Princípio de Pascal

Teoria Completa

Bem, o que é esse tal de princípio de Pascal?

Pascal enunciou o seu princípio assim:

O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido”.

E o que isso quer dizer na prática?

Vamos ver uma aplicação nos chamados Elevadores Hidráulicos (ou Prensas).

Elevadores Hidráulicos

Um elevador hidráulico tem a seguinte aparência:

Usando o princípio de Pascal, a gente vai procurar uma expressão que relacione as duas forças que agem em cada êmbolo do elevador. Beleza?

Então olha só! Imagine que você tenha que levantar um conjunto de pesinhos usando um elevador desses. A situação é a seguinte:

Tá vendo a força F B ali na figura? Concorda que para que consigamos levantar esses pesinhos ela precisa ser maior que o peso deles?

Bom, então:

P < F B

Beleza, mas você não pode ir ali e empurrar o êmbolo B para cima. Você só pode empurrar o êmbolo A .

Será que esse aparelho maluco vai te permitir levantar os pesos mesmo assim?

Bom, mas se pensarmos de novo no Principio de pascal, poderemos notar que ele diz justamente que o que está em jogo ai é a pressão!!

Tudo certo até aqui? Bom, vamos então ao pulo do gato. Digamos que a área em A seja A A e que a de B seja A B .

Então, a pressão aplicada em A será dada por:

p A = F A A A

E a pressão em B :

p B = F B A B

Bom, mas como a pressão que você aplicou em A se propagou por todo o fluido, de acordo com o princípio de Pascal, qual será a relação entre as duas pressões? Bom, elas serão iguais. Assim:

p A = p B

F A A A = F B A B

Sacou? Essa é a consequência mais importante desse princípio e o que você vai mais usar nas questões. (:

E perceba isso: esse princípio tem tudo a ver com o princípio de Stevin.

Olhe de novo as figuras. Percebeu que os êmbolos estão na mesma altura? Sacou? Isso é justamente o princípio de Stevin: pressões em alturas iguais são iguais.

Logo, pra você obter a força em B necessária para levantar os pesinhos, basta você aplicar em A uma força igual a:

F A = F B A A A B ,   o n d e   F B > P  

Bora matar umas questões pra fixar bem isso ai (:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, SP, Prof. Luiz Rodrigues

A prensa hidráulica mostrada na figura está em equilíbrio. Sabendo-se que os êmbolos possuem uma relação de áreas de 2 : 5 , determine a intensidade da força F .

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Passo 1

Temos uma prensa hidráulica em equilíbrio.

Então, aplicaremos o Princípio de Pascal:

As pressões são iguais em cada extremidade:

p 1 = p 2

Logo:

F 1 A 1 = F 2 A 2

Passo 2

Conhecemos as relações entre as áreas nos dois lados:

A 1 A 2 = 2 5

No lado esquerdo, sabemos a força aplicada:

F 1 = 28   k g f

Observação: mesmo que a gente não conheça essa unidade de força, isso não influencia nas contas. No final, encontraremos F 2 nessa mesma unidade!

Passo 3

Substituindo fórmulas:

F 1 A 1 = F 2 A 2

Rearranjando:

F 1 F 2 = A 1 A 2

⇒ F 1 = A 1 A 2 F 2

⇒ F 2 = F 1 A 1 / A 2

Passo 4

Substituindo valores:

F 2 = F 1 A 1 / A 2

⇒ F 2 = 28 2 / 5  

⇒ F 2 = 5 2 × 28

⇒ F 2 = 70   k g f

Resposta

F 2 = 70   k g f

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um objeto de peso 2000   N é colocado sobre a área maior de um elevador hidráulico que possui valor de 0,4   m 2 . Determine a mínima força necessária a ser aplicada sobre a área menor, de valor 4 ∙ 10 - 4   m 2 , para que o objeto possa ser elevado.

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Passo 1

Nós só temos que encontrar uma força que compense a força peso do objeto sobre a área maior. Pelo princípio de Pascal:

F á r e a   m e n o r 4 ∙ 10 - 4 = 2000 0,4

F á r e a   m e n o r = 2   N

Resposta

Força mínima que deve ser aplicada vale 2   N .

Exercício Resolvido #3

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 28, página 82

Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido que está em contato, através de um tubo de ligação, com um êmbolo maior de seção reta A .

(a) Qual é o módulo F da força que deve ser aplicada ao êmbolo maior para que o sistema fique em equilíbrio?

(b) Se os diâmetros dos êmbolos são 3,80   c m e 53,0   c m , qual é o módulo da força que deve

ser aplicada ao êmbolo menor para equilibrar uma força de 20,0   k N aplicada ao êmbolo maior?

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Passo 1

(a) Queremos F para que o sistema fique em equilíbrio. Bom, pelo princípio de Pascal a gente tem que a pressão exercida no êmbolo menor é igual a exercida no êmbolo maior e a pressão é dada por:

P r e s s ã o = F o r ç a Á r e a

Logo, igualando as pressões no êmbolo menor e no maior:

f a = F A

Isolando a força F :

F = f ∙ A a

Passo 2

(b) Vamos usar o princípio de Pascal de novo!! Na verdade a situação dessa letra é bem parecida com a da letra (a), só que agora nós queremos a fórmula para a força f no êmbolo menor e temos os valores para substituir na fórmula encontrada e fazer as contas!

Pelo princípio de Pascal, vimos que:

f a = F A

Agora, isolando f :

f = F ∙ a A

Passo 3

Beleza! Agora, vamos calcular essas áreas!

Lembrando que a área das seções será dada pela área do círculo:

Á r e a = π ( r a i o ) 2

Como o diâmetro do êmbolo menor é 3,8   c m = 0,038   m , o raio será r = 0,019   m e, então, sua área a = π 0,019 2   m 2 .

Como o diâmetro do êmbolo maior é 53   c m = 0,53   m , o raio será R = 0,265   m e, então, sua área A = π 0,265 2   m 2 .

Além disso, vamos ter que a força F sobre o êmbolo maior vale 20000   N .

Passo 4

Show! Dessa forma, podemos substituir os valores encontrados na fórmula que encontramos para f no passo 2:

f = F ∙ a A = 20000 ∙ π 0,019 2 π 0,265 2

E calculando esse cara aí, chegamos que:

f ≈ 103   N

Resposta

  1. F = f ∙ A a
  2. f ≈ 103   N

Exercício Resolvido #4

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, SP, Prof. Luiz Rodrigues

Na figura apresentada a seguir, os êmbolos (A) e (B) possuem áreas de 80   c m ² e 20   c m ² respectivamente. Despreze os pesos dos êmbolos e considere o sistema em equilíbrio estático. Sabendo-se que a massa do corpo colocado em (A) é igual a 100   k g , determine a massa do corpo colocado em (B).

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Passo 1

Queremos determinar a massa do bloco em (A) para que o sistema permaneça em equilíbrio.

Temos uma prensa hidráulica. Então, aplicaremos o Princípio de Pascal.

As pressões são iguais nas duas extremidades:

p A = p B

⇒ F A A A = F B A B

⇒ F A = A A A B F B

Passo 2

Conhecemos as áreas nos dois lados:

A A = 80   cm 2   A B = 20   cm 2

No lado esquerdo, a força aplicada é igual ao peso do bloco de 100   kg :

F A = m A × g

onde m A = 100   kg .

E, no lado direito, a força aplicada é igual ao peso do outro bloco:

F B = m B × g

Passo 3

Agora é hora de substituir as equações dos passos anteriores:

F A = A A A B F B

⇒ m A × g = A A A B × m B × g

⇒ m A = A A A B × m B

⇒ m B = A B A A × m A

Passo 4

Vamos substituir os valores. Repara que, como a gente tem uma razão entre duas áreas, a gente não precisa converter de cm 2 pra m 2 . A gente só precisa garantir que as duas tenham a mesma unidade.

m B = 20 80 × 100

⇒ m B = 25   kg

Resposta

m B = 25   kg

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Considere uma prensa hidráulica. Qual deve ser a relação entre os diâmetros para que a força de um lado seja igual a um quarto da força no outro lado?

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Passo 1

Como as pressões são iguais, temos que

p 1 = p 2

Logo:

F 1 A 1 = F 2 A 2

E isso é equivalente a:

F 1 F 2 = A 1 A 2

Queremos que a relação entre as forças seja 1 / 4 . Logo:

F 1 F 2 = 1 4

Substituindo na igualdade acima, encontramos as relações entre as áreas:

A 1 A 2 = 1 4

Passo 2

A área do círculo é dada por A = π r 2 .

Substituindo na relação entre as áreas:

π r 1 2 π r 2 2 = 1 4

⇒ r 1 r 2 2 = 1 4

Como a razão r 1 / r 2 tem que ser positiva, podemos tirar a raiz nos dois lados:

r 1 r 2 = 1 2

Sendo o diâmetro o dobro do raio, podemos multiplicar por 2 em cima e embaixo:

2 r 1 2 r 2 = 1 2

Logo:

d 1 d 2 = 1 2

Resposta

d 1 d 2 = 1 2

Exercício Resolvido #6

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 95

No elevador hidráulico mostrado na figura 14.8 ,   qual deve ser a razão entre o diâmetro do braço do recipiente sob o carro e o diâmetro do braço do recipiente onde a força é aplicada para que um carro de 1520 k g possa ser erguido com uma força de apenas 125 N ?

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Passo 1

Bom galera, aqui nós vamos usar a fórmula:

F 1 A 1 = F 2 A 2

Como o enunciado está pedindo a razão entre os diâmetros, precisamos achar uma relação entre as áreas.

Passo 2

Bom, mas pra achar uma relação entre as áreas, a gente precisar primeiro calcular as forças que atuam em cada pistão do elevador hidráulico.

A F 1 , a força que será aplicada pra se erguer o carro, vale 125 N . O enunciado já nos disse.

E a outra força? Bem, essa é força peso do carro.

Então:

F 2 = P = m g = 1520.10 = 15200

Passo 3

Então já podemos usar a equação:

F 1 A 1 = F 2 A 2

125 A 1 = 15200 A 2

A 2 A 1 = 15200 125 = 121,6

Passo 4

Show, mas essa é a razão entre os diâmetros? Ainda não!!!!

Como a área de um círculo é dada por:

A = π r 2

E como o raio é metade do diâmetro:

r = d 2

Assim:

A = π d 2 4

Assim:

A 2 A 1 = π d 2 2 4 π d 1 2 4 = d 2 2 d 1 2 = d 2 d 1 2

Sacou? Só manipulei a equação simplificando os termos iguais e chegando numa razão para os diâmetros.

Então:

d 2 d 1 2 = A 2 A 1 = 15200 125 = 121,6

d 2 d 1 2 = 121,6

d 2 d 1 = 11,03

Resposta

d 2 d 1 = 11,0 3

Exercício Resolvido #7

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 29, página 82

Na figura abaixo, uma mola de constante elástica 3,00 ∙ 10 4   N / m   liga uma viga rígida ao êmbolo de saída de um macaco hidráulico. Um recipiente vazio de massa desprezível está sobre o êmbolo de entrada. O êmbolo de entrada tem uma área A e o êmbolo de saída tem uma área 18,0A. Inicialmente, a mola está relaxada. Quantos quilogramas de areia devem ser despejados (lentamente) no recipiente para que a mola sofra uma compressão de 5,00   c m ?

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Passo 1

Pelo princípio de Pascal, nós temos que:

F o r ç a   p e l o   r e c i p i e n t e á r e a   d o   ê m b u l o   m e n o r = F o r ç a   p e l o   s i s t e m a   m o l a - v i g a á r e a   d o   ê m b u l o   m a i o r

Passo 2

Aqui vai uma observação: a força exercida sobre o êmbulo maior é justamente a força elástica ( k x ) pela mola e a força exercida sobre o êmbulo menor será a força peso ( m g ), à medida que o recipiente for preenchido. Então:

m g A = k x 18 A

m = k x 18 g

Onde x é a deformação da mola e vale 5   c m = 0,05   m , k = 3 ∙ 10 4   N / m e g = 9,8   m / s 2 . Com isso:

m ≈ 8,5   k g

Passo 3

Resposta

Devem ser despejados 8,5   k g de areia.

Exercício Resolvido #8

UERJ-LISTA-MF-9

Numa prensa hidráulica, um pistão, cuja seção transversal tem área a , exerce uma pequena força f no líquido contido na prensa. Este líquido passa através de um tubo para outro recipiente de área A , conforme a figura abaixo:

a ) Determine a força F que o pistão maior deve suportar

b ) Se o pistão menor tiver um diâmetro de 4,0   cm e o diâmetro do pistão maior for igual a 56,0   cm , que peso deve ser colocado sobre o pistão menor para que o pistão maior possa suportar uma massa de 2,0 toneladas?

c ) Calcule a distância percorrida pelo pistão maior para que o pistão menor se eleve até uma altura de 1,07   m .

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Passo 1

a )   Bem, aqui vamos usar o famoso Princípio de Pascal! Primeiramente, devemos encontrar uma relação entre as forças atuantes em cada pistão e suas áreas. Então, vamos lá:

O Princípio de Pascal nos diz que as pressões nos dois pistões serão iguais, já que ambos estão na mesma altura. Logo:

f a = F A

Queremos determinar F . Logo, basta que manipulemos a equação acima. Assim, a força que o pistão maior deve suportar é dada pela expressão:

F = f A a

Passo 2

b )   Estamos agora numa situação parecida com a a ) , só que agora temos que achar f . Vamos ver quais informações nós temos:

Massa que será colocada sobre o pistão maior: 2,0 ⋅ 10 3   kg Diâmetro maior : 56,0   cm Diâmetro menor: 4,0   cm

Vamos primeiro calcular F :

Essa força nada mais é do que o peso que será posto sobre o pistão, logo, sabendo a massa e usando g = 10   m / s 2 :

F = 2,0 x 10 3 ⋅ 10 = 2,0 ⋅ 10 4   N

Vamos calcular agora as áreas das extremidades dos pistões, lembrando de usar a metade dos valores dos diâmetros (raios):

A = 28 2 ⋅ π a = 2 2 ⋅ π

Logo, f   será:

f = F ⋅ a A f = 2 ⋅ 10 4 2 2 ⋅ π 28 2 ⋅ π = 102   N

Passo 3

c )

O pulo do gato para resolver essa opção é levar em consideração que o volume deslocado por um pistão tem que ser o mesmo deslocado pelo o outro, já que o fluido é incompressível. Logo:

A . l = a ⋅ 1,07

l = a A ⋅ ( 1,07 )

Diâmetro maior : 56,0   cm Diâmetro menor: 4,0   cm

Sendo a = 2 2 π   e A = 28 2 π :

l = 2 2 π 28 2 π ⋅ 1,07 ≅ 5,5 ⋅ 10 - 3   m

l = 5,5   mm

Resposta

a )   F = f A a

b )   102   N    

c )   5,5   mm

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