Lei da Refração

Teoria Completa

Já tentou falar dentro da água?

Quando você e outra pessoa tentam conversar por baixo d’água, a voz sai estranha, meio grossa, e não conseguimos entender nada!

Isso acontece porque o som atravessa a água com uma velocidade diferente da velocidade que ele atravessa o ar.

Com a luz acontece a mesma coisa.

Quando temos luz atravessando a água, ou um vidro, um plástico, ou qualquer outra coisa, a velocidade dela muda! Por exemplo, a luz no vácuo tem uma velocidade MUITO maior que a luz na água!

Neste tópico, vamos discutir essa mudança de velocidade a partir de uma propriedade bem comum dos materiais.

Entra em cena o índice de refração!

Existe uma grandeza que tem dentro de si a informação da velocidade da luz em um dado meio: o índice de refração. Ele é dado por:

n = c v

Onde c é a velocidade da luz no vácuo, que vale aproximadamente 3 ∙ 10 8   m / s , e v é a velocidade da luz no interior do material.

Ou seja, o índice mede a diminuição da velocidade das ondas eletromagnéticas quando elas se propagam em um lugar que não seja o vácuo.

Vale notar três coisas:

  • Como o índice de refração é uma razão de velocidades, ele não tem unidade.
  • Quanto maior a velocidade no meio, menor o índice de refração.
  • Quanto menor a velocidade no meio, maior o índice de refração.

No vácuo, v = c , e por isso n v á c u o = 1 .

Agora, embora a velocidade da luz varie de um meio para outro, a sua frequência permanece constante.

Além disso, a velocidade da onda v , a frequência f e o comprimento de onda λ estão relacionados por

v = λ f

Então se a velocidade muda e a frequência não, o comprimento de onda λ tem que mudar também!

Se substituirmos essa equação na fórmula do índice de refração, nós podemos encontrar uma relação entre o comprimento de onda da luz no vácuo λ 0 e do comprimento de onda no material λ .

n = λ 0 λ

A diferença na imagem observada dentro e fora d’água

Você já viu o mistério do canudo quebrado?

Quando vemos a parte do canudo que fica fora da água e a parte dentro, ele parece meio... bizarro.

Por que isso acontece?

Isso é uma consequência direta da mudança de velocidade da luz: trata-se da refração.

A refração é a mudança da direção de propagação dos raios luminosos que ocorre quando a luz que se propagava em um meio (como o ar) passa a se propagar em outro (como a água).

Lei de Snell

A relação entre os ângulos θ a (ângulo de incidência) e θ b (ângulo de refração) é dada pela seguinte fórmula:

n a sen ⁡ θ a = n b sen ⁡ θ b

Que é conhecida como Lei de Snell.

Nessa fórmula, temos que n a é o índice de refração do meio a e n b é o índice de refração do meio b . Ela nos diz o seguinte:

  • Se n a > n b , então θ a < θ b ( Quando a luz refrata de um meio com maior índice de refração para um com menor índice, o ângulo de refração é maior que o ângulo de incidência)
  • Se n a < n b , então θ a > θ b ( Quando a luz refrata de um meio com menor índice de refração para um com maior índice, o ângulo de refração é menor que o ângulo de incidência)

Contudo, ela tem uma limitação:

Ambos os ângulos de incidência e de refração devem ser menores de 90 ° . Esse é um ângulo limite pois nos casos em que os ângulos seriam “maiores” o que acontece é que na verdade não teremos refração!

Análise Gráfica da Refração

Se tem uma coisa que vira e mexe aparece em questões de prova ou de lista de exercícios, essa coisa é “gráficos”.

Por isso, este tipo é destinado a observamos os gráficos que podem aparecer na sua vida.

O ângulo de refração é sempre dado pela Lei de Snell (considerando ângulos menores que 90 ° )

n 1 sen ⁡ θ 1 = n 2 sen ⁡ θ 2

Podemos rearrumá-lo e ver que:

n 1 sen ⁡ θ 1 n 2 = sen ⁡ θ 2

Ou, pra quem preferir, podemos já inverter:

θ 2 = sen - 1 ⁡ n 1 sen ⁡ θ 1 n 2

Essas fórmulas nos dizem o seguinte:

  • O ângulo de refração depende do ângulo de incidência θ 1 . Quanto maior o ângulo de incidência, maior o ângulo de refração.
  • O ângulo de refração depende do inverso do índice de refração n 2 , do meio onde a luz refrata. Quanto maior esse índice, menor o ângulo que a luz faz com a reta normal à interface.

Em geral, os gráficos vão nos dar pares de valores de n 2 e θ 2 ou pares de valores de θ 2 e θ 1 .

Então, a questão pode te dar uma terceira informação (ou o ângulo que falta ou um dos índices de refração) e te pedir pra encontrar o que falta.

Agora vamos praticar em alguns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 29-33.5

Um feixe de luz desloca-se no quartzo com velocidade 1,94 × 10 8   m / s . O comprimento de onda da luz no quartzo é 355   n m .

  1. Qual é o índice de refração do quartzo para esse comprimento de onda?
  2. Se essa mesma luz se propagasse no ar, qual seria seu comprimento de onda?
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Passo 1

Letra a)

O problema nos dá a velocidade v da luz no quartzo e o comprimento de onda no quartzo λ .

A letra a) nos pede o índice de refração n do quartzo.

Quando falamos sobre o índice de refração, vimos que ele pode ser calculado através do comprimento de onda λ e da velocidade v , através das seguintes relações:

n = c v = λ 0 λ

Onde c é a velocidade da luz no vácuo, que vale 3 × 10 8   m / s e λ 0 é o comprimento de onda no vácuo.

Passo 2

Como já sabemos o valor de v e o valor de c que é preestabelecido, vamos usar a relação:

n = c v

Onde:

c = 3 × 10 8   m / s ;

v = 1,94 × 10 8   m / s ;

Logo:

n = 3 × 10 8 1,94 × 10 8 ≅ 1,54

Passo 3

Letra b)

A letra b) nos pede para calcular o comprimento da onda caso ela se propagasse no ar.

Antes de começar a resolver a questão, é importante lembrar uma informação muito importante:

Como o índice de refração no ar é aproximadamente igual ao do vácuo, usaremos c e λ 0 para a velocidade de onda no ar e o comprimento de onda no ar, respectivamente.

Beleza?! Ok, então vamos continuar.

Conforme falamos anteriormente, o índice de refração pode ser calculado por:

n = λ 0 λ

Onde n é o índice de refração no quartzo (que calculamos na letra a)), λ 0 e o comprimento de onda no ar e λ é o comprimento de onda no quartzo.

Passo 4

n = λ 0 λ

Onde:

n = 1,54 ;

λ = 355   n m = 3,55 × 10 - 7   m ;

Logo:

λ 0 = n λ

λ 0 = 1,54 × 3,55 × 10 - 7 = 5,467 × 10 - 7   m

λ 0 = 546,7   n m

Resposta

Letra a)

n = 1,54

Letra b)

λ 0 = 546,7   n m

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 100-4

O comprimento de onda da luz amarela do sódio no ar é 589   n m .

  1. Qual é a frequência da luz?
  2. Qual é o comprimento de onda da luz em um vidro com um índice de refração de 1,52 ?
  3. Use os resultados dos itens (a) e (b) para calcular a velocidade da luz no vidro.
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Passo 1

Letra a)

A velocidade da luz no ar é constante e igual a c = 3 ∙ 10 8   m / s e ela é dada por:

λ 0 f 0 = c

Sendo que o comprimento da luz amarela do sódio é:

λ 0 = 589   n m = 589 ∙ 10 - 9   m

Logo, sua frequência vai ser:

f 0 = c λ 0 = 3 ∙ 10 8 589 ∙ 10 - 9 ≅ 5,09 ∙ 10 14 H z = 5,09 ∙ 10 8 M H z

Passo 2

Letra b)

Quando a luz passa do ar pro vidro, seu novo comprimento de onda vai ser dado por:

λ = λ 0 n v i d r o

Onde λ 0 é o comprimento da luz no ar. Assim:

λ = 589 1,52 = 387,5   n m

Passo 3

Letra c)

A velocidade da luz no vidro vai ser:

v = λ f ≅ 387,5 ∙ 10 - 9 ∙ 5,09 ∙ 10 14 = 197   237   500,00   m / s

Resposta

Letra a)

f 0 ≅ 5,09 ∙ 10 14 H z

Letra b)

λ = 387,5   n m

Letra c)

v ≅ 197   237   500,00   m / s

Exercício Resolvido #3

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 29-33.15

Um raio de luz incide sobre a superfície plana que separa duas placas finas de vidro com índices de refração 1,70 e 1,56 .

O ângulo de incidência é 62 ° , e o raio que provém da placa que possui índice de refração 1,70 .

Calcule o ângulo de refração.

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Passo 1

O problema nos dá os índices de refração n 1 e n 2 e o ângulo de incidência θ 1 .

A questão nos pede para calcular o ângulo de refração θ 2 .

A equação que melhor se encaixa para resolver o problema é a Lei de Snell, dada por:

n 1 ∙ s e n θ 1 = n 2 ∙ s e n θ 2

Passo 2

n 1 ∙ s e n θ 1 = n 2 ∙ s e n θ 2

s e n θ 2 = n 1 n 2 ∙ s e n θ 1

Onde:

n 1 = 1,70 ;

n 2 = 1,56 ;

θ 1 = 62 ° ;

s e n θ 1 ≅ 0,88 ;

Logo:

s e n θ 2 = 1,70 1,56 ∙ 0,88 ≅   0,96

θ 2 = 73,5 °

Resposta

θ 2 = 73,5 °

Exercício Resolvido #4

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 29-33.9

Um raio de luz que se propaga no ar incide sobre a superfície de um bloco de plástico em um ângulo de 62,7 ° com a normal e se desvia até formar um ângulo de 48,1 ° com a normal no plástico.

Calcule a velocidade da luz no plástico.

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Passo 1

O problema nos dá o ângulo de incidência θ i e o ângulo de refração θ r .

Sabemos que o índice de refração no ar é aproximadamente igual a 1 .

O problema nos pede para calcular a velocidade da luz no plástico v . Para isso, é preciso descobrir o índice de refração no plástico, já que:

n p l á s t i c o = c v

Com os dados que o problema nos dá, a melhor maneira de encontrar o valor de n p l á s t i c o é através da Lei de Snell, dada por:

n a r ∙ s e n θ i = n p l á s t i c o ∙ s e n θ r

Passo 2

n p l á s t i c o = n a r ∙ s e n θ i s e n θ r

Onde:

n a r = 1 ;

θ i = 62,7 ° ;

s e n 62,7 ° = 0,88 ;

θ r = 48,1 ° ;

s e n 48,1 ° = 0,74 ;

Logo:

n p l á s t i c o = 0,88 0,74 ≅ 1,19

Passo 3

n p l á s t i c o = c v → v = c n p l á s t i c o

Onde:

c = 3 × 10 8   m / s ;

n p l á s t i c o = 1,19 ;

Logo:

v = 3 × 10 8 1,19 = 2,52 × 10 8   m / s  

Resposta

v = 2,52 × 10 8   m / s  

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 100-3

Qual é a diferença, em metros por segundo, entre a velocidade da luz na safira e a velocidade da luz no diamante?

Veja a Tabela 33-1.

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Passo 1

A velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente c = 3 ∙ 10 8   m / s .

De forma mais exata:

c = 299   792   458   m / s

Quando a luz se propaga em algum outro meio que não o vácuo, a sua velocidade diminui de forma que:

v = c n

Onde n é o índice de refração do meio.

Passo 2

Para a safira n s a f i r a = 1,77 , e a velocidade da luz fica:

v s a f i r a = 299   792   458   1,77 ≅ 169   374   270,06   m / s

Para o diamante n d i a m a n t e = 2,42 , e a velocidade da luz fica:

v d i a m a n t e = 299   792   458   2,42 ≅ 123   881   180,99   m / s

Assim, a diferença entre as velocidades é:

Δ v = v s a f i r a - v d i a m a n t e ≅ 45   493   089,07   m / s

Resposta

Δ v ≅ 45   493   089,07   m / s

Exercício Resolvido #6

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 99-2

Na Fig.35-25 três pulsos luminosos de mesmo comprimento de onda, a , b e c , atravessam blocos de plásticos de mesmo comprimento cujos índices de refração são dados.

Coloque os pulsos na ordem do tempo que levam para atravessar os blocos, começando pelo mais lento.

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Passo 1

O índice de refração de um meio é definido como a razão entre a velocidade da luz no vácuo (ou no ar, que são muito parecidas) e a velocidade da luz no meio.

Em outras palavras:

n m e i o = c v m e i o

Então quanto menor a velocidade da luz no meio, maior o índice de refração daquele meio. Dito de outra forma:

v m e i o = c n m e i o

Vamos inverter o que dissemos:

Quanto maior o índice de refração, menor a velocidade da luz.

Passo 2

Imagina um carro.

Sabemos que, quanto maior a velocidade do carro, menor o tempo que ele demora pra percorrer um certo comprimento.

No nosso caso, para a luz, essa velocidade depende do índice de refração.

Vamos ter que:

Maior índice de refração Menor velocidade Maior tempo gasto

Logo, quanto maior o índice de refração, maior o tempo gasto.

Colocando os pulsos na ordem crescente de tempo que gastam para atravessar os blocos:

a → c → b

Resposta

a → c → b

Exercício Resolvido #7

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 101-8

Na Fig.35-34, dois pulsos luminosos atravessam placas de plástico de espessura L ou 2 L e índices de refração n 1 = 1,55 , n 2 = 1,70 , n 3 = 1,60 , n 4 = 1,45 , n 5 = 1,59 , n 6 = 1,65 e n 7 = 1,50 .

  1. Qual dos dois pulsos chega primeiro à outra extremidade das placas?
  2. A diferença entre os tempos de trânsito dos dois pulsos é igual a que múltiplo de L / c ?

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Passo 1

Letra a)

Digamos que um pulso de luz tem uma velocidade v ao atravessar uma placa com índice de refração n . Essa velocidade vai ser:

v = c n

O tempo t que esse pulso vai levar para atravessar uma placa com largura L vai ser:

t = L v = L ∙ n c

Passo 2

O tempo que o pulso dois leva para atravessar o bloco todo vai ser a soma dos tempos em cada placa.

t = t 1 + t 2 + t 3 + t 4 = L ∙ n 1 c + L ∙ n 2 c + L ∙ n 3 c + L ∙ n 4 c = L c ( n 1 + n 2 + n 3 + n 4 )

Pelo enunciado:

  • n 1 = 1,55
  • n 2 = 1,70
  • n 3 = 1,60
  • n 4 = 1,45

t = L c 1,55 + 1,70 + 1,60 + 1,45 = L c ∙ 6,3

Já o tempo que o pulso um vai levar vai ser:

t = t 5 + t 6 + t 7 = 2 L ∙ n 5 c + L ∙ n 6 c + L ∙ n 7 c = L c ( 2 n 5 + n 6 + n 7 )

Pelo enunciado:

  • n 5 = 1,59
  • n 6 = 1,65
  • n 7 = 1,50

t = L c 2 ∙ 1,59 + 1,65 + 1,50 = L c ∙ 6,33

O que nos mostra que o pulso dois chega primeiro à outra extremidade das placas.

Passo 3

Letra b)

A diferença entre os tempos de trânsito é:

Δ t = t p u l s o   1 - t p u l s o   2 = 6,33 L c - 6,3 L c = 0,03 L c  

Resposta

Letra a)

O pulso dois atinge a outra extremidade das placas primeiro.

Letra b)

A diferença entre os tempos de trânsito dos dois pulsos é de 0,03   L / c .

Exercício Resolvido #8

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 32-46

Na Fig.33-48a um raio luminoso que está se propagando inicialmente na água incide com um ângulo θ 1 em outro material, no qual parte da luz se refrata. O outro material pode ser do tipo 1 ou do tipo 2 ; a Fig.33-48b mostra o ângulo de refração θ 2 em função do ângulo de incidência θ 1 para os dois tipos de material.

A escala do eixo vertical é definida por θ 2 s = 90 ° . Sem fazer nenhum cálculo, determine:

  1. Se o índice de refração do material 1 é maior ou menor que o índice de refração da água ( n = 1,33 )
  2. Se o índice de refração do material 2 é maior ou menor que o índice de refração da água.
  3. Determine o índice de refração:

  4. Do material 1 .
  5. Do material 2 .

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Passo 1

Letra a)

Seja n a o índice de refração da água e n m o índice de refração do material.

  • O ângulo de refração é maior que o ângulo de incidência somente se n a > n m .
  • O ângulo de refração é menor que o ângulo de incidência somente se n a < n m .

No caso da curva do material 1 , é difícil confirmar graficamente para ângulos muito pequenos, mas para θ 1 acima de 45 ° fica mais claro que o ângulo de refração θ 2 é menor que o ângulo de incidência.

n 1 > n a

Passo 2

Letra b)

Usando o mesmo raciocínio do item anterior, mas agora com a curva do material 2 .

Neste caso, é mais fácil observar até mesmo para ângulos pequenos que o ângulo de refração é menor que o ângulo de incidência.

n 2 > n a

Passo 3

Letra c)

Para calcular o índice de refração, precisamos de algum ponto onde seja claro qual o ângulo de refração.

Podemos observar que quando θ 1 = 90 ° teremos θ 2 = 67,5 ° . ( Como θ 2 s = 90 ° , a unidade do eixo vertical é 22,5 ° ).

Substituindo na lei de Snell:

n a sen ⁡ 90 ° = n 1 sen ⁡ 67,5 °

n 1 = 1,33 sen ⁡ 67,5 ° ≅ 1,45

Passo 4

Letra d)

O mesmo procedimento do item c pode ser feito aqui, inclusive usando também θ 1 = 90 ° para o qual θ 2 = 45 ° .

n a sen ⁡ 90 ° = n 2 sen ⁡ 45 °

n 1 = 1,33 sen ⁡ 45 ° ≅ 1 , 88

Resposta

Letra a)

n 1 > n a

Letra b)

n 2 > n a

Letra c)

n 1 ≅ 1,45

Letra d)

n 1 ≅ 1,88

Exercício Resolvido #9

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 32-48

Na Fig.33-50a um raio luminoso que está se propagando inicialmente em um certo material incide com um ângulo θ 1 na água, onde parte da luz se refrata. O outro material pode ser do tipo 1 ou do tipo 2 ; a FIg.33-50b mostra o ângulo de refração θ 2 em função do ângulo de incidência θ 1 para os dois tipos de material.

A escala do eixo horizontal é definida por θ 1 s = 90 ° . Sem fazer nenhum cálculo, determine:

  1. Se o índice de refração do material 1 é maior ou menor que o índice de refração da água ( n = 1,33 ).
  2. Se o índice de refração do material 2 é maior ou menor que o índice de refração da água.
  3. Determine o índice de refração:

  4. Do material 1 .
  5. Do material 2 .

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Passo 1

Letra a)

Seja n a o índice de refração da água e n m o índice de refração do material.

  • O ângulo de refração é menor que o ângulo de incidência somente se n a > n m .
  • O ângulo de refração é maior que o ângulo de incidência somente se n a < n m .

Lembrando que a luz está refratando na água.

Como o ângulo de refração é sempre maior que o ângulo de incidência para a curva 1:

n a < n 1

Passo 2

Letra b)

Semelhante ao caso da letra a , o ângulo de refração da curva 2 é sempre maior que o ângulo de incidência. Isso nos diz que:

n a < n 2

Passo 3

Letra c)

A unidade do eixo horizontal do gráfico é de θ 1 s / 4 , ou seja, 22,5 ° .

Assim, olhando a curva 1 para θ 1 = 45 ° , teremos θ 2 = 90 °

n 1 sen ⁡ 45 ° = n a sen ⁡ 90 °

n 1 = 1,33 sen ⁡ 45 ° ≅ 1,88

Passo 4

Letra d)

Olhando a curva 2 , para θ 1 = 67,5 ° teremos θ 2 = 90 ° .

n 2 sen ⁡ 67,5 ° = n a sen ⁡ 90 °

n 2 = 1,33 sen ⁡ 67,5 ° ≅ 1 , 45

Resposta

Letra a)

n a < n 1

Letra b)

n a < n 2

Letra c)

n 1 ≅ 1,88

Letra d)

n 2 ≅ 1,45

Exercício Resolvido #10

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 32-50

Na Fig.33-52a um feixe luminoso que está se propagando inicialmente no material 1