Teoria Completa
Introdução
A gente já sabe como a força peso atua num corpo pontual mas e num corpo extenso? Como a gravidade age nesses casos? Imagina essa escada apoiada na parede, como a força peso vai atuar?
A gravidade vai atuar ao longo de toda a escada, como se em cada pedacinho dela uma força peso atuasse.
Porém em corpos homogêneos e de densidade constante a gente pode dizer que o centro de gravidade está localizado no centro do corpo, daí a gente junta cada “mini força peso” numa única resultante e coloca no centro de gravidade, saca só:
Muiiitos corpos são homogêneos e com densidade constante, exemplos de corpos homogêneos são barras, círculos e chapas como na figura:
Para todos esses, a posição do centro de gravidade vai estar no meio do objeto, pois são homogêneos, se o objeto tivesse um furo assimétrico a gente não poderia fazer isso ou se concentrasse mais massa em um só ponto, uma rampa por exemplo não é homogênea:
Nesse caso e em outros muitos casos a gente precisa de fato calcular o centro de gravidade.
Cálculo do centro de gravidade
A força gravitacional que age sobre um corpo ou um sistema é a soma vetorial das forças gravitacionais que agem sobre todos os elementos do mesmo, vamos ver esse corpo não homogêneo:
Do mesmo jeito da escada a gente vai somar cada componente da força peso e colocar num ponto só, o centro de gravidade, lembrando que a gente tem que definir um eixo de referência pra calcular esse camarada.
- é o centro de gravidade composto por pelo par ordenado
- é a força gravitacional no corpo
A grande vantagem disso é que se substituirmos todas as forças gravitacionais de cada elemento por essa força gravitacional do corpo, a força resultante que age sobre o corpo não muda.
Mas cara, como é que eu faço para calcular o centro de gravidade?
A fórmula é a seguinte:
O torque resultante do centro de gravidade é igual ao somatório de todos os torques que agem sobre o corpo.
Vê se ficou mais claro? Eu tô pegando todos os pesos das massas do corpo e somando de acordo com suas respectivas distâncias .
Assim a gente pode isolar a posição do centro de gravidade:
Centro de massa vs centro de gravidade
O centro de massa tem a mesma ideia do que o centro de gravidade e muitas vezes os dois coincidem.
A diferença é que no centro de massa a gente só calcula usando as massas, porém quando a gravidade é constante (na maioria dos casos!) o cálculo acaba sendo o mesmo.
Vamos calcular o centro de gravidade pra esse sistema com gravidade constante e avaliar isso.
Dados:
Podemos escrever que para cada peso:
Da mesma forma que pro corpo não homogêneo a gente pode usar a seguinte equação pra posição do centro de gravidade.
E se a gente cortar a gravidade, já que ela é a mesma para todos os corpos.
Pro nosso caso então só precisamos definir a posição de cada bolinha.
E substituindo temos:
E representando na figura:
Percebemos então que quando a gravidade for constante, o centro de massa do objeto coincide com o centro de gravidade, já que será cortado da fórmula de centro de gravidade.
Separando em eixos
Em alguns casos, o problema pode pedir ou pode ser mais fácil trabalhar com eixos ao invés de trabalhar com vetor:
Para o nosso problema poderíamos ter feito assim também:
E para
Substituindo:
É isso, bora fazer uns exercícios?
Exercício Resolvido #1
Um automóvel tem 58 por cento do seu peso sobre as rodas dianteiras. O eixo dianteiro e o eixo traseiro estão afastados de 2,0 m. Onde está localizado o centro de gravidade?
Passo 1
Montamos um sistema de coordenadas com a origem passando pelo ponto de contato das rodas dianteiras e de modo que a parte positiva de x inclui o ponto de contato das rodas traseiras. A ideia é algo assim:
Chamando de peso total:
Como está sobre o eixo de rotação, o momento gerado pelas rodas dianteiras é nulo. Assim, chegamos a:
Resposta
84 cm
Exercício Resolvido #2
Como a constante é praticamente a mesma em todos os pontos da grande maioria das estruturas, em geral supomos que o centro de gravidade de uma estrutura coincide com o centro de massa. Neste exemplo fictício, porém, a variação da constante é significativa. A figura abaixo mostra um arranjo de seis partículas, todas de massa , presas na borda de uma estrutura de massa desprezível. A distância entre partículas vizinhas é 2,00 m
A tabela a seguir mostra o valor de (em m/s²) na posição de cada partícula. Usando o sistema de coordenadas mostrado na figura, determine:
- A coordenada do centro de massa do sistema de seis partículas.
- A coordenada do centro de massa do sistema de seis partículas.
- A coordenada do centro de gravidade do sistema de seis partículas.
- A coordenada do centro de gravidade do sistema de seis partículas.
Em seguida, determine:
Passo 1
- Aplicando a fórmula de centro de massa, temos:
Para x temos:
Passo 2
Para y aplicamos a mesma fórmula:
E, assim, chegamos a:
Passo 3
Aplicando a fórmula de centro de gravidade, percebemos que como a gravidade não é constante, ela não vai coincidir com o centro de massa.
Aplicando a fórmula para x:
Passo 4
Aplicando a fórmula para y:
Resposta
a)1,00m
b)2,00m
c)0,987m
d)1,97m