Trabalho de uma Força Variável

Teoria Completa

Por Integral

Fala meu povo, vamos trocar uma ideia sobre um conceito que a gente já conhece só que agora envolvendo integrais, mas porque diabos envolver integrais? Já que o trabalho era dado por:

W = F d

Em alguns casos como no exemplo que a gente vai ver não é possível calcular da maneira antiga e isso rola porque a força varia ao longo do caminho, se liga aqui:

Imagina que o Sr. José empurra uma caixa ao longo do caminho com uma força   F   → que varia ao longo do percurso no eixo x segundo a função F x = 2 x . Qual é o trabalho realizado se a distância percorrida é 100m?

Pra esses tipos de caso, a gente usa a seguinte equação:

W = ∫ x 1 x 2 F → ⋅   d x →  

Repare que aqui temos a integral de um produto escalar lembrando que esse produto pode ser reescrito como:

W = ∫ x 1 x 2 F ( x ) d x c o s ⁡ ( θ )

Onde θ é o ângulo entre as forças, e no caso do Sr. José a força que ele aplica é paralela a distância sendo assim θ = 0 , e c o s θ = 1 , então a nossa integral fica para essas situações:

W = ∫ x 1 x 2 F ( x ) d x

E agora podemos substituir os limites de integração e a função da força:

W = ∫ 0 100 2 x d x

E resolvendo a integral teremos:

W = 2 x 2 2 ​ 0 100

E enfim:

W = 100 2 = 10 4 J

Outro caso interessante é o caso da mola, a própria força da mola já é em função da distância, saca só:

F → = - k x

Pra calcular o trabalho realizado por essa mola vamos substituir a força dentro da integral

W = ∫ x 1 x 2 F → ⋅   d x →  

E aqui a força é paralela a distância portanto a gente pode fazer como para o primeiro exemplo e dizer que:

W = ∫ x 1 x 2 F ( x ) d x

E enfim substituindo o valor de F :

W m o l a = - k ∫ x 1 x 2 x . d x

Passando os limites de integração temos:

W m o l a = - k x 2 2 2 - x 1 2 2

W m o l a = k x 1 2 2 - k x 2 2 2

Como geralmente a mola parte do x 1 = 0 , fica com aquela formulazinha conhecida:

W m o l a = k x 2 2

Qualquer tipo de trabalho de força elástica pode ser encontrado dessa forma.

Um caso mais complicado é quando a força atua em duas direções, imagina alguém puxando uma caixa numa rampa diagonal com a força sendo dada por   F → = 2 x ,   1 N num plano liso como mostra a figura:

Aqui o nosso problema é bem interessante, a nossa força varia em x mas a força em y é constante vamos dividir esse cálculo em duas parcelas decompondo as forças dessa forma:

Aqui o trabalho realizado em   x :

W x = ∫ x 1 x 2 F ( x ) d x

Onde a força é paralela a distância x e como vimos no começo da teoria podemos dispensar a notação de produto escalar.

Um bizu supeeer importante é que a força em y não gera trabalho na distância em x e vice-versa justamente por causa daquele produto escalar que foi falado:

W y = ∫ x 1 x 2 F ⋅ d x c o s ⁡ ( θ )

Se a força F está na direção y e a distância d x na direção x teremos um ângulo de 90 ° entre os vetores e cos ⁡ 90 ° = 0 .

Então aqui podemos substituir nossos valores e aí:

W x = ∫ 0 6 2 x d x = 2 x 2 2 ​ 0 6

E enfim:

W x = W = 6 2 - 0 2 = 36 J

Por área

Tem outra forma muito maneira que a gente pode usar também! Tu que é um bom cara de cálculo, o que te lembra integral, hein? Lembra área!

Nãooooo !!! Essa aí é a área do goleiro, hahahaha.

A forma de calcular o trabalho é calcular a área embaixo do gráfico F → × d , vamos encontrar quanta energia ou trabalho gasta uma máquina que aumenta constantemente a força e depois se estabiliza como mostrado no gráfico abaixo.

E aqui é muiiito de boa, você pode calcular um trapézio ou a área de um triângulo e a de um retângulo e somar as duas, pelo trapézio a gente tira direto o valor:

W = A = B a s e   m e n o r + B a s e   m a i o r × A l t u r a 2

E substituindo:

W = 20 + 20 - 10 × 100 2

Então temos:

W = 1500 N

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 190 – 7.

Como você compara o trabalho realizado para esticar uma mola de 2,0 c m , a partir da configuração frouxa, com o trabalho necessário para estica-lá de 1,0 c m , a partir da configuração frouxa?

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Passo 1

Bom, antes de comparar o trabalho de duas deformações diferentes temos que saber a fórmula do trabalho de uma mola, certinho?

W m o l a = k Δ x 2 2

Lembrando que o x sempre tem que estar em metro!

Passo 2

Agora vamos calcular o trabalho em cada uma das deformações:

  • Deformação de 2 c m
  • k 0,02 2 2 = 0,0002 k

  • Deformação de 1cm

k 0,01 2 2 = 0,00005 k

Passo 3

Comparando as duas fórmulas de trabalho, percebemos que o trabalho da deformação de 1 c m é 4 vezes menor que o trabalho da deformação de 2 c m .

Resposta

4   v e z e s   m a i o r

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Uma força F é aplicada ao longo de 30   m , essa força é variável. Podemos ver na figura abaixo a força ao longo dessa distância. Sabendo que o trabalho total é 125   J determine o valor de a indicado no gráfico.

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Passo 1

Para achar o trabalho vamos calcular a área do gráfico.

Podemos separar essa área em 4 partes para facilitar nossas contas

A 1 = W 0 → 5

A 2 = W 5 → 15

A 3 = W 15 → 25

A 4 = W 25 → 30

Passo 2

A área 1 é um trapézio, onde a base maior é 3 a / 2 a base menor é a / 2 e a altura é 5 .

Vamos ter

A 1 = 3 a 2 + a 2 5 2 = 5 a

Passo 3

A área 2 é um retângulo de lados 3 a 2 e 10 . Então:

A 2 = 3 a 2 ⋅ 10 = 15 a

Passo 4

A área 3 é um triangulo, onde a base é 3 a / 2 e a altura é 10 .

Vamos ter

A 3 = 3 a 2 ⋅ 10 2 = 15 a 2

Passo 5

A área 4 é um triangulo, onde a base é a e a altura é 5.

Vamos ter

A 4 = 5 ⋅ a 2 = 5 a 2

Passo 6

A área total via ser

A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4

A = 5 a + 15 a + 15 a 2 + 5 a 2 = 30 a

Como essa área é o trabalho total

30 a = 125

a = 25 6

Resposta

a = 25 6

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-Física I-Prova 2-2013.1-Questão 1-b

Um bloco ( m = 4,0   k g ) é arrastado sobre um plano horizontal e seu movimento é estudado durante o deslocamento desde x i até x f , com Δ x = 2,0   m . Uma força F → é aplicada fazendo um ângulo θ em relação à horizontal. Considere g = 10 m s 2 .

Considere que o módulo de F → tem valor constante e igual a 3,0   N durante o deslocamento de x i até x f , mas suponha que o ângulo θ varia com a posição x de acordo com o gráfico abaixo. Construa o gráfico de F cos ⁡ θ como função de x , e com base nisto calcule o trabalho W F realizado pela força F → ao longo de todo o deslocamento.

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Passo 1

Para determinar o gráfico de F cos ⁡ θ   por   x , devemos apenas reproduzir o gráfico do cos ⁡ θ só que multiplicado pela força, ou seja multiplicar por 3,0 . Se liga!

Para determinar o trabalho realizado pela força, basta calcular a área sob a curva:

W F = 2,4 4 - 3 + 2,4 2 ( 5 - 4 )

W F = 2,4 + 1,2

W F = 3,6   J

Resposta

W F = 3,6   J

Exercício Resolvido #4

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 192 – 30.

Uma força F x atua sobre uma partícula que tem massa de 1,5 k g . A força está relacionada com a posição x da partícula pela fórmula F x = C x 3 , onde C = 0,50 se x está em metros e F x está em newtons. Encontre o trabalho realizado por esta força enquanto a partícula se move de x = 3,0 m até x = 1,5 m .

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Passo 1

Bom, aqui diferente da fórmula de trabalho que estamos acostumados a usar, vamos usar a definição de trabalho pra podermos calcular nesse caso. Se lembra da integral ?

Não essa, hahahahhaha, essa aqui ó

W = ∫ F → . d x →

Vamos usar essa definição aqui pois F → x varia de acordo com a posição de x , mas fica tranquilo que a gente resolve essa integral rapidinho.

Passo 2

Para calcular o trabalho vamos substituir o valor de F → na integral

W = ∫ F → . d x → = ∫ C x 3 . d x

Tirando a constante da integral ficamos

W = C ∫ x 3 . d x

Integral de polinômio é tranquilo, né? É só somar 1 no expoente e dividir pelo novo.

∫ x n = x n + 1 n + 1  

W = C ∫ x 3 . d x = C x 4 4

Passo 3

Como ele quer do ponto x = 3,0 m até x = 1,5 m , vamos usar esses valores na integração.

W = C ∫ 3,0 m 1,5 m x 3 . d x

Como já descobrimos a integral, ficamos com

W =   0,5 1,5 m 4 4 - 3,0 m 4 4

W = - 9,492   J

Se liga que o trabalho é negativo e isso ocorre por que a força tem o sentido contrário ao do deslocamento. ;)

Resposta

W = - 9,492   J

Exercício Resolvido #5

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 192 – 31.

Perto de sua cabana de férias há uma caixa d’água solar (preta) usada para aquecer a água de um chuveiro externo. Por alguns dias, no último verão, a bomba estragou e você teve que, pessoalmente, carregar a água do açude até a caixa, 4,0 m acima. Seu balde tem uma massa de 5,0 k g e comporta 15,0 k g de água, quando cheio. No entando, o balde tem um furo e, enquanto você o elevava verticalmente com uma rapidez constante v , a água escapava com uma taxa constante. Ao atingir o topo, apenas 5,0 k g de água restavam.

  1. Escreva uma expressão para a massa do balde mais água, como função da altura acima da superfície do açude.
  2. Encontre o trabalho que você realiza sobre o balde para cada 5,0kg de água despejada no tanque.
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Passo 1

Bom, aqui está você, em sua cabana de férias,

quando você tem que carregar água para a caixa. O que vai acontecer é que mais uma vez a força vai depender do deslocamento, como vamos ver a seguir, e vamos precisar integrar a expressão mais uma vez!

Passo 2

Alternativa a)

Para calcular a massa do balde já sabemos que ela tem que ser uma reta, porque ele disse no enunciado que a água cai a uma taxa constante, certinho? E já da pra sacar que a constante é negativa, porque no final ele vai ter uma quantidade água menor que no inicio

m b a l d e ( x ) = a x + b

Como ele quer a partir da superfice do açude, sabemos que quando a altura é zero, o balde tem 5 k g além dos 15 k g da água

x = 0 → m = 20 k g

m b a l d e ( 0 ) = a 0 + b

m b a l d e ( 0 ) = 20 k g = b

Quando você está 4 metros acima, só tem mais 5 k g de água

m b a l d e = 5 k g á g u a + 5 k g b a l d e = 10 k g

m b a l d e 4 = a 4 + 20 k g

10 k g = 4 a + 20 k g

a = - 2,50 k g

Juntando os valores que encontramos temos a expressão:

m b a l d e x = 20 k g - 2,50 k g m x

Passo 3

Alternativa b)

Agora ele quer saber o trabalho que eu faço pra cada vez que eu vou lá e encho a caixa d’água. E pra encher a caixa d’água eu vou da posição 0 até a posição 4 certo?

Mas qual força eu to fazendo? Eu to dando energia potencial pra água, to subindo ela

F → = m g

Só que como a massa ta variando vamos ter:

W =   ∫ 0 m 4,0 m m g . d x →  

Aquele g ali é constante, né? Bota ele pra fora!

W = g ∫ 0 m 4,0 m 20 k g - 2,50 k g m x

W = g 20 x - 2,50 x 2 2 0 4 m

W = 9,81 20.4 - 2,50 4 2 2 - 20.0 - 2,50 0 2 2

W = 588,6 J

Sempre que a força depender de x vamos ter que integrar para achar o trabalho!

Resposta

m b a l d e x = 20 k g - 2,50 k g m x

W = 588,6 J

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