Produto Escalar

Teoria Completa

O que é Produto Escalar?

Antes, vamos apresentar como é representado o produto escalar:

A B

Tanammmmm !!!

Produto escalar entre dois vetores, APESAR de ser uma operação envolvendo dois vetores, tem como resultado um escalar, ou seja, sempre vai dar um número.

Pra gente calcular o produto escalar entre dois vetores, vamos multiplicar cada coordenada com cada coordenada.

Como assim??????

Vamos pegar dois vetores:

A = 2 i - 3 j

B = 1 i + 5 j

O que vamos fazer é pegar cada coordenada e multiplicar par a par:

A B = A x B x + A y B y

A B = 2.1 + - 3 . 5

Assim:

A B = - 13

Pegou? Se tivesse uma coordenada z ali, era só multiplicar ela com o seu respectivo par. Mas ai agora, você, um cara esforçado, curioso e interessado na matéria, deve estar se perguntando: Pra que eu quero calcular isso?

A B = A B cos θ

AhhhRÁ !

Essa fórmula relaciona o produto escalar com o módulo dos vetores e o ângulo entre eles! Importante ressaltar que esse ângulo entre eles é aquele em que eles partem do mesmo ponto, tem a mesma origem, se lembra?

Essa fórmula vai ser muito importante pra gente, ainda mais pra descobrir ângulos entre vetores e já que estamos falando deles, vou te passar mais umas dicas.

S e   θ < 90 ° A B > 0

S e   θ = 90 ° A B = 0

S e   θ > 90 ° A B < 0

Pegou tudo? Entendeu tudo? Sacou Tudo? Qualquer coisa grita ein!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 31 – ex1.55

Ache o ângulo entre cada par de vetores:

  1. A =   - 2,0 î   +   6,0 j                   e                   B = 2,0 î - 3,0 j  
  2. A =   3,0 î   +   5,0 j                   e                   B = 10,0 î + 6,0 j  
  3. A =   - 4,0 î   +   2,0 j                   e                   B = 7,0 î + 14,0 j  
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Passo 1

Para achar o ângulo entre os vetores vamos usar a fórmula do produto escalar. Como os vetores estão decompostos, vamos ter que calcular o módulo para podermos descobrir o ângulo.

A B = | A | | B | c o s ( θ )

Onde θ é o ângulo entre os vetores:

Passo 2

Alternativa a)

Calculando o módulo dos vetores:

A = - 2,0 2 + 6,0 2

B = 2,0 2 + - 3,0 2

Assim temos:

A = 2 10

B = 13

Passo 3

Realizando o produto escalar

A B = | A | | B | c o s ( θ )

Substituindo os valores temos:

- 2,0 i + 6,0 j 2,0 i - 3,0 j = 2 10 . 13 . c o s ( θ )

- 22 2 130 = cos θ

cos θ = - 0,96

Determinando esse cosseno pela calculadora científica, teremos:

θ 163,7 °

Passo 4

Alternativa b)

Calculando o módulo dos vetores:

A = 3,0 2 + 5,0 2

B = 10 2 + 6,0 2

Assim temos:

A = 34

B = 2 34

Passo 5

Realizando o produto escalar

A B = | A | | B | c o s ( θ )

Substituindo os valores temos:

3,0 i + 5,0 j 10,0 i + 6,0 j = 2 34 . 34 . c o s ( θ )

60 68 = cos θ

cos θ = 0,88

Assim:

θ 28,3 °

Passo 6

Alternativa c)

Calculando o módulo dos vetores:

A = - 4,0 2 + 2,0 2

B = 7,0 2 + 14,0 2

Assim temos:

A = 2 5

B = 7 5

Passo 7

Realizando o produto escalar

A B = | A | | B | c o s ( θ )

Substituindo os valores temos:

- 4,0 i + 2,0 j 7,0 i + 14,0 j = 2 5 . 7 5 . c o s ( θ )

0 70 = cos θ

cos θ = 0

Assim:

θ = 90 °

Resposta

a) θ 163,7 °

b) θ 28,3 °

c) θ = 90 °

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 34 – ex1.93

Um cubo é colocado de um modo que um dos vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos x ,   y   e   z de um sistema de coordenadas (Figura 1.43 ). Use vetores para calcular:

  1. O ângulo entre a aresta ao longo do eixo z (linha a b ) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha a d );
  2. O ângulo entre a linha a c (a diagonal de uma das faces) e a linha a d .

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Passo 1

Como queremos saber o ângulo entre os vetores, vamos usar o produto escalar, pode ser?

A B = | A | | B | c o s ( θ )

Passo 2

Vamos escrever o vetor que representa cada segmento que foi dado no problema:

a b = ( 0,0 , l )

a d = ( l , l , l )

a c = ( 0 , l , l )

Passo 3

Alternativa a)

Fazendo o produto escalar entre as linhas a d e a b

a d a b = | a d | | a b | c o s ( θ )

l , l , l 0,0 , l = 3 l .   l . cos ( θ 1 )

l 2 = l 2 3 cos θ 1

Isolando o cos θ 1   temos:

C o s θ 1 = 3 3

Logo:

θ 1 = 54,7 °

Passo 4

Alternativa b)

Fazendo o produto escalar entre as linhas a d e a c

a d a c = | a d | | a c | c o s ( θ )

l , l , l 0 , l , l = l   3 . l 2 . cos ( θ 2 )

2 l 2 = 6 . l 2 cos θ 2

Isolando o cos θ 2   temos:

C o s θ 2 = 6 3

Logo:

θ 2 = 35,3 °

Resposta

  1. θ 1 = 54,7 °
  2. θ 2 = 35,3 °

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 28 –Q1.25 e pp 31 – ex1.52
  1. Se A * B = 0 , é necessariamente verdadeiro que A = 0   ou B = 0 ? Explique
  2. Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para produto escalar.
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Passo 1

Pra fazer essa questão vamos lembrar da fórmula do produto escalar:

A * B = | A | | B | c o s ( θ )

Passo 2

Alternativa a)

Pra fazer essa questão vamos analisar primeiro o lado direito da equação.

Vamos considerar que nem A , e nem B tem valor 0 . Assim,

A > 0

B > 0

Assim, para o produto escalar ser 0 , o ângulo entre os vetores teria que ser ou 90 ° ou 270 ° , pois assim o cos θ = 0

Resumindo: N ã o   p r e c i s a m   s e r   n e c e s s a r i a m e n t e   0

Passo 3

Alternativa b)

Vamos usar dois vetores e suas componentes:

A = A x i + A y j

B = B x i + B y j

Passo 4

Primeiramente vamos provar que dois vetores são comutativos para soma:

A + B = A x + B x i + A y + B y j

B + A = B x + A x i + B y + A y j

Como achamos o mesmo resultado, provamos que a soma é comutativa

A + B = B + A

Passo 5

Agora vamos testar o produto escalar:

A * B = A x B x + A y B y

B * A = B x A x + ( B y A y )

Novamente, como encotramos o mesmo resultado nas duas operações, provamos que o produto escalar também é comutativo

A * B = B * A

Resposta

  1. Não

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 33 –ex1.85

Os vetores A e B são desenhados a partir de um mesmo ponto. O vetor A possui módulo A e forma um ângulo θ A medido supondo-se um rotação no sentido do eixo + O x para o eixo + O y . As grandezas correspondentes do vetor B são o módulo B e o ângulo θ B . Logo, A = A c o s θ A i + A s e n θ A j , B = B c o s θ B i + B s e n θ B j e φ = θ B - θ A é o ângulo entre A e B .

  1. Deduza a equação 1.18 partindo da equação 1.21
  2. Deduza a equação 1.22 partindo da equação 1.27

A B = A B cos ϕ = A   B cos ϕ             1.18

A B = A x B x + A y B y + A z B z         ( 1.21 )

C = A B   s e n   ϕ                 ( 1.22 )

C x = A y B z - A z B y       C y = A z B x - A x B z       C z = A x B y - A y B x           ( 1.27 )

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Passo 1

Alternativa a)

Partindo da equação 1 ; 21 temos:

A * B = A x B x + A y B y + A z B z

Mas como foi dado no enunciado, as componentes z tanto de A   e de B são 0 .

A * B = A x B x + A y B y

Partindo da equação acima, queremos chegar na equação abaixo:

A * B = A B c o s ( φ )

Passo 2

Bom, se olhar pro enunciado e pra equação que estamos partindo, o que podemos mudar ali são as componentes, certo? Não vamos mexer no lado esquerdo, mas a gente pode escrever as componentes de outra forma.

A * B = A x B x + A y B y

Lembrando que:

A = A c o s θ A i + A s e n θ A j

B = B c o s θ B i + B s e n θ B j

Substituindo na equação temos:

A * B = A c o s θ A B c o s θ B + A s e n θ A B s e n θ B

Não vou mudar nada, ok? Só reorganizar :)

A * B = A B c o s θ A c o s θ B + s e n θ A s e n θ B

Passo 3

Agora vamos ter que puxar um conceito lá de trigonometria, mas se você não lembrar não esquenta, eu a gente te ajuda ;)

C o s a ± b = cos a cos b s e n a s e n ( b )

Mas não é que apareceu a mesma coisa? Agora a gente pode simplificar aquela expressão grandona da nossa expressão

A * B = A B c o s ( θ A - θ B

Ai a gente troca aquela agora subtração ali e pimba !

A * B = A B c o s ( φ )

Passo 4

Alternativa b)

Bom, partindo do que foi dado no enunciado nós temos:

C = A x B y - A y B x

Vamos trocar as componentes da mesma forma. Sem problemas, né?

C = A c o s θ A   B s e n θ B - A s e n θ A B c o s θ B

Vou reorganizar do mesmo jeito que fiz antes. A idéia da alternativa a) é quase a mesma que a idéia da alternativa b)

C = A B c o s θ A   s e n θ B - s e n θ A c o s θ B

Passo 5

Se lembra da trigonometria que a gente usou na alternativa a)? Vamos usar trigonometria agora também!

s e n a ± b = cos a sen b ± s e n a c o s ( b )

Substituindo na equação que a gente parou ...

C = A B s e n θ A - θ B

Assim:

C = A B s e n φ

Resposta

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