Teoria

Na Reflexão Total a luz incidente é totalmente refletida. Esse fenômeno acontece quando incidimos uma luz de um meio mais refratante para um meio menos refratante em um ângulo maior que o ângulo limite. Assim:

Reflexão total
Reflexão total

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Lei de Snell

Quando a luz que se propaga em um meio incide na interface desse com um outro meio , parte da luz sofre refração, passando a se propagar no meio , e parte da luz sofre reflexão.

Lei de Snell
Lei de Snell


O ângulo de refração da luz pode ser dado pela lei de Snell:


Ela nos diz que, quando $n_b

Quer entender melhor como funciona o fenômeno de Reflexão Total? Então se liga nesse vídeo completaço que o Responde Aí preparou pra você? 👇👇👇

Reflexão Interna Total

Como vimos pela lei de Snell quando o índice de refração do meio é maior que do meio então o ângulo de refração é maior que o de incidência. Mas o que acontece quando o ângulo de refração é maior que ?

Nesse caso a Lei de Snell não vale mais! Se liga na imagem abaixo:

Reflexão Interna Total
Reflexão Interna Total

1 -Ângulos de Incidência e Refração Nulos

Inicialmente, os raios de incidência e refratado estão alinhados horizontalmente. Assim, os ângulos de incidência e de refração são nulos.

2 -Ângulo de Refração maior que o Ângulo de Incidência

Agora, o ângulo aumenta e, como esperado, o ângulo é maior do que ele.

3 -Ângulo Limite

O ângulo de incidência aumenta até atingir o seu valor crítico. Neste ponto o ângulo de refração vale 90° e chamamos o ângulo de incidência de ângulo crítico í. Esse é o último caso no qual vale a lei de Snell.

Podemos determinar o valor de í:

Onde é o í e , logo:

í

4 -Ângulo maior que 90º: Reflexão interna total

Se o ângulo aumenta ainda mais, ultrapassando o valor í, não ocorre mais refração e os raios luminosos passam a ser todos refletidos. A esse fenômeno damos o nome de Reflexão interna total.

Um caso importante desse fenômeno é que caso você tente acender uma lâmpada dentro da água, a pessoa do lado de fora só conseguiria ver um círculo na superfície da água.

Reflexão interna total: O caso da caixa
Reflexão interna total: O caso da caixa

O índice de refração do ar é menor que o índice de refração da água e por isso a partir de um certo ângulo crítico toda a luz da lâmpada que sairia da água pro ar é refletida de volta. É possível calcular o raio desse círculo a partir do ângulo crítico:

Onde é o raio do círculo e é a profundidade da lâmpada.

Agora vamos praticar com exercícios?!

Reflexão Interna Total

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O índice de refração do benzeno é 1,8 .

Qual é o ângulo crítico para um raio luminoso que se propaga no benzeno em direção a uma interface plana do benzeno com o ar?

Passo 1

Quando um raio luminoso que se propaga no benzeno sofre refração numa interface plana com o ar, o ângulo de refração é maior que o ângulo de incidência pois n b e n z e n o = 1,8 > 1 = n a r .

Podemos dizer então que teremos um ângulo de incidência crítico θ c tal que o ângulo de refração vai ser θ r = 90 ° e para ângulos θ > θ c não há nenhum raio refratado.

Passo 2

Substituindo as condições acima na Lei de Snell:

n 1 sen ⁡ θ c = n 2   sen ⁡ θ r

1,8 ∙ sen ⁡ θ c = 1

sen ⁡ θ c = 1 1,8 ≅ 0,556

θ c ≅ sen - 1 ⁡ 0,556 ≅ 33,75 °

Resposta

θ c ≅ 33,75 °

Exercício Resolvido #2

A Fig.33-36 mostra quatro placas horizontais A , B , C e D feitas de materiais diferentes, com ar acima da primeira placa e abaixo da última. O índice de refração dos materiais é dado.

Raios de luz incidem na extremidade esquerda das quatro placas, da forma indicada na figura.

Em que placa (identifique-a através do índice de refração) existe a possibilidade de que a luz fique confinada de tal forma que, após muitas reflexões, chegue à extremidade direita sem deixar a placa?

Passo 1

Para que um raio de luz, ao incidir na extremidade da placa, permaneça confinado na mesma, é necessário que haja um ângulo crítico entre os dois meios, ou seja, que o índice de refração n 1 do meio no qual a luz se propaga seja maior que o índice de refração n 2 do meio em cuja interface a luz incide.

Quando n 1 > n 2 o ângulo de refração será maior que o ângulo de incidência, fazendo com que seja possível termos ângulos de incidência onde não há nenhuma refração (pois o ângulo seria maior que 90 ° ).

Passo 2

Ao incidir na parte de cima da placa de forma que não seja refratado, o raio de luz é totalmente refletido de volta para a placa.

Neste caso, é possível que o raio incida novamente na parte de baixo da placa.

O raio se manterá confinado no meio no qual se propaga caso haja possibilidade de reflexão total nessa interface também, ou seja:

n 1 > n 3

O que fará, novamente, o ângulo de refração ser maior que o ângulo de incidência.

Passo 3

Resumindo os passos anteriores, para que um raio possa se manter confinado numa placa ao entrar pelo lado esquerdo sofrendo múltiplas reflexões até sair pelo lado direito, precisamos ter:

n 1 > n 2

n 1 > n 3

A única placa que segue essa restrição é a placa B com n B = 1,5 .

Resposta

Placa B com n B = 1,5 .

Exercício Resolvido #3

Um raio de luz está se propagando em um cubo de vidro que está completamente imerso na água.

Você descobre que, se o raio incide sobre a interface vidro-água em um ângulo maior do que 48,7 ° com a normal, nenhuma luz é refratada para dentro da água, cujo índice de refração vale 1,33 .

Qual é o índice de refração do vidro?

Passo 1

O problema já nos diz os dois meios em que vamos trabalhar: água e vidro. De forma que o raio luminoso está se propagando inicialmente no cubo de vidro.

Através do enunciado, descobrimos que o ângulo crítico θ c r í t i c o vale 48,7 ° .

Sabemos que o ângulo crítico é calculado por:

s e n θ c r í t i c o = n b n a

Passo 2

s e n θ c r í t i c o = n á g u a n v i d r o

Onde:

θ c r í t i c o = 48,7 ° ;

s e n 48,7 ° ≅ 0,75 ;

n b = n á g u a = 1,33 ;

Logo:

n v i d r o = n á g u a s e n θ c r í t i c o = 1,33 0,75

n v i d r o = 1,77

Resposta

n v i d r o = 1,77

Exercício Resolvido #4

A luz entra em um tubo sólido feito de plástico e que possui um índice de refração igual a 1,60 .

A luz desloca-se paralelamente à parte superior do tubo, conforme a figura abaixo.

Você deseja cortar a face A B de modo que toda a luz seja refletida de volta para dentro do tubo depois de atingir essa face.

  1. Qual é o maior ângulo θ possível se o tubo está no ar?
  2. Se o tubo for imerso em água, cujo índice de refração é de 1,33 , qual é o maior ângulo θ possível?

Passo 1

O problema nos dá o índice de refração do plástico n p l á s t i c o .

O problema explica que o raio luminoso se propaga no plástico e incide sobre a superfície que separa o plástico do ar.

É importante chamar a atenção para o fato de que, quando o problema pede para calcularmos o maior ângulo possível θ , normalmente nós associamos ao ângulo crítico θ c r í t i c o .

Porém, o ângulo θ pedido pelo problema não é o mesmo que o ângulo crítico θ c r í t i c o .

A figura acima é um zoom da região que estamos analisando.

Através da figura, vemos que, na verdade, os ângulos θ e θ c r í t i c o estão relacionados por:

θ + θ c r í t i c o = 90 ° → θ = 90 ° - θ c r í t i c o

Passo 2

Letra a)

Tubo de plástico está no ar.

Podemos achar o ângulo crítico θ c r í t i c o através da equação:

s e n θ c r í t i c o = n b n a

Onde:

n a = n p l á s t i c o = 1,60 ;

n b = n a r = 1 ;

Logo:

s e n θ c r í t i c o = n a r n p l á s t i c o = 1 1,60

s e n θ c r í t i c o = 0,625

θ c r í t i c o = 38,68 °

Assim:

θ = 90 ° - θ c r í t i c o = 90 ° - 38,68 °

θ = 51,32 °

Passo 3

Letra b)

Tubo imerso na água.

Os cálculos são os mesmos, portanto:

s e n θ c r í t i c o = n b n a

Onde:

n a = n p l á s t i c o = 1,60 ;

n b = n á g u a = 1,33 ;

Logo:

s e n θ c r í t i c o = n á g u a n p l á s t i c o = 1,33 1,60

s e n θ c r í t i c o = 0,83125

θ c r í t i c o = 56,22 °

Assim:

θ = 90 ° - θ c r í t i c o = 90 ° - 56,22 °

θ = 33,78 °

Resposta

Letra a)

θ = 51,32 °

Letra b)

θ = 33,78 °

Exercício Resolvido #5

Na Fig.33-64 um raio luminoso incide perpendicularmente à face a b de um prisma de vidro ( n = 1,52 ).

Determine o maior valor do ângulo ϕ para o qual um raio é totalmente refletido na face a c do prisma se este está imerso:

  1. No ar
  2. Na água (cujo índice de refração é n = 1,33 )

Passo 1

Antes de partimos para resolver cada item, vamos observar a geometria do problema.

O raio luminoso vai entrar no prisma paralelamente ao lado b c , pois ambos o raio e esse lado são perpendiculares ao lado a b .

Por serem paralelos, o ângulo que o raio faz com o lado a c vai ser o mesmo, ϕ .

Isso significa que o ângulo de incidência é 90 ° - ϕ .

Passo 2

Letra a)

Seja θ i = 90 ° - ϕ o ângulo de incidência. Ele vai ser o ângulo crítico quando o ângulo de refração θ r = 90 ° . Substituindo na lei de Snell:

n p r i s m a sen ⁡ θ i = n a r sen ⁡ θ r

Pelo enunciado n p r i s m a = 1,52 e temos que lembrar que n a r ≅ 1 .

1,52 ∙ sen ⁡ 90 ° - ϕ = 1

Tem uma relação trigonométrica que diz que:

sen ⁡ 90 ° - α = cos ⁡ α

Logo:

cos ⁡ ϕ = 1 1,52 ≅ 0,658

ϕ a r ≅ cos - 1 ⁡ 0,658 ≅ 48,86 °

Passo 3

Letra b)

Quando estamos na água, a única coisa que muda em relação ao ar é o índice de refração do meio externo ao prisma. Fazemos então os mesmos passos.

n p r i s m a sen ⁡ θ i = n á g u a sen ⁡ θ r

1,52 ∙ sen ⁡ 90 ° - ϕ = 1 , 33

cos ⁡ ϕ = 1 , 33 1,52 = 0,875

ϕ á g u a = cos - 1 ⁡ 0,875 ≅ 28,96 °

Resposta

Letra a)

ϕ a r ≅ 48,86 °

Letra b)

ϕ á g u a ≅ 28,96 °

Exercício Resolvido #6

Um peixe-gato está 2,00   m abaixo da superfície de um lago.

  1. Qual é o diâmetro da circunferência na superfície que delimita a região na qual o peixe pode ver o que existe do lado de fora do lago?
  2. Se o peixe desce para uma profundidade maior, o diâmetro da circunferência aumenta, diminui ou continua o mesmo?

Considere o índice de refração da água n = 1,33 .

Passo 1

Letra a)

O diâmetro da circunferência na superfície pedida pode ser encontrada usando o ângulo crítico da refração da luz que sai da água.

Para ângulos maiores que o crítico, a luz não sairá da água.

Pela geometria do problema, teremos:

tan ⁡ θ c = R h

Onde R é o raio da circunferência e h é a altura do peixe gato. Como o diâmetro é duas vezes o raio:

D = 2 R = 2 h ∙ tan ⁡ θ c

Passo 2

Agora precisamos achar o ângulo crítico.

Ele vai ser o ângulo tal que o ângulo de refração da luz no ar vai ser θ r = 90 ° . Pela Lei de Snell:

n á g u a sen ⁡ θ c = n a r sen ⁡ θ r

1,33 ∙ sen ⁡ θ c = 1 ∙ sen ⁡ 90 ° = 1

sen ⁡ θ c = 1 1,33 ≅ 0,752

θ c ≅ sen - 1 ⁡ 0,752 ≅ 48,75 °

Substituindo na fórmula do diâmetro, junto com a profundidade h = 2,00   m do peixe gato:

D = 2 h ∙ tan ⁡ θ c

D ≅ 2 ∙ 2 ∙ tan ⁡ 48,75 ° ≅ 4,56   m

Passo 3

Letra b)

O diâmetro da circunferência é diretamente proporcional à profundidade do peixe gato.

D = 2 h ∙ tan ⁡ θ c

Isso significa que quanto maior a profundidade, maior o diâmetro.

Logo, se o peixe gato descer para uma profundidade maior, o diâmetro vai aumentar.

Resposta

Letra a)

D ≅ 4,56   m

Letra b)

Se o peixe gato descer para uma profundidade maior o diâmetro vai aumentar.

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