Pêndulo

Teoria Completa

Esse tipo de exercício não envolve nenhuma teoria nova, ok? Só vamos aplicar o que a gente aprendeu antes, que foi a conservação da energia cinética e da energia potencial gravitacional.

“Mas, pô, se não tem teoria nova, por que eu tenho que aprender?”

O pêndulo é um caso muito comum em algumas questões, cai direto. Daí, já vamos aprendendo uns macetinhos que a gente sempre pode usar para ficar mais fácil!

Energia mecânica no pêndulo

Já percebeu o que sempre ta acontecendo no pêndulo? Sempre que ele chega às extremidades ele para e começa a fazer o movimento inverso, certo? Existem dois pontos super importantes para a gente: quando ele chega as extremidades e quando ele está no ponto mais baixo da trajetória!

Extremidades: Nesse ponto a gente sabe que a velocidade dele é zero, certo? Então nesse ponto toda a energia mecânica dele vai ser a energia potencial gravitacional, pois a energia cinética é nula!

v = 0

K c i n é t i c a = m v 2 2 = 0

E m e c â n i c a = U g r a v i t a c i o n a l = m g h

Obs: calma que a gente vai arranjar um macetinho pra esse h ai.

Ponto mais baixo: Sempre que pegarmos um pêndulo o macete é adotar esse ponto aqui como sendo h = 0 , mas por que?

A força peso durante toda a trajetória antes de chegar a esse ponto vai acelerando a bolinha, quando chega nesse ponto a aceleração chega a zero! Assim, a velocidade nesse ponto é máxima, e como adotamos esse ponto como h = 0 , vamos ter que toda a energia mecânica é a energia cinética.

h = 0

U g r a v i t a c i o a n l = m g h = 0

E m e c â n i c a = K c i n é t i c a = m v 2 2

Lembrando sempre que vamos adotar o ponto mais baixo do pêndulo como sendo h = 0 !!!

Calculando o h

Se lembra do h que a gente tinha deixado pra depois? Não deixamos ele passar não!

Bom, nós queremos calcular o valor de h certo? A gente sabe que h faz parte de l , ou seja:

l = h + x  

Pra descobrir esse x vamos ter que usar esse ângulo que a corda faz com a vertical quando a altura é máxima!!! Repara só, vamos usar uma trigonometria aqui!

Se nós pegarmos o triângulo formado por x e a corda l no ponto máximo, vamos conseguir escrever o x em função do l !

Olhando pra esse triângulo ai e achando o x , vamos conseguir escrever tudo em função de l e θ !

x = l cos ⁡ θ

Como já tínhamos visto antes

l = h + x

h = l - x

Substituindo o que acabamos de encontrar:

h = l - l cos ⁡ θ

h = l   ( 1 - cos ⁡ θ )

Ângulo máximo

Mas e se ele pedir o ângulo máximo que a corda faz com a vertical? Bom, vamos usar a mesma expressão que achamos antes, só que agora vamos isolar o ângulo!

h = l   ( 1 - cos ⁡ θ )

h l = 1 - cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 1 - h l

c o s θ = l - h l  

Dependendo do que o problema pedir você usa a relação certa! Conseguimos relacionar o tamanho da corda, o ângulo e a altura máxima! Quando o problema pedir alguma coisa desse tipo você já sabe o que usar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 233 – 41.

Uma criança de 16 k g , em um balanço de 6,0 m de comprimento, move-se com uma rapidez de 3,4   m / s quando o assento do balanço passa pelo seu ponto mais baixo. Qual é o ângulo que o balanço forma com a vertical quando atinge seu ponto mais alto? Despreze a resistência do ar e suponha que a criança não está forçando o balanço.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos considerar que a criança não pega impulso quando está no balanço. O que está acontecendo com ela? Toda a energia que ela tem vai ser convertida em energia potencial gravitacional. Quando você chega no ponto mais alto no balanço, sua velocidade é zero. Vamos considerar aqui o chão como sendo o ponto mais baixo do balanço.

Passo 2

Para começar a questão, vamos calcular a energia total que ele possui. Quando ele passa pelo ponto mais baixo do balanço, sua energia cinética é máxima e ele não possui energia gravitacional, pois h = 0 .

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

U g r a v i t a c i o n a l = 0 → p o i s   h = 0

E c i n é t i c a = m v 2 2

v = 3,4 m / s  

m = 16 k g

E c i n é t i c a = 92,48   J

Passo 3

Assim, no ponto mais alto do balanço, toda a energia mecânica da criança irá se transformar em energia gravitacional, pois v = 0 , logo, E c i n é t i c a = 0 .

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

E c i n é t i c a = 0 → p o i s   v = 0

92,48 J = U g r a v i t a c i o n a l  

m g h = U g r a v i t a c i o n a l

16 x 9,81 x h = 92,48

h = 0,58

Passo 4

Agora que já sabemos a altura, vamos usa-la para calcular o ângulo que a corda faz no ponto mais alto. Sabendo a altura, conseguiremos descobrir o c o s ⁡ ( θ ) , pois sabemos a hipotenusa do ângulo, 6 m , e o cateto adjacente, L - h .

cos ⁡ θ = L - h l

C o s θ = 5,42 m 6,00 m

C o s θ = 0,90

θ = 25 °

Resposta

θ = 25 °

Exercício Resolvido #2

TIPLER, P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 234 – 52.

Um pêndulo de 80 c m de comprimento, com uma bolinha de 0,60 k g , é largado do repouso quando forma um ângulo de θ 0 com a vertical. Na parte mais baixa da oscilação, a rapidez da bolinha é 2,8   m / s .

  1. Quanto vale θ 0 ?
  2. Qual é o ângulo que o pêndulo forma com a vertical quando a rapidez da bolinha é 1,4   m / s ? Este ângulo é igual a 1 2   θ 0 ? Explique o porquê da resposta.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A ideia desse exercício é quase a mesma do anterior. Durante a oscilação ele não perde e nem ganha energia mecânica, pois não há nenhuma força dissipativa atuando no pêndulo. O que vai acontecer é que a energia potencial gravitacional do sistema vai ser transformada em energia cinética. Vamos achar as respostas?

Passo 2

Alternativa a)

Vamos usar dois pontos, certo? Vamos chamar de P 1 o ponto onde o pêndulo é largado do repouso e P 2 o ponto mais baixo da oscilação. Vamos considerar o ponto mais baixo da oscilação como h = 0 .

Calculando a energia mecânica em P 2 :

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

E m e c â n i c a = m g h + m v 2 2

E m e c â n i c a = 0,6 x 9,81 x 0 + 0,6 x 2,8 2 2

E m e c â n i c a = 2,352   J

Passo 3

Agora que já sabemos a energia mecânica do sistema, podemos usa-la para achar a energia gravitacional em P 1 , já que como o pêndulo estava no repouso, ele não possui velocidade.

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l

E m e c â n i c a = m g h + m v 2 2

2,352 = 0,6 x 9,81 x h + 0,6 x 0 2 2

h = 0,4

Passo 4

Agora que já sabemos a altura, vamos usa-la para calcular o ângulo que a corda faz no ponto mais alto. Sabendo a altura, conseguiremos descobrir o c o s ⁡ ( θ 0 ) , pois sabemos a hipotenusa do ângulo, 0,8 m , e o cateto adjacente, l - h .

cos ⁡ θ 0 = l - h l

C o s θ 0 = 0,4 m 0,8 m

C o s θ 0 = 1 2

θ 0 = 60 °

Passo 5

Alternativa b)

O que ta acontecendo agora de diferente? Agora, ele não vai ter só energia cinética ou só energia gravitacional, ele vai ter ambas. Vamos calcular a energia cinética com a velocidade que ele deu e a energia mecânica nós já sabemos, pois ela é igual em todos os pontos!!!

E m e c â n i c a = E c i n é t i c a + U g r a v i t a c i o n a l