Produto Escalar
Teoria
O que é Produto Escalar?
Antes, vamos apresentar como é representado o produto escalar:
Tanammmmm !!!
Produto escalar entre dois vetores, APESAR de ser uma operação envolvendo dois vetores, tem como resultado um escalar, ou seja, sempre vai dar um número.
Pra gente calcular o produto escalar entre dois vetores, vamos multiplicar cada coordenada com cada coordenada.
Como assim??????
Vamos pegar dois vetores:
O que vamos fazer é pegar cada coordenada e multiplicar par a par:
Assim:
Pegou? Se tivesse uma coordenada ali, era só multiplicar ela com o seu respectivo par. Mas ai agora, você, um cara esforçado, curioso e interessado na matéria, deve estar se perguntando: Pra que eu quero calcular isso?
AhhhRÁ !
Essa fórmula relaciona o produto escalar com o módulo dos vetores e o ângulo entre eles! Importante ressaltar que esse ângulo entre eles é aquele em que eles partem do mesmo ponto, tem a mesma origem, se lembra?
Essa fórmula vai ser muito importante pra gente, ainda mais pra descobrir ângulos entre vetores e já que estamos falando deles, vou te passar mais umas dicas.
Pegou tudo? Entendeu tudo? Sacou Tudo? Qualquer coisa grita ein!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 31 – ex1.55
Ache o ângulo entre cada par de vetores:
Passo 1
Para achar o ângulo entre os vetores vamos usar a fórmula do produto escalar. Como os vetores estão decompostos, vamos ter que calcular o módulo para podermos descobrir o ângulo.
Onde é o ângulo entre os vetores:
Passo 2
Alternativa a)
Calculando o módulo dos vetores:
Assim temos:
Passo 3
Realizando o produto escalar
Substituindo os valores temos:
Determinando esse cosseno pela calculadora científica, teremos:
Passo 4
Alternativa b)
Calculando o módulo dos vetores:
Assim temos:
Passo 5
Realizando o produto escalar
Substituindo os valores temos:
Assim:
Passo 6
Alternativa c)
Calculando o módulo dos vetores:
Assim temos:
Passo 7
Realizando o produto escalar
Substituindo os valores temos:
Assim:
Resposta
a)
b)
c)
Exercício Resolvido #2
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 34 – ex1.93
Um cubo é colocado de um modo que um dos vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos de um sistema de coordenadas (Figura ). Use vetores para calcular:
- O ângulo entre a aresta ao longo do eixo (linha ) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha );
- O ângulo entre a linha (a diagonal de uma das faces) e a linha .
Passo 1
Como queremos saber o ângulo entre os vetores, vamos usar o produto escalar, pode ser?
Passo 2
Vamos escrever o vetor que representa cada segmento que foi dado no problema:
Passo 3
Alternativa a)
Fazendo o produto escalar entre as linhas e
Isolando o temos:
Logo:
Passo 4
Alternativa b)
Fazendo o produto escalar entre as linhas e
Isolando o temos:
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 28 –Q1.25 e pp 31 – ex1.52
- Se , é necessariamente verdadeiro que ou ? Explique
- Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para produto escalar.
Passo 1
Pra fazer essa questão vamos lembrar da fórmula do produto escalar:
Passo 2
Alternativa a)
Pra fazer essa questão vamos analisar primeiro o lado direito da equação.
Vamos considerar que nem , e nem tem valor . Assim,
Assim, para o produto escalar ser , o ângulo entre os vetores teria que ser ou ou pois assim o
Resumindo:
Passo 3
Alternativa b)
Vamos usar dois vetores e suas componentes:
Passo 4
Primeiramente vamos provar que dois vetores são comutativos para soma:
Como achamos o mesmo resultado, provamos que a soma é comutativa
Passo 5
Agora vamos testar o produto escalar:
Novamente, como encotramos o mesmo resultado nas duas operações, provamos que o produto escalar também é comutativo
Resposta
- Não
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