Princípio da Continuidade

Teoria Completa

O que você precisa saber antes de começar

Princípio da Continuidade significa conservação de massa.

E o que significa conservação de massa?

Significa que massa não pode ser criada nem destruída.

Ou seja, imagine um tubo por onde entra e sai um fluido continuamente, em regime permanente. Você concorda que toda a massa que entrar por uma extremidade tem que sair pela outra extremidade?

Quer dizer: tudo o que entra sai.

Como não dá pra criar ou destruir massa, então toda a massa que entrar por um lado deve sair pelo outro lado.

Como calcular( Para ρ = c t e )

Agora vamos dar uma olhada nesse escoamento:

Depois de um tempo, uma certa massa entra pela esquerda e sai pela direita:

Como a gente sabe que tudo o que entra sai (conservação de massa), sabemos que a massa que entra é igual à massa que sai:

Δ m 1 = Δ m 2

Então, a variação de massa em um intervalo de tempo nos dois lados é igual:

Δ m 1 Δ t = Δ m 2 Δ t

Isso leva à seguinte relação:

ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2

onde ρ é a densidade do fluido, A é a área da seção e v é a velocidade do fluido.

Se o escoamento for incompressível, isso significa que a densidade é constante.

Logo, para um escoamento incompressível:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Observação: quase sempre consideraremos escoamentos incompressíveis. Então, a menos que se diga o contrário, pode usar essa fórmula direto:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Como calcular( Para ρ ≠ c t e )

A fórmula vai ser bem parecida com a que vimos antes, ela só terá agora a inclusão da massa específica do fluido na condição inicial e na final:

ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2

Vazão em massa e em volume

Vamos entender o que são vazão de massa e vazão de volume:

Vazão em massa=quantidade de massa por tempo

Vazão em volume=quantidade de volume por tempo

Ou seja, quanto de massa ou volume de fluido está passando por unidade de tempo.

Geralmente, chamamos vazão em massa de Q m e vazão em volume de Q v

Para calcular essas quantidades, é simples:

Fluxo de massa

Q m = Δ m Δ t

Q m = ρ A v = constante

⇒ Q m = ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2

Fluxo de volume

Q v = Δ V Δ t

Como sempre consideraremos escoamentos incompressíveis:

Q v = A v = constante

⇒ Q v = A 1 v 1 = A 2 v 2

Bora fazer uns exercícios pra treinar isso ai (:

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Em um escoamento, o tubo circular por onde passa um fluido é estrangulado e seu diâmetro reduz-se à metade. O que acontece com a velocidade do fluido?

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Passo 1

Queremos saber como a velocidade do fluido varia quando o diâmetro do tubo é reduzido á metade.

Pela equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Passo 2

Como se trata de um tubo, podemos calcular as áreas em função dos diâmetros:

A 1 = π r 1 2 = π d 1 2 2

A 2 = π r 2 2 = π d 2 2 2

Passo 3

Substituindo na equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ π d 1 2 2 v 1 = π d 2 2 2 v 2

⇒ d 1 2 2 v 1 = d 2 2 2 v 2

⇒ d 1 2 4 v 1 = d 2 2 4 v 2

⇒ d 1 2 v 1 = d 2 2 v 2

Separando velocidades para um lado e os diâmetros para o outro:

⇒ d 1 2 d 2 2 = v 2 v 1

⇒ v 2 v 1 = d 1 d 2 2

Passo 4

Agora podemos substituir a relação entre os diâmetros.

Como o diâmetro reduz-se à metade, então:

d 2 = 1 2 d 1

Ou seja:

d 1 d 2 = 2

Passo 5

Substituindo na expressão que encontramos:

v 2 v 1 = d 1 d 2 2

⇒ v 2 v 1 = 2 2

⇒ v 2 v 1 = 4

⇒ v 2 = 4 v 1

Logo, a velocidade após o estrangulamento é multiplicada por 4 .

Resposta

A velocidade quadruplica.

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 96 – Modificado

Quando a densidade cresce 1,50% de um ponto 1 até o ponto 2, o que ocorre com a vazão volumétrica?

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Passo 1

Aqui nós vamos usar a expressão geral pro princípio da continuidade, ou seja:

ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2

A equação acima iguala duas vazões mássicas.

Passo 2

Bom, o problema disse que a densidade cresce 1,5 % do ponto 1 ao 2. Isso é:

ρ 2 = 1,015 ρ 1

Passo 3

Mas o enunciado pede pra você relacionar essa mudança com a vazão volumétrica. E o que é a vazão volumétrica? Isso:

Q = A v

Assim:

ρ 1 Q 1 = ρ 2 Q 2

Q 2 = ρ 1 ρ 2 Q 1 = ρ 1 1,015 ρ 1 Q 1 = 0,9852 Q 1

Ou seja, a vazão no ponto 2 será cerca de 98,52 % da vazão 1.

Resposta

Será cerca de 98,52 % da vazão 1

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 96 – 37.

A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável. A água enche completamente o tubo em todos os pontos.

a) Em um ponto o raio do tubo é igual a 0,150m. Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão volumétrica no tubo é igual a 1,20 m³/s?

b) Em um segundo ponto a velocidade da água é igual a 3,80m/s. Qual é o raio do tubo nesse ponto?

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Passo 1

a)

Bom, aqui é só aplicar:

Q = A v

Nós podemos calcular a área ali? Podemos!!

A área ali será dada por:

A = 0,15 2 π = 0,071 m 2

A vazão é dada por : 1,20   m 3 / s . Assim:

v = Q A = 1,20 0,071 = 16,9   m / s

Passo 2

b)

Nessa aqui vai ser a mesma coisa, só que agora queremos saber a área e temos a velocidade como informação.

Assim:

Q = A v → A = Q v = 1,20 3,80 = 0,315   m 2

Como a área é dada por:

A = r 2 π

r 2 π = 0,315 → r 2 = 0,100 → r = 0,316 m

Resposta

a)

16,9   m / s

b)

r = 0,316 m

Exercício Resolvido #4

Água escoa através de um tubo que possui uma redução responsável por reduzir o diâmetro para 70% do seu tamanho inicial.

Se a velocidade da água na seção maior do tubo é de 20 m/s, qual será a sua velocidade nesta seção menor?

  1. 37,1 m / s
  2. 40,8 m / s
  3. 95,0 m / s
  4. 28,5 m / s
  5. 14,0 m / s
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Passo 1

Aqui basta a gente aplicar o princípio da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Onde A 1 é dado por:

A 1 = π d 1 2 4

E A 2 ? Aplicando a redução:

A 2 = π d 2 2 4 = π d 1 . 0,70 2 4 = 0,49 d 1 2 π 4

Agora, voltando à equação da continuidade:

v 1 A 1 = v 2 A 2

20 . π d 1 2 4 = v 2 . 0,49 d 1 2 π 4

v 2 = 20 . π d 1 2 4 0,49 d 1 2 π 4 = 20 0,49 ≈ 40,8 m / s

Resposta

b)

Exercício Resolvido #5

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 51, página 84

Uma mangueira de jardim com um diâmetro interno de 1,9   c m está ligada a um borrifador (estacionário) que consiste apenas em um recipiente com 24 furos de 0,13   c m de diâmetro. Se a agua circula na mangueira com uma velocidade de 0,91   m / s , com que velocidade deixa os furos do borrifador?

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Passo 1

Bom, a água está passando por dois lugares com áreas diferentes:

Mangueira com área valendo A m = π 1,9 2 2 ; com velocidade 0,91   m / s ;

Borrifador com área valendo a soma das áreas de cada furo, logo A b = 24 π 0,13 2 2 ; e aqui queremos justamente saber a velocidade com que a água flui.

E para acharmos quanto vale essa velocidade de saída, podemos usar a equação da continuidade:

A m ∙ 0,91 = A b ∙ v s a í d a

v s a í d a = π 1,9 2 2 ∙ 0,91 24 π 0,13 2 2

Fazendo essas continhas, vamos achar que v s a í d a ≈ 8,1   m / s .

Resposta

A água sai com velocidade 8,1   m / s .

Exercício Resolvido #6

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 54, página 84

A água que sai de um cano de 1.9   c m (diâmetro interno) passa por três canos de 1,3   c m .

(a) Se as vazões nos três canos menores são 26 , 19 e 11   L / m i n . Qual é a vazão no tubo de 1,9   c m ?

(b) Qual é a razão entre a velocidade da água no cano de 1,9   c m e a velocidade no cano em que a vazão é 26   L / m i n ?

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Passo 1

  1. Pelo princípio da continuidade: tudo que entra, sai. Portanto, o que está passando pelos 3 canos menores deve ser igual ao que está passando pelo cano maior. Então:
  2. Q m a i o r = 26 + 19 + 11 = 56   L / m i n