Teorema Trabalho-Energia Cinética

Teoria Completa

O teorema trabalho energia cinética, relaciona o trabalho da força resultante com a energia cinética.

Como isso?

W r = Δ E c = m 2 v f 2 - v 0 2

Então basta termos as velocidades iniciais e finais de um corpo para saber o trabalho realizado.

Importante ressaltar que o trabalho da força resultante é a soma dos trabalhos realizados por todas as forças que estão atuando no sistema, ou seja, se a força está fazendo trabalho ela tem que estar dentro dessa continha ai.

Vou te dar uma ideia do que acontece

Nessa figura nós temos três forças atuando no bloquinho:

F 1 = F a t

F 2 = N o r m a l

F 3 = P e s o

O trabalho resultante nesse bloquinho vai ser o trabalho realizado por essas três forças.

W r e s u l t a n t e = W f a t + W n o r m a l + W p e s o

É sempre bom ficar atento aos sinais dos trabalhos. Como o bloquinho vai descer, já da pra perceber que o trabalho da força peso é positivo, trabalho da f a t é negativo e o trabalho da força normal é zero pois a força é perpendicular ao deslocamento!!!

Assim a gente consegue descobrir a energia cinética que o bloco vai ter após a realização dos trabalhos:

W r e s u l t a n t e = Δ E c

Pegou? Agora é exercício!

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER, Física, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 191 – ex24

Uma caixa de 6,0 k g é levantada de uma altura de 3,0 m , a partir do repouso, por uma força aplicada vertical de 80 N . Encontre a energia cinética final da caixa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, vamos usar o teorema trabalho-energia cinética. Tem dois trabalhos sendo realizados aqui: o da força e o da gravidade. Vamos calcular os dois.

W r e s u l t a n t e = Δ E c i n é t i c a

Passo 2

Calculando o trabalho realizado pela força aplicada:

W f o r ç a = F → ⋅ x →

W f o r ç a = 80 × 3 = 240 J

W f o r ç a = 240 J

Passo 3

Calculando o trabalho realizado pela força gravitacional:

W g r a v i t a c i o n a l = m g Δ h

Como ele vai da altura 0 até a altura 3,0 m :

W g r a v i t a c i o n a l = 6,0 × 10 × ( 0 m - 3 m )

W g r a v i t a c i o n a l = - 180 J

Passo 4

Agora vamos aplicar o teorema né?

W r e s u l t a n t e = W f o r ç a + W g r a v i t a c i o n a l

W r e s u l t a n t e = 240 - 180

W r e s u l t a n t e = 60 J

Como a caixa partiu do repouso, ele não possuía energia cinética nenhuma.

W r e s u l t a n t e = Δ E c i n é t i c a

60 J = Δ E c i n é t i c a

Como a energia cinética inicial da caixa era nula, temos que a energia cinética final é:

E c i n é t i c a = 60 J

Resposta

E c i n é t i c a = 60 J

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Uma bomba de um prédio é usada para levar a água encanada da rua, até a caixa d’água localizada no telhado do prédio. A diferença de altura que a bomba deve vencer é 35   m , a bomba tem uma vazão de 30   kg/s , e a velocidade com que a água chega à caixa d’água é 2,0   m/s . Desprezando as perdas de energia, determine o trabalho que a bomba realiza em uma hora de operação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pelo enunciado teremos que

h = 35   m Q = 30   k g / s v f = 2,0   m / s

Como ele quer a o trabalho realizado por uma hora podemos achar a massa de água que sofre esse trabalho

m = Q ⋅ Δ t

m = 30 ⋅ 3600

m = 108.000   kg

Passo 2

Como existe variação de velocidade vamos usar o teorema trabalho energia

W tot = Δ K

Existem duas forças atuando no sistema, a força peso e a força da bomba

W tot = W P + W bomba

W tot = - m g h + W bomba

W t o t = - 108000 ⋅ 10 ⋅ 35 +   W b o m b a

W tot = - 37.800.000 + W bomba

Repare que o trabalho da força peso é negativo porque a água está subindo enquanto a força peso está apontada para baixo, ou seja, a força tem sentido contrario ao deslocamento.

Passo 3

Além disso

Δ K = m v f 2 - v 0 2 2

Δ K = m v f 2 2 = 54.000 ⋅ 2 2 = 216.000   J

Passo 4

Usando o teorema trabalho energia cinética

W tot = Δ K

- 37.800.000 + W bomba = 216.000

W bomba = 38.016.000   J

Resposta

W bomba = 38.016.000   J

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-Física I-Prova 2-2013.2-Questão n°1

Um corpo de massa m = 4,0   k g move-se apenas sobre o eixo x . Na origem, sua velocidade vale v i = 4,0   m / s , e o gráfico a seguir mostra a variação da força resultante que atua sobre o corpo.

a ) Qual a energia cinética do corpo, e qual a sua velocidade em x = 8,0   m ?

b ) Responda, justificando, para que valor de x a energia cinética do corpo é máxima? Quanto vale sua velocidade aí?

c ) Para qual (ou quais) valor(es) de x a velocidade instantânea do corpo vale 5,0   m / s ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Quando temos um gráfico de força por deslocamento, devemos sempre lembrar que a área abaixo da curva é igual ao trabalho!

a )

Para calcular a energia cinética em x = 8,0   m , precisamos utilizar o teorema do trabalho e energia cinética, ele nos diz:

W = Δ K

Passo 2

Para calcular o trabalho, precisamos calcular a área abaixo da curva entre 0 e 8,0 :

Teremos o triângulo, entre 0 e 4 :

A 1 = 20 . 4 - 0 2 = 40

E o trapézio entre 4 e 8 :

A 2 = 8 - 4 + 8 - 6 . 10 2 = 30

O trabalho será então:

W = A 1 - A 2 = 10   J

Lembrando que curvas abaixo do eixo, como A 2 , contribuem negativamente!

Passo 3

Voltando à equação da variação de energia, temos:

W = Δ K = K 8 - m . v i 2 2

Onde K 8 é a energia cinética do corpo em x = 8,0   m . Substituindo os valores conhecidos, temos:

10 = K 8 - 4,0 .   4,0 2 2

K 8 = 10 + 32 = 42   J

Agora que temos a energia cinética, determinar a velocidade é fácil, se liga!

K 8 = m . v 8 2 2

Substituindo os valores, temos:

42 = 4,0 .   v 8 2 2

v 8 = 21 = 4,6   m / s

Passo 4

b )

Pelo teorema do trabalho e energia cinética, podemos ver que a variação da energia cinética será positiva, ou seja ela irá aumentar até quando o trabalho for positivo. Desse modo, podemos ver pelo gráfico que isso ocorrerá até x = 4,0   m , que é onde o trabalho passa de positivo para negativo.

Já calculamos, no item a , o trabalho realizado de 0   a t é   4, ele vale W = 40   J . Pelo teorema, temos:

W = Δ K

W = m . v 4 2 2 - m . v i 2 2

Substituindo os valores, temos:

40 = 4,0 . v 4 2 2 - 4,0 .   4,0 2 2

v 4 = 36 = 6   m / s

Passo 5

c )

Para determinar os valores de x em que a velocidade instantânea é 5,0   m / s vamos utilizar o mesmo teorema, só que agora faremos um caminho um pouco diferente. Temos a velocidade, ou seja, podemos calcular a variação da energia cinética. E com isso encontraremos para que valor de trabalho temos essa variação. Se liga!

W = Δ K

W = m . 5,0 2 2 - m . v i 2 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

W = 4,0 . 5,0 2 2 - 4,0 .   4,0 2 2 = 18   J

Ou seja, os pontos em que a velocidade instantânea é 5,0   m / s , são aqueles em que o trabalho é 18   J .

Passo 6

Sabemos que existe um ponto desses entre 0 e 4 , pois em x = 4   m , o trabalho vale 40   J . Utilizaremos novamente a área, sabendo que seu valor deve ser 18 .

Para qualquer valor antes de x = 4   m , a área abaixo da curva será a de um trapézio. Para achar o valor de x , precisamos determinar e quação da curva, pois somente dessa maneira teremos a base menor do trapézio, se liga!

Para determinar a equação da curva, é só substituir dois ponto, desse modo, acharemos:

F x = 20 - 5 x

A área do trapézio será dada por:

A = 20 + 20 - 5 x . x 2

Igualando a 18 , temos:

18 = 40 . x - 5 . x 2 2

5 . x 2 - 40 . x + 36 = 0

Acharemos como solução dessa equação, os valores:

x = 1,03   m   o u   6,97   m

Desses valores, somente x = 1,03   m é válido, pois depois de x = 6,0   m , o comportamento da curva muda.

Passo 7

Vamos agora analisar a existência de um ponto onde o trabalho seja 18   J depois de x = 4,0   m . Sabemos que a partir de x = 6,0   m , o comportamento da curva muda, em x = 6,0   m , temos que o trabalho é:

W = 40 - 6 - 4 . 10 2 = 30   J

Depois de x = 6,0   m , a área será dada por um retângulo, precisamos então, achar para que valor de x , a área desse retângulo será igual a 12 , pois 30 - 12 = 18 !

A = x - 6 . 10

Igualando a 12 , temos:

12 = x - 6 . 10

x = 7,2   m

Pronto, temos que a velocidade instantânea do corpo será igual a 5,0   m / s para os eguintes valores de x :

x = 1,03   m

x = 7,2   m

Resposta

a ) K 8 = 42   J ; v 8 = 4,6   m / s

b ) v 4 = 6   m / s

c ) x = 1,03   m ; x = 7,2   m

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas