Densidade

Resumo Completo

Fluidos

Primeiro: o que é um fluido?

Um fluido é uma substância que possui a capacidade de escoar, ou fluir, graças a sua facilidade de se deformar.

Basicamente, é tudo o que não é sólido. Ou seja: líquidos e gases!

Mas antes de entrarmos no estudo dos fluidos, vamos ver um conceito básico bem importante: o da densidade.

Densidade e Massa Específica

O que é a densidade de um corpo?

A densidade de um corpo é a relação entre a quantidade de massa que existe em determinado volume de um corpo. Ou seja:

d = m V

Beleza? Então a densidade é algo ligado ao corpo.

E a massa específica?

A fórmula é parecida:

ρ = m V

Mas qual a diferença então? Bom, a massa específica é uma propriedade tabelada e é ligada à substância (ou material) do qual o corpo é feito.

Confuso? Calma, vou explicar melhor.

Quando falamos de corpos ocos feitos de um dado material, no cálculo da densidade, nós consideramos o volume total do corpo (incluindo o da parte oca).

Já no cálculo da massa específica, o volume a ser considerado é só o ocupado pelo material (ou seja, a parte oca não entra). Nesses casos, a densidade do corpo e a massa específica do material do qual o corpo é feito apresentam valores distintos!

No entanto, quando tratamos de fluidos, consideramos que não há diferença entre a densidade e a massa específica.

ρ = d = m V

Ufa, pode ficar tranquilo. =)

Densidade Relativa

Dependendo do problema ou do seu professor, outra grandeza pode ser pedida: a densidade relativa!

Isso significa o seguinte: você deve dividir a densidade da sua substância pela densidade da água.

Vamos ver um exemplo, mas antes disso, vale a pena dizer que, no geral, consideramos:

ρ á g u a = 1000   k g / m 3

Beleza? Esse é o valor geralmente adotado pra densidade da água.

Pois bem, seguindo pro exemplo. A densidade do mercúrio vale:

ρ H g = 13,5.10 3   k g / m 3

Qual a densidade relativa dele então?

A densidade relativa dele vai valer:

ρ H g ,     r e l = ρ H g ρ á g u a = 13,5.10 3   10 3 = 13,5  

Ou seja, quando tivermos essa interpretação da densidade, ela será uma grandeza adimensional.

Unidades

Vamos ver quais são as unidades de massa específica/densidade:

Vamos supor m = 1   k g e V = 1   m 3 .

Calculando a massa específica:

ρ = 1   k g 1   m 3

ρ = 1   k g / m 3

Pronto! Não tem nome especial essa unidade. Geralmente, usamos k g / m 3 mesmo ou outra unidade com múltiplos dessas.

Por exemplo: g / c m 3 , k g / l , g / m l ...

Observação:

1   d m 3 = 1   l

1 k g / m 3 = 0,001   g / c m 3

Legal! Partiu fazer uns exercícios?

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado

Fazendo um extra, você foi solicitado a transportar uma barra de ferro de 85,80 c m de comprimento e 2,85 c m de diâmetro de um depósito até um mecânico. Você precisará usar um carrinho de mão? (Pra responder, calcule a massa do Ferro).

Dado:

ρ F e r r o = 7900   k g / m 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, nessa questão você só vai precisar aplicar a fórmula:

ρ = m V

Nós queremos descobrir m , já sabemos ρ e o volume dá pra gente calcular.

Passo 2

Assim:

m = ρ V

E quem é V ?

V é o volume da barra de ferro, que na verdade é um cilindro de diâmetro igual a 2,85 c m .

A área da base desse cilindro é dada por:

A = π r 2

E o volume será essa área vezes o comprimento L :

V = A L = π r 2 L

Passo 3

O raio será dado por:

r = d 2 = 2,85.10 - 2 m 2 = 1,425.10 - 2 m

Então:

A = 1,425.10 - 2 2 π = 6,38.10 - 4 m 2

Assim:

V = 6,38.10 - 4 . 85,80.10 - 2 = 5 47.10 - 6 m 3 = 5,47.10 - 4 m 3

Passo 4

Agora fica fácil achar a massa:

m = 7900 . 5,47.10 - 4 = 4,32   k g

Show!! E você precisa de um carrinho pra carregar essa massa?

Não! (:

Resposta

Não, pois a massa é pequena, cerca de 4,32   k g .

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado

Duas esferas uniformes, uma de chumbo e outra de alumínio, possuem a mesma massa. Qual a razão entre o raio da esfera de alumínio e o raio da esfera de chumbo?

Dado:

Volume de uma esfera de raio r : V e = 4 π r 3 3

ρ A l u m í n i o = 2700   k g / m 3

ρ c h u m b o = 11340   k g / m 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A ideia aqui é achar uma relação entre os raios usando uma relação entre as densidades.

Da fórmula que a gente viu:

ρ = m V

Temos que:

m = ρ V

Assim:

m 1 = m 2

ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2

V 2 V 1 = ρ 1 ρ 2

Passo 2

Bom, mas a gente quer uma relação entre os raios, não entre os volumes, certo? Então, já que são esferas, vamos usar:

4 π r 2 3 3 4 π r 1 3 3 = ρ 1 ρ 2

r 2 r 1 3 = ρ 1 ρ 2

r 2 r 1 = ρ 1 ρ 2 1 3

Passo 3

Agora é só aplicar os valores das massas específicas.

Como:

ρ 2 = ρ a l u m í n i o = 2700   k g / m 3

ρ 1 = ρ c h u m b o = 11340   k g / m 3

Teremos:

r 2 r 1 = ρ 1 ρ 2 1 3 = 11340 2700 1 3 = 1,61

Resposta

r 2 r 1 = 1,61

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração própria

Uma esfera oca de 100 cm de diâmetro externo e 40 cm de diâmetro interno possui massa igual a 200 g.

Calcule:

  1. Sua densidade, em k g / m 3 ;
  2. Sua massa específica, também em k g / m 3 .
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Aqui você precisa lembrar que para a densidade ( d ) nós usamos o volume total, já para a massa específica ( ρ ), nós excluímos o volume oco!

d = m V t o t a l

ρ = m V t o t a l - V o c o

Passo 2

  1. Densidade
  2. O volume de uma esfera é

    V e s f e r a = 4 3 π r 3

    Como o diâmetro externo é 100 cm, então

    r = 50   c m = 0,5   m

    Jogando na densidade

    d = m 4 3 π r 3

    d = 0,2 4 3 π   0,5 3

    d = 0,38   k g / m 3

    Passo 3

  3. Massa específica

Agora temos que lembrar de excluir o volume oco, que também é uma esfera, só que de diâmetro 40 cm (raio 20 cm).

ρ = m 4 3 π r e x t e r n o 3 - r i n t e r n o 3

ρ = 0,2 4 3 π ( 0,5 3 - 0,2 3 )

ρ = 0,41   k g / m 3

Resposta

  1. d = 0.38   k g / m 3
  2. ρ = 0,41   k g / m 3

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração própria

O ouro 18 quilates é uma liga com em que a massa de ouro equivale a 18/24 da massa total.

Imagine que você comprou um anel de 100 g de ouro 18 quilates, onde o outro metal é prata, por um preço bem abaixo do mercado.

Para ter certeza que você não comprou um produto falsificado, você mediu o volume do seu anel e encontrou 7   c m 3 . Seu produto é falsificado?

Dados:

ρ o u r o = 19,3   g / c m 3

ρ p r a t a = 10,5   g / c m 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O anel tem uma densidade

ρ = M V = 100 g 7   c m 3

ρ a n e l = 1 4,29   g / c m 3  

Pra saber se o produto é falsificado, temos que comparar esse valor com a densidade de um ouro 18-quilates.

Passo 2

Imagine um ouro 18 quilates padrão de 100 g. Temos

m o u r o = 18 24 m t o t a l = 3 4 100 g = 75 g

Logo, como m t o t a l = m o u r o + m p r a t a

m p r a t a = 25 g

Para calcular a densidade, precisamos dos volumes, vamos usar a relação

V = m ρ

V o u r o = m o u r o ρ o u r o = 75 g 19,3   g / c m 3 = 3,89   c m 3

V p r a t a = 25 g 10,5   g / c m 3 = 2,38   c m 3

Temos a densidade do ouro 18-quilates:

ρ 18 - q u i l a t e s   = m t o t a l V t o t a l

ρ 18 - q u i l a t e s   = 100 g 3,89 c m 3 + 2,38 c m 3 = 15,95   g / c m 3

A densidade do anel é menor do que a de um ouro 18-quilates!!

O anel deve ter menos ouro do que deveria. Isso que dá ficar comprando coisa barata por aí.

Resposta

É falsificado! ρ a n e l < ρ 18 - q u i l a t e s

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

Devido à ação da gravidade, a densidade do ar não é constante, e quanto mais alto você vai, em relação ao nível do mar, menos denso vai ficando a atmosfera.

Suponha que a massa de ar, em relação ao nível do mar, vai decaindo exponencialmente com a altura da forma m h = m 0 e -   h h 0 , onde m 0 e h 0 são constantes.

  1. Como que a densidade varia com a altura?
  2. Em qual altura a densidade cai para metade do valor ao nível do mar, em função das constantes m 0 e h 0 ?
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos agora um caso em que a massa não é constante! Para isso temos que usar a forma diferencial da densidade:

ρ = d m d V

Mas como V = A b a s e h , ea A b a s e é constante, podemos dizer que

d V = A   d h

Reescrevendo a densidade

ρ = 1 A d m d h

Só que, repara uma coisa: a derivada d m / d h é negativa por que conforme vamos subindo na atmosfera a quantidade de massa diminui. Segundo a equação que escrevemos acima, isso significaria que a densidade seria negativa! Como isso não faz sentido a gente pode meter um módulo aqui!

ρ = 1 A d m d h  

Escrito dessa forma, o que estamos dizendo é que a densidade é a razão de quanto de massa d m tem em um volumezinho A d h , e não a taxa de variação da massa em relação a altura h (que é a derivada).

Passo 2

  1. Vamos jogar a função dentro da densidade

ρ h = 1 A d d h m 0   e - h h 0

Derivando,

ρ h = m 0 A h 0 e -   h h 0

E esse é a função! =)

Passo 3

b)

Queremos o ponto em que a densidade cai pela metade do valor ao nível do mar.

No nível do mar, temos h = 0 ,

ρ h = 0 = m 0 A h 0

Então, queremos a altura em que a densidade é

ρ = m 0 2 A h 0

Jogando na equação:

m 0 2 A h 0 = m 0 A h 0 e -   h h 0

Cortando

1 2 = e - h h 0

Aplicando log dos dois lados

ln 1 2 = - h h 0

Usando que l n ( 1 / 2 ) = - l n ( 2 ) , e isolando o h, temos:

h = h 0   l n ( 2 )

Nessa altura a densidade cai pela metade! =)

Resposta

  1. ρ h = m 0 A h 0 e -   h h 0
  2. h = h 0   l n ( 2 )

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