Produto Vetorial

Teoria Completa

Introdução

O produto vetorial de dois vetores A →   e   B →   gera um novo vetor C → que é perpendicular tanto ao vetor A → , quanto ao vetor B → . Usamos a seguinte notação:

C → = A →   ×   B →  

Para fazer o produto vetorial entre dois vetores nós sempre colocamos os dois começando do mesmo ponto, assim, os dois vetores formam um plano. O vetor resultante é ortogonal à esse plano e, consequentemente, ao dois vetores.

Regra da mão direita

Mas pera ai, como vamos saber o sentido do vetor?

Então, agora você vai pegar essa sua mãozinha direita pra gente trabalhar com ela, porque vai ser ela que vai nos ajudar a descobrir o sentido.

Vamos definir 3 partes da sua mão aqui:

  • Dedão
  • O seu dedão vai ficar no sentido do primeiro vetor do produto vetorial

  • Os seus 4 dedos (exceto seu dedão)
  • Seus 4 dedos vão ficar no sentido do segundo vetor do produto vetorial

  • Palma da mão

A palma da sua mão vai indicar o sentido do vetor resultante do produto vetorial

Se liga nesse resuminho que eu preparei aqui

É importante que você perceba que faz diferença a ordem que você escolhe os vetores. Se a ordem for trocada, o sentido do vetor é diferente. Fazer com a mão esquerda não da certo também ein!

Módulo

Ta, mas e o módulo?

A →   ×   B → = A B s e n ( ∅ )

Essa fórmula vai ser muito útil pra gente, principalmente com relação ao ângulo entre os vetores.

Componentes

Em alguns exercícios, além do módulo e do sentido, também vai ser importante saber a orientação de cada vetor. Para resolver esse problema, vamos usar um método em que a partir das componentes do produto vetorial, descobrimos as componentes do vetor resultante usando determinante!

O determinante é tranquilo, sempre vai ser um 3 x 3

L i n h a   1 → i - j - k

A primeira linha ela vai servir como referência para saber qual número se refere a cada componente.

L i n h a   2 - V 1 x - V 1 y - V 1 z

Na segunda linha, a gente coloca cada componente do primeiro vetor do produto vetorial, começando pela coordenada x , depois y e no final a componente z .

L i n h a   3 - V 2 x - V 2 y - V 2 z

Na terceira linha, a gente coloca cada componente do segundo vetor do produto vetorial, da mesma forma que fez com o primeiro vetor.

Por exemplo, olha esse produto vetorial A → × B → :

A → 1,2 , 3

B → 4,5 , 6

  i j k 1 2 3 4 5 6

Não se lembra como faz 3 × 3 ??? Relaxa, a gente tem uma colinha aqui.

O vetor resultante é:

C → = 2 × 6 - 3 × 5 i + 3 × 4 - 1 × 6 j + 1 × 5 - 2 × 4 k

C → = ( - 3 ,   6 ,   - 3 )

A primeira linha é só pra agrupar as componentes, mais nada além disso, eu ficava mó na duvida pra que servia, mas não liga muito pra ela não! É só referência!

Pegou tudo? Partiu exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 34 –1.96.

Dois vetores A → e B → possuem módulo de A = 3,0   e de B = 3,0 . Seu produto vetorial é A →   ×   B → =   - 5,0 k + 2,0 i . Qual é o ângulo entre A → e B → ?

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Passo 1

Como foram dadas as componentes do A →   × B → , podemos calcular o módulo desse vetor, para depois usarmos a fórmula do produto vetorial.

C = A B   s e n ( ∅ )

Passo 2

Calculando o módulo do vetor C →

C → = C x 2 + C y 2

Substituindo as compenentes dadas temos:

C → = 29

Passo 3

Substituindo os valores no produto vetorial temos:

29 = 3.3 . s e n ( ∅ )

Isolando o s e n   ∅ , temos:

s e n ∅ = 29 9

Epa! Pega a sua calculadora aí!

∅ ≅ 37 °

Resposta

∅ ≅ 37 °

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 34 –1.96

Para os vetores A → e D →   indicados na figura abaixo:

  1. Ache o módulo e a direção do produto vetorial A →   ×   D →
  2. Ache o módulo e a direção do produto vetorial D →   ×   A →

Dados:

s e n 12 7 ° = 0 , 799

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para calcularmos o módulo do produto vetorial vamos usar a seguinte fórmula:

A → × B → = A | B | s e n ( ∅ )

É importante lembrar que o produto vetorial entre vetores não é comutativo, porém, pode ser considerado anti-comutativo?

Que???

C o m u t a t i v o → A × B = B × A

A n t i - c o m u t a t i v o → A × B = - B × A

Passo 2

Alternativa a)

Calculando o módulo de vetor:

A → 8 m

D → 10 m

∅ → 12 7 °

Substituindo os valores na equação do módulo do vetor temos:

| A → × D → | = 8.10 . s e n ( 12 7 ° )

A → × D → = 8   .   10   .   0,799

A → × D → = 63,92   m

Passo 3

Alternativa b)

Calculando o módulo de vetor:

D → 10 m

A → 8 m

∅ → 12 7 °

Substituindo os valores na equação do módulo do vetor temos:

| D → × A → | = 10.8 . s e n ( 12 7 ° )

D → × A → = 10.8 . 0 , 799

D → × A → = 63,92   m

Passo 4

Mas e a direção? Você não falou nada cara! Você deu a mesma resposta nas duas alternativas.

A direção dos vetores é a mesma. Os dois vetores passam pelo centro do eixo x y , perpendicular ao plano, pois os vetores precisam ser perpendiculares tanto à A → quanto à D → , na direção de z ^ .

Mas qual a diferença então?

A diferença é o sentido que os vetores possuem. Um vetor tem o sentido oposto ao outro.

Se você fizer a regra da mão direita , vai ver que o produto escalar de   D → × A → estará em z ^ e o A → × D → será no sentido - z ^ , que vai estar “furando” a tela do seu PC. :P

Resposta

Alternativa a)   63,92 m , - z ^

Alternativa b)   63,92 m ,   z ^

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 33 –1.87- Modificado.

A figura abaixo mostra um paralelogramo cujos lados são os vetores A → e B → .

  1. Mostre que o módulo do produto vetorial destes vetores é igual à área do paralelogramo . (Sugestão: á r e a = b a s e   x   a l t u r a )
  2. Qual é o ângulo entre o produto vetorial e o plano deste paralelogramo?
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Passo 1

Sabemos que a fórmula do módulo de um produto vetorial é:

A → × B → = A | B | s e n ( ∅ )

O que temos que fazer é provar que a área do paralelogramo tem essa mesma fórmula

Passo 2

Alternativa a)

O paralelogramo formado pelos vetores tem a seguinte forma:

Como o problema deu uma dica, vamos usar, né?

Para calcular a área desse paralelogramo vamos dividir ele em dois triângulos, pois assim podemos usar a fórmula da área que ele deu.

Passo 3

Como podemos perceber, divimos á area do paralelogramo em dois triângulos iguais, ou seja, se acharmos a área do triângulo conseguimos achar a área do paraleogramo.

S p a r a l e l o g r a m o = 2 .   S t r i â n g u l o

Para calcular a área do triângulo precisamos achar a altura relativa a base.

Considerando h a altura relativa à base, temos que:

h B = s e n ∅

h = B   s e n ( ∅ )

Passo 4

Como a fórmula da área de um triângulo é:

b a s e   . a l t u r a 2 = S t r i ã n g u l o

Substituindo os valores temos:

A . h 2 = S t r i â n g u l o

Escrevendo h em função de B → :

S t r i â n g u l o = A .   B .   s e n ∅ 2

Como já sabemos á relação da área do triângulo e do paralelogramo temos que:

S p a r a l e l o g r a m o = A B   s e n ( ∅ )

Passo 5

Alternativa b)

Como os vetores A →   e   B → formam um plano, que no caso é o plano do paralelogramo, e sabendo que o produto vetorial tem como resultado um vetor perpendicular à ambos, o vetor também é perpendicular ao plano formado pelos vetores:

Resposta

b )   90 °

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 31 –1.52 e pp 28 – 1.25.
  1. Prove que dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial, ou seja, prove que A →   ×   B → =   - B →   × A → .
  2. Se A → × B → = 0 , é necessariamente verdadeiro que A = 0   o u   B = 0   ? Explique.
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Passo 1

Alternativa a)

Se lembra como a gente calcula o produto vetorial por componentes? Então, vamos usar essa formula agora. Vamos supor dois vetores quaisquer, vamos trabalhar só com letras, ok? Sem números, é só comparativo.

A → = A x , A y , A z

B → = ( B x , B y , B z )

Passo 2

Vamos calcular primeiro o produto vetorial A →   x   B →

  i j z A x A y A z B x B y B z

Calculando o determinante temos:

A y B z - A z B y i + A z B x - A x B z j + ( A x B y - A y B x ) z

Passo 3

Agora vamos calcular o outro produto vetorial - B →   x   A → . Se encontrarmos o mesmo valor conseguimos provar que o produto vetorial é anticomutativo.

Vamos calcular primeiro o produto vetorial A →   x   B →

  i j z - B x - B y - B z A x A y A z

Calculando o determinante temos:

- B y A z - - B z A y i + - B z A x - - B x A z j + - B x A y - - B y A x z

Reorganizando os sinais e os fatores temos:

A y B z - A z B y i + A z B x - A x B z j + A x B y - A y B x

Passo 4

Alternativa b)

Pra fazer essa questão vamos lembrar da fórmula do módulo do produto vetorial:

A → × B → = | A → | | B → | s e n ⁡ ( θ )

Passo 5

Alternativa a)

Pra fazer essa questão vamos analisar primeiro o lado direito da equação.

Vamos considerar que nem A → , e nem B → tem valor 0 . Assim,

A → > 0

B → > 0

Assim, para o produto escalar ser 0 , o ângulo entre os vetores teria que ser ou 0 ° ou 180 ° , pois assim o sen ⁡ θ = 0 . Isso significa que os dois vetores são paralelos!

Resumindo: N ã o   p r e c i s a m   s e r   n e c e s s a r i a m e n t e   0 .

Resposta

b )   n ã o

Exercício Resolvido #5

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 28 –1.23

Considere os dois produtos vetoriais repetidos A →   ×   B →   ×   C → e A →   ×   B →   ×   C → . Forneça um exemplo para mostrar que estes dois vetores normalmente não possuem nem módulo nem direções iguais. Você pode escolher os três vetores A → ,   B →   e   C → de modo que esses dois produtos vetoriais sejam iguais? Em caso afirmativo, forneça um exemplo.

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Passo 1

Vamos usar 3 vetores escolhidos ao acaso para provar que normalmente os vetores não possuem nem módulo nem direções iguais

A → = 1,0 , 0

B → = ( 1,1 , 0 )

C → = ( 2,1 , 0 )

Escolhi vetores simples para não termos problemas nas contas. Números são um pouco chatinhos, ai acho melhor evitar =)

Passo 2

Alternativa a)

Vamos realizar uma operação de cada vez para não embolar a sua cabeça. A primeira que vamos fazer é A →   ×   B →   ×   C →

Calculando o produto vetorial B → × C →

  i j z 1 1 0 2 1 0

Assim temos como o vetor resultante D → :

D → = ( 0,0 , - 1 )

Passo 3

Calculando o produto vetorial entre A → × D →

  i j z 1 0 0 0 0 - 1

Depois de calcular o produto vetorial, a resposta da primeira equação é:

A → ×   B → × C → = ( 0,1 , 0 )

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda equação, fechado?

Calculando o produto vetorial A → × B →

  i j z 1 0 0 1 1 0

Assim temos como o vetor resultante E → :

E → = ( 0,0 , 1 )

Passo 5

Calculando o produto vetorial entre E → × C →

  i j z 0 0 1 2 1 0

Depois de calcular o produto vetorial, a resposta da segunda equação é:

A →   ×   B →   ×   C → = ( 1,2 , 0 )

Como os resultados foram diferentes, mostramos que normalmente os vetores não possuem módulos iguais, muito menos direções iguais.

Passo 6

Um modo fácil dos dois produtos serem iguais é todos os três vetores serem paralelos, pois assim, todos os produtos vetorais tem como resultado 0 , pois s e n 180 ° vale 0 .

Resposta

t r ê s   v e t o r e s   p a r a l e l o s

Exercício Resolvido #6

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 31 –1.56.

Por meio de desenhos simples dos produtos vetoriais aproximados, demonstre que | A →   x   B → | pode ser interpretado como o produto do módulo de A → vezes o componente de B → perpendicular a A → , ou o módulo de B →   vezes a componente de A → perpendicular a B → .

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Passo 1

Sabemos que a fórmula do módulo de um produto vetorial é:

A → × B → = A | B | s e n ( ∅ )

O que vamos fazer é demonstrar através da área de um paralelogramo que conseguimos encontrar essa fórmula.

Passo 2

O paralelogramo formado pelos vetores tem a seguinte forma:

Para calcular a área desse paralelogramo vamos dividir ele em dois triângulos, pois assim podemos usar a fórmula da área que ele deu.

Passo 3

Como podemos perceber, divimos á area do paralelogramo em dois triângulos iguais, ou seja, se acharmos a área do triângulo conseguimos achar a área do paraleogramo.

S p a r a l e l o g r a m o = 2 .   S t r i â n g u l o

Para calcular a área do triângulo precisamos achar a altura relativa a base.

Considerando h a altura relativa à base, ou seja, a componente vertical de B →   em relação à A → , temos que:

h B = s e n ∅

h = B   s e n ( ∅ )

Passo 4

Como a fórmula da área de um triângulo é:

b a s e .   a l t u r a 2 = S t r i ã n g u l o

Substituindo os valores temos:

A   . h 2 = S t r i â n g u l o

Escrevendo h em função de B → :

S t r i â n g u l o = A   . B   . s e n ∅ 2

Como já sabemos á relação da área do triângulo e do paralelogramo temos que:

S p a r a l e l o g r a m o = 2 .   S t r i â n g u l o = A B   s e n ( ∅ )

Logo, como podemos ver, um produto vetorial A → × B → pode ser escrito como:

A → × B → = A B   s e n θ = A . h

onde B s e n θ é a componente de B → perpendicular a A → .

Resposta

Exercício Resolvido #7

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 28 –1.19

Se A →   e   B →   são vetores diferentes de zero, é possível que A → ∙ B → e A → × B → sejam ambos zero? Explique.

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Passo 1

Bom, antes de analisar a afirmativa, vamos lembrar as fórmulas de cada um?

O produto escalar resulta em um número, dado por:

A → ∙ B → = A → B → cos ⁡ ∅

Já o produto vetorial resulta não em um número, mas em um outro vetor C → , cujo módulo é dado por:

C → = A → B → s e n ( ∅ )

Ou simplesmente, podemos escrever os módulos apenas com as letras sem a setinha:

C = A B s e n ϕ

Passo 2

Como os módulos dos vetores são diferentes de zeros (tá no enunciado, checa lá), o que fica em jogo aqui é o s e n ∅   e   c o s ⁡ ( ∅ ) . Como os dois não podem ser zero ao mesmo tempo, é impossível as duas expressões serem ambas zero.

:D

Resposta

N ã o   : )

Exercício Resolvido #8

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 28 –1.22.

Quais das seguintes operações são legítimas:

  1. A → * B → - C →
  2. A → - B →   × C →
  3. A → * B →   ×   C →
  4. A →   ×   B → ×   C →
  5. A →   ×   B → * C →

Forneça a razão da resposta em cada caso.

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Passo 1

Alternativa a)

Legitima

A operação B → - C → é uma operação normal de subtração de vetores e com o vetor resultando é feito um produto escalar com o vetor A → .

Passo 2

Alternativa b)

Legitima

A operação A → - B → é uma operação normal de subtração de vetores e com o vetor resultando é feito um produto vetorial com o vetor C → .

Passo 3

Alternativa c)

Legitima

A operação B →   ×   C → é um produto vetorial entre dois vetores, que gera um vetor resultante, que faz um produto escalar com o vetor A →

Passo 4

Alternativa d)

Legitima

A operação B × → C → é um produto vetorial entre dois vetores, que gera um vetor resultante, que faz um produto vetorial com o vetor A →

Passo 5

Alternativa e)

Ilegitima

A operação B → * C → é um produto escalar entre dois vetores, que gera um número resultante, que faz um produto vetorial com o vetor A → , o que é errado, pois um produto vetorial precisa ser necessariamente entre dois vetores.

Resposta

  1. Legitima
  2. Legitima
  3. Legitima
  4. Legitima
  5. Ilegítima

Exercício Resolvido #9

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 28 –1.24.

Demonstre que, não importa o que sejam, A → e B → , A → * A →   ×   B → = 0 .

(Sugestão: não procure uma prova matemática elaborada. Em vez disso, examine a definição da direção do cross product).

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Passo 1

Bom, já que a questão deu dica, vamos usar, né? Hahahhahaa

O produto vetorial A →   ×   B → vai gerar um vetor(ahhh, vá?) que é perpendicular ao mesmo tempo à A →   e   B → ,   ou seja, o ângulo entre o vetor resultante é os vetores do produto vetorial é 90 ° .

Passo 2

-

Se lembra como varia o produto escalar de acordo com o ângulo entre os vetores? Então, só com isso a gente já mata a questão: sempre que o ângulo entre dois vetores é 90 ° o produto escalar entre eles vale 0 .

C a b o u u u   : )

Resposta

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