Reflexão Total da Luz

Resumo Completo

Quando a luz que se propaga em um meio a incide na interface desse com um outro meio b , parte da luz sofre refração, passando a se propagar no meio b , e parte da luz sofre reflexão.

O ângulo de refração da luz pode ser dado pela lei de Snell:

n a s e n θ a = n b s e n θ b

Ela nos diz que, quando n b < n a , o ângulo de refração vai ser maior que o ângulo de incidência.

Agora vamos analisar um caso especial que pode ocorrer nessa situação.

Reflexão interna total

Como eu te falei antes, n b < n a faz com que θ b > θ a .

Onde θ a é o ângulo de incidência e θ b é o ângulo de refração.

O que acontece se eu for aumentando o ângulo de incidência cada vez mais e mais e mais, até que o ângulo de refração seria maior que 90 ° ? (ou seja, quando a lei de Snell não vale mais).

Para explicar aonde vamos chegar, nós iremos nos basear na figura abaixo, analisando os raios 1, 2, 3 e 4.

1. Inicialmente, os raios de incidência e refratado estão alinhados horizontalmente. Assim, os ângulos de incidência θ a e de refração θ b são nulos.

θ a = θ b = 0

2. Agora, o ângulo θ a aumenta e, como esperado, o ângulo θ b é maior do que ele.

3. O ângulo θ a aumenta até atingir o seu valor crítico. Neste ponto o ângulo θ b vale 90 ° e chamamos o ângulo de incidência de ângulo crítico θ c r í t i c o . Esse é o último caso no qual vale a lei de Snell.

Podemos determinar o valor de θ c r í t i c o :

n a s e n θ a = n b s e n θ b

Onde:

θ a = θ c r í t i c o ;

θ b = 90 ° ;

s e n θ b = s e n 90 ° = 1 ;

Logo:

s e n θ c r í t i c o = n b n a

4. Se o ângulo θ a aumenta ainda mais, ultrapassando o valor θ c r í t i c o θ a > θ c r í t i c o , não ocorre mais refração e os raios luminosos passam a ser todos refletidos.

A esse fenômeno damos o nome de Reflexão interna total.

Um caso importante desse fenômeno é que caso você tente acender uma lâmpada dentro da água, a pessoa do lado de fora só conseguiria ver um círculo na superfície da água.

O índice de refração do ar é menor que o índice de refração da água e por isso a partir de um certo ângulo crítico toda a luz da lâmpada que sairia da água pro ar é refletida de volta.

É possível calcular o raio desse círculo a partir do ângulo crítico:

tan θ c = R h

Onde R é o raio do círculo e h é a profundidade da lâmpada.

Agora venha, que eu vou te acompanhar em alguns exercícios pra gente praticar essa teoria.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 34-58

O índice de refração do benzeno é 1,8 .

Qual é o ângulo crítico para um raio luminoso que se propaga no benzeno em direção a uma interface plana do benzeno com o ar?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Quando um raio luminoso que se propaga no benzeno sofre refração numa interface plana com o ar, o ângulo de refração é maior que o ângulo de incidência pois n b e n z e n o = 1,8 > 1 = n a r .

Podemos dizer então que teremos um ângulo de incidência crítico θ c tal que o ângulo de refração vai ser θ r = 90 ° e para ângulos θ > θ c não há nenhum raio refratado.

Passo 2

Substituindo as condições acima na Lei de Snell:

n 1 sen θ c = n 2   sen θ r

1,8 sen θ c = 1

sen θ c = 1 1,8 0,556

θ c sen - 1 0,556 33,75 °

Resposta

θ c 33,75 °

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 28-11

A Fig.33-36 mostra quatro placas horizontais A , B , C e D feitas de materiais diferentes, com ar acima da primeira placa e abaixo da última. O índice de refração dos materiais é dado.

Raios de luz incidem na extremidade esquerda das quatro placas, da forma indicada na figura.

Em que placa (identifique-a através do índice de refração) existe a possibilidade de que a luz fique confinada de tal forma que, após muitas reflexões, chegue à extremidade direita sem deixar a placa?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para que um raio de luz, ao incidir na extremidade da placa, permaneça confinado na mesma, é necessário que haja um ângulo crítico entre os dois meios, ou seja, que o índice de refração n 1 do meio no qual a luz se propaga seja maior que o índice de refração n 2 do meio em cuja interface a luz incide.

Quando n 1 > n 2 o ângulo de refração será maior que o ângulo de incidência, fazendo com que seja possível termos ângulos de incidência onde não há nenhuma refração (pois o ângulo seria maior que 90 ° ).

Passo 2

Ao incidir na parte de cima da placa de forma que não seja refratado, o raio de luz é totalmente refletido de volta para a placa.

Neste caso, é possível que o raio incida novamente na parte de baixo da placa.

O raio se manterá confinado no meio no qual se propaga caso haja possibilidade de reflexão total nessa interface também, ou seja:

n 1 > n 3

O que fará, novamente, o ângulo de refração ser maior que o ângulo de incidência.

Passo 3

Resumindo os passos anteriores, para que um raio possa se manter confinado numa placa ao entrar pelo lado esquerdo sofrendo múltiplas reflexões até sair pelo lado direito, precisamos ter:

n 1 > n 2

n 1 > n 3

A única placa que segue essa restrição é a placa B com n B = 1,5 .

Resposta

Placa B com n B = 1,5 .

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 30-33.21, modificado

Um raio de luz está se propagando em um cubo de vidro que está completamente imerso na água.

Você descobre que, se o raio incide sobre a interface vidro-água em um ângulo maior do que 48,7 ° com a normal, nenhuma luz é refratada para dentro da água, cujo índice de refração vale 1,33 .

Qual é o índice de refração do vidro?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O problema já nos diz os dois meios em que vamos trabalhar: água e vidro. De forma que o raio luminoso está se propagando inicialmente no cubo de vidro.

Através do enunciado, descobrimos que o ângulo crítico θ c r í t i c o vale 48,7 ° .

Sabemos que o ângulo crítico é calculado por:

s e n θ c r í t i c o = n b n a

Passo 2

s e n θ c r í t i c o = n á g u a n v i d r o

Onde:

θ c r í t i c o = 48,7 ° ;

s e n 48,7 ° 0,75 ;

n b = n á g u a = 1,33 ;

Logo:

n v i d r o = n á g u a s e n θ c r í t i c o = 1,33 0,75

n v i d r o = 1,77

Resposta

n v i d r o = 1,77

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 29-33.17, modificado

A luz entra em um tubo sólido feito de plástico e que possui um índice de refração igual a 1,60 .

A luz desloca-se paralelamente à parte superior do tubo, conforme a figura abaixo.

Você deseja cortar a face A B de modo que toda a luz seja refletida de volta para dentro do tubo depois de atingir essa face.

  1. Qual é o maior ângulo θ possível se o tubo está no ar?
  2. Se o tubo for imerso em água, cujo índice de refração é de 1,33 , qual é o maior ângulo θ possível?
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O problema nos dá o índice de refração do plástico n p l á s t i c o .

O problema explica que o raio luminoso se propaga no plástico e incide sobre a superfície que separa o plástico do ar.

É importante chamar a atenção para o fato de que, quando o problema pede para calcularmos o maior ângulo possível θ , normalmente nós associamos ao ângulo crítico θ c r í t i c o .

Porém, o ângulo θ pedido pelo problema não é o mesmo que o ângulo crítico θ c r í t i c o .

A figura acima é um zoom da região que estamos analisando.

Através da figura, vemos que, na verdade, os ângulos θ e θ c r í t i c o estão relacionados por:

θ + θ c r í t i c o = 90 ° θ = 90 ° - θ c r í t i c o

Passo 2

Letra a)

Tubo de plástico está no ar.

Podemos achar o ângulo crítico θ c r í t i c o através da equação:

s e n θ c r í t i c o = n b n a

Onde:

n a = n p l á s t i c o = 1,60 ;

n b = n a r = 1 ;

Logo:

s e n θ c r í t i c o = n a r n p l á s t i c o = 1 1,60

s e n θ c r í t i c o = 0,625

θ c r í t i c o = 38,68 °

Assim:

θ = 90 ° - θ c r í t i c o = 90 ° - 38,68 °

θ = 51,32 °

Passo 3

Letra b)

Tubo imerso na água.

Os cálculos são os mesmos, portanto:

s e n θ c r í t i c o = n b n a

Onde:

n a = n p l á s t i c o = 1,60 ;

n b = n á g u a = 1,33 ;

Logo:

s e n θ c r í t i c o = n á g u a n p l á s t i c o = 1,33 1,60

s e n θ c r í t i c o = 0,83125

θ c r í t i c o = 56,22 °

Assim:

θ = 90 ° - θ c r í t i c o = 90 ° - 56,22 °

θ = 33,78 °

Resposta

Letra a)

θ = 51,32 °

Letra b)

θ = 33,78 °

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 34-65, modificado

Na Fig.33-64 um raio luminoso incide perpendicularmente à face a b de um prisma de vidro ( n = 1,52 ).

Determine o maior valor do ângulo ϕ para o qual um raio é totalmente refletido na face a c do prisma se este está imerso:

  1. No ar
  2. Na água (cujo índice de refração é n = 1,33 )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Antes de partimos para resolver cada item, vamos observar a geometria do problema.

O raio luminoso vai entrar no prisma paralelamente ao lado b c , pois ambos o raio e esse lado são perpendiculares ao lado a b .

Por serem paralelos, o ângulo que o raio faz com o lado a c vai ser o mesmo, ϕ .

Isso significa que o ângulo de incidência é 90 ° - ϕ .

Passo 2

Letra a)

Seja θ i = 90 ° - ϕ o ângulo de incidência. Ele vai ser o ângulo crítico quando o ângulo de refração θ r = 90 ° . Substituindo na lei de Snell:

n p r i s m a sen θ i = n a r sen θ r

Pelo enunciado n p r i s m a = 1,52 e temos que lembrar que n a r 1 .

1,52 sen 90 ° - ϕ = 1

Tem uma relação trigonométrica que diz que:

sen 90 ° - α = cos α

Logo:

cos ϕ = 1 1,52 0,658

ϕ a r cos - 1 0,658 48,86 °

Passo 3

Letra b)

Quando estamos na água, a única coisa que muda em relação ao ar é o índice de refração do meio externo ao prisma. Fazemos então os mesmos passos.

n p r i s m a sen θ i = n á g u a sen θ r

1,52 sen 90 ° - ϕ = 1 , 33

cos ϕ = 1 , 33 1,52 = 0,875

ϕ á g u a = cos - 1 0,875 28,96 °

Resposta

Letra a)

ϕ a r 48,86 °

Letra b)

ϕ á g u a 28,96 °

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 34-60, modificado

Um peixe-gato está 2,00   m abaixo da superfície de um lago.

  1. Qual é o diâmetro da circunferência na superfície que delimita a região na qual o peixe pode ver o que existe do lado de fora do lago?
  2. Se o peixe desce para uma profundidade maior, o diâmetro da circunferência aumenta, diminui ou continua o mesmo?

Considere o índice de refração da água n = 1,33 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

O diâmetro da circunferência na superfície pedida pode ser encontrada usando o ângulo crítico da refração da luz que sai da água.

Para ângulos maiores que o crítico, a luz não sairá da água.

Pela geometria do problema, teremos:

tan θ c = R h

Onde R é o raio da circunferência e h é a altura do peixe gato. Como o diâmetro é duas vezes o raio:

D = 2 R = 2 h tan θ c

Passo 2

Agora precisamos achar o ângulo crítico.

Ele vai ser o ângulo tal que o ângulo de refração da luz no ar vai ser θ r = 90 ° . Pela Lei de Snell:

n á g u a sen θ c = n a r sen θ r

1,33 sen θ c = 1 sen 90 ° = 1

sen θ c = 1 1,33 0,752

θ c sen - 1 0,752 48,75 °

Substituindo na fórmula do diâmetro, junto com a profundidade h = 2,00   m do peixe gato:

D = 2 h tan θ c

D 2 2 tan 48,75 ° 4,56   m

Passo 3

Letra b)

O diâmetro da circunferência é diretamente proporcional à profundidade do peixe gato.

D = 2 h tan θ c

Isso significa que quanto maior a profundidade, maior o diâmetro.

Logo, se o peixe gato descer para uma profundidade maior, o diâmetro vai aumentar.

Resposta

Letra a)

D 4,56   m

Letra b)

Se o peixe gato descer para uma profundidade maior o diâmetro vai aumentar.

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