Equação da Continuidade

Teoria Completa

Olá galera bonita, nós somos o Responde Aí, a plataforma de exatas que vai ajudar você a mandar super bem nas suas provas!

Então, partiu aprender com o Responde Aí a equação da continuidade? 👊🏾

Equação da Continuidade

A primeira coisa que precisamos entender é que a equação da continuidade surge do princípio da conservação de massa.

Vamos imaginar um fluido escoando no interior de um tubo, como mostra a figura:

Escoamento de um fluido no interior de um tubo, de um ponto
Escoamento de um fluido no interior de um tubo, de um ponto

Depois de um certo tempo, uma quantidade de massa entra no ponto $1$ e sai no ponto $2$:

Quantidade de massa entrando no ponto
Quantidade de massa entrando no ponto

É aqui que entra a conservação de massa, que nos diz que massa não pode ser criada e nem destruída, ou seja, a quantidade de massa que entra no ponto $1$ tem que ser exatamente a mesma quantidade que sai no ponto $2$. Essa conservação de massa pode ser descrita pela seguinte relação:

Equação do princípio da conservação de massa
Equação do princípio da conservação de massa

Se considerarmos um intervalo de tempo $Δt$, temos que a variação de massa nesse tempo nos dois pontos também tem que der igual, concorda?

Conservação da variação de massa por tempo
Conservação da variação de massa por tempo

Agora, para chegarmos na equação da continuidade, precisamos escrever essa relação da variação de massa nos dois ponto em função de grandezas que nós conhecemos em um escoamento, como a velocidade $(v)$, a área transversal $(A)$ e a densidade do fluido $(\rho)$.

Note que se multiplicarmos a área transversal em um ponto, $i$, do escoamento pela velocidade nesse ponto, nós obtemos a variação de volume nesse ponto:

A multiplicação da área transversal pela velocidade de escoamento em determinado ponto nos dá a variação de volume por tempo nesse mesmo ponto.
A multiplicação da área transversal pela velocidade de escoamento em determinado ponto nos dá a variação de volume por tempo nesse mesmo ponto.

Agora, para passarmos essa variação de volume por tempo para variação de massa, basta multiplicarmos pela densidade do fluido:

A multiplicação da variação de volume por tempo pela densidade do fluido em um ponto nos dá a variação de massa por tempo nesse mesmo ponto.
A multiplicação da variação de volume por tempo pela densidade do fluido em um ponto nos dá a variação de massa por tempo nesse mesmo ponto.

Sendo assim, podemos reescrever a equação da conservação da variação de massa em termos dessas três grandezas mencionados anteriormente e obtemos como resposta a tão famosa equação da continuidade:

Equação da Continuidade
Equação da Continuidade

Equação da Continuidade para Fluidos Incompressíveis

Um fluido é dito incompressível quando a sua densidade é constante. Olhando para a equação da continuidade, um fluido ser incompressível quer dizer que a densidade no ponto $1$ é igual a densidade no ponto $2$, e, portanto, podemos simplificar a equação da continuidade para:

Equação da continuidade para fluidos incompressíveis
Equação da continuidade para fluidos incompressíveis

E é essa a equação da continuidade. Curtiu?

A partir de agora você pode exercitar bastante esse conceito fazendo exercícios, que você encontra na nessa nossa página aqui: Equação da Continuidade - Exercícios. Você pode também partir para o próximo tópico e avançar nos estudos, é só conferir essa página aqui: Equação de Bernoulli. Ou, você pode também fixar ainda mais a equação da continuidade assistindo esse conteúdo em vídeo, que eu vou deixar aqui embaixo 👇🏾

Vídeo

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Em um escoamento, o tubo circular por onde passa um fluido é estrangulado e seu diâmetro reduz-se à metade. O que acontece com a velocidade do fluido?

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Passo 1

Queremos saber como a velocidade do fluido varia quando o diâmetro do tubo é reduzido á metade.

Pela equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Passo 2

Como se trata de um tubo, podemos calcular as áreas em função dos diâmetros:

A 1 = π r 1 2 = π d 1 2 2

A 2 = π r 2 2 = π d 2 2 2

Passo 3

Substituindo na equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ π d 1 2 2 v 1 = π d 2 2 2 v 2

⇒ d 1 2 2 v 1 = d 2 2 2 v 2

⇒ d 1 2 4 v 1 = d 2 2 4 v 2

⇒ d 1 2 v 1 = d 2 2 v 2

Separando velocidades para um lado e os diâmetros para o outro:

⇒ d 1 2 d 2 2 = v 2 v 1

⇒ v 2 v 1 = d 1 d 2 2

Passo 4

Agora podemos substituir a relação entre os diâmetros.

Como o diâmetro reduz-se à metade, então:

d 2 = 1 2 d 1

Ou seja:

d 1 d 2 = 2

Passo 5

Substituindo na expressão que encontramos:

v 2 v 1 = d 1 d 2 2

⇒ v 2 v 1 = 2 2

⇒ v 2 v 1 = 4

⇒ v 2 = 4 v 1

Logo, a velocidade após o estrangulamento é multiplicada por 4 .

Resposta

A velocidade quadruplica.

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 96 – Modificado

Quando a densidade cresce 1,50% de um ponto 1 até o ponto 2, o que ocorre com a vazão volumétrica?

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Passo 1

Pra gente entender o que acontece com a vazão volumétrica precisamos analisar o que acontece com o fluído no percurso e encontrar um jeito de relacionar a vazão volumétrica com a densidade. A equação que relaciona essa galera é a equação da continuidade que diz que a vazão mássica se conserva:

ρ 1 Q v 1 = ρ 2 Q v 2

Onde ρ 1 e ρ 2 são as densidades do fluído em cada ponto.

Q v 1   e Q v 2   são as vazões volumétricas de cada ponto e também podem ser escritas como:

Q v = A v

Da equação da continuidade a gente pode reescrever a vazão em função das densidades:

Q v 2 = Q v 1 ρ 1 ρ 2  

Passo 2

Agora que a gente já sabe como calcular a vazão no ponto 2, mãos á obra.

O problema disse que a densidade cresce 1,5 % do ponto 1 ao 2. Isso quer dizer que ela passou a ser o valor antigo ρ 1 mais 1,5 % do valor antigo ρ 1 . Ou seja:

ρ 2 = ρ 1 + 0,015 ρ 1

ρ 2 = ρ 1 1 + 0,015

ρ 2 = 1,015 ρ 1

E como a gente já trouxe a relação com a vazão volumétrica basta a gente substituir a densidade na equação;

Q v 2 = ρ 1 ρ 2 Q v 1 = ρ 1 1,015 ρ 1 Q v 1

Q v 2 = 0,9852 Q v 1

Ou seja, a vazão volumétrica no ponto 2 será cerca de 98,52 % da vazão volumétrica no ponto 1.

Resposta

A vazão volumétrica no ponto 2 será cerca de 98,52 % da vazão volumétrica no ponto 1.

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 96 – 37.

A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável. A água enche completamente o tubo em todos os pontos.

a) Em um ponto o raio do tubo é igual a 0,150m. Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão volumétrica no tubo é igual a 1,20 m³/s?

b) Em um segundo ponto a velocidade da água é igual a 3,80m/s. Qual é o raio do tubo nesse ponto?

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Passo 1

a)

Bom, aqui é só aplicar:

Q = A v

Nós podemos calcular a área ali? Podemos!!

A área ali será dada por:

A = 0,15 2 π = 0,071 m 2

A vazão é dada por : 1,20   m 3 / s . Assim:

v = Q A = 1,20 0,071 = 16,9   m / s

Passo 2

b)

Nessa aqui vai ser a mesma coisa, só que agora queremos saber a área e temos a velocidade como informação.

Assim:

Q = A v → A = Q v = 1,20 3,80 = 0,315   m 2

Como a área é dada por:

A = r 2 π

r 2 π = 0,315 → r 2 = 0,100 → r = 0,316 m

Resposta

a)

16,9   m / s

b)

r = 0,316 m

Exercício Resolvido #4

Água escoa através de um tubo que possui uma redução responsável por reduzir o diâmetro para 70% do seu tamanho inicial.

Se a velocidade da água na seção maior do tubo é de 20 m/s, qual será a sua velocidade nesta seção menor?

  1. 37,1 m / s
  2. 40,8 m / s
  3. 95,0 m / s
  4. 28,5 m / s
  5. 14,0 m / s
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Passo 1

Aqui basta a gente aplicar o princípio da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Onde A 1 é dado por:

A 1 = π d 1 2 4

E A 2 ? Aplicando a redução:

A 2 = π d 2 2 4 = π d 1 . 0,70 2 4 = 0,49 d 1 2 π 4

Agora, voltando à equação da continuidade:

v 1 A 1 = v 2 A 2

20 . π d 1 2 4 = v 2 . 0,49 d 1 2 π 4

v 2 = 20 . π d 1 2 4 0,49 d 1 2 π 4 = 20 0,49 ≈ 40,8 m / s

Resposta

b)

Exercício Resolvido #5

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 51, página 84

Uma mangueira de jardim com um diâmetro interno de 1,9   c m está ligada a um borrifador (estacionário) que consiste apenas em um recipiente com 24 furos de 0,13   c m de diâmetro. Se a agua circula na mangueira com uma velocidade de 0,91   m / s , com que velocidade deixa os furos do borrifador?

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Passo 1

Bom, a água está passando por dois lugares com áreas diferentes:

Mangueira com área valendo A m = π 1,9 2 2 ; com velocidade 0,91   m / s ;

Borrifador com área valendo a soma das áreas de cada furo, logo A b = 24 π 0,13 2 2 ; e aqui queremos justamente saber a velocidade com que a água flui.

E para acharmos quanto vale essa velocidade de saída, podemos usar a equação da continuidade:

A m ∙ 0,91 = A b ∙ v s a í d a

v s a í d a = π 1,9 2 2 ∙ 0,91 24 π 0,13 2 2

Fazendo essas continhas, vamos achar que v s a í d a ≈ 8,1   m / s .

Resposta

A água sai com velocidade 8,1   m / s .

Exercício Resolvido #6

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 54, página 84

A água que sai de um cano de 1.9   c m (diâmetro interno) passa por três canos de 1,3   c m .

(a) Se as vazões nos três canos menores são 26 , 19 e 11   L / m i n . Qual é a vazão no tubo de 1,9   c m ?

(b) Qual é a razão entre a velocidade da água no cano de 1,9   c m e a velocidade no cano em que a vazão é 26   L / m i n ?

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Passo 1

  1. Pelo princípio da continuidade: tudo que entra, sai. Portanto, o que está passando pelos 3 canos menores deve ser igual ao que está passando pelo cano maior. Então:
  2. Q m a i o r = 26 + 19 + 11 = 56   L / m i n

    Passo 2

  3. Sabendo que a vazão é dada por:

Q = ρ v A

Teremos:

v = Q ρ A

E relacionando essa equação para o cano maior de 1,9   c m de diâmetro, com Q = 56   L / m i n , e o menor de 1,3   c m de diâmetro, com Q = 26   L / m i n :

v m a i o r v m e n o r = 56 ρ π 1,9 2 2 26 ρ π 1,3 2 2 ≈ 1

Resposta

  1. 56   L / m i n
  2. 1

Exercício Resolvido #7

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 96 – Modificado

Uma cabeça de chuveiro possui 20 aberturas circulares, cada uma com um raio de 1,0   m m . A cabeça de um chuveiro é conectada a um cano de raio igual a   0.80   c m . A velocidade da água do cano é 3,0   m / s , qual é a sua velocidade ao sair pelas aberturas da cabeça?

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Passo 1

Bom, o esquema dessa questão é o seguinte:

Existe uma vazão de entrada, a da água vem pelo cano, e várias vazões de saída.

Assim:

Q e = Q 1 s + Q 2 s + Q 3 s … . Q 20 s

Passo 2

Mas todas as vazões de saída são iguais. Assim, podemos escrever:

Q e = 20 Q s

Passo 3

Agora vamos calcular a vazão de entrada. É só fazer:

Q e = v A = 3 . 0,8.10 - 2 2 π = 6,0.10 - 4 m 3 / s

Passo 4

Bom, a área de cada saída é dada por:

A s = 1.10 - 3 2 π = 3,14.10 - 6   m 2

Assim:

Q e = 20 Q s

6,0.10 - 4 = 20 . 3,14.10 - 6 . v s → v s = 9,55   m / s

E é essa a velocidade de saída (:

Resposta

9,55   m / s

Exercício Resolvido #8

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 53, página 84

A água de um porão inundado é bombeada com uma velocidade de 5,0   m / s através de uma mangueira com 1,0   c m de raio. A mangueira passa por uma janela 3,0   m acima do nível da água. Qual é a potência da bomba?

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Passo 1

Bom, primeiro vamos lembrar como podemos calcular a potência:

P o t = ∆ W ∆ t

Ou seja, o quanto variou a energia num tempo.

Passo 2

As energias que vamos ter nessa situação são a potencial gravitacional e a cinética. Logo:

∆ W = ∆ U + ∆ K = ∆ m g h + ∆ m v 2 2 = ∆ m g h + v 2 2

Passo 3

Substituindo ∆ W na equação da potência:

P o t = ∆ m ∆ t g h + v 2 2

Opa! Só que como a massa varia no tempo ( ∆ m ∆ t ) é justamente ρ A v . E A = π r 2 = π 0,01 2 .

Vamos substituir isso na fórmula:

P o t = ρ ∙ π ∙ 0,01 2 ∙ v g h + v 2 2

P o t = 1000 ∙ π ∙ 0,01 2 ∙ 5 9,8 ∙ 3 + 25 2

E isso vai nos dar que:

P o t = 66   W

Resposta

P o t = 66   W

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