Centro de Gravidade

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Teoria

Fala aí! Bora bater um papo sobre Centro de Gravidade?!

O que é Centro de Gravidade?

O Centro de Gravidade, também chamado de baricentro é o ponto de um corpo onde podemos considerar que todo o seu peso esteja aplicado.

Centro de gravidade de um objeto
Centro de gravidade de um objeto

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Como Calcular o Centro de Gravidade?

A força gravitacional que age sobre um corpo ou um sistema é a soma vetorial das forças gravitacionais que agem sobre todos os elementos do mesmo. Então pra a gente calcular o centro de gravidade, vamos imaginar um corpo não homogêneo:

Centro de Gravidade: Corpo não homogêneo
Centro de Gravidade: Corpo não homogêneo

Pra a gente achar o centro de gravidade, vamos somar cada componente da força peso e colocar num ponto só, o centro de gravidade, lembrando que a gente tem que definir um eixo de referência pra calcular esse camarada.

Centro de gravidade: eixo de referência
Centro de gravidade: eixo de referência

Onde, é o centro de gravidade composto por pelo par ordenado ( e é a força gravitacional no corpo. A grande vantagem de definir um eixo de referência é que se substituirmos todas as forças gravitacionais de cada elemento por essa força gravitacional do corpo, a força resultante que age sobre o corpo não muda.

-Mas cara, como é que eu faço para calcular o centro de gravidade? 😖

Fórmula do Centro de Gravidade

A fórmula do centro de gravidade tem essa carinha aqui:

O torque resultante do centro de gravidade é igual ao somatório de todos os torques que agem sobre o corpo.

Assim a gente pode isolar a posição do centro de gravidade:

Centro de Massa e Centro de gravidade

O centro de massa tem a mesma ideia do que o centro de gravidade e muitas vezes os dois coincidem. A diferença é que no centro de massa a gente só calcula usando as massas, porém quando a gravidade é constante o cálculo acaba sendo o mesmo!


Vamos calcular o centro de gravidade pra esse sistema com gravidade constante e avaliar isso.

Centro de massa e gravidade: Exemplo
Centro de massa e gravidade: Exemplo

Dados:

Podemos escrever que para cada peso:

Da mesma forma que pro corpo não homogêneo a gente pode usar a seguinte equação pra posição do centro de gravidade:

Podemos cortar a gravidade, já que ela é a mesma para todos os corpos.

Pro nosso caso então só precisamos definir a posição de cada bolinha:

Substituindo:

Calculando:

E representando na figura:

Centro de massa e gravidade
Centro de massa e gravidade

Percebemos então que quando a gravidade for constante, o centro de massa do objeto coincide com o centro de gravidade, já que será cortado da fórmula de centro de gravidade!

Agora vamos praticar com exercícios?!

Centro de Massa e Centro de gravidade

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um automóvel tem 58 por cento do seu peso sobre as rodas dianteiras. O eixo dianteiro e o eixo traseiro estão afastados de 2,0 m. Onde está localizado o centro de gravidade?

Passo 1

Montamos um sistema de coordenadas com a origem passando pelo ponto de contato das rodas dianteiras e de modo que a parte positiva de x inclui o ponto de contato das rodas traseiras. A ideia é algo assim:

Chamando P de peso total:

X c g P = ∑ i X i P i

Como está sobre o eixo de rotação, o momento gerado pelas rodas dianteiras é nulo. Assim, chegamos a:

X c g P = 0,58 P 0 + 0,42 P 2

X c g P = 0,84 P

X c g = 0,84 m   o u   84   c m

Resposta

84 cm

Exercício Resolvido #2

Como a constante g é praticamente a mesma em todos os pontos da grande maioria das estruturas, em geral supomos que o centro de gravidade de uma estrutura coincide com o centro de massa. Neste exemplo fictício, porém, a variação da constante g é significativa. A figura abaixo mostra um arranjo de seis partículas, todas de massa m , presas na borda de uma estrutura de massa desprezível. A distância entre partículas vizinhas é 2,00 m

A tabela a seguir mostra o valor de g (em m/s²) na posição de cada partícula. Usando o sistema de coordenadas mostrado na figura, determine:

  1. A coordenada X c m do centro de massa do sistema de seis partículas.
  2. A coordenada Y c m do centro de massa do sistema de seis partículas.
  3. Em seguida, determine:

  4. A coordenada X c g do centro de gravidade do sistema de seis partículas.
  5. A coordenada Y c g do centro de gravidade do sistema de seis partículas.

Passo 1

  1. Aplicando a fórmula de centro de massa, temos:

R → c m = ∑ i ( r → i m i ) ∑ i m i

Para x temos:

X c m = [ 0 + 0 + 0 + m 2,00 + m 2,00 + m 2,00 ] 6 m

X c m = 1,00 m

Passo 2

Para y aplicamos a mesma fórmula:

R → c m = ∑ i ( r → i m i ) ∑ i m i

E, assim, chegamos a:

Y c m = [ 0 + m 2,00 + m 4,00 + m 4,00 + m 2,00 + 0 ] 6 m

Y c m = 2,00 m

Passo 3

Aplicando a fórmula de centro de gravidade, percebemos que como a gravidade não é constante, ela não vai coincidir com o centro de massa.

R → c g = ∑ i ( r → i m i g i ) ∑ i m i g i

Aplicando a fórmula para x:

X c g = 0 + 0 + 0 + m 2,00 7,80 + m 2,00 7,60 + m 2,00 7,40 8,00 m + 7,80 m + 7,60 m + 7,40 m + 7,60 m + 7,80 m

X c g = 0,987 m

Passo 4

Aplicando a fórmula para y:

Y c g = 0 + m 2,00 7,80 + m 4,00 7,60 + m 4,00 7,40 + m 2,00 7,60 + 0 8,00 m + 7,80 m + 7,60 m + 7,40 m + 7,60 m + 7,80 m

Y c g = 1,97 m

Resposta

a)1,00m

b)2,00m

c)0,987m

d)1,97m

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