Produto Vetorial

Teoria Completa

Introdução

O produto vetorial de dois vetores A →   e   B →   gera um novo vetor C → que é perpendicular tanto ao vetor A → , quanto ao vetor B → . Usamos a seguinte notação:

C → = A →   ×   B →  

Para fazer o produto vetorial entre dois vetores nós sempre colocamos os dois começando do mesmo ponto, assim, os dois vetores formam um plano. O vetor resultante é ortogonal à esse plano e, consequentemente, ao dois vetores.

Regra da mão direita

Mas pera ai, como vamos saber o sentido do vetor?

Então, agora você vai pegar essa sua mãozinha direita pra gente trabalhar com ela, porque vai ser ela que vai nos ajudar a descobrir o sentido.

Vamos definir 3 partes da sua mão aqui:

  • Dedão
  • O seu dedão vai ficar no sentido do primeiro vetor do produto vetorial

  • Os seus 4 dedos (exceto seu dedão)
  • Seus 4 dedos vão ficar no sentido do segundo vetor do produto vetorial

  • Palma da mão

A palma da sua mão vai indicar o sentido do vetor resultante do produto vetorial

Se liga nesse resuminho que eu preparei aqui

É importante que você perceba que faz diferença a ordem que você escolhe os vetores. Se a ordem for trocada, o sentido do vetor é diferente. Fazer com a mão esquerda não da certo também ein!

Módulo

Ta, mas e o módulo?

A →   ×   B → = A B s e n ( ∅ )

Essa fórmula vai ser muito útil pra gente, principalmente com relação ao ângulo entre os vetores.

Componentes

Em alguns exercícios, além do módulo e do sentido, também vai ser importante saber a orientação de cada vetor. Para resolver esse problema, vamos usar um método em que a partir das componentes do produto vetorial, descobrimos as componentes do vetor resultante usando determinante!

O determinante é tranquilo, sempre vai ser um 3 x 3

L i n h a   1 → i - j - k

A primeira linha ela vai servir como referência para saber qual número se refere a cada componente.

L i n h a   2 - V 1 x - V 1 y - V 1 z

Na segunda linha, a gente coloca cada componente do primeiro vetor do produto vetorial, começando pela coordenada x , depois y e no final a componente z .

L i n h a   3 - V 2 x - V 2 y - V 2 z

Na terceira linha, a gente coloca cada componente do segundo vetor do produto vetorial, da mesma forma que fez com o primeiro vetor.

Por exemplo, olha esse produto vetorial A → × B → :

A → 1,2 , 3

B → 4,5 , 6

  i j k 1 2 3 4 5 6

Não se lembra como faz 3 × 3 ??? Relaxa, a gente tem uma colinha aqui.

O vetor resultante é:

C → = 2 × 6 - 3 × 5 i + 3 × 4 - 1 × 6 j + 1 × 5 - 2 × 4 k

C → = ( - 3 ,   6 ,   - 3 )

A primeira linha é só pra agrupar as componentes, mais nada além disso, eu ficava mó na duvida pra que servia, mas não liga muito pra ela não! É só referência!

Pegou tudo? Partiu exercícios?

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Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 34 –1.96.

Dois vetores A → e B → possuem módulo de A = 3,0   e de B = 3,0 . Seu produto vetorial é A →   ×   B → =   - 5,0 k + 2,0 i . Qual é o ângulo entre A → e B → ?

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Passo 1

Como foram dadas as componentes do A →   × B → , podemos calcular o módulo desse vetor, para depois usarmos a fórmula do produto vetorial.

C = A B   s e n ( ∅ )

Passo 2

Calculando o módulo do vetor C →

C → = C x 2 + C y 2

Substituindo as compenentes dadas temos:

C → = 29

Passo 3

Substituindo os valores no produto vetorial temos:

29 = 3.3 . s e n ( ∅ )

Isolando o s e n   ∅ , temos:

s e n ∅ = 29 9

Epa! Pega a sua calculadora aí!

∅ ≅ 37 °

Resposta

∅ ≅ 37 °

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 34 –1.96

Para os vetores A → e D →   indicados na figura abaixo:

  1. Ache o módulo e a direção do produto vetorial A →   ×   D →
  2. Ache o módulo e a direção do produto vetorial D →   ×   A →

Dados:

s e n 12 7 ° = 0 , 799

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Passo 1

Para calcularmos o módulo do produto vetorial vamos usar a seguinte fórmula:

A → × B → = A | B | s e n ( ∅ )

É importante lembrar que o produto vetorial entre vetores não é comutativo, porém, pode ser considerado anti-comutativo?

Que???

C o m u t a t i v o → A × B = B × A

A n t i - c o m u t a t i v o → A × B = - B × A

Passo 2

Alternativa a)

Calculando o módulo de vetor:

A → 8 m

D → 10 m

∅ → 12 7 °

Substituindo os valores na equação do módulo do vetor temos:

| A → × D → | = 8.10 . s e n ( 12 7 ° )

A → × D → = 8   .   10   .   0,799

A → × D → = 63,92   m

Passo 3

Alternativa b)

Calculando o módulo de vetor:

D → 10 m

A → 8 m

∅ → 12 7 °

Substituindo os valores na equação do módulo do vetor temos:

| D → × A → | = 10.8 . s e n ( 12 7 ° )

D → × A → = 10.8 . 0 , 799

D → × A → = 63,92   m

Passo 4

Mas e a direção? Você não falou nada cara! Você deu a mesma resposta nas duas alternativas.

A direção dos vetores é a mesma. Os dois vetores passam pelo centro do eixo x y , perpendicular ao plano, pois os vetores precisam ser perpendiculares tanto à A → quanto à D → , na direção de z ^ .

Mas qual a diferença então?

A diferença é o sentido que os vetores possuem. Um vetor tem o sentido oposto ao outro.

Se você fizer a regra da mão direita , vai ver que o produto escalar de   D → × A → estará em z ^ e o A → × D → será no sentido - z ^ , que vai estar “furando” a tela do seu PC. :P

Resposta

Alternativa a)   63,92 m , - z ^

Alternativa b)   63,92 m ,   z ^

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 33 –1.87- Modificado.

A figura abaixo mostra um paralelogramo cujos lados são os vetores A → e B → .

  1. Mostre que o módulo do produto vetorial destes vetores é igual à área do paralelogramo . (Sugestão: á r e a = b a s e   x   a l t u r a )
  2. Qual é o ângulo entre o produto vetorial e o plano deste paralelogramo?
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Passo 1

Sabemos que a fórmula do módulo de um produto vetorial é:

A → × B → = A | B | s e n ( ∅ )

O que temos que fazer é provar que a área do paralelogramo tem essa mesma fórmula

Passo 2

Alternativa a)

O paralelogramo formado pelos vetores tem a seguinte forma:

Como o problema deu uma dica, vamos usar, né?

Para calcular a área desse paralelogramo vamos dividir ele em dois triângulos, pois assim podemos usar a fórmula da área que ele deu.

Passo 3

Como podemos perceber, divimos á area do paralelogramo em dois triângulos iguais, ou seja, se acharmos a área do triângulo conseguimos achar a área do paraleogramo.

S p a r a l e l o g r a m o = 2 .   S t r i â n g u l o

Para calcular a área do triângulo precisamos achar a altura relativa a base.

Considerando h a altura relativa à base, temos que:

h B = s e n ∅

h = B   s e n ( ∅ )

Passo 4

Como a fórmula da área de um triângulo é:

b a s e   . a l t u r a 2 = S t r i ã n g u l o

Substituindo os valores temos:

A . h 2 = S t r i â n g u l o

Escrevendo h em função de B → :

S t r i â n g u l o = A .   B .   s e n ∅ 2