Energia Potencial Gravitacional

Teoria Completa

No estudo de energia, aprendemos sobre a energia potencial gravitacional. No entanto, como estávamos tratando de corpos na superfície da Terra, para calcular a energia potencial, considerávamos a aceleração da gravidade na superfície ( g ).

Agora iremos expandir esse conceito para caso mais geral. Não se assuste, vamos devagarzinho.

A definição da energia potencial gravitacional é:

U = - G M m r

Onde G é a constante gravitacional, m é a massa que está sendo analisada, que está se aproximando/afastando de uma massa M , e está a uma distância r desta.

“Mas por que diabos tem um sinal de menos ali??!!”

Diferentemente da outra energia potencial gravitacional, esta consideramos zero lá no infinito (quando r → ∞ ). Quando o corpo vai se aproximando da terra ( r → 0 ), a energia vai diminuindo também, já que vai se tornando mais negativa.

Vamos a um exemplinho simples:

Uma massa m está a uma distância R de outra massa M e possui energia gravitacional U . Determine a que distância deve estar a massa m para que sua energia potencial seja U / 4 .

Primeiramente vamos encontrar a relação entre U e o restante das variáveis:

U = - G M m R

Para que U ' = U / 4 :

U ' = - G M m 4 R =   - G M m r

Portanto:

r = 4 R

Lembre-se de tomar cuidado com o sinal de menos, pois, neste caso, apesar de o módulo ter ficado menor, a energia potencial gravitacional aumentou, já que se tornou menos negativa.

Se manda pros exercícios e bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, p. 29 ex. 26- Modificado.

Dez dias após seu lançamento para Marte em dezembro de 1998, a espaçonave Mar Climate Orbiter (massa igual a 629   k g ) estava a uma distância de 2,87   .   10 6   k m da Terra e se deslocava com velocidade igual a 1,20   .   10 4   k m / h em relação à Terra. Nesse momento, qual era a energia potencial gravitacional do sistema espaçonave-Terra?

Dados:

G = 6,673.10 - 11 N . m 2 / k g 2    

M T = 5,97.10 24 k g

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Passo 1

Acabamos de aprender a fórmula para energia potencial gravitacional:

U = - G M T m r

Passo 2

Temos os seguintes dados:

G = 6,673.10 - 11 N . m 2 / k g 2    

M T = 5,97.10 24 k g

m = 629   k g

r = 2,87.10 6 k m = 2,87.10 9 m (Considera-se essa a distância da espaçonave até o centro da Terra)

Substituindo-os, teremos:

U = - 6,673.10 - 11 . 5,97.10 24 . 629 2,87.10 9 = - 8,73.10 7 J

Resposta

U = - 8,73.10 7 J

Exercício Resolvido #2

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 400 ex. 46- Modificado.

a) Se tomamos como zero a energia potencial de um corpo de 100   k g e a Terra, quando os dois estão separados de uma distância infinita, qual é a energia potencial quando o corpo está na superfície da Terra?

b) Determine a energia potencial do mesmo corpo a uma altura, acima da superfície da Terra, igual ao raio da Terra.

Dados:

G = 6,673.10 - 11 N . m 2 / k g 2    

M T = 5,97.10 24 k g

R T = 6371   k m

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Passo 1

a) Já sabemos a fórmula para energia potencial gravitacional para quando ela é zero no infinito:

U = - G M T m r

Quando o corpo está na superfície da Terra, temos:

r = R T = 6371   k m = 6371.10 3 m

Logo, substituindo os dados, temos:

U = - 6,673,10 - 11 . 5,97.10 24 . 100 6371.10 3 = - 6,25.10 9   J

Passo 2

b) Quando o corpo está numa altura acima da superfície da Terra igual ao seu raio, teremos:

r = 2 R T = 2.6371 = 12742   k m

Logo:

U = - 6,673,10 - 11 . 5,97.10 24 . 100 12742 . 10 3 = - 3,12.10 9   J

Resposta

a) U = - 6,25.10 9   J

b) U = - 3,12.10 9   J

Exercício Resolvido #3

UNICAMP-P1-2012-3

Uma partícula (partícula A , de massa M ) pode ser deslocada ao longo de um eixo y desde uma distância infinita até a origem. A origem está localizada no ponto médio entre as partículas B e C , que têm massas iguais m , e o eixo y é perpendicular à linha que liga essas duas partículas. A distância D é 3,0   m . O gráfico mostra a energia potencial U do sistema de três partículas em função da posição da partícula A no eixo y , sendo que para a direita a curva tende assintoticamente ao valor de - 4,4   .   10 - 11   J quando y → ∞ . Quais são os valores de m e M ?

G = 6,7   .   10 - 11   N   m 2 / k g 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que a energia potencial gravitacional, no sistema mostrado, é dada por:

U = - G M m r 1 - G M m r 2 - G m m 2 D

Mas, vendo a imagem, descobrimos que:

r 1 = r 2 = r

E, colocando em função de y e D :

r = y 2 + D 2

Portanto, a expressão da energia é dada por:

U = - 2 G M m y 2 + D 2 - G m 2 2 D

Passo 2

Agora, com a expressão da energia do sistema, fica fácil!

Pelo gráfico, sabemos que, quando y = 0 , a energia é - 4,84   .   10 - 10   N , então:

- 4,84   .   10 - 10 = - 2   .   6,67   .   10 - 11   .   M   .   m D - 6,67   .   10 - 11   .   m 2 2 D

Já para y → ∞ , temos que a energia é - 4,4   .   10 - 11   N , então:

- 4,4   .   10 - 11 = - 6,67   .   10 - 11   . m 2 2 D

Sabendo que D = 3   m , podemos usar a segunda equação para encontrar o valor de m :

m = 2   .   3   .   4,4 6,67 ≅ 2   k g

Usando esse valor na primeira expressão:

48,4 = 2   .   6,67   .   M   .   2 3 + 6,67   .   2 2 2   .   3

M ≅ 5   k g

Resposta

m = 2   k g

M = 5   k g

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