Empuxo

Teoria Completa

O que é isso?

O que faz com que uma embarcação não afunde quando colocada na água?

O peso de um navio é na ordem de 10 3 toneladas. Como é possível algo com este peso flutuar?

Explicação Física

A força que contrabalanceia o peso de um sólido total ou parcialmente imerso em um fluido é chamada de empuxo. É por causa dessa força que alguns objetos flutuam em fluidos.

Você também pode conhecer o empuxo como o Princípio de Arquimedes, que diz:

Todo corpo imerso em um fluido sofre ação de uma força (empuxo) verticalmente para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

Um objeto imerso em um fluido vai sofrer ação da pressão hidrostática, certo? Aquela que depende apenas da altura. Observe a figura abaixo:

As pressões laterais se anulam, pois têm a mesma altura. Porém a altura da parte superior onde temos a pressão P a é menor que a altura de onde temos P d . Assim, lá de pressões hidrostáticas, vemos que P a < P d .

A pressão P a é dada por:

P a = ρ g h a

Temos também que a pressão P d é:

P d = ρ g h a + h

A pressão resultante no corpo será a diferença entre P a e P d , que é:

P d - P a = ρ g h a + h - ρ g h a = ρ g h

Show? Bem, vimos que o empuxo era uma força e aqui encontramos uma diferença de pressão que aponta para cima. Vamos, colocar isso como uma força, lembrando que F = P . A . Logo:

E = P d - P a . A = ρ g h . A

Agora, lembrando que h . A = v o l u m e = V , temos:

E = ρ g V

Sendo V o volume do corpo que está SUBMERSO e ρ a densidade do FLUIDO.

Além disso, outra forma de lembrar essa fórmula é notar que o empuxo é o peso do volume de fluido ocupado pelo sólido.

O peso de fluido é dado por:

P f l u i d o = m f l u i d o   . g

Podemos usar esta outra forma, por que a massa é a densidade vezes o volume:

⇒ m f l u i d o = ρ f l u i d o   . V f l u i d o

Só que o volume do fluido é o volume ocupado pelo sólido imerso:

V f l u i d o = V i m e r s o

Então o peso do fluido fica sendo o seguinte:

P f l u i d o = ρ f l u i d o   . V i m e r s o   . g

Como o empuxo é igual ao peso de fluido ocupado pelo sólido, então:

E = P f l u i d o

Observação 1: Como foi visto, o empuxo sempre apontará para cima, ou seja, contrário ao campo gravitacional, que aponta para baixo.

Observação 2: quando o peso do sólido é maior que o empuxo, temos uma resultante para baixo, e o sólido afunda. Quando o peso do sólido é menor que o empuxo, temos uma resultante para cima e o sólido sobe. Quando as forças são iguais, o sólido está em repouso.

Unidades

Para calcularmos o empuxo em Newtons ( N ), precisamos colocar as seguintes unidades:

ρ f l u i d o = k g m 3   ;   V i m e r s o = m 3   ;   g = m s 2

Peso aparente

Já pegou um amigo no colo dentro de uma piscina? Então você sabe como é bem mais fácil levantar alguém na piscina do que fora dela.

Por que isso acontece?

Há três forças agindo no corpo: seu peso, o empuxo e a normal.

O peso aparente é exatamente a força normal, ou seja:

P e s o   a p a r e n t e = P e s o   r e a l - E m p u x o

É como se o empuxo estivesse “aliviando” um pouco a intensidade da normal.

Empuxo + Outra Força

Bom, agora que você já sabe o que é empuxo, vamos complicar um pouquinho o negócio: e se houver outra força atuando sobre o sistema?

Teremos dois casos gerais: o caso em que força tende a retirar o corpo do fluido e o caso em que a força tende a afundar ainda mais o corpo.

A forma de resolver cada questão vai sempre passar por um passo crucial: o equilíbrio de forças.

Vamos ver um exemplo:

O nome desse tipo de balança que usa uma corda é dinamômetro. Questões envolvendo dinamômetros são muito comuns nesse caso.

Beleza, como vamos montar o somatório de forças nesse problema?

Primeiramente, precisamos definir um sentido positivo para as forças: para cima ou para baixo.

No nosso caso, vamos dizer que o sentido para cima seja o positivo. Quais forças apontam para cima?

Se você respondeu: a tensão e o empuxo, você acertou (:

E qual força aponta pra baixo? Nesse caso, apenas o peso. Dessa forma, considerando o sistema em equilíbrio, temos:

∑ F → = 0

  E → + T → - P → = 0

E o que os enunciados costumam pedir?

Os enunciados podem pedir qualquer uma das três forças, dando informações sobre as outras duas.

Mas você deve prestar atenção em uma coisa: o peso aparente.

Lembra?

Definimos peso aparente como:

P e s o   a p a r e n t e = P e s o   r e a l - E m p u x o

Ou seja:

P a p → = P → - E →

Mas olhando de novo a nossa equação:

  E → + T → - P → = 0 → T → = P → - E →

P a p → = T →

Ou seja: em questões envolvendo dinamômetros, a tensão da corda também poderá ser chamada de peso aparente!!

Sabendo disso, é só identificar cada força, montar a equação de equilíbrio, descobrir o que se quer e correr pro abraço!

Corpo na Interface de Dois Líquidos

Bom, mas como você vai calcular o empuxo quando a situação do problema for algo assim:

Aaah, te peguei!!! Tem dois líquidos ali, e cada um tem uma densidade diferente.

Como prosseguir então?

A forma certa de se pensar é considerar o empuxo total como a contribuição de dois empuxos:

Um agindo na parte superior do bloco, em contato com o óleo, e outro agindo na parte inferior, em contato com a água.

Como calcular o empuxo resultante?

Como vimos no tipo Empuxo, o empuxo sempre aponta para cima, assim:

E R = E 1 + E 2

E como se calcula cada empuxo? Sendo o volume do corpo dado por V , teremos:

E 1 = ρ ó l e o V 2 g

E 2 = ρ á g u a V 2 g

Assim:

E R = ρ ó l e o V 2 g + ρ á g u a V 2 g

Ficaria dessa forma, é claro, quando exatamente a metade do bloco está em cada fluido. Porém, se uma fração diferente de 1 2 do volume bloco está em um fluido, teremos:

E R = ρ ó l e o ( V . f ) g + ρ á g u a V 1 - f g

Sacou? Por exemplo:

f = 1 3 → 1 - f = 2 3

A ideia é calcular cada um dos volumes submersos.

Bom, e se houver n fluidos? E se o corpo estiver com uma certa parte do seu corpo dentro de cada fluido?

Ai teriamos um somatório assim:

E R = ∑ i = 1 n E i = ρ 1 V s u b 1 g + ρ 2 V s u b 2 g + ρ 3 V s u b 3 g …

Beleza?

Observação importante: Sempre será uma soma de empuxos, nunca uma subtração!

Vamos resolver umas questões agora (:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista de exercícios, Fenômenos de transporte

Um corpo rígido e não poroso, de volume 10   cm 3 e densidade 5   g / cm 3 é colocado em líquido de densidade 2   g / cm 3 , num local onde a aceleração da gravidade é de 9,8   m / s 2 . O empuxo sofrido pelo corpo é:

  1. 9,80 × 10 - 1   N
  2. 4,90 × 10 - 1   N
  3. 2,94 × 10 - 1   N
  4. 1,96 × 10 - 1   N
  5. 0
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Passo 1

O enunciado não informa se o corpo está completamente imerso no fluido ou não. O empuxo sofrido pelo corpo depende de quanto de água ele desloca, ou seja, de quanto ele afunda, lembra? Se o corpo ficar totalmente imerso no fluido, ele vai sofrer o empuxo máximo, pois vai deslocar o equivalente a todo o seu volume de fluido.

Vamos calcular como ficaria o empuxo máximo sofrido pelo corpo, como se ele estivesse completamente submerso. O empuxo é dado pela fórmula:

E = ρ fluido × V imerso × g

Sabemos a densidade do fluido:

ρ fluido = 2   g / cm 3

Vamos supor que o objeto está totalmente imerso. Assim, também sabemos o volume imerso, que neste caso, é igual ao volume do objeto:

V imerso = 10  cm 3

E a gravidade também é conhecida e fornecida pelo problema: g = 9,8   m / s 2

Passo 2

Agora vamos substituir na fórmula:

E max = ρ fluido × V imerso × g

⇒ E max = 2   g /   cm 3 × 10   cm 3 × ( 9,8   m / s 2 )  

⇒ E max = 2 ⋅ 10 - 3 × 10 × 9,8   kg⋅m/ s 2  

⇒ E max = 0,196   N

⇒ E max = 1,96 × 10 - 1   N

Vamos dar uma olhadinha nessas unidades?

Se liga:

g / c m 3 . c m 3 . m / s 2 = g . m / s 2

Percebeu? Cortamos o c m 3 com o c m 3 . Agora, transformando g pra k g :

g . m / s 2 = k g . 10 - 3 m / s 2 = 10 - 3 N

Já que :

N = k g . ( m / s 2 )

Esse é o empuxo máximo sofrido pelo corpo. Isso quer dizer que, se o corpo estiver completamente submerso, esse será o valor do empuxo sofrido.

Passo 3

Precisamos agora descobrir se o corpo está totalmente imerso ou não. Pra isso, vamos calcular o peso do corpo:

P corpo = ρ corpo × V corpo × g

P corpo = 5   g /   cm 3 × 10   cm 3 × ( 9,8   m / s 2 )

⇒ P c o r p o = 5 ⋅ 10 - 3 × 10 × 9,8   kg⋅m/ s 2  

⇒ P corpo = 4,9 × 10 - 1   N

Viu? Fizemos a mesma transformação que antes nas unidades.

Caramba! O peso do objeto é maior que o empuxo máximo que calculamos. Isso quer dizer que, mesmo que o corpo esteja completamente submerso, o empuxo não será maior que o peso.

Daí, podemos concluir que se colocarmos o corpo no fluido, ele vai afundar, e o empuxo sofrido por ele vai ser igual ao que a gente calculou no Passo 2! Ou seja, a resposta é a alternativa (d).

Resposta

Alternativa (d).

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um bloco de madeira cujo volume é 300   c m 3 está em repouso flutuando em água. Sabe-se que 2 / 3 do volume do bloco está imerso na água.

  1. Qual é o valor da força de empuxo exercida no bloco?
  2. Qual é o peso do bloco?
  3. Qual é a massa do bloco?
  4. Qual é a densidade do bloco?

Considere que ρ água = 1000   kg/ m 3 e g = 10   m/ s 2

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Passo 1

Resolvendo item (a):

O empuxo é dado pela fórmula:

E = ρ fluido × V imerso × g

Sabemos a densidade do fluido:

ρ fluido = ρ água = 10 3   kg/ m 3

Agora podemos calcular o volume do bloco imerso na água:

Se o volume total é dado e igual a 300   c m 3 e 2 / 3 desse volume está imerso, então podemos calcular o volume imerso:

V imerso = 2 3 × 300   c m 3

⇒ V imerso = 200   c m 3 = 200 × 10 - 6   m 3

E a gravidade também é conhecida e fornecida pelo problema: g = 10   m/ s 2

Agora é só substituir na fórmula:

E = ρ fluido × V imerso × g

⇒ E = 10 3   kg/ m 3 × 200 × 10 - 6   m 3 × ( 10   m/ s 2 )  

⇒ E = 2   N

Passo 2

Resolvendo item (b):

Como o bloco está em repouso, o somatório de forças que agem no bloco deve ser nulo.

Neste caso, temos o peso para baixo e empuxo para cima. Logo, essas forças devem ser iguais:

P = E

⇒ P = 2   N

Passo 3

Resolvendo item (c):

Como sabemos o peso, podemos calcular a massa do bloco:

P = m g

⇒ m = P g

Substituindo:

m = 2 10

⇒ m = 0,2   kg

Passo 4

Resolvendo item (d):

Para calcular a densidade do bloco, precisamos da massa e volume, que já conhecemos!

Portanto:

ρ bloco = m bloco V bloco

⇒ ρ bloco = 0,2   kg 300   c m 3

⇒ ρ bloco = 2 3 × 10 3   kg/ m 3

ρ bloco ≈ 667   kg/ m 3

Resposta

  1. E = 2   N
  2. P = 2   N
  3. m = 0,2   kg
  4. ρ bloco = 2 3 × 10 3   kg/ m 3

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 99 – Modificado

Uma bola de plástico de raio igual a 12,0 c m flutua em repouso na água com 16 % de seu volume submerso.

  1. Que força você precisa aplicar à bola para mantê-la em repouso completamente abaixo da superfície da água?
  2. Se você soltar a bola, qual vai ser a aceleração dela no instante em que a soltar?

Dica: Volume de uma esfera de raio r : V = 4 π r 3 3

Dados:

Densidade da água: ρ a = 1,0.10 3 k g / m 3

Gravidade: g = 10,0 m / s 2

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Passo 1

a)

Bom, temos aqui um problema que envolve três forças. Quais são elas?

O Peso, o Empuxo e a Força externa.

Abaixo podemos ver um esquema dessas três forças atuando no corpo( A força azul é o peso, a verde o empuxo e a vermelha a força externa):

Opa, mas essa é a formação final do sistema, certo?

E no início? Bem, no início o corpo estava apenas flutuando na água com 16 % de seu volume submerso. Isso é, havia apenas o empuxo e o peso no início:

Passo 2

Bom, vamos ter que analisar a situação inicial antes de partir pra luta. Por que? Porque precisamos saber o valor do peso da bola pra calcular a força que devemos aplicar.

No início, só havia o peso e o empuxo. A bola estava em equilíbrio, flutuando, o que nos leva a:

0 = P - E i → P = E i

O empuxo inicial é o empuxo causado por 16 % do volume do corpo, ou seja:

E i = ρ a V d e s l o c a d o g

E i = ρ a . 0,16 4 π r 3 3 g = 1,0.10 3 . 0,16 . 4 π 12.10 - 2 3 3 . 10,0

E i = 11,6 N

Notou ali em cima o fator 0,16 multiplicando o volume? Justamente, porque tem apenas 16 % do volume abaixo da água. Assim:

P = 11,6 N

Passo 3

Agora podemos calcular a força que devemos aplicar quando todo o volume está submerso.

Quando todo o volume está submerso, o empuxo é máximo e vale:

E f = ρ a g V = 1,0.10 3 . 4 π 12.10 - 2 3 3 . 10,0 = 72,4   N

Então, olhando a direção de cada força na figura que vimos no primeiro passo, teremos o seguinte somatório de forças( que precisa ser nulo de novo, já que o corpo está novamente em repouso):

0 = P + F - E

0 = 11,6 + F - 72,4 → F = 60,8   N

E essa é a resposta da letra a).(:

Passo 4

b):

Agora imagine que você retire a força que dava equilíbrio pro sistema. Vamos ter uma força resultante diferente de zero e que vai gerar uma aceleração, certo?

Essa força é dada por:

F r e s = m a = E - P = 60,8 N

m a = 60,8 N

Mas não sabemos a massa da bola, certo?

Bom, mas sabemos o peso. Ai fica fácil:

P = m g

11,6 = m . 10 → m = 1,16   k g

Assim, a aceleração será:

m a = 60,8 → a = 60,8 1,16 = 52,4   m / s 2

Uma bela aceleração, não é mesmo?

Resposta

a):

F = 60,8   N

b):

52,4   m / s 2

Exercício Resolvido #4

E5.UFRJ-P1-2012.2-4

Um objeto de densidade ρ está boiando num fluido de densidade ρ 0 quando este se encontra à temperatura T 0 . O fluido é então resfriado para a temperatura T , causando um aumento em sua densidade, que agora vale ρ T . A densidade do objeto não se altera com o resfriamento. Sabendo-se que a fração do volume do objeto fora do fluido à temperatura T 0 é f 0 , qual a nova fração f , agora à temperatura T ?

  1. 1 - f 0 ρ T / ρ 0
  2. 1 + f 0 ρ 0 / ρ T
  3. 1 - ρ 0 / ( f 0 ρ T )
  4. ( 1 - f 0 ) ( ρ 0 / ρ T ) - 1
  5. 1 - ( 1 - f 0 ) ( ρ 0 / ρ T )
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Passo 1

Uma questão sobre empuxo. A maior complicação aqui é entender o que se conserva mesmo com a mudança de temperatura e como manipular as expressões pra conseguir o que se quer.

Bom, primeiro vamos entender como se calcula essas frações f ' s que o problema pede.

Como a fração diz respeito ao volume que se encontra fora do fluido, ela tem que ser a fração do volume total menos o volume deslocado pelo objeto. Isso é:

f = V - V d e s l o c V

Ou de forma mais simpática

f = 1 - V d e s l o c V

Por exemplo, se o corpo tem um volume que vale 6 ,e tem 4 unidades dentro do líquido, o volume exposto vale 2. Assim, γ = 2 6 = 1 3

Passo 2

Quando a temperatura vale T 0 , na situação de equilíbrio o peso equilibra o empuxo e:

P = E

ρ V g = ρ 0 V d e s l o c g

ρ V = ρ 0 V d e s l o c → V d e s l o c V = ρ ρ 0

Agora a fração do volume do objeto fora do fluído é dada por

f 0 = 1 - V d e s l o c V

f 0 = 1 - ρ ρ 0

Beleza!

Passo 3

No segundo caso, quando a temperatura vale T , a fração do fluído vai de ρ 0 parar ρ T , ou seja, a equação para a fração do volume do sólido fora do fluído é a mesma que achamos no item anterior só que mudando a densidade do fluído!

f = 1 - ρ ρ T

Lembrando que a densidade do sólido não mudou!

Passo 4

Olhando as nossas opções temos que relacionar f com f 0 ! Para fazer isso, vamos isolar ρ na equação de f 0 e jogar na equação para f !

Saca só como vai ficar:

f 0 = 1 - ρ ρ 0 → ρ = ρ 0 1 - f 0

Agora é só jogar na equação de f e partir para o abraço!

f = 1 - ρ ρ T = 1 - ρ 0 1 - f 0 ρ T

f = 1 - ρ 0 ρ T 1 - f 0

Que é a letra E de EIIITTAA NÓÓÓIIISSS!!!

Resposta

e) f = 1 - ρ 0 ρ T 1 - f 0

Exercício Resolvido #5

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 95 – Modificado

Um lingote de alumínio sólido pesa 89 N   no ar.

  1. Qual é o seu volume?
  2. O lingote é suspenso por uma corda leve e totalmente imerso na água. Qual é a tensão na corda (O peso aparente do lingote na água)?

ρ A l u m í n i o = 2700   k g / m 3

ρ á g u a = 1000   k g / m 3

g = 10   m / s 2

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Passo 1

a):

Bom, o peso do corpo é:

P = 89 N

Assim, a massa será:

m g = 89 → m = 89 g = 89 10 = 8,9   k g

Assim, usando:

ρ = m V → V = m ρ = 8,9 2700

V = 3,29.10 - 3 m 3

Passo 2

b):

Bom, agora o corpo será imerso na água. Isso quer dizer que surgirá um Empuxo no sistema.

Como vimos, a equação para esse caso será:

T + E - P = 0

T = P - E

E essa tensão será o peso aparente do corpo.

Calculando o empuxo:

E = ρ á g u a V g = 1000 . 3,29.10 - 3 . 10 = 32,9   N

Passo 3

Assim, a Tensão será:

T = 89,0 - 32,9 = 56 , 1   N

E esse será o peso aparente.

Resposta

a)

V = 3,29.10 - 3 m 3

b)

T = P a p = 56 , 1   N

Exercício Resolvido #6

PUCRIO-P1-2013.2-letras c, d

Um béquer com água tem massa total de 2,00 k g e está em repouso sobre um prato de balança. Um bloco de alumínio de 1,50 k g , suspenso por um dinamômetro, é totalmente mergulhado na água do béquer, como mostra a figura ao lado. (massa específica do alumínio: 2,70 ⋅ 10 3 k g / m 3 , massa específica da água: 1,00 ⋅ 10 3 k g / m 3 . )

c) Determine a leitura do dinamômetro, calibrado em k g .

d) Determine a leitura da balança, em k g .

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Passo 1

c):

Bom, galera, aqui a gente vai precisar montar a equação que rege todas as forças que agem sobre o bloco. As forças são: o peso, o empuxo e a tensão (que é o que o dinamômetro mede).

É isso! Achando a tensão, acharemos a resposta.

Primeiro temos que apontar as forças. Tanto o empuxo quanto a tensão apontam pra cima, enquanto o peso pra baixo.