Produto Escalar

Teoria Completa

O que é Produto Escalar?

Antes, vamos apresentar como é representado o produto escalar:

A → ⋅ B →

Tanammmmm !!!

Produto escalar entre dois vetores, APESAR de ser uma operação envolvendo dois vetores, tem como resultado um escalar, ou seja, sempre vai dar um número.

Pra gente calcular o produto escalar entre dois vetores, vamos multiplicar cada coordenada com cada coordenada.

Como assim??????

Vamos pegar dois vetores:

A → = 2 i - 3 j

B → = 1 i + 5 j

O que vamos fazer é pegar cada coordenada e multiplicar par a par:

A → ⋅ B → = A x B x + A y B y

A → ⋅ B → = 2.1 + - 3 . 5

Assim:

A → ⋅ B → = - 13

Pegou? Se tivesse uma coordenada z ali, era só multiplicar ela com o seu respectivo par. Mas ai agora, você, um cara esforçado, curioso e interessado na matéria, deve estar se perguntando: Pra que eu quero calcular isso?

A → ⋅ B → = A → B → cos ⁡ θ

AhhhRÁ !

Essa fórmula relaciona o produto escalar com o módulo dos vetores e o ângulo entre eles! Importante ressaltar que esse ângulo entre eles é aquele em que eles partem do mesmo ponto, tem a mesma origem, se lembra?

Essa fórmula vai ser muito importante pra gente, ainda mais pra descobrir ângulos entre vetores e já que estamos falando deles, vou te passar mais umas dicas.

S e   θ < 90 ° → A → ⋅ B → > 0

S e   θ = 90 ° → A → ⋅ B → = 0

S e   θ > 90 ° → A → ⋅ B → < 0

Pegou tudo? Entendeu tudo? Sacou Tudo? Qualquer coisa grita ein!

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Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 31 – ex1.55

Ache o ângulo entre cada par de vetores:

  1. A → =   - 2,0 î   +   6,0 j                   e                   B → = 2,0 î - 3,0 j  
  2. A → =   3,0 î   +   5,0 j                   e                   B → = 10,0 î + 6,0 j  
  3. A → =   - 4,0 î   +   2,0 j                   e                   B → = 7,0 î + 14,0 j  
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Passo 1

Para achar o ângulo entre os vetores vamos usar a fórmula do produto escalar. Como os vetores estão decompostos, vamos ter que calcular o módulo para podermos descobrir o ângulo.

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Onde θ é o ângulo entre os vetores:

Passo 2

Alternativa a)

Calculando o módulo dos vetores:

A → = - 2,0 2 + 6,0 2

B → = 2,0 2 + - 3,0 2

Assim temos:

A → = 2 10

B → = 13

Passo 3

Realizando o produto escalar

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Substituindo os valores temos:

- 2,0 i + 6,0 j 2,0 i - 3,0 j = 2 10 . 13 . c o s ⁡ ( θ )

- 22 2 130 = cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = - 0,96

Determinando esse cosseno pela calculadora científica, teremos:

θ ≅ 163,7 °

Passo 4

Alternativa b)

Calculando o módulo dos vetores:

A → = 3,0 2 + 5,0 2

B → = 10 2 + 6,0 2

Assim temos:

A → = 34

B → = 2 √ 34

Passo 5

Realizando o produto escalar

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Substituindo os valores temos:

3,0 i + 5,0 j 10,0 i + 6,0 j = 2 34 . 34 . c o s ⁡ ( θ )

60 68 = cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 0,88

Assim:

θ ≅ 28,3 °

Passo 6

Alternativa c)

Calculando o módulo dos vetores:

A → = - 4,0 2 + 2,0 2

B → = 7,0 2 + 14,0 2

Assim temos:

A → = 2 5

B → = 7 5

Passo 7

Realizando o produto escalar

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Substituindo os valores temos:

- 4,0 i + 2,0 j 7,0 i + 14,0 j = 2 5 . 7 5 . c o s ⁡ ( θ )

0 70 = cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 0

Assim:

θ = 90 °

Resposta

a) θ ≅ 163,7 °

b) θ ≅ 28,3 °

c) θ = 90 °

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 34 – ex1.93

Um cubo é colocado de um modo que um dos vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos x ,   y   e   z de um sistema de coordenadas (Figura 1.43 ). Use vetores para calcular:

  1. O ângulo entre a aresta ao longo do eixo z (linha a b ) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha a d );
  2. O ângulo entre a linha a c (a diagonal de uma das faces) e a linha a d .

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Passo 1

Como queremos saber o ângulo entre os vetores, vamos usar o produto escalar, pode ser?

A → ∙ B → = | A → | | B → | c o s ⁡ ( θ )

Passo 2

Vamos escrever o vetor que representa cada segmento que foi dado no problema:

a b → = ( 0,0 , l )

a d → = ( l , l , l )

a c → = ( 0 , l , l )

Passo 3

Alternativa a)

Fazendo o produto escalar entre as linhas a d e a b

a d → ∙ a b → = | a d → | | a b → | c o s ⁡ ( θ )

l , l , l ∙ 0,0 , l = 3 l .   l . cos ⁡ ( θ 1 )

l 2 = l 2 3 cos ⁡ θ 1

Isolando o cos ⁡ θ 1   temos:

C o s θ 1 = 3 3

Logo:

θ 1 = 54,7 °

Passo 4

Alternativa b)

Fazendo o produto escalar entre as linhas a d e a c

a d → ∙ a c → = | a d → | | a c → | c o s ⁡ ( θ )

l , l , l ∙ 0 , l , l = l   3 . l 2 . cos ⁡ ( θ 2 )

2 l 2 = 6 . l 2 cos ⁡ θ 2

Isolando o cos ⁡ θ 2   temos:

C o s θ 2 = 6 3

Logo:

θ 2 = 35,3 °

Resposta

  1. θ 1 = 54,7 °
  2. θ 2 = 35,3 °

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 28 –Q1.25 e pp 31 – ex1.52
  1. Se A → * B → = 0 , é necessariamente verdadeiro que A = 0   ou B = 0