Princípio de Pascal

Teoria Completa

Bem, o que é esse tal de princípio de Pascal?

Pascal enunciou o seu princípio assim:

O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido”.

E o que isso quer dizer na prática?

Vamos ver uma aplicação nos chamados Elevadores Hidráulicos (ou Prensas).

Elevadores Hidráulicos

Um elevador hidráulico tem a seguinte aparência:

Usando o princípio de Pascal, a gente vai procurar uma expressão que relacione as duas forças que agem em cada êmbolo do elevador. Beleza?

Então olha só! Imagine que você tenha que levantar um conjunto de pesinhos usando um elevador desses. A situação é a seguinte:

Tá vendo a força F B ali na figura? Concorda que para que consigamos levantar esses pesinhos ela precisa ser maior que o peso deles?

Bom, então:

P < F B

Beleza, mas você não pode ir ali e empurrar o êmbolo B para cima. Você só pode empurrar o êmbolo A .

Será que esse aparelho maluco vai te permitir levantar os pesos mesmo assim?

Bom, mas se pensarmos de novo no Principio de pascal, poderemos notar que ele diz justamente que o que está em jogo ai é a pressão!!

Tudo certo até aqui? Bom, vamos então ao pulo do gato. Digamos que a área em A seja A A e que a de B seja A B .

Então, a pressão aplicada em A será dada por:

p A = F A A A

E a pressão em B :

p B = F B A B

Bom, mas como a pressão que você aplicou em A se propagou por todo o fluido, de acordo com o princípio de Pascal, qual será a relação entre as duas pressões? Bom, elas serão iguais. Assim:

p A = p B

F A A A = F B A B

Sacou? Essa é a consequência mais importante desse princípio e o que você vai mais usar nas questões. (:

E perceba isso: esse princípio tem tudo a ver com o princípio de Stevin.

Olhe de novo as figuras. Percebeu que os êmbolos estão na mesma altura? Sacou? Isso é justamente o princípio de Stevin: pressões em alturas iguais são iguais.

Logo, pra você obter a força em B necessária para levantar os pesinhos, basta você aplicar em A uma força igual a:

F A = F B A A A B ,   o n d e   F B > P  

Bora matar umas questões pra fixar bem isso ai (:

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Exercício Resolvido #1

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, SP, Prof. Luiz Rodrigues

A prensa hidráulica mostrada na figura está em equilíbrio. Sabendo-se que os êmbolos possuem uma relação de áreas de 2 : 5 , determine a intensidade da força F .

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Passo 1

Temos uma prensa hidráulica em equilíbrio.

Então, aplicaremos o Princípio de Pascal:

As pressões são iguais em cada extremidade:

p 1 = p 2

Logo:

F 1 A 1 = F 2 A 2

Passo 2

Conhecemos as relações entre as áreas nos dois lados:

A 1 A 2 = 2 5

No lado esquerdo, sabemos a força aplicada:

F 1 = 28   k g f

Observação: mesmo que a gente não conheça essa unidade de força, isso não influencia nas contas. No final, encontraremos F 2 nessa mesma unidade!

Passo 3

Substituindo fórmulas:

F 1 A 1 = F 2 A 2

Rearranjando:

F 1 F 2 = A 1 A 2

⇒ F 1 = A 1 A 2 F 2

⇒ F 2 = F 1 A 1 / A 2

Passo 4

Substituindo valores:

F 2 = F 1 A 1 / A 2

⇒ F 2 = 28 2 / 5  

⇒ F 2 = 5 2 × 28

⇒ F 2 = 70   k g f

Resposta

F 2 = 70   k g f

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um objeto de peso 2000   N é colocado sobre a área maior de um elevador hidráulico que possui valor de 0,4   m 2 . Determine a mínima força necessária a ser aplicada sobre a área menor, de valor 4 ∙ 10 - 4   m 2 , para que o objeto possa ser elevado.

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Passo 1

Nós só temos que encontrar uma força que compense a força peso do objeto sobre a área maior. Pelo princípio de Pascal:

F á r e a   m e n o r 4 ∙ 10 - 4 = 2000 0,4

F á r e a   m e n o r = 2   N

Resposta

Força mínima que deve ser aplicada vale 2   N .

Exercício Resolvido #3

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 28, página 82

Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido que está em contato, através de um tubo de ligação, com um êmbolo maior de seção reta A .

(a) Qual é o módulo F da força que deve ser aplicada ao êmbolo maior para que o sistema fique em equilíbrio?

(b) Se os diâmetros dos êmbolos são 3,80   c m e 53,0   c m , qual é o módulo da força que deve

ser aplicada ao êmbolo menor para equilibrar uma força de 20,0   k N aplicada ao êmbolo maior?

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Passo 1

(a) Queremos F para que o sistema fique em equilíbrio. Bom, pelo princípio de Pascal a gente tem que a pressão exercida no êmbolo menor é igual a exercida no êmbolo maior e a pressão é dada por:

P r e s s ã o = F o r ç a Á r e a

Logo, igualando as pressões no êmbolo menor e no maior:

f a = F A

Isolando a força F :

F = f ∙ A a

Passo 2

(b) Vamos usar o princípio de Pascal de novo!! Na verdade a situação dessa letra é bem parecida com a da letra (a), só que agora nós queremos a fórmula para a força f no êmbolo menor e temos os valores para substituir na fórmula encontrada e fazer as contas!

Pelo princípio de Pascal, vimos que:

f a = F A

Agora, isolando f :

f = F ∙ a A

Passo 3

Beleza! Agora, vamos calcular essas áreas!

Lembrando que a área das seções será dada pela área do círculo:

Á r e a = π ( r a i o ) 2

Como o diâmetro do êmbolo menor é 3,8   c m = 0,038   m , o raio será r = 0,019   m e, então, sua área a = π 0,019 2   m 2 .

Como o diâmetro do êmbolo maior é 53   c m = 0,53   m , o raio será R = 0,265   m e, então, sua área A = π 0,265 2   m 2 .

Além disso, vamos ter que a força F sobre o êmbolo maior vale 20000   N .

Passo 4

Show! Dessa forma, podemos substituir os valores encontrados na fórmula que encontramos para f no passo 2:

f = F ∙ a A = 20000 ∙ π 0,019 2 π 0,265 2

E calculando esse cara aí, chegamos que:

f ≈ 103   N

Resposta

  1. F = f ∙ A a
  2. f ≈ 103   N

Exercício Resolvido #4

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, SP, Prof. Luiz Rodrigues

Na figura apresentada a seguir, os êmbolos (A) e (B) possuem áreas de 80   c m ² e 20   c m ² respectivamente. Despreze os pesos dos êmbolos e considere o sistema em equilíbrio estático. Sabendo-se que a massa do corpo colocado em (A) é igual a 100   k g , determine a massa do corpo colocado em (B).

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Passo 1

Queremos determinar a massa do bloco em (A) para que o sistema permaneça em equilíbrio.

Temos uma prensa hidráulica. Então, aplicaremos o Princípio de Pascal.

As pressões são iguais nas duas extremidades:

p A = p B

⇒ F A A A = F B A B

⇒ F A = A A A B F B

Passo 2

Conhecemos as áreas nos dois lados:

A A = 80   cm 2   A B = 20   cm 2

No lado esquerdo, a força aplicada é igual ao peso do bloco de 100   kg :

F A = m A × g

onde m A = 100   kg .

E, no lado direito, a força aplicada é igual ao peso do outro bloco:

F B = m B × g

Passo 3

Agora é hora de substituir as equações dos passos anteriores:

F A = A A A B F B

⇒ m A × g = A A A B × m B × g

⇒ m A = A A A B × m B

⇒ m B = A B A A × m A

Passo 4

Vamos substituir os valores. Repara que, como a gente tem uma razão entre duas áreas, a gente não precisa converter de cm 2 pra m 2 . A gente só precisa garantir que as duas tenham a mesma unidade.

m B = 20 80 × 100

⇒ m B = 25   kg

Resposta

m B = 25   kg

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Considere uma prensa hidráulica. Qual deve ser a relação entre os diâmetros para que a força de um lado seja igual a um quarto da força no outro lado?

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Passo 1

Como as pressões são iguais, temos que

p 1 = p 2

Logo:

F 1 A 1 = F 2 A 2

E isso é equivalente a:

F 1 F 2 = A 1 A 2

Queremos que a relação entre as forças seja 1 / 4 . Logo:

F 1 F 2 = 1 4

Substituindo na igualdade acima, encontramos as relações entre as áreas:

A 1 A 2 = 1 4

Passo 2

A área do círculo é dada por A = π r 2 .

Substituindo na relação entre as áreas:

π r 1 2 π r 2 2 = 1 4

⇒ r 1 r 2 2 = 1 4

Como a razão r 1 / r 2 tem que ser positiva, podemos tirar a raiz nos dois lados:

r 1 r 2 = 1 2

Sendo o diâmetro o dobro do raio, podemos multiplicar por 2 em cima e embaixo:

2 r 1 2 r 2 = 1 2

Logo:

d 1 d 2 = 1 2

Resposta

d 1 d 2 = 1 2

Exercício Resolvido #6

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 95

No elevador hidráulico mostrado na figura 14.8 ,   qual deve ser a razão entre o diâmetro do braço do recipiente sob o carro e o diâmetro do braço do recipiente onde a força é aplicada para que um carro de 1520 k g possa ser erguido com uma força de apenas 125 N ?