Trabalho de uma Força Variável

Teoria Completa

Por Integral

Quando falamos de trabalho, demos a expressão assim:

W = F ⋅ d

Porém, nem sempre vamos poder usar isso, porque esse aí é um caso particular quando a força é constante e não depende de x . Quando a força não é constante, temos que usar a definição pra podermos chegar à fórmula certinha. Trabalho sempre vai ser definido da seguinte forma:

W = ∫ x 1 x 2 F → d x

Mas, relaxa! Geralmente, as integrais são bem tranquilas, quase sempre vamos trabalhar com integrais de polinômios. Quer ver um exemplo bem prático? A força elástica!

F → = - k x

Pra calcular o trabalho realizado por essa mola vamos substituir a força dentro da integral

W m o l a = ∫ x 1 x 2 F → d x

W m o l a = - k ∫ x 1 x 2 x . d x

W m o l a = - k x 2 2 2 - x 1 2 2

W m o l a = k x 1 2 2 - k x 2 2 2

Como geralmente a mola parte do x 1 = 0 , fica com aquela formulazinha conhecida:

W m o l a = k x 2 2

Por área

Tem outra forma muito maneira que a gente pode usar também! Tu que é um bom cara de cálculo, o que te lembra integral, hein? Lembra área!

Nãooooo !!! Essa aí é a área do goleiro, hahahaha.

A forma de calcular o trabalho é calcular a área embaixo do gráfico F →   v e r s u s   x

Para acharmos o trabalho nesse caso, basta calcular a área do gráfico.

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Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 190 – 7.

Como você compara o trabalho realizado para esticar uma mola de 2,0 c m , a partir da configuração frouxa, com o trabalho necessário para estica-lá de 1,0 c m , a partir da configuração frouxa?

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Passo 1

Bom, antes de comparar o trabalho de duas deformações diferentes temos que saber a fórmula do trabalho de uma mola, certinho?

W m o l a = k Δ x 2 2

Lembrando que o x sempre tem que estar em metro!

Passo 2

Agora vamos calcular o trabalho em cada uma das deformações:

  • Deformação de 2 c m
  • k 0,02 2 2 = 0,0002 k

  • Deformação de 1cm

k 0,01 2 2 = 0,00005 k

Passo 3

Comparando as duas fórmulas de trabalho, percebemos que o trabalho da deformação de 1 c m é 4 vezes menor que o trabalho da deformação de 2 c m .

Resposta

4   v e z e s   m a i o r

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Uma força F é aplicada ao longo de 30   m , essa força é variável. Podemos ver na figura abaixo a força ao longo dessa distância. Sabendo que o trabalho total é 125   J determine o valor de a indicado no gráfico.

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Passo 1

Para achar o trabalho vamos calcular a área do gráfico.

Podemos separar essa área em 4 partes para facilitar nossas contas

A 1 = W 0 → 5

A 2 = W 5 → 15

A 3 = W 15 → 25

A 4 = W 25 → 30

Passo 2

A área 1 é um trapézio, onde a base maior é 3 a / 2 a base menor é a / 2 e a altura é 5 .

Vamos ter

A 1 = 3 a 2 + a 2 5 2 = 5 a

Passo 3

A área 2 é um retângulo de lados 3 a 2 e 10 . Então:

A 2 = 3 a 2 ⋅ 10 = 15 a

Passo 4

A área 3 é um triangulo, onde a base é 3 a / 2 e a altura é 10 .

Vamos ter

A 3 = 3 a 2 ⋅ 10 2 = 15 a 2

Passo 5

A área 4 é um triangulo, onde a base é a e a altura é 5.

Vamos ter

A 4 = 5 ⋅ a 2 = 5 a 2

Passo 6

A área total via ser

A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4

A = 5 a + 15 a + 15 a 2 + 5 a 2 = 30 a

Como essa área é o trabalho total

30 a = 125

a = 25 6

Resposta

a = 25 6

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-Física I-Prova 2-2013.1-Questão 1-b

Um bloco ( m = 4,0   k g ) é arrastado sobre um plano horizontal e seu movimento é estudado durante o deslocamento desde x i até x f , com Δ x = 2,0   m . Uma força F → é aplicada fazendo um ângulo θ em relação à horizontal. Considere g = 10 m s 2 .

Considere que o módulo de F → tem valor constante e igual a 3,0   N durante o deslocamento de x i até x f , mas suponha que o ângulo θ varia com a posição x de acordo com o gráfico abaixo. Construa o gráfico de F cos ⁡ θ como função de x , e com base nisto calcule o trabalho W F realizado pela força F → ao longo de todo o deslocamento.

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Passo 1

Para determinar o gráfico de F cos ⁡ θ   por   x , devemos apenas reproduzir o gráfico do cos ⁡ θ só que multiplicado pela força, ou seja multiplicar por 3,0 . Se liga!

Para determinar o trabalho realizado pela força, basta calcular a área sob a curva:

W F = 2,4 4 - 3 + 2,4 2 ( 5 - 4 )

W F = 2,4 + 1,2

W F = 3,6   J

Resposta

W F = 3,6   J

Exercício Resolvido #4

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 192 – 30.

Uma força F x atua sobre uma partícula que tem massa de 1,5 k g . A força está relacionada com a posição x da partícula pela fórmula F x = C x 3 , onde C = 0,50 se x está em metros e F x está em newtons. Encontre o trabalho realizado por esta força enquanto a partícula se move de x = 3,0 m até x = 1,5 m .

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Passo 1

Bom, aqui diferente da fórmula de trabalho que estamos acostumados a usar, vamos usar a definição de trabalho pra podermos calcular nesse caso. Se lembra da integral ?

Não essa, hahahahhaha, essa aqui ó

W = ∫ F → . d x →

Vamos usar essa definição aqui pois F → x varia de acordo com a posição de x , mas fica tranquilo que a gente resolve essa integral rapidinho.

Passo 2

Para calcular o trabalho vamos substituir o valor de F → na integral

W = ∫ F → . d x → = ∫ C x 3 . d x

Tirando a constante da integral ficamos

W = C ∫ x 3 . d x

Integral de polinômio é tranquilo, né? É só somar 1 no expoente e dividir pelo novo.

∫ x n = x n + 1 n + 1  

W = C ∫ x 3 . d x = C x 4 4

Passo 3

Como ele quer do ponto x = 3,0 m até x = 1,5 m , vamos usar esses valores na integração.

W = C ∫ 3,0 m 1,5 m x 3 . d x

Como já descobrimos a integral, ficamos com

W =   0,5 1,5 m 4 4 - 3,0 m 4 4

W = - 9,492   J

Se liga que o trabalho é negativo e isso ocorre por que a força tem o sentido contrário ao do deslocamento. ;)

Resposta

W = - 9,492   J

Exercício Resolvido #5

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 192 – 31.

Perto de sua cabana de férias há uma caixa d’água solar (preta) usada para aquecer a água de um chuveiro externo. Por alguns dias, no último verão, a bomba estragou e você teve que, pessoalmente, carregar a água do açude até a caixa, 4,0 m acima. Seu balde tem uma massa de 5,0 k g e comporta 15,0 k g de água, quando cheio. No entando, o balde tem um furo e, enquanto você o elevava verticalmente com uma rapidez constante v , a água escapava com uma taxa constante. Ao atingir o topo, apenas 5,0 k g de água restavam.

  1. Escreva uma expressão para a massa do balde mais água, como função da altura acima da superfície do açude.
  2. Encontre o trabalho que você realiza sobre o balde para cada 5,0kg de água despejada no tanque.
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Passo 1

Bom, aqui está você, em sua cabana de férias,