Pressão Hidrostática

Teoria Completa

O que é isso?

Essa “pressão hidrostática” é a pressão que uma coluna de um fluido exerce a certa profundidade.

Se você mergulhar fundo no mar, por exemplo, vai sentir a pressão que toda a água acima de você exerce, não é? Então, é dela que estamos falando!

Como calcular

Bem, pressão é força sobre área, certo?

Então, a pressão que um fluido exerce em um ponto é igual ao seu peso acima desse ponto sobre a área em que ele atua!

Vamos ver esse exemplo: calcular a pressão de uma coluna de líquido em um cilindro a uma certa profundidade h .

Primeiro, vamos calcular o peso da coluna de líquido. Vamos chamar a força peso de F para não confundir com a pressão p :

F = m ⋅ g

Para calcular a massa de fluido, usamos a relação entre densidade e volume:

ρ = m V

⇒ m = ρ   ⋅ V

O volume do cilindro é base vezes altura, não é isso?

Então:

m = ρ ⋅ A   ⋅ h

Então o peso é dado por:

F = m ⋅ g

⇒ F = ρ ⋅ A ⋅ h ⏟ m ⋅ g

Agora, para calcular a pressão, basta dividir essa força pela área em que ela está atuando, que é a mesma área A :

p = F A

⇒ p = ρ ⋅ A   ⋅ h ⋅ g A

⇒ p = ρ ⋅   h ⋅ g

Ou, na forma mais tradicional:

p = ρ g h

Essa é a pressão exercida a uma certa profundidade apenas pela coluna de líquido contida em um recipiente!

Você não precisa decorar esse procedimento que fizemos para chegar a essa fórmula! Basta utilizá-la diretamente quando for necessário!

Se acima da superfície do líquido houver uma pressão p 0 atuando, a pressão total será simplesmente a soma das pressões:

p = p 0 + ρ g h

Essa pressão p 0 pode ser a pressão exercida por um gás, por outro líquido ou pela própria atmosfera.

Da mesma forma, se líquidos diferentes e imiscíveis (que não se misturam) estiverem em um recipiente, a pressão a uma certa profundidade será a soma das parcelas de cada fluido:

p = p 0 + ρ 1 g h 1 + ρ 2 g h 2 + ρ 3 g h 3

Observação: vamos sempre supor que a pressão varia apenas com a profundidade vertical do fluido e nunca com a posição horizontal!

Unidades

Temos então que:

p = p 0 + ρ g h

Para encontrarmos a pressão em Pascal ( P a ), temos que colocar as variáveis nas seguintes unidades:

ρ = [ kg/ m 3 ]

g = [ m/ s 2 ]

h = [ m ]

Pressão atmosférica

O ar é um fluido, pois é uma mistura de gases. Então, o ar também exerce uma pressão na Terra. Essa pressão é chamada pressão atmosférica.

Seu valor é aproximadamente:

p a t m = 1,0 × 10 5   Pa

Outra unidade usual é a atmosfera ( atm ):

p a t m = 1   atm = 1,0 × 10 5   Pa

Pressão manométrica e pressão absoluta

A pressão manométrica é a diferença entre a pressão em questão (absoluta) e a pressão atmosférica:

p manométrica = p absoluta - p a t m

Paradoxo hidrostático

Concluímos que a pressão exercida por um fluido é dada por ρ g h , mas usamos um recipiente cilíndrico para chegar a essa conclusão, certo?

Se o recipiente tiver outra forma, você acha que a mesma fórmula vale?

Por exemplo, nessa figura aqui embaixo, você acha que a pressão vai depender apenas da altura?

A resposta é sim! Graças!

Ou seja, a pressão exercida por uma coluna de líquido depende apenas da densidade do líquido e da profundidade, além, é claro, da gravidade, que sempre será a mesma no nosso caso.

Nessa figura, se os cinco recipientes estiverem preenchidos com o mesmo líquido (portanto, com densidades iguais) até uma mesma altura, a pressão a uma mesma profundidade é igual em todos os casos!

Em outras palavras, a fórmula ρ g h sempre vale, qualquer que seja a forma do recipiente!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista de exercícios, Fenômenos de transporte, UERJ

A figura mostra três vasos V 1 , V 2 e V 3 cujas bases tem a mesma área. Os vasos estão cheios de líquido l 1 , l 2 e l 3 até uma mesma altura. As pressões nos fundos dos vasos são p 1 , p 2 e p 3 , respectivamente. Com relação a essa situação, é correto afirmar que:

  1. p 1 = p 2 = p 3 somente se os líquidos l 1 , l 2 e l 3 forem idênticos.
  2. p 1 = p 2 = p 3 quaisquer que sejam os líquidos l 1 , l 2 e l 3 .
  3. p 1 > p 2 > p 3 somente se os líquidos l 1 , l 2 e l 3 forem idênticos.
  4. p 1 > p 2 > p 3 quaisquer que sejam os líquidos l 1 , l 2 e l 3 .
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Passo 1

Pelo paradoxo hidrostático, sabemos que a pressão no fundo dos vasos exercida pelo fluido não depende da forma do recipiente, apenas da densidade do fluido, gravidade e profundidade:

p = ρ g h

Passo 2

Pela figura, a profundidade h é a mesma em todos os casos, assim como a aceleração da gravidade g .

O que vai definir se as pressões serão iguais ou não é se as densidades dos fluidos são iguais ou não.

Logo, se tivermos o mesmo fluido nos três casos, temos densidades idênticas nos três casos.

Se isso acontecer, teremos a mesma pressão nos três casos!

Alternativa (a).

Resposta

Alternativa (a).

Exercício Resolvido #2

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 8, página 80.

Embolia gasosa em viagens de avião. Os mergulhadores são aconselhdados a não viajar de avião nas primeiras 24h após um mergulho porque o ar pressurizado usado durante o mergulho pode introduzir nitrogênio na corrente sanguínea. Uma redução súbita da pressão do ar (como a que acontece quando um avião decola) pode fazer com que o nitrogênio forme bolhas no sangue, que podem produzir embolias dolorosas ou mesmo fatais. Qual é a variação de pressão experimentada por um soldado da divisão de operações especiais que mergulha a 20   m de profundidade em um dia e salta de paraquedas de uma altitude de 7,6   k m no dia seguinte? Suponha que a massa específica média do ar nessa faixa de altitude é 0,87   k g / m 3 .

Dados: ρ á g u a = 1024   k g / m 3

g = 9,8   m / s 2

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Passo 1

O problema quer saber o quanto a pressão variou de um evento para outro.

Vamos chamar de p 1 a pressão dentro da água (no mergulho) e de p 2 a pressão quando saltando de paraquedas.

Além disso, vamos chamar de p 0 a pressão atmosférica no nível do mar.

Nós vamos ter:

p 1 = p 0 + ρ á g u a g h 1

p 2 = p 0 - ρ a r g h 2

Repare que a pressão na região em que o soldado salta de paraquedas é igual à pressão ao nível do mar (atmosférica) menos a pressão da camada de ar numa altura de 7,6   k m .

Então o que queremos encontrar será:

p 1 - p 2 = p 0 + ρ á g u a g h 1 - p 0 - ρ a r g h 2

p 1 - p 2 = ρ á g u a g h 1 + ρ a r g h 2

Onde ρ é a densidade média do fluido, g é a aceleração da gravidade e h é a distância vertical para o ponto onde a pressão é igual à pressão atmosférica.

Passo 2

Substituindo:

p 1 - p 2 = ρ á g u a g h 1 + ρ a r g h 2

p 1 - p 2 = 1024 ∙ 9,8 ∙ 20 + 0,87 ∙ 9,8 ∙ 7600

p 1 - p 2 = 2 ∙ 10 5 + 0,648 ∙   10 5

p 1 - p 2 = 2,648 ∙ 10 5   P a

Resposta

A variação de pressão experimentada pelo soldado é 2,648 ∙ 10 5   P a .

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado.

Os cientistas encontraram indícios de que Marte pode ter tido outrora um oceano com 0,500   k m de profundidade. A aceleração da gravidade em Marte é 3,71   m / s 2 .

  1. Qual seria a pressão manométrica no fundo desse oceano?
  2. A que profundidade você precisaria descer nos oceanos da Terra para ser submetido à mesma pressão manométrica?

Dados necessários:

Densidade da água do mar: ρ m a r = 1,03.10 3 k g / m 3 .

Aceleração da gravidade na Terra: g = 10,0   m / s 2 .

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Passo 1

a)

Bom, ele está pedindo a pressão manométrica no fundo do oceano. Você lembra o que isso significa?

Isso mesmo, nesse caso, vai ser a pressão da coluna de água. Se ele pedisse a pressão absoluta, você deveria somar a pressão da coluna de água com a pressão atmosférica do planeta.

Vamos lá, então é só usar a famosa fórmula vista na teoria:

P m a n = P = ρ g h

Lembre-se: aqui vamos usar a profundidade do oceano de marte, h , a densidade da água do mar e a gravidade de marte.

Então:

P m a n = ρ á g u a   d o   m a r g m a r t e h d o   o c e a n o

P m a n = 1,03.10 3 . 3,71 . 0,500.10 3 = 1910650   P a  

Beleza? (:

Passo 2

b)

Agora ele quer que você descubra a profundidade de um suposto oceano na Terra que gere a mesma pressão manométrica. O que vai mudar? Isso aí, a gravidade!

Ah, mas e a densidade, muda? Bom, como o enunciado não disse nada em relação a isso, vamos considerar a mesma densidade. E é claro, vamos usar a mesma pressão manométrica do oceano marciano.

Passo 3

Assim:

P m a n = ρ m a r g T e r r a h '

1910650 = 1,03.10 3 . 10,0 . h ' → h ' = 1910650 1,03.10 3 . 10,0 = 185 , 5   m

Não usamos a pressão atmosférica em nenhum lugar porque estamos usando o conceito de pressão manométrica, viu?

Resposta

  1. 1910650 ≅ 1,91 × 10 ^ 6   P a
  2. 185 , 5   m

Exercício Resolvido #4

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 12, página 80

A profundidade máxima d m á x a que um mergulhador pode descer com um snorkel (tubo de respiração) é determinada pela massa específica da água e pelo fato de que os pulmões humanos não funcionam com uma diferença de pressão (entre o interior e o exterior da cavidade torácica) maior que 0,050   a t m . Qual é a diferença entre os valores de d m á x , para água doce e para a água do mar Morto (a água natural mais salgada no mundo com uma massa específica de 1,5 ∙ 10 3   k g / m 3 )?

Dados: 1   a t m = 1,013 ∙ 10 5   P a

ρ á g u a = 998   k g / m 3

g = 9,8   m / s 2

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Passo 1

Cara, queremos uma diferença entre duas profundidades em uma determinada pressão. E como podemos calcular a pressão? Temos uma fórmula pra nos ajudar:

p = ρ g h

Beleza!! Então, vamos usá-la pra calcular as profundidades em cada situação e calcular a diferença entre elas depois.

Passo 2

Queremos saber a diferença de profundidade nas águas numa situação em que a pressão vale 0,05   a t m = 5065   P a