Cálculo do Centro de Gravidade

Teoria Completa

Introdução

A gente já sabe como a força peso atua num corpo pontual mas e num corpo extenso? Como a gravidade age nesses casos? Imagina essa escada apoiada na parede, como a força peso vai atuar?

A gravidade vai atuar ao longo de toda a escada, como se em cada pedacinho dela uma força peso atuasse.

Porém em corpos homogêneos e de densidade constante a gente pode dizer que o centro de gravidade está localizado no centro do corpo, daí a gente junta cada “mini força peso” numa única resultante e coloca no centro de gravidade, saca só:

Muiiitos corpos são homogêneos e com densidade constante, exemplos de corpos homogêneos são barras, círculos e chapas como na figura:

Para todos esses, a posição do centro de gravidade vai estar no meio do objeto, pois são homogêneos, se o objeto tivesse um furo assimétrico a gente não poderia fazer isso ou se concentrasse mais massa em um só ponto, uma rampa por exemplo não é homogênea:

Nesse caso e em outros muitos casos a gente precisa de fato calcular o centro de gravidade.

Cálculo do centro de gravidade

A força gravitacional que age sobre um corpo ou um sistema é a soma vetorial das forças gravitacionais que agem sobre todos os elementos do mesmo, vamos ver esse corpo não homogêneo:

Do mesmo jeito da escada a gente vai somar cada componente da força peso e colocar num ponto só, o centro de gravidade, lembrando que a gente tem que definir um eixo de referência pra calcular esse camarada.

  • C g     é o centro de gravidade composto por pelo par ordenado ( x c g , y c g )
  • P → é a força gravitacional no corpo

A grande vantagem disso é que se substituirmos todas as forças gravitacionais de cada elemento por essa força gravitacional do corpo, a força resultante que age sobre o corpo não muda.

Mas cara, como é que eu faço para calcular o centro de gravidade?

A fórmula é a seguinte:

R → c g P t o t a l = ∑ i R → i P i

O torque resultante do centro de gravidade é igual ao somatório de todos os torques que agem sobre o corpo.

P t o t a l r → C G = P 1 r 1 → + P 2 r 2 → + P 3 r 3 → + …

Vê se ficou mais claro? Eu tô pegando todos os pesos das massas m i do corpo e somando de acordo com suas respectivas distâncias r i .

Assim a gente pode isolar a posição do centro de gravidade:

r C G → = [ P 1 r 1 → + P 2 r 2 → + P 3 r 3 → + . . ] P t o t a l  

Centro de massa vs centro de gravidade

O centro de massa tem a mesma ideia do que o centro de gravidade e muitas vezes os dois coincidem.

A diferença é que no centro de massa a gente só calcula usando as massas, porém quando a gravidade é constante (na maioria dos casos!) o cálculo acaba sendo o mesmo.

Vamos calcular o centro de gravidade pra esse sistema com gravidade constante e avaliar isso.

Dados:

m 1 = 1 k g

m 2 = 1,5 k g

m 3 = 2,0 k g

Podemos escrever que para cada peso:

P i = m i g

Da mesma forma que pro corpo não homogêneo a gente pode usar a seguinte equação pra posição do centro de gravidade.

r → C G = r → 1 . m 1 g + r → 2 . m 2 g + r → 3 . m 3 g + … m 1 g + m 2 g + m 3 g + …  

E se a gente cortar a gravidade, já que ela é a mesma para todos os corpos.

r → C G = r → C M   = r → 1 . m 1 + r → 2 . m 2 + r → 3 . m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …  

Pro nosso caso então só precisamos definir a posição de cada bolinha.

r 1 → = 2 i ^ + 2 j ^

r 2 → = 3 i ^ + 6 j ^

r 3 → = 5 i ^ + 4 j ^

E substituindo temos:

r → C G = 1 × 2 i ^ + 2 j ^ + 1,5 × 3 i ^ + 6 j ^ + 2 × 5 i ^ + 4 j ^ 1 + 1,5 + 2

r → C G = r → C M = 16,5 i ^ + 19 j ^ 4,5 = 3,67 i ^ + 4,22 j ^   [ c m ]

E representando na figura:

Percebemos então que quando a gravidade for constante, o centro de massa do objeto coincide com o centro de gravidade, já que g será cortado da fórmula de centro de gravidade.

Separando em eixos

Em alguns casos, o problema pode pedir ou pode ser mais fácil trabalhar com eixos ao invés de trabalhar com vetor:

x C G = x 1 . p 1 + x 2 . p 2 + x 3 . p 3 + … p 1 + p 2 + p 3 + …  

y C G = y 1 . p 1 + y 2 . p 2 + y 3 . p 3 + … p 1 + p 2 + p 3 + …  

Para o nosso problema poderíamos ter feito assim também:

x C G = m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 m 1 + m 2 + m 3

x C G = 1 × 2 + 1,5 × 3 + 2 × 5 4,5 = 3,67 c m

E para y :

y C G = m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 m 1 + m 2 + m 3

Substituindo:

y C G = 1 × 2 + 1,5 × 6 + 2 × 4 4,5 = 4,22 c m

É isso, bora fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 422 – 15.

Um automóvel tem 58 por cento do seu peso sobre as rodas dianteiras. O eixo dianteiro e o eixo traseiro estão afastados de 2,0 m. Onde está localizado o centro de gravidade?

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Passo 1

Montamos um sistema de coordenadas com a origem passando pelo ponto de contato das rodas dianteiras e de modo que a parte positiva de x inclui o ponto de contato das rodas traseiras. A ideia é algo assim:

Chamando P de peso total:

X c g P = ∑ i X i P i

Como está sobre o eixo de rotação, o momento gerado pelas rodas dianteiras é nulo. Assim, chegamos a:

X c g P = 0,58 P 0 + 0,42 P 2

X c g P = 0,84 P

X c g = 0,84 m   o u   84   c m

Resposta

84 cm

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 17-1

Como a constante g é praticamente a mesma em todos os pontos da grande maioria das estruturas, em geral supomos que o centro de gravidade de uma estrutura coincide com o centro de massa. Neste exemplo fictício, porém, a variação da constante g é significativa. A figura abaixo mostra um arranjo de seis partículas, todas de massa m , presas na borda de uma estrutura de massa desprezível. A distância entre partículas vizinhas é 2,00 m

A tabela a seguir mostra o valor de g (em m/s²) na posição de cada partícula. Usando o sistema de coordenadas mostrado na figura, determine:

  1. A coordenada X c m do centro de massa do sistema de seis partículas.
  2. A coordenada Y c m do centro de massa do sistema de seis partículas.
  3. Em seguida, determine:

  4. A coordenada X c g do centro de gravidade do sistema de seis partículas.
  5. A coordenada Y c g do centro de gravidade do sistema de seis partículas.

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Passo 1

  1. Aplicando a fórmula de centro de massa, temos:

R → c m = ∑ i ( r → i m i ) ∑ i m i

Para x temos:

X c m = [ 0 + 0 + 0 + m 2,00 + m 2,00 + m 2,00 ] 6 m

X c m = 1,00 m

Passo 2

Para y aplicamos a mesma fórmula:

R → c m = ∑ i ( r → i m i ) ∑ i m i

E, assim, chegamos a:

Y c m = [ 0 + m 2,00 + m 4,00 + m 4,00 + m 2,00 + 0 ] 6 m

Y c m = 2,00 m

Passo 3

Aplicando a fórmula de centro de gravidade, percebemos que como a gravidade não é constante, ela não vai coincidir com o centro de massa.

R → c g = ∑ i ( r → i m i g i ) ∑ i m i g i

Aplicando a fórmula para x:

X c g = 0 + 0 + 0 + m 2,00 7,80 + m 2,00 7,60 + m 2,00 7,40 8,00 m + 7,80 m + 7,60 m + 7,40 m + 7,60 m + 7,80 m

X c g = 0,987 m

Passo 4

Aplicando a fórmula para y:

Y c g = 0 + m 2,00 7,80 + m 4,00 7,60 + m 4,00 7,40 + m 2,00 7,60 + 0 8,00 m + 7,80 m + 7,60 m + 7,40 m + 7,60 m + 7,80 m

Y c g = 1,97 m

Resposta

a)1,00m

b)2,00m

c)0,987m

d)1,97m

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