Cálculo do Centro de Gravidade

Teoria Completa

Cálculo do centro de gravidade

Vamos estudar agora o centro de gravidade e como calculá-lo.

A força gravitacional que age sobre um corpo é a soma vetorial das forças gravitacionais que agem sobre todos os elementos do corpo. O que isso significa?

Saca só a figura aqui embaixo.

Imagine que cada “átomo” do corpo tem uma força gravitacional associada. Somando todas essas forças gravitacionais de todos os elementos do corpo, podemos chegar a seguinte figura:

  • x c g é o centro de gravidade, ou seja, o ponto em que essa força atua.
  • F g → é a força gravitacional no corpo

A grande vantagem disso é que se substituirmos todas as forças gravitacionais de cada elemento por essa força gravitacional do corpo, a força resultante que age sobre o corpo não muda.

Show!Mas cara, como é que eu faço para calcular o centro de gravidade?

A fórmula é a seguinte:

R → c g P t o t a l = ∑ i R → i P i

Ei, pera? Como assim essa fórmula?

Tá! Fui rápido demais. Vou tentar explicar aqui.

Essa fórmula nos mostra exatamente uma das propriedades do centro de gravidade.

O peso resultante do centro de gravidade é igual ao somatório de todos os pesos que agem sobre o corpo.

P t o t a l r → C G = P 1 r 1 → + P 2 r 2 → + P 3 r 3 → + …

Vê se ficou mais claro? Eu tô pegando todos os pesos das massas m i do corpo e somando de acordo com suas respectivas distâncias r i .

Dividindo pelo peso total P t o t a l do corpo, eu descubro o ponto do centro de gravidade. Então se eu quiser levantar esse corpo é mais eficiente que aponte uma força na direção desse corpo!

Centro de massa vs centro de gravidade

O centro de massa tem a mesma ideia do que o centro de gravidade.

Só que como seu próprio nome diz, o centro de massa é influenciado apenas pela massa e não pelo peso.

A lógica é seguinte:

r → C M = r → 1 . m 1 + r → 2 . m 2 + r → 3 . m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …  

Percebemos então que quando a gravidade for constante, o centro de massa do objeto coincide com o centro de gravidade, já que g será cortado da fórmula de centro de gravidade.

Separando em eixos

Em alguns casos, o problema pode pedir ou pode ser mais fácil trabalhar com eixos ao invés de trabalhar com vetor.

x C G = x 1 . p 1 + x 2 . p 2 + x 3 . p 3 + … p 1 + p 2 + p 3 + …  

y C G = y 1 . p 1 + y 2 . p 2 + y 3 . p 3 + … p 1 + p 2 + p 3 + …  

Show! Vamos para exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 422 – 15.

Um automóvel tem 58 por cento do seu peso sobre as rodas dianteiras. O eixo dianteiro e o eixo traseiro estão afastados de 2,0 m. Onde está localizado o centro de gravidade?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Montamos um sistema de coordenadas com a origem passando pelo ponto de contato das rodas dianteiras e de modo que a parte positiva de x inclui o ponto de contato das rodas traseiras. A ideia é algo assim:

Chamando P de peso total:

X c g P = ∑ i X i P i

Como está sobre o eixo de rotação, o momento gerado pelas rodas dianteiras é nulo. Assim, chegamos a:

X c g P = 0,58 P 0 + 0,42 P 2

X c g P = 0,84 P

X c g = 0,84 m   o u   84   c m

Resposta

84 cm

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 17-1

Como a constante g é praticamente a mesma em todos os pontos da grande maioria das estruturas, em geral supomos que o centro de gravidade de uma estrutura coincide com o centro de massa. Neste exemplo fictício, porém, a variação da constante g é significativa. A figura abaixo mostra um arranjo de seis partículas, todas de massa m , presas na borda de uma estrutura de massa desprezível. A distância entre partículas vizinhas é 2,00 m

A tabela a seguir mostra o valor de g (em m/s²) na posição de cada partícula. Usando o sistema de coordenadas mostrado na figura, determine:

  1. A coordenada X c m do centro de massa do sistema de seis partículas.
  2. A coordenada Y c m do centro de massa do sistema de seis partículas.
  3. Em seguida, determine:

  4. A coordenada X c g do centro de gravidade do sistema de seis partículas.
  5. A coordenada Y c g do centro de gravidade do sistema de seis partículas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Aplicando a fórmula de centro de massa, temos:

R → c m = ∑ i ( r → i m i ) ∑ i m i

Para x temos:

X c m = [ 0 + 0 + 0 + m 2,00 + m 2,00 + m 2,00 ] 6 m

X c m = 1,00 m

Passo 2

Para y aplicamos a mesma fórmula:

R → c m = ∑ i ( r → i m i ) ∑ i m i

E, assim, chegamos a:

Y c m = [ 0 + m 2,00 + m 4,00 + m 4,00 + m 2,00 + 0 ] 6 m

Y c m = 2,00 m

Passo 3

Aplicando a fórmula de centro de gravidade, percebemos que como a gravidade não é constante, ela não vai coincidir com o centro de massa.

R → c g = ∑ i ( r → i m i g i ) ∑ i m i g i

Aplicando a fórmula para x:

X c g = 0 + 0 + 0 + m 2,00 7,80 + m 2,00 7,60 + m 2,00 7,40 8,00 m + 7,80 m + 7,60 m + 7,40 m + 7,60 m + 7,80 m

X c g = 0,987 m

Passo 4

Aplicando a fórmula para y:

Y c g = 0 + m 2,00 7,80 + m 4,00 7,60 + m 4,00 7,40 + m 2,00 7,60 + 0 8,00 m + 7,80 m + 7,60 m + 7,40 m + 7,60 m + 7,80 m

Y c g = 1,97 m

Resposta

a)1,00m

b)2,00m

c)0,987m

d)1,97m

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