 R . Agora desenvolvendo a equação:

m g L = m g R 2 + m g 2 R

m g L = m g 5 R 2

R = 2 L 5

Resposta

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