Teoria Completa
Quando a luz que se propaga em um meio incide na interface desse com um outro meio , parte da luz sofre refração, passando a se propagar no meio , e parte da luz sofre reflexão.
O ângulo de refração da luz pode ser dado pela lei de Snell:
Ela nos diz que, quando , o ângulo de refração vai ser maior que o ângulo de incidência.
Agora vamos analisar um caso especial que pode ocorrer nessa situação.
Reflexão interna total
Como eu te falei antes, faz com que .
Onde é o ângulo de incidência e é o ângulo de refração.
O que acontece se eu for aumentando o ângulo de incidência cada vez mais e mais e mais, até que o ângulo de refração seria maior que ? (ou seja, quando a lei de Snell não vale mais).
Para explicar aonde vamos chegar, nós iremos nos basear na figura abaixo, analisando os raios 1, 2, 3 e 4.
1. Inicialmente, os raios de incidência e refratado estão alinhados horizontalmente. Assim, os ângulos de incidência e de refração são nulos.
2. Agora, o ângulo aumenta e, como esperado, o ângulo é maior do que ele.
3. O ângulo aumenta até atingir o seu valor crítico. Neste ponto o ângulo vale e chamamos o ângulo de incidência de ângulo crítico . Esse é o último caso no qual vale a lei de Snell.
Podemos determinar o valor de :
Onde:
;
;
;
Logo:
4. Se o ângulo aumenta ainda mais, ultrapassando o valor , não ocorre mais refração e os raios luminosos passam a ser todos refletidos.
A esse fenômeno damos o nome de Reflexão interna total.
Um caso importante desse fenômeno é que caso você tente acender uma lâmpada dentro da água, a pessoa do lado de fora só conseguiria ver um círculo na superfície da água.
O índice de refração do ar é menor que o índice de refração da água e por isso a partir de um certo ângulo crítico toda a luz da lâmpada que sairia da água pro ar é refletida de volta.
É possível calcular o raio desse círculo a partir do ângulo crítico:
Onde é o raio do círculo e é a profundidade da lâmpada.
Agora venha, que eu vou te acompanhar em alguns exercícios pra gente praticar essa teoria.
Exercício Resolvido #1
O índice de refração do benzeno é .
Qual é o ângulo crítico para um raio luminoso que se propaga no benzeno em direção a uma interface plana do benzeno com o ar?
Passo 1
Quando um raio luminoso que se propaga no benzeno sofre refração numa interface plana com o ar, o ângulo de refração é maior que o ângulo de incidência pois .
Podemos dizer então que teremos um ângulo de incidência crítico tal que o ângulo de refração vai ser e para ângulos não há nenhum raio refratado.
Passo 2
Substituindo as condições acima na Lei de Snell:
Resposta
Exercício Resolvido #2
A Fig.33-36 mostra quatro placas horizontais , , e feitas de materiais diferentes, com ar acima da primeira placa e abaixo da última. O índice de refração dos materiais é dado.
Raios de luz incidem na extremidade esquerda das quatro placas, da forma indicada na figura.
Em que placa (identifique-a através do índice de refração) existe a possibilidade de que a luz fique confinada de tal forma que, após muitas reflexões, chegue à extremidade direita sem deixar a placa?
Passo 1
Para que um raio de luz, ao incidir na extremidade da placa, permaneça confinado na mesma, é necessário que haja um ângulo crítico entre os dois meios, ou seja, que o índice de refração do meio no qual a luz se propaga seja maior que o índice de refração do meio em cuja interface a luz incide.
Quando o ângulo de refração será maior que o ângulo de incidência, fazendo com que seja possível termos ângulos de incidência onde não há nenhuma refração (pois o ângulo seria maior que ).
Passo 2
Ao incidir na parte de cima da placa de forma que não seja refratado, o raio de luz é totalmente refletido de volta para a placa.
Neste caso, é possível que o raio incida novamente na parte de baixo da placa.
O raio se manterá confinado no meio no qual se propaga caso haja possibilidade de reflexão total nessa interface também, ou seja:
O que fará, novamente, o ângulo de refração ser maior que o ângulo de incidência.
Passo 3
Resumindo os passos anteriores, para que um raio possa se manter confinado numa placa ao entrar pelo lado esquerdo sofrendo múltiplas reflexões até sair pelo lado direito, precisamos ter:
A única placa que segue essa restrição é a placa com .
Resposta
Placa com .
Exercício Resolvido #3
Um raio de luz está se propagando em um cubo de vidro que está completamente imerso na água.
Você descobre que, se o raio incide sobre a interface vidro-água em um ângulo maior do que com a normal, nenhuma luz é refratada para dentro da água, cujo índice de refração vale .
Qual é o índice de refração do vidro?
Passo 1
O problema já nos diz os dois meios em que vamos trabalhar: água e vidro. De forma que o raio luminoso está se propagando inicialmente no cubo de vidro.
Através do enunciado, descobrimos que o ângulo crítico vale .
Sabemos que o ângulo crítico é calculado por:
Passo 2
Onde:
;
;
;
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #4
A luz entra em um tubo sólido feito de plástico e que possui um índice de refração igual a .
A luz desloca-se paralelamente à parte superior do tubo, conforme a figura abaixo.
Você deseja cortar a face de modo que toda a luz seja refletida de volta para dentro do tubo depois de atingir essa face.
- Qual é o maior ângulo possível se o tubo está no ar?
- Se o tubo for imerso em água, cujo índice de refração é de , qual é o maior ângulo possível?
Passo 1
O problema nos dá o índice de refração do plástico .
O problema explica que o raio luminoso se propaga no plástico e incide sobre a superfície que separa o plástico do ar.
É importante chamar a atenção para o fato de que, quando o problema pede para calcularmos o maior ângulo possível , normalmente nós associamos ao ângulo crítico .
Porém, o ângulo pedido pelo problema não é o mesmo que o ângulo crítico .
A figura acima é um zoom da região que estamos analisando.
Através da figura, vemos que, na verdade, os ângulos e estão relacionados por:
Passo 2
Letra a)
Tubo de plástico está no ar.
Podemos achar o ângulo crítico através da equação:
Onde:
;
;
Logo:
Assim:
Passo 3
Letra b)
Tubo imerso na água.
Os cálculos são os mesmos, portanto:
Onde:
;
;
Logo:
Assim:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Exercício Resolvido #5
Na Fig.33-64 um raio luminoso incide perpendicularmente à face de um prisma de vidro ().
Determine o maior valor do ângulo para o qual um raio é totalmente refletido na face do prisma se este está imerso:
- No ar
- Na água (cujo índice de refração é )
Passo 1
Antes de partimos para resolver cada item, vamos observar a geometria do problema.
O raio luminoso vai entrar no prisma paralelamente ao lado , pois ambos o raio e esse lado são perpendiculares ao lado .
Por serem paralelos, o ângulo que o raio faz com o lado vai ser o mesmo, .
Isso significa que o ângulo de incidência é .
Passo 2
Letra a)
Seja o ângulo de incidência. Ele vai ser o ângulo crítico quando o ângulo de refração . Substituindo na lei de Snell:
Pelo enunciado e temos que lembrar que .
Tem uma relação trigonométrica que diz que:
Logo:
Passo 3
Letra b)
Quando estamos na água, a única coisa que muda em relação ao ar é o índice de refração do meio externo ao prisma. Fazemos então os mesmos passos.
Resposta
Letra a)
Letra b)
Exercício Resolvido #6
Um peixe-gato está abaixo da superfície de um lago.
- Qual é o diâmetro da circunferência na superfície que delimita a região na qual o peixe pode ver o que existe do lado de fora do lago?
- Se o peixe desce para uma profundidade maior, o diâmetro da circunferência aumenta, diminui ou continua o mesmo?
Considere o índice de refração da água .
Passo 1
Letra a)
O diâmetro da circunferência na superfície pedida pode ser encontrada usando o ângulo crítico da refração da luz que sai da água.
Para ângulos maiores que o crítico, a luz não sairá da água.
Pela geometria do problema, teremos:
Onde é o raio da circunferência e é a altura do peixe gato. Como o diâmetro é duas vezes o raio:
Passo 2
Agora precisamos achar o ângulo crítico.
Ele vai ser o ângulo tal que o ângulo de refração da luz no ar vai ser . Pela Lei de Snell:
Substituindo na fórmula do diâmetro, junto com a profundidade do peixe gato:
Passo 3
Letra b)
O diâmetro da circunferência é diretamente proporcional à profundidade do peixe gato.
Isso significa que quanto maior a profundidade, maior o diâmetro.
Logo, se o peixe gato descer para uma profundidade maior, o diâmetro vai aumentar.
Resposta
Letra a)
Letra b)
Se o peixe gato descer para uma profundidade maior o diâmetro vai aumentar.