Pressão Hidrostática

Teoria Completa

Fala aí, nós somos o Responde Aí, tudo que você precisa para aprender as matérias de forma clara, descontraída e direto ao ponto e arrebentar nas provas.

Hoje vamos ter uma conversa sobre a pressão hidrostática.

A pressão hidrostática nada mais é que a pressão que uma coluna de líquido exerce em uma determinada profundidade.

Então, vamos imaginar que você mergulhou no mar e está a uma profundidade $h$, ou seja, há uma coluna de líquido de altura $h$ acima de você e ela está exercendo sobre você uma pressão, que chamamos de pressão hidrostática. Mas quanto vale essa pressão? Como vamos calculá-la?

A pressão hidrostática é proporcional à densidade do líquido, à aceleração da gravidade local e à altura do líquido acima do ponto considerado. Desse modo, a pressão hidrostática é calculada da seguinte forma:

$$P_h=\rho gh$$

Onde:

  • $\rho$ é a densidade do fluido, em $Kg/m^3$;
  • $g$ é a celeração da gravidade, que vale $9,8 m/s^2$;
  • $h$ é a altura do líquido acima do ponto considerado, em $m$, e;
  • $P_h$ é a pressão hidrostática, em $N/m^2$

Essa é a pressão exercida apenas pela coluna de líquido acima do ponto, mas e se acima da coluna de líquido houver alguma pressão atuando também, como é o caso do mar, acima do nosso exemplo, porque acima do mar temos a pressão atmosférica atuando então a pressão total, $P$, que vai atuar sobre você, que está a uma profundidade $h$ do mar, vai ser a soma da pressão atmosférica com a pressão hidrostática:

$$P=P_{atm}+P_h=P_{atm}+\rho gh$$

Importante: A pressão atmosférica vale $1~atm$ ou $101~325~N/m^2$

Mas, nem sempre a pressão que atua acima do líquido é a pressão atmosférica, pode ser a pressão exercida por um gás dentro de um recipiente por exemplo, então vamos generalizar e chamar a pressão que atua acima da coluna de líquido de $P_0$:

$$P=P_0+\rho gh$$

Tem mais uma coisa bem legal sobre a pressão hidrostática pra te falar.

Olha essa imagem aqui:

Ambos os recipientes estão preenchidos por uma mesmo fluido, até uma mesma altura. A pressão hidrostática no fundo dos recipientes vai ser igual ou diferente?

A pressão hidrostática será exatamente igual. Isso porque vimos que a pressão hidrostática depende da densidade do fluido, da altura da coluna de fluido e da gravidade, que sempre será a mesma no nosso caso, e não do formato do recipiente. Então, se temos esses cincos recipientes preenchidos pelo mesmo fluido (densidade são iguais) até uma mesma altura, a pressão hidrostática no fundo será exatamente a mesma, não importando o formato do recipiente.

Em outras palavras, a fórmula $\rho g h$ sempre é válida independente do formato do recipiente. Esse fenômeno é o que chamamos de PARADOXO HIDROSTÁTICO.

Exemplo

Aqui no Responde Aí, nós temos vários vídeos de exercícios que mostram como resolver passo-a-passo. Eu vou deixar um exercício aqui em vídeo pra você ver como esse conteúdo é abordado nas questões e para você conhecer um pouquinho mais do nosso estilo. Confere aí:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista de exercícios, Fenômenos de transporte, UERJ

A figura mostra três vasos V 1 , V 2 e V 3 cujas bases tem a mesma área. Os vasos estão cheios de líquido l 1 , l 2 e l 3 até uma mesma altura. As pressões nos fundos dos vasos são p 1 , p 2 e p 3 , respectivamente. Com relação a essa situação, é correto afirmar que:

  1. p 1 = p 2 = p 3 somente se os líquidos l 1 , l 2 e l 3 forem idênticos.
  2. p 1 = p 2 = p 3 quaisquer que sejam os líquidos l 1 , l 2 e l 3 .
  3. p 1 > p 2 > p 3 somente se os líquidos l 1 , l 2 e l 3 forem idênticos.
  4. p 1 > p 2 > p 3 quaisquer que sejam os líquidos l 1 , l 2 e l 3 .
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Passo 1

Pelo paradoxo hidrostático, sabemos que a pressão no fundo dos vasos exercida pelo fluido não depende da forma do recipiente, apenas da densidade do fluido, gravidade e profundidade:

p = ρ g h

Passo 2

Pela figura, a profundidade h é a mesma em todos os casos, assim como a aceleração da gravidade g .

O que vai definir se as pressões serão iguais ou não é se as densidades dos fluidos são iguais ou não.

Logo, se tivermos o mesmo fluido nos três casos, temos densidades idênticas nos três casos.

Se isso acontecer, teremos a mesma pressão nos três casos!

Alternativa (a).

Resposta

Alternativa (a).

Exercício Resolvido #2

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 8, página 80.

Embolia gasosa em viagens de avião. Os mergulhadores são aconselhdados a não viajar de avião nas primeiras 24h após um mergulho porque o ar pressurizado usado durante o mergulho pode introduzir nitrogênio na corrente sanguínea. Uma redução súbita da pressão do ar (como a que acontece quando um avião decola) pode fazer com que o nitrogênio forme bolhas no sangue, que podem produzir embolias dolorosas ou mesmo fatais. Qual é a variação de pressão experimentada por um soldado da divisão de operações especiais que mergulha a 20   m de profundidade em um dia e salta de paraquedas de uma altitude de 7,6   k m no dia seguinte? Suponha que a massa específica média do ar nessa faixa de altitude é 0,87   k g / m 3 .

Dados: ρ á g u a = 1024   k g / m 3

g = 9,8   m / s 2

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Passo 1

O problema quer saber o quanto a pressão variou de um evento para outro.

Vamos chamar de p 1 a pressão dentro da água (no mergulho) e de p 2 a pressão quando saltando de paraquedas.

Além disso, vamos chamar de p 0 a pressão atmosférica no nível do mar.

Nós vamos ter:

p 1 = p 0 + ρ á g u a g h 1

p 2 = p 0 - ρ a r g h 2

Repare que a pressão na região em que o soldado salta de paraquedas é igual à pressão ao nível do mar (atmosférica) menos a pressão da camada de ar numa altura de 7,6   k m .

Então o que queremos encontrar será:

p 1 - p 2 = p 0 + ρ á g u a g h 1 - p 0 - ρ a r g h 2

p 1 - p 2 = ρ á g u a g h 1 + ρ a r g h 2

Onde ρ é a densidade média do fluido, g é a aceleração da gravidade e h é a distância vertical para o ponto onde a pressão é igual à pressão atmosférica.

Passo 2

Substituindo:

p 1 - p 2 = ρ á g u a g h 1 + ρ a r g h 2

p 1 - p 2 = 1024 ∙ 9,8 ∙ 20 + 0,87 ∙ 9,8 ∙ 7600

p 1 - p 2 = 2 ∙ 10 5 + 0,648 ∙   10 5

p 1 - p 2 = 2,648 ∙ 10 5   P a

Resposta

A variação de pressão experimentada pelo soldado é 2,648 ∙ 10 5   P a .

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado.

Os cientistas encontraram indícios de que Marte pode ter tido outrora um oceano com 0,500   k m de profundidade. A aceleração da gravidade em Marte é 3,71   m / s 2 .

  1. Qual seria a pressão manométrica no fundo desse oceano?
  2. A que profundidade você precisaria descer nos oceanos da Terra para ser submetido à mesma pressão manométrica?

Dados necessários:

Densidade da água do mar: ρ m a r = 1,03.10 3 k g / m 3 .

Aceleração da gravidade na Terra: g = 10,0   m / s 2 .

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Passo 1

a)

Bom, ele está pedindo a pressão manométrica no fundo do oceano. Você lembra o que isso significa?

Isso mesmo, nesse caso, vai ser a pressão da coluna de água. Se ele pedisse a pressão absoluta, você deveria somar a pressão da coluna de água com a pressão atmosférica do planeta.

Vamos lá, então é só usar a famosa fórmula vista na teoria:

P m a n = P = ρ g h

Lembre-se: aqui vamos usar a profundidade do oceano de marte, h , a densidade da água do mar e a gravidade de marte.

Então:

P m a n = ρ á g u a   d o   m a r g m a r t e h d o   o c e a n o

P m a n = 1,03.10 3 . 3,71 . 0,500.10 3 = 1910650   P a  

Beleza? (:

Passo 2

b)

Agora ele quer que você descubra a profundidade de um suposto oceano na Terra que gere a mesma pressão manométrica. O que vai mudar? Isso aí, a gravidade!

Ah, mas e a densidade, muda? Bom, como o enunciado não disse nada em relação a isso, vamos considerar a mesma densidade. E é claro, vamos usar a mesma pressão manométrica do oceano marciano.

Passo 3

Assim:

P m a n = ρ m a r g T e r r a h '

1910650 = 1,03.10 3 . 10,0 . h ' → h ' = 1910650 1,03.10 3 . 10,0 = 185 , 5   m

Não usamos a pressão atmosférica em nenhum lugar porque estamos usando o conceito de pressão manométrica, viu?

Resposta

  1. 1910650 ≅ 1,91 × 10 ^ 6   P a
  2. 185 , 5   m

Exercício Resolvido #4

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 12, página 80

A profundidade máxima d m á x a que um mergulhador pode descer com um snorkel (tubo de respiração) é determinada pela massa específica da água e pelo fato de que os pulmões humanos não funcionam com uma diferença de pressão (entre o interior e o exterior da cavidade torácica) maior que 0,050   a t m . Qual é a diferença entre os valores de d m á x , para água doce e para a água do mar Morto (a água natural mais salgada no mundo com uma massa específica de 1,5 ∙ 10 3   k g / m 3 )?

Dados: 1   a t m = 1,013 ∙ 10 5   P a

ρ á g u a = 998   k g / m 3

g = 9,8   m / s 2

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Passo 1

Cara, queremos uma diferença entre duas profundidades em uma determinada pressão. E como podemos calcular a pressão? Temos uma fórmula pra nos ajudar:

p = ρ g h

Beleza!! Então, vamos usá-la pra calcular as profundidades em cada situação e calcular a diferença entre elas depois.

Passo 2

Queremos saber a diferença de profundidade nas águas numa situação em que a pressão vale 0,05   a t m = 5065   P a .

Então, na água doce: ρ á g u a = 998   k g / m 3 . E a profundidade máxima será:

5065 = 998 ∙ 9,8 ∙ d m á x 1

d m á x 1 = 5065 9780,4

No mar Morto: ρ m M = 1,5 ∙ 10 3   k g / m 3 . E a profundidade máxima será:

5065 = 1,5 ∙ 10 3 ∙ 9,8 ∙ d m á x 2

d m á x 2 = 5065 14700

Passo 3

Calculando a diferença entre os d m á x :

d m á x 1 - d m á x 2 = 5065 9780,4 - 5065 14700 ≈ 0,17   m

Resposta

A diferença entre os valores de d m á x vale 0,17   m .

Exercício Resolvido #5

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 17, página 80

Alguns membros da tripulação tentam escapar de um submarino avariado 100   m abaixo da superfície. Que força deve ser aplicada a uma escotilha de emergência, de 1,2   m por 0,60   m ,

para abri-la para fora nessa profundidade? Suponha que a massa específica da água do oceano é 1024   k g / m 3 e que a pressão do ar no interior do submarino é 1,00   a t m .

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Passo 1

Primeiro vamos entender a situação das forças agindo na escotilha do submarino:

Repare que não precisamos considerar a pressão interna de 1   a t m . Por quê? Porque no nível do mar também existe uma pressão atmosférica igual à pressão interna do submarino. Então na real, a diferença entre as pressões interna e externa é só a pressão hidrostática mesmo.

Então, para abrir a escotilha, só precisamos que a força para abri-la seja maior que a força pelo oceano. No caso, a força do oceano é uma força devido à pressão hidrostática da água numa profundidade de 100   m . E como podemos achar essa força? Usando:

F = P o c e a n o ∙ A e s c o t i l h a

Onde a pressão P o c e a n o pode ser calculada por:

P o c e a n o = ρ o c e a n o g h

P o c e a n o = 1024 ∙ 9,8 ∙ 100   P a

E: A e s c o t i l h a = 1,2 ∙ 0,6   m 2

Substituindo na equação da força:

F = 1024 ∙ 9,8 ∙ 100 ∙ 1,2 ∙ 0,6 = 7,2 ∙ 10 5   N

Passo 2

Resposta

A força aplicada deve ser 7,2 ∙ 10 5   N .

Exercício Resolvido #6

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado.

Você está projetando um sino de mergulho pra aguentar a pressão da água do mar até uma profundidade de 250 m .

a) Qual é a pressão manométrica nessa profundidade? (Despreze as variações de densidade da água com a profundidade).

b) Levando-se em consideração a pressão da coluna de líquido e a pressão atmosférica, qual é a força resultante exercida pela água fora do sino e pelo ar dentro do sino sobre uma janela de vidro circular com diâmetro de 30,0 c m ? (Despreze a pequena variação de pressão sobre a superfície da janela).

Dados necessários:

ρ m a r = 1,03.10 3 k g / m 3

g = 10,0 m / s 2

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Passo 1

a)

Bom, galera, novamente a questão está pedindo a pressão manométrica.

O que isso significa? Que vamos calcular a pressão que a coluna de líquido exerce (e não somaremos com a pressão atmosférica).

Então usaremos a fórmula:

P m a n = P = ρ g h

Lembrando que só podemos usar a fórmula porque a densidade não varia.

Aqui você precisa ter cuidado com as dimensões. Use as mesmas dimensões da densidade da água, ok? Como está no SI, vamos usar o SI.

Assim:

P m a n = 1,03 × 10 3 . 10,0 . 250 = 2,5 × 10 6 P a

Passo 2

b)

Agora nós precisamos achar a força resultante numa janela naquela profundidade. Pra isso, devemos calcular a pressão do lado de fora e a pressão do lado de dentro do sino.

A pressão de dentro do sino é a pressão do ar que está ali dentro. Logo, a pressão atmosférica.

P d e n t r o = P a t m

E a pressão do lado de fora é a pressão absoluta naquela profundidade. Ou seja:

P f o r a = P a t m + ρ g h = P a t m + 2,5 × 10 6

Então, como é possível ver, a pressão do lado de fora vai ser maior. Assim, a força estará apontando para dentro do sino.

Passo 3

Pra calcular a força, precisamos primeiro calcular o diferencial de pressão. Assim:

∆ P = P f o r a - P d e n t r o = P a t m + 2,5 x 10 6 - P a t m = 2,5 × 10 6 P a

Show?

Bom, e como a pressão é dada por:

P = F A

Então:

F r e s u l t a n t e = ∆ P . A

Passo 4

Temos quase tudo, só falta calcular a área da janela circular. Bom, o diâmetro da janela é:

d = 30,0 c m

Assim, o raio será:

r = 15,0 c m

E a área será:

A = r 2 π = 15.10 - 2 2 . π = 0,07 m 2

Assim:

F r e s u l t a n t e = 2,5 . 10 6 .   0,07 = 1,75 . 10 5 N

Resposta

  1. 2,5 × 10 6 P a
  2. 1,75 . 10 5 N

Exercício Resolvido #7

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado

Um barril contém uma camada de óleo de 0,120 m flutuando sobre água. A camada de água tem uma altura de 0,250 m . A densidade do óleo é igual a 600 k g / m 3 .

  1. Qual é a pressão manométrica na interface entre o óleo e a água?
  2. Qual é a pressão manométrica no fundo do barril?

Outros dados:

g = 10,0   m / s 2

ρ á g u a = 1,00.10 3 k g / m 3

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Passo 1

a)

Aqui temos o caso em que há dois fluidos diferentes em um mesmo recipiente.

O problema pede a pressão na interface dos dois líquidos.

Repare que, como ele pede a pressão manométrica, o que ele quer é a pressão naquele ponto menos a pressão atmosférica. Ou seja, o que ele quer é a pressão hidrostática, sacou?

Essa pressão vai ser a pressão da coluna de líquido que está acima da camada de água, ou seja, a pressão da camada de óleo.

Então:

P 1 = ρ ó l e o g h ó l e o

P 1 = 600 . 10 . 0,120 = 0,72.10 3   P a

E essa é a pressão na interface.

Passo 2

b)

Show, e agora? Agora precisamos achar a pressão no fundo do barril, ou seja, achar a pressão causada pelas duas colunas de fluido: a pressão causada pela coluna de água e a pressão causada pela coluna de óleo.

A gente já tem a pressão causada pelo óleo, agora basta calcular a causada pela água:

P 2 = ρ á g u a g h á g u a = 1,00.10 3 . 10 . 0,250 = 2,50.10 3 P a

Passo 3

Show. Agora é só somar as duas pressões:

P f u n d o = P 1 + P 2 = 0,72.10 3 + 2,50.10 3 = 3,22.10 3 P a

Isso é a pressão manométrica, porque a pressão absoluta incluiria a atmosférica.

Resposta

  1. 0,72.10 3   P a
  2. 3,22.10 3 P a

Exercício Resolvido #8

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado

Um cilindro alto com uma área de seção reta igual a 12,0 c m 2 está parcialmente cheio de mercúrio. A superfície do mercúrio está 5,0 c m acima do fundo do cilindro. Despeja-se água lentamente sobre o mercúrio, e os dois fluidos não se misturam. Que volume de água deve ser acrescentado para dobrar a pressão manométrica no fundo do cilindro?

Dados:

g = 10,0 m / s 2

ρ á g u a = 1,0 × 10 3 k g / m 3

ρ m e r c ú r i o = 13,6 × 10 3 k g / m 3

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Passo 1

Primeiramente, a gente precisa saber qual é a pressão manométrica do mercúrio no fundo do cilindro. Repara que a área de seção reta que ele falou é a área da base do cilindro.

Essa pressão pode ser calculada por:

P m a n H g = P n o   f u n d o   d o   c i l i n d r o - P a t m o s f é r i c a

P n o   f u n d o   d o   c i l i n d r o = P a t m o s f é r i c a + P h i d r o s t á t i c a

P m a n H g = P a t m o s f é r i c a + P h i d r o s t á t i c a - P a t m o s f é r i c a

P m a n H g = P h i d r o s t á t i c a

P m a n H g = P 1 = ρ H g g h = 13,6 × 10 3 . 10,0 . 5,00 × 10 - 2 = 6,8.10 3 P a

Passo 2

Agora que sabemos a pressão inicial, P 1 , vamos dobrá-la:

P 2 = 2 P 1 = 13,6 × 10 3 P a

Essa pressão tem que ser igual a pressão da coluna de mercúrio mais a pressão da camada de água que vamos jogar em cima desse mercúrio.

Assim:

ρ á g u a g h á g u a + ρ H g g h m e r c ú r i o = 13,6 × 10 3

ρ á g u a g h á g u a + 6,8.10 3 = 13,6 × 10 3

ρ á g u a g h á g u a = 6,8 × 10 3

h á g u a = 6,8.10 3 10 3 . 10 = 0,68 m = 68 c m

Passo 3

Legal! Já sabemos a altura de água que vamos despejar. O que falta agora? Saber qual o volume de água correspondente. Pra isso, vamos multiplicar essa altura pela a área da seção transversal:

V á g u a = A ⋅ h á g u a = 12,0 ⋅ 68 = 816 c m 3 = 816 m l

E é esse aí o volume despejado (:

Resposta

V á g u a = 816 m l

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