Princípio de Stevin

Teoria Completa

Introdução

Já reparou o que acontece quando você entra numa piscina? Conforme você se aproxima do fundo parece que a pressão vai aumentando né?

E é verdade, pois quando você está dentro da piscina, existe uma pressão chamada de pressão hidrostática causada pela coluna de água acima de você.

Essa pressão hidrostática é dada por:

P = ρ g h

Onde ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e h é a altura da coluna do líquido.

Por isso, quando você está no fundo da piscina, a altura h é maior (tem mais água acima de você), e portanto a pressão hidrostática também é maior!

Até aí tudo tranquilo né, mas e se tivermos uma situação diferente, com dois indivíduos, o que será que vai acontecer?

A situação de cima mostra Patrick num aquário maior e Bob Esponja num aquário menor, porém o nível da água dos dois aquários é o mesmo e ambos estão na mesma altura em relação ao nível da água. Sabendo de tudo isso, quem sofrerá a maior pressão?

Pra responder isso vamos usar o princípio de Stevin, que diz o seguinte:

A pressão em um mesmo fluido é igual em alturas iguais. Ou seja: depende apenas da altura para um mesmo fluido. Foi falado pra gente que o Bob Esponja e o Patrick estão na mesma altura em relação ao nível da água.

Com isso podemos concluir que os dois sofrem a mesma pressão:

P B o b = P P a t r i c k

Mas tome muito cuidado, a gente só pode igualar essas pressões se o líquido for o mesmo.

Esse princípio vai ajudar a gente a entender como se calcula a pressão em objetos de vasos comunicantes e também em manômetros.

Vasos comunicantes

Vasos comunicantes são vasos em forma de “U” que podem conter um ou mais líquidos. Se liga, nesse vaso aqui onde temos o líquido A que é água, que possui densidade ρ = 1 g / c m ³ e o líquido B com densidade desconhecida, ambos os líquidos são imiscíveis (não se misturam) e as extremidades estão abertas pra atmosfera.

Se a altura da coluna de água é h A = 10 c m e a diferença das alturas é h = 2 c m , qual é a densidade do líquido B (verde)?

Vamos aplicar o Princípio de Stevin e precisamos de um ponto onde tenhamos o mesmo fluído, ok? Também vai ser bacana a gente cotar as distâncias aqui, e pra isso vamos calcular a altura de B , que ainda não sabemos.

h B = h A - h = 10 - 2 = 8 c m

Agora, precisamos de um ponto para aplicar o Princípio de Stevin, lembrando que precisamos escolher um ponto sempre no mesmo líquido.

O bizu nesses tipos de problema é a gente tentar escolher sempre um ponto de transição entre os líquidos, saca só.

O ponto escolhido aqui será o limite entre a água e o líquido verde, imediatamente antes da água, onde pegamos dois pontos do líquido verde pra aplicar o princípio de Stevin.

A reta C corta os dois pontos 1 e 2 que são do mesmo fluído e estão na mesma altura, então podemos dizer aqui pelo princípio de Stevin que:

P 1 = P 2

Ou seja, a pressão no ponto 1 é igual a pressão no ponto 2.

Sendo que cada uma dessas pressões vai ser dada pela pressão hidrostática (por conta da coluna de líquido acima do ponto) e pela pressão atmosférica (pois as extremidades do tubo estão abertas para a atmosfera).

E agora vamos calcular a pressão pra ambos os lados:

P 1 = ρ á g u a g h A + P a t m

P 2 = ρ B g h B + P a t m

Igualando essas pressões, temos:

ρ á g u a g h A + P a t m = ρ B g h B + P a t m

Cortando g e P a t m , temos:

ρ á g u a h A = ρ B h B

Isolando ρ B temos:

ρ á g u a   h A h B     = ρ B

Agora é só substituir e encontraremos a densidade do líquido verde.

1 × 10 8 = 1,25 g / c m 3 = ρ B

Aonde essa densidade encontrada está em g / c m 3 , pois a densidade da água foi dada nessas unidades também. Fica atento nisso!

Entendeu? Além disso, preste atenção em um fato: pode haver mais de dois fluidos dentro desses vasos comunicantes.

Exemplo:

A regra continua a mesma: é preciso procurar pontos do mesmo fluido.

Nesse exemplo acima, o ideal seria igualar a pressão no ponto de transição do líquido preto para o líquido cinza escuro e cinza claro.

Veremos isso melhor nas questões.

Manômetro em U

É praticamente a mesma coisa que um vaso comunicante, só que uma das extremidades não é aberta para a atmosfera.

Geralmente, em um dos lados temos um gás exercendo uma pressão diferente da pressão atmosférica, se liga aí:

Se esse líquido preto tem uma densidade de 1,5 g / c m 3 , e a diferença de altura entre os pontos N e B é h = 30 c m , qual é a pressão do gás?

Aqui vale o Princípio de Stevin: vamos igualar as pressões a uma mesma altura de um único fluido!

Nesse caso, basta igualar as pressões nos pontos M e N onde a pressão no ponto M será a pressão do gás que a gente quer calcular e a pressão em N calculamos como antes.

P M = P N

P M = P a t m + ρ N g h

Lembrando que a pressão atmosférica é 1 a t m = 10 5 P a .

E aqui vai um bizu, temos que converter a unidade do fluído que está em g / c m 3 para o S . I . que seria o k g / m 3 .

ρ N = 1,5 g c m 3

Aonde sabemos que:

k g = 10 3 g → g = k g 10 3 = k g × 10 - 3

c m 3 = m 10 2 3 → c m 3 = m 10 6 = m × 10 - 6

E substituindo na nossa unidade, teremos:

ρ N = 1,5 g c m 3 = 1,5 × k g 10 - 3 m 10 - 6

ρ N = 1,5 × 10 3 k g m 3 = 1500 k g / m 3

Além disso, também temos que substituir a altura para metros:

h = 30 c m = 0,3 m

Agora é só substituir geral e correr pro abraço:

P M = P a t m + ρ N g h

P M = 10 5 + 1500 × 9,8 × 0,3 = 104410 P a

E enfim calculamos a pressão do gás no manômetro.

Show? Vamos praticar isso aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

A respeito da lei de Stevin, marque o que for correto:

a) Determina a pressão exercida somente por líquidos.

b) Depende da densidade do recipiente, altura da coluna de líquido e aceleração da gravidade.

c) Determina a pressão exercida por um fluido.

d) Só serve para determinar a pressão exercida pela água.

e) Todas as alternativas estão corretas.

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Passo 1

O princípio de Stevin nos diz que, em um mesmo fluido, a pressão exercida dependerá somente da altura!! Ou seja, dois pontos nesse mesmo fluido terão a mesma pressão se estiverem em alturas iguais, indepedentemente de qualquer outra coisa (como o formato do recipiente, por exemplo). Logo, ele é usado para determinar a pressão exercida por um fluido!! E a alternativa (c) nos diz isso.

Resposta

Alternativa (c).

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2014.2-4

Considere um fluido incompressível em repouso num recipiente como mostrado na figura. São escolhidos três elementos infinitesimais de área, todos a mesma profundidade, mas com orientações diferentes ( A   F I G U R A   E S T Á   F O R A   D E   E S C A L A ) . O que podemos dizer sobre a pressão em cada uma dessas superfícies?

  1. A pressão no elemento orientado para cima é a maior.
  2. A pressão no elemento orientado para a direita é a menor.
  3. A pressão nos três elementos é a mesma.
  4. A pressão no elemento oblíquo é a maior.
  5. A pressão no elemento orientado à direita é a maior.
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Passo 1

Vamos lá!

O que sabemos a cerca de uma pressão num fluido em relação a profundidade do mesmo?

Simples, que ela é a mesma pra todos os elementos que estão a mesma altura.

Esse é o princípio de Stevin. Então a resposta é a c).

Passo 2

Mas isso vai um pouco contra o nosso conhecimento de orientação de área, né?

Porque ali temos 3 elementos com áreas orientadas de formas diferentes. Você poderia pensar: bem, a pressão sempre atua só na vertical, de cima para baixo. Então o elemento 3, por exemplo, não teria pressão em sua área já que ele não está orientado com a vertical.

Porém, isso não é verdade, porque a afirmativa que a pressão depende apenas da altura é muito forte.

Ela depende apenas da altura, e é a mesma pra elemento com alturas iguais e, além disso, como mostra essa questão, ela é a mesma em todas as direções.

Resposta

c)

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Certa quantidade de água é colocada em um tubo em forma de U, aberto nas extremidades. Adiciona-se um líquido de densidade maior que a da água em um dos lados do tubo e ambos não se misturam.

Assinale a alternativa que representa corretamente a posição dos dois líquidos no tubo após o equilíbrio.

a)

b)

c)

d)

e)

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Passo 1

De acordo com princípio de Stevin, pontos de mesmo líquido que estão na mesma altura possuem a mesma pressão sobre eles. Então, no ponto A da horizontal que passa pela interface entre a água e o líquido mais denso, a pressão deve ser a mesma que no ponto B. Vamos ver um esqueminha:

Como a pressão é dada por: p = ρ g h , temos que:

p A = p B

ρ á g u a g h A = ρ l í q u i d o g h B

h A h B = ρ l í q u i d o ρ á g u a

Como ρ l í q u i d o > ρ á g u a , h A > h B . Logo, nosso esqueminha estava certo haha e a resposta é a letra (d).

Resposta

Alternativa (d).

Exercício Resolvido #4

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 10, página 80

O tubo de plástico da figura abaixo tem uma seção reta de 5,00   c m 2 . Introduz-se água no tubo até que o lado mais curto (de comprimento d   =   0,800   m ) fique cheio. Em seguida, o lado menor é fechado e mais água é despejada no lado maior. Se a tampa do lado menor é arrancada quando a força a que está submetida excede 9,80   N , que altura da coluna de água do lado maior deixa a tampa na iminência de ser arrancada?

OBS.: use ρ á g u a = 100 0   k g / m 3

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Passo 1

Pelo Princípio de Stevin, sabemos que as pressões nos pontos A e B serão iguais:

E podemos relacionar a pressão no ponto B com a equação:

P = ρ á g u a g h

Onde h será a altura da coluna de água acima desse ponto.

Passo 2

Bom, na situação descrita, nós vamos ter uma coluna d’água exercendo uma pressão no lado mais curto, para arrancar a tampa, logo, temos umas força associada a essa pressão. E o enunciado diz que a força na iminência da tampa ser arrancada vale 9,80   N e que o tubo de plástico tem uma seção reta de 5,00   c m 2 = 0,0005   m 2 . A pressão e a força vão se relacionar por:

P = F A = 9,8 0,0005

Agora, usando as duas equações encontradas:

P = ρ á g u a g h = 9,8 0,0005

h = 2   m

Passo 3

Calma calma, ainda não terminou: esse valor de h é a altura a partir do ponto B, lembra? Então, nossa verdadeira altura (do chão) vale:

d + h = 0,8 + 2 = 2,8   m

Agora sim hehe acabamos a questão.

Resposta

A altura da coluna de água vale 2,8   m .

Exercício Resolvido #5

Halliday, Física 2, Capítulo 17, 4ª edição, exercício 13, página 76.

Um tubo em U simples contém mercúrio. Quando 11,2   c m de água são derramados no ramo esquerdo, a que altura sobe o mercúrio no lado direito, com relação ao seu nível inicial?

Considere ρ m e r c ú r i o = 13,6 × 10 3   k g / m 3

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Passo 1

Pela figura, queremos descobrir a distância d , isto é, a diferença entre a nova altura do mercúrio no lado direito com relação ao nível inicial, ilustrado na primeira figura.

Para isso, aplicamos o Princípio de Stevin: igualamos as pressões de um mesmo fluido a uma mesma altura.

Neste caso, vamos igualar as pressões nos pontos (1) e (2), que correspondem à interface entre os fluidos no lado esquerdo e o ponto correspondente no lado direito:

Logo:

p 1 = p 2

Passo 2

Vamos calcular as pressões p 1 e p 2 :

Calculando p 1 :

p 1 = p a t m + ρ a g l

onde l = 11,2   c m , conforme o enunciado falou, e ρ a é a densidade da água:

ρ a = 1000   k g / m 3

Calculando p 2 :

p 2 = p a t m + ρ m g h

onde ρ m é a densidade do mercúrio.

Passo 3

Igualando as pressões:

p 1 = p 2

⇒ p a t m + ρ a g l = p a t m + ρ m g h

⇒ ρ a g l = ρ m g h

⇒ ρ a l = ρ m h

⇒ h = ρ a ρ m l

Passo 4

Substituindo os valores:

h = ρ a ρ m l

⇒ h = 1000 13,6 × 10 3 × 11,2 ⋅ 10 - 2

⇒ h = 0,0082   m

Passo 5

Agora, para calcular d , temos que parar um segundo pra perceber uma coisa:

A quantidade total de mercúrio é fixa!

Ou seja: o mercúrio se deslocou mas a quantidade total de fluido não se alterou. Portanto, tudo o que desce no lado esquerdo, necessariamente tem que subir no lado direito!

Pois estamos supondo, também, que o líquido não se comprime nem se distende, ou seja, é um líquido incompressível:

Percebeu?

Se o líquido sobe d no lado direito, então ele desceu d no lado esquerdo.

Pela figura, podemos ver então o seguinte:

h = 2 d

Pronto! Como já calculamos h , agora ficou fácil:

d = h 2

⇒ d = 0,0082 2

⇒ d = 0,0041   m

Resposta

d = 0,0041   m

Exercício Resolvido #6

UFRJ-Questão 2 - P1.2015

Em um tubo em U, com ambas as extremidades abertas para a atmosfera, coloca-se cuidadosamente três líquidos de densidades diferentes ρ 1 , ρ 2 e ρ 3 , de forma que estes não se misturam. Após o equilíbrio ser atingido, a disposição dos líquidos é a ilustrada na figura. A relação entre as densidades dos líquidos 1 e 3 é:

  1. ρ 1 =   l l   +   d ρ 3
  2. ρ 1 =   l d ρ 3
  3. ρ 1 =   l   +   d l ρ 3
  4. ρ 1 =   l l   -   d   ρ 3
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Passo 1

Vamos usar o princípio de Stevin aqui: A pressão na interface dos líquidos de densidades ρ 1 e ρ 3 com o ar atmosférico deve ser a mesma já que estão sob a pressão atmosférica.

Outro detalhe importante é presença do fluido ρ 2 . O princípio de Stevin diz que devemos fazer comparações em um mesmo fluido, não é mesmo?

Pois bem, se compararmos as pressões nas interfaces dos líquidos, estaremos fazendo a comparação de pressões no mesmo líquido: ρ 2 , já que ele possui duas interfaces: uma com ρ 1 e outra com ρ 3 .

Passo 2

Beleza. A pressão devido à ρ 1 é dada por:

p 1 = ρ 1 d + l g

E a pressão causada por ρ 3 é dada por:

p 3 = ρ 3 l g

Como:

p 1 = p 3

Temos que:

ρ 1 d + l g = ρ 3 l g → ρ 1 = l l   +   d ρ 3

Resposta

a)

Exercício Resolvido #7

Lista de exercícios, UNIP, modificado

No sistema abaixo, sabe-se que p ar = 2   atm . Determinar a densidade ρ L do líquido.

São dados:

L = 60   c m   h a = 10   c m   h B = 20   c m   h = 30   c m

Considere ρ água = 1000   kg / m 3 e g = 9,8 m / s 2

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Passo 1

Queremos encontrar a densidade do líquido à direita.

Para isso, aplicamos o Princípio de Stevin: igualamos as pressões de um mesmo fluido a uma mesma altura.

Neste caso, vamos igualar as pressões nos pontos (1) e (2), que correspondem à interface entre os fluidos no lado direito e o ponto correspondente no lado esquerdo:

Logo:

p 1 = p 2

Passo 2

Vamos calcular as pressões p 1 e p 2 :

Calculando p 1 :

p 1 = p ar + ρ a g h B

onde h B e p ar são dados e ρ a é a densidade da água:

ρ a = 1000   kg / m 3

Convertendo h B para metros:

h B = 20   cm = 0,20   m

Observe que p ar = 2   atm .

Convertendo p ar para Pa :

1   atm = 1,0 × 10 5   Pa

⇒ 2   atm = 2,0 × 10 5   Pa

⇒ p ar = 2,0 × 10 5   Pa

Calculando p 2 :

p 2 = p atm + ρ L g h

onde ρ L é a densidade do líquido, p atm é a pressão atmosférica e h é dado do problema.

Convertendo h para metros:

h = 30   cm = 0,30   m

p atm = 1,0 × 10 5   Pa

Passo 3

Igualando as pressões:

p 1 = p 2

⇒ p ar + ρ a g h B = p atm + ρ L g h

⇒ ρ L g h = p ar - p atm + ρ a g h B

⇒ ρ L = p ar - p atm + ρ a g h B g h

⇒ ρ L = p ar - p atm g h + h B h ρ a

Passo 4

Substituindo os valores:

ρ L = p ar - p atm g h + h B h ρ a

⇒ ρ L = 2,0 × 10 5 - 1,0 × 10 5 9,8 × 0,30 + 0,20 0,30 × 1000

⇒ ρ L = 2,0 - 1,0 × 10 5 9,8 × 0,30 + 0,20 0,30 × 1000

⇒ ρ L = 0,340 × 10 5 + 666,66

⇒ ρ L = 3,40 × 10 4 + 0,067 × 10 4

⇒ ρ L = 3,467 × 10 4   kg/m 3

Resposta

ρ L = 3,467 × 10 4   kg/m 3

Exercício Resolvido #8

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado

O líquido no manômetro de tubo aberto indicado na figura abaixo é o mercúrio, y 1 = 3,0 c m e y 2 = 7,0 c m . A pressão atmosférica é igual a 980   m i l i b a r e s .

  1. Qual é a pressão absoluta no fundo do tubo em forma de U .
  2. Qual é a pressão absoluta no tubo aberto a uma profundidade de 4,0 c m   abaixo da superfície livre?
  3. Qual é a pressão absoluta do gás em pascals?

Dados:

1 b a r = 10 5 P a

ρ H g = 13,60.10 3   k g / m 3

g = 10,0   m / s 2

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Passo 1

a):

Bom pessoal, o enunciado está pedindo a pressão no fundo do Tubo em U.

Qual a melhor forma de se fazer isso?

Bem, como a pressão só depende da altura, basta a gente calcular a pressão no lado direito da figura, ou seja, no lado do tubo aberto pra atmosfera.

Beleza? Essa pressão será a mesma para todo o fundo, já que ela só depende da altura.

Assim:

P f u n d o = P a b s = P a t m + ρ g h

Passo 2

Muita calma agora! Vamos converter o valor da pressão do enunciado, que está em milibares, para P a :

1 b a r = 10 5 P a → 1 m b a r = 10 2 P a

Assim:

980 m b a r = 980.10 2 P a = 0,98.10 5 P a

Show! Agora podemos continuar com a nossa questão.

A pressão no fundo vai ser igual a pressão da coluna de mercúrio mais a pressão atmosférica(lembrando que o h da fórmula vai ser igual a y 2 ) :

P f u n d o = P a t m + ρ g h = ( 0,98.10 5 ) + ( 13,60.10 3 . 10,0.7,0.10 - 2 ) = 1,07.10 5 P a

Passo 3

b):

Essa vai ser bem parecida com a a).

Agora queremos a pressão a uma profundidade de 4 c m abaixo da superfície do líquido. Então, qual será o nosso h ?

Isso ai: h = 4.10 - 2 m

Assim:

P = P a t m + ρ g h = 0,98.10 5 + 13,60.10 3 . 10,0.4,0.10 - 2 = 1,03.10 5 P a

Passo 4

c):

Agora vamos usar de novo o conceito que aprendemos na teoria: O fluido tem pressões iguais em altura iguais!

Vamos considerar dois pontos: Um ponto na superfície do líquido que está em contato com o gás, na esquerda, e um ponto no tubo aberto, na direita, que tenha a mesma altura: