Equilíbrio Estático em Cordas

Teoria Completa

Introdução

Já sabemos que uma das condições necessária para o equilíbrio estático é o somatório das forças externas ser zero.

∑ F → = 0

Na maior parte das questões de equilíbrio estático em cordas, basta aplicar essa condição. A diferença aqui é que não vamos aplicar só nos blocos, mas também nos nós das cordas. Também temos que nos atentar a decomposição de vetores que vai estar muito presente.

Equilíbrio Estático em Cordas

Então para as cordas estarem em equilíbrio os seus nós precisam estar em equilíbrio, o melhor jeito da gente entender como isso vai funcionar é na prática, portanto vamos olhar esse probleminha aqui pra entender como funciona.

Imagina que esse bloco está suspenso por essas duas cordas que são fixas às paredes e são inextensíveis, a massa do bloco é 5 k g . Como encontrar a tensão em cada cabo?

Pra gente encontrar as tensões no cabo vamos precisar respeitar as equações de equilíbrio no nó C e a partir delas tiraremos relações entre as forças.

Já aviso pra vocês que a primeira coisa que a gente tem que fazer sempre é o DCL. Com ele vai ficar muito mais fácil de enxergar as forças atuantes e como decompor elas. Lembrando só que o peso do bloco vai ser dado por:

P = M g = 5 × 9,81 = 49,05 N

Vamos de baixo pra cima, começando pelo diagrama de corpo livre do bloco.

Pelo equilíbrio das forças a gente vê que:

∑ F = P - T = 0

P = T

E agora vamos ao DCL da corda, pra analisar o que vai rolar com o nó. Lembrando que transferimos o força de tração no bloco com o sentido invertido pra corda.

A ideia aqui é decompor as forças nas duas direções e montar um sistema ou encontrar uma relação e substituir numa outra equação, a gente sabe quem é T → vamos encontrar T A → e T B → . Pra isso vamos primeiro decompor as forças e analisar a situação do nó C.

Com a figura a gente pode ver as seguintes decomposições:

T A x = T A cos ⁡ 45

T A y = T A s e n ( 45 )

T B x = T B cos ⁡ 30

T B y = T B s e n ( 30 )

Para montar o nosso sistema vamos começar pelo eixo que relaciona T A → e T B → que é o eixo horizontal, e aqui aplicar a equação de equilíbrio no nó C. Você pode arbitrar um sentido, eu vou escolher positivo para a direita e se no fim o sinal der negativo basta indicarmos outro sentido na figura.

∑ F x + → = T B x - T A x = 0

T B x = T A x

Então:

T B cos ⁡ 30 = T A cos ⁡ 45

T B = T A cos ⁡ 45 cos ⁡ 30

E enfim relacionamos as tensões nos cabos A e B.

T B = 0,817 T A     ( 1 )

Encontrada uma relação entre esses caras a gente pode partir pra outra equação, olhando o que acontece na vertical.

∑ F y ( + ↑ ) = T A y + T B y - T = 0

T A y + T B y = T

Substituindo os valores encontrados na decomposição das forças temos:

T A s e n 45 + T B s e n 30 = T     ( 2 )

Usando a equação 1, na equação 2 teremos:

T A s e n 45 + 0,817 T A s e n 30 = T

1,115 T A = T

Substituindo T

T A = 49,05 1,115 = 44 N

E por fim da equação 1 temos:

T B = 0,817 T A    

T B = 0,817 × 44 = 35,95 N

E aqui é o seguinte, a gente escolheu fazer a horizontal primeiro pela quantidade de incógnitas, mas você poderia ter montado um sistema de equações e resolvido. O importante é entender que vamos aplicar sempre as equações de equilíbrio nos nós e decompor as forças pra encontrar relações entre elas.

Partiu exercícios??

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Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 12, pp 18-12

O sistema da figura abaixo está em equilíbrio, com a corda do centro exatamente na horizontal. O bloco A pesa 40 N, o bloco B pesa 50 N e o ângulo ϕ é 35°.

Determine:

  1. A tensão T 1 ,
  2. A tensão T 2 ,
  3. A tensão T 3 ,
  4. O ângulo θ .
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Passo 1

a)

Analisando as forças no bloco A, montamos o seguinte diagrama:

Como o sistema está em equilíbrio:

  T 1 y =   P A

T 1   cos ⁡   ϕ   =   P A

T 1   = 40 c o s 35 °

T 1   = 49 N

Passo 2

b)

Montando o diagrama abaixo:

Para o sistema estar em equilíbrio:

T 1 x =   T 2

T 1 s e n 35 ° =   T 2

T 2 = 28   N

Passo 3

c)

Montando o diagrama no ponto que T 3   passa:

T 3 x =   T 2 = 28 N

Já a componente y de T 3 será o peso do bloco B que pelo enunciado é 50 N , ou seja

T 3 y = 50 N

T 3 é a resultante de T 3 y e T 3 x , logo:

T 3 = 28 2 + 50 2

T 3 = 57 N

Passo 4

d)

Para achar o valor do ângulo θ , basta calcular a tan - 1 ⁡ 28 50 .

Pega uma calculadora aí, e você vai achar que:

tan - 1 ⁡ 28 50 = 29 °

Resposta

  1. 49 N
  2. 28 N
  3. 57 N
  4. 29°

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 12, pp 24-55

Na figura abaixo, uma caçamba de 817 kg está suspensa por um cabo A que está preso no ponto O a dois outros cabos, B e C, que fazem ângulos θ 1 = 51,0 ° e θ 2 = 66,0 ° com a horizontal. Determine as tensões: Sugestão: Para não ter que resolver um sistema de duas equações com duas icógnitas, defina os eixos da forma mostrada na figura.

  1. No cabo A,
  2. No cabo B,
  3. No cabo C.
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Passo 1

No cabo A, chegamos à conclusão que:

  T A =   P c a ç a m b a

T A =   817 k g × 9,8 m s 2 ≅ 80 06 N

Passo 2

b) Vamos utilizar os eixos conforme sugerido no enunciado:

Para o sistema estar em equilíbrio:

T B y =   T A y

T B cos ⁡ 27 ° =   T A   cos ⁡ 66 °

T B =   80 06 cos ⁡ 66 ° cos ⁡ 27   °

T B ≅ 365 4   N

Passo 3

Para estar em equilíbrio, o somatório de forças no eixo x também deve ser igual a zero.

T C +   T B sen ⁡ 27 °   = T A sen ⁡ 66 °

T C   = T A sen ⁡ 66 ° -   T B sen ⁡ 27 °

T C ≅ 56 54 N

Resposta

  1. 8006 N
  2. 3654 N
  3. 5654 N

Exercício Resolvido #3

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 12, pp 24-63

Na figura abaixo, o bloco A, com uma massa de 10 kg, está em repouso, mas escorregaria se o bloco B, que tem uma massa de 5,0 kg, fosse mais pesado.

Se θ = 30 ° , qual é o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e a superfície na qual está apoiado?

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Passo 1

Montando primeiramente, o diagrama da questão:

Como trata-se de um equilíbrio estático, podemos montar as equações no eixo x e no eixo y.

T x =   F a t

T y =   P B

Como sabemos o valor do ângulo, podemos deixar em função da tangente do mesmo:

T a n   30 ° P B =   F a t  

Passo 2

Sabemos que, como o bloco A está na iminência do movimento, a força de atrito é máxima. Logo:

F a t = μ N

F a t = μ P A

Passo 3

Igualando as duas equações, descobrimos o valor de μ :

T a n   30 ° P B = μ P A

μ = T a n   30 ° P B P A

μ = T a n   30 ° M B M A

μ = T a n   30 ° x 5 k g 10 k g

μ = 0,288

Resposta

μ = 0,288

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