Componentes de um Vetor e Vetor Unitário

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Teoria

Fala aí! Tá preparado pra entender o assunto de vetores com tudo o que tem direito de uma vez por todas? Então vem comigo dominar os componentes de um vetor, decomposição de vetores, vetor unitário e um pouco mais!

Ah, se quiser dar uma revisada no comecinho de vetores, não deixa de conferir o primeiro link aqui embaixo, lá a gente discute sobre direção, sentido e vetor deslocamento!

Veja também

Vetor em Duas Dimensões

Se você se deparasse com um vetorzinho igual esse aqui embaixo, você saberia me dizer as propriedades dele?

Um vetor em um eixo cartesiano.
Um vetor em um eixo cartesiano.

Lembre que um vetor tem módulo, direção e sentido. Mas vamos tratar de uma coisa de cada vez.

Começando pelo tamanho do vetor. O jeito mais fácil de expressar esse cara é por meio das suas componentes.

Quais são as componentes do vetor?

Um vetor de duas dimensões tem duas componentes: uma horizontal e uma vertical. A primeira é a projeção do vetor sobre o eixo x, e a outra é a projeção desse vetor sobre o eixo y.

Força um pouquinho a imaginação aí e tenta pensar em uma lanterna iluminando esse vetor pelo lado de cima. A sombra projetada no eixo x equivale à componente horizontal do vetor (aquela seta em vermelho ali).

Projeção do vetor no eixo x.
Projeção do vetor no eixo x.

Similarmente, se iluminarmos o vetor pela lateral, vamos obter a projeção da componente vertical lá no eixo y.

Projeção do vetor no eixo y.
Projeção do vetor no eixo y.

Assim, eu imagino que fique bem mais fácil de perceber o tamanho de cada componente desse vetor.

As componentes x e y do vetor.
As componentes x e y do vetor.

A gente chama a componente horizontal do vetor de , e a vertical de .

Aqui no nosso exemplo, essas componentes valem:

O que significa que nosso vetor desloca 3 unidades para a direita e 2 unidades para cima, em relação a origem!

Vetores unitários

Os vetores unitários, ou versores, são vetores paralelos aos eixos cartesianos e de módulo igual a 1. Eles são muito úteis para encontrarmos um jeito de escrever qualquer vetor em função de vetores unitários.

Se liga, o vetor unitário está sobre o eixo e tem módulo igual a 1. O vetor unitário está sobre o eixo e tem módulo igual a 1.

(E a gente usa o chapeuzinho em vez da setinha em cima da letra quanto tiver falando de um versor).

Vetores unitários i e j no plano cartesiano.
Vetores unitários i e j no plano cartesiano.

Então, se a gente viu naquele exemplo anterior que o vetor tem componente horizontal igual a 3 unidades e componente vertical igual a 2 unidades, a gente pode escrevê-lo assim:

Módulo de um Vetor

Beleza, a gente sabe encontrar o tamanho das componentes de um vetor, mas muitas vezes o que importa mesmo é o tamanho - o módulo - do vetor original.

Como a gente faz isso?

Olha bem para essa figura aqui e tenta pensar na resposta:

Triângulo retângulo formado pelas componentes do vetor.
Triângulo retângulo formado pelas componentes do vetor.

Seria aquilo um triângulo retângulo???? 👀

O módulo do nosso vetor , expresso por , vai ser dado por Pitágoras! E os catetos do triângulo correspondem às componentes que a gente já aprendeu a calcular.

Decomposição de Vetores

Agora vem a parte mais importante de vetores: a decomposição.

Olha só por que isso é importante, no exemplo que estamos resolvendo desde o começo, eu te dei os valores das coordenadas dos eixos e isso nos permitiu calcular o módulo das componentes e do vetor. Mas e se a gente só conhecesse o valor do módulo do vetor e precisasse encontrar suas componentes?

Já adianto que isso é um problema muuuuuito comum em física, mecânica e várias outras matérias.

Pra resolver isso aí, a gente precisa conhecer a direção do vetor, isto é, o ângulo que ele faz com algum dos eixos.

Representação do ângulo entre um vetor e o eixo x.
Representação do ângulo entre um vetor e o eixo x.

E aí, a gente continua pensando nas relações do triângulo retângulo!

Você precisa lembrar que o seno de um ângulo é igual ao cateto oposto dividido pela hipotenusa.

Então, repare que o cateto oposto nessa imagem aí em cima é a componente vertical de , o cateto adjacente é a componente horizontal e a hipotenusa é o próprio módulo de (que a gente precisa conhecer previamente pra resolver esse problema).

Com isso:

Só fica ligado, porque, caso o exercício dê o ângulo ali entre e o eixo , essas relações se invertem, viu?

Operações com Vetores

A gente pode fazer somas, subtrações, multiplicações e divisões com vetores! Para todas elas, é importantíssimo você estar dominando essa parte das componentes.

Multiplicação de um Vetor por um Escalar

Uma multiplicação de um vetor por um escalar é quando você multiplica um número por um vetor. Não tem muito segredo não, é só multiplicar o escalar (número) por cada uma das componentes do vetor.

Por exemplo, ainda tratando do vetor que vimos lá no começo. Se quisermos multiplicá-lo por 5:

Soma e Subtração de Vetores

Para fazermos operações de soma ou subtração de vetores, basta somar ou subtrair suas componentes!

Se liga, com os vetores:

Para calcularmos a soma desses vetores, vamos somar a componente i do vetor V com a componente i do vetor U e a componente j do vetor V com a componente j do vetor U. Sem esquecer dos sinais!

E o mesmo vale para a subtração! Só que aí tem que tomar cuidado com o jogo de sinais.

Vetor em Três Dimensões

Tudo o que vimos para vetores de duas dimensões continua valendo aqui. A diferença, é claro, é que agora devemos considerar mais uma dimensão.

Exemplo de um vetor tridimensional.
Exemplo de um vetor tridimensional.

Agora, esse cara tem três componentes: , e . E essa componente nova também tem um vetor unitário correspondente, que a gente representa por .

Pra calcular o módulo de um cara desse tipo, a gente continua tomando a raiz da soma das componentes ao quadrado, igual vimos anteriormente:

Ufaaa, finalizamos!!

Bora praticar com alguns dos nossos exercícios resolvidos passo a passo pra ficarmos bem craques no assunto!

Módulo de um Vetor

Decomposição de Vetores

Operações com Vetores

Vetor em Três Dimensões

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Você pode achar uma grandeza vetorial que possua módulo igual a zero, tendo, porém, componentes diferentes de zero? Explique. É possível o módulo de um vetor ser menor que o módulo de qualquer de seus componentes? Explique

Passo 1

Como a questão trabalha com vetor, módulo e suas componentes, vamos usar a seguinte equação para resolver as questões

A 2 = A x 2 + A y 2

Passo 2

Como o módulo do vetor é igual a 0 , temos:

0 = A x 2 + A y 2

Como as componentes x e y são diferentes de zero, temos que a soma de dois números positivos tem como resultado 0 , o que seria impossível.

Passo 3

A 2 = A x 2 + A y 2

Na equação o módulo do vetor é sempre o módulo de uma componente somado ao módulo da outra componente. Como os dois resultados são sempre positivos, não há como o módulo do vetor ser menor que uma das componentes.

Resposta

N ã o   e   N ã o   : )

Exercício Resolvido #2

Um vetor tem uma componente x negativa e uma componente y positiva. Seu ângulo, medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, vale:

  1. Entre zero e 90 graus
  2. Entre 90   e 180 graus
  3. Mais de 180 graus

Passo 1

Vamos desenhar um vetor de acordo com as condições dadas no problema para entendermos o que está acontecendo.

Passo 2

Como podemos ver na figura, o ângulo está entre 90 ° e 180 ° . O veto está no segundo quadrante, ou seja, o ângulo é 90 + θ , onde o valor de θ é 0 < θ < 90 .

Passo 3

Quer uma outra idéia pra pensar? Sabemos que as componentes de um vetor são

x = A cos ⁡ θ

y = A s e n θ

Como A é sempre positivo, o que define a componente ser positiva ou negativa é o c o s   e s e n do ângulo. Assim, fica mais tranquilo identificar em qual quadrante está o ângulo. Se a componente x é negativa, o c o s ⁡ ( θ ) é negativo, se a componente y é positiva, o s e n ( θ ) é positivo.

Resposta

L e t r a   b )

Exercício Resolvido #3

Escreva cada vetor indicado na figura abaixo em termos de vetores unitários î   e   j ^ .

Passo 1

Para calcular cada componente vamos precisar saber o módulo de cada vetor e a o ângulo que o vetor faz com o eixo + O x

V x = V cos ⁡ θ

V y = V s e n θ

Passo 2

Considerando o ângulo com o eixo + 0 x temos:

A = 8   m

θ A = 270 °

A x = 8 cos ⁡ 270 °

A y = 8 s e n 270 °

A x = 0 m

A y = - 8 m

A → = ( - 8 j ^ )   m

Passo 3

Como o ângulo com o eixo + O y vale 30 ° , o ângulo com o eixo + O x vale 60 °

Assim temos:

B = 15   m

θ B = 60 °

B x = 15 cos ⁡ 60 °

B y = 15 s e n 60 °

B x = 15 2 m

B y = 15 3 2 m

B → = 15 2 î + 15 3 2 j ^ m

Passo 4

Como o ângulo com o eixo - O x val 25,0 ° e o ângulo está abaixo do eixo, temos que o ângulo com eixo + O x vale 180 ° + 25 ° .

Assim temos:

C = 12   m

θ C = 205 °

C x = 12 cos ⁡ 205 °

C y = 12 s e n 205 °

C x = - 10,9   m

C y = - 5 m

C → = - 10,9 î - 5 j ^ m

Passo 5

O ângulo com o eixo + O x vale 53 ° + 90 ° = 143 °

Assim temos:

D = 10   m

θ D = 143 °

D x = 10 cos ⁡ 143 °

D y = 10 s e n 143 °

D x = - 8 m

D y = 6 m

D → = - 8 î + 6 j ^ m

Resposta

A → = ( - 8 j ^ )   m

B → = 15 2 î + 15 3 2 j ^ m

C → = - 10,9 î - 5 j ^ m

D → = - 8 î + 6 j ^ m

Exercício Resolvido #4

Determine as componentes x e y dos seguintes três vetores do plano x y .

  1. Um vetor deslocamento de 10 m que forma um ângulo de 30 ° no sentido horário a partir do eixo + y
  2. Um vetor velocidade de 25   m / s que forma um ângulo de 40 ° no sentido anti-horário com o eixo - x .
  3. Uma força de 40   l b que forma um ângulo de 120 ° no sentido anti-horário com o eixo - y .

Passo 1

Para calcular cada componente vamos precisar saber o módulo de cada vetor e a o ângulo que o vetor faz com o eixo + O x

V x = V cos ⁡ θ

V y = V s e n θ

Passo 2

Considerando o ângulo que o vetor faz com o eixo + 0 x temos:

D = 10 m

θ D = 60 °

Substituindo os valores:

D x = D cos ⁡ 60 °

D y = D s e n 60 °

Componentes:

D x = 5 m

D y = 10 3 2 = 5 3 m

Passo 3

Considerando o ângulo que o vetor faz com o eixo + 0 x temos:

V = 25 m / s

θ V = 22 0 °

Substituindo os valores:

V x = V cos ⁡ 22 0 °

V y = V s e n 22 0 °

Componentes:

V x = - 19,1   m / s

V y = - 16   m / s

Passo 4

Considerando o ângulo que o vetor faz com o eixo + 0 x temos:

F = 40 l b

θ D = 3 0 °

Substituindo os valores:

F x = F cos ⁡ 3 0 °

F y = F s e n 3 0 °

Componentes:

F x = 40 3 2 = 20 3   l b

F y = 20   l b

Resposta

D x = 5 m

D y = 5 3 m

V x = - 19,1   m / s

V y = - 16   m / s

F x = 20 3   l b

F y = 20   l b

Exercício Resolvido #5

Determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes:

  1. A x =   - 8,60 c m                         A y =   5,20 c m
  2. A x =   - 9,70 m                         A y =   - 2,45 m
  3. A x =   7,75 k m                         A y =   - 2,70 k m

Passo 1

Cada par de vetores vai formar uma resultante A e o módulo dessa resultante é retirado a partir das componentes, é o que faremos para todos os itens, sem mistério.

Para calcular o módulo a partir das componentes vamos utilizar a seguinte fórmula:

A 2 = A x 2 + A y 2

Para saber o sentido e a direção do vetor, temos que prestar muita atenção aos sinais das camponentes e saber que:

t g   θ = A y A x  

Passo 2

a) A x =   - 8,60 c m                         A y =   5,20 c m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = - 8,60 c m 2 + 5,20 c m 2

A 2 = 101 c m 2

A ≅ 10 c m

Vamos fazer um desenho desse vetor, colocando um sistema de eixos e suas componentes no plano cartesiano.

Agora vamos calcular o ângulo e avaliar se está coerente.

t g   θ = 5,20 c m - 8,60 c m =   - 0,60

Como a componente x é negativa e a componente y é positiva, o vetor está no segundo quadrante, como no desenho.

O ângulo do que o vetor faz deve ser calculado a partir do primeiro quadrante portanto vamos guardar o valor de θ em módulo e retirar de 180 ° como podemos ver na figura.

θ = a r c t g - 0,60 = - 30,96 °

Pro calculo do ângulo da posição usaremos o módulo de θ :

θ = 30 , 9 6 °

Mas não se esqueça de tirar esse ângulo dos 180 para ter a posição do vetor:

θ ' = 180 - θ = 180 - 30,96 ° = 149,04 °

Passo 3

b) A x =   - 9,70 m                         A y =   - 2,45 m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = - 9,70 m 2 + - 2,45 m 2

A 2 = 100   m 2

A = 10 m

Vamos de novo fazer um desenho, aqui poderemos representar somente os sinais pra avaliar a coerência do ângulo encontrado.

Vamos calcular o valor de θ , começando pela sua tangente.

t g   θ = - 2,45   m - 9,70   m =   0,25

θ = a r c t g 0,25 = 14,04 °

Também usaremos o módulo ainda que pro caso positivo não faça diferença alguma:

θ = 14,04 °

Como a componente x negativa e a componente y é negativa, o vetor esta no terceiro quadrante. Nesse caso o ângulo θ ' que o vetor faz com o primeiro quadrante é:

θ ' = 180 ° + θ = 180 + 14,04 = 194,04 °

Passo 4

c) A x =   7,75 k m                         A y =   - 2,70 k m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = 7,75 k m 2 + - 2,70 k m 2

A 2 = 67   k m 2

A = 8,20   k m

Vamos avaliar na figura a posição do vetor e o seu ângulo:

Calculando o valor de θ :

  t g   θ = - 2,70 k m 7,75 k m = -   0,35

Como a componente x é positiva e a componente y é negativa, o vetor esta no quarto quadrante.

Nesse caso calculamos o ângulo θ :

θ = a r c t g - 0,35 = 19,29 °

E subtraímos de 360 ° o seu módulo:

θ ' = 360 - θ = 360 - 19,29

Logo:

θ = 340,71 °

Resposta

  1. A ≅ 10 c m

  2. A = 10 m

A = 8,20   k m

Exercício Resolvido #6

O vetor A → tem componentes A x = 1,3   c m , A y = 2,25   c m ; o vetor B → tem componentes B x = 4,1   c m , B y = - 3,75   c m

  1. Encontre A → + B →
  2. Calcule o módulo do vetor anterior

Passo 1

a)

Temos as componentes do vetor A → , ele fica

A → = A x i ^ + A y j ^

A → = 1,3 i ^ + 2,25 j ^   c m

Passo 2

Temos as componentes do vetor B → , ele fica

B → = B x i ^ + B y j ^

B → = 4,1 i ^ - 3,75 j ^   c m

Passo 3

Agora que temos os vetores A → e B → podemos encontrar S → somando as componentes de A → e B →

S x = 1,3 ⏟ A x + 4,1 ⏟ B x = 5,4   c m

S y = 2,25 ⏟ A y + - 3,75 ⏟ B y = - 1,5   c m

S → = 5 , 4 i ^ - 1,5 j ^   c m

Passo 4

b)

Para encontrar o módulo de S → fazemos

S 2 = S x 2 + S y 2

S 2 = 5,4 2 + - 1,5 2

S = 5,60   c m

Resposta

  1. S → = 5,4 i ^ - 1,5 j ^   c m
  2. S = 5,60   c m

Exercício Resolvido #7

Use componentes de vetores para determinar o módulo e a direção do vetor necessários para equilibrar os dois vetores demonstrados na Figura 1.36 . Considere o vetor 625   N ao longo do eixo - O y e considere o eixo + O x ortogonal a ele, no sentido da direita.

Passo 1

O primeiro passo da questão é achar o vetor resultante da soma dos vetores dados. Depois que acharmos o vetor resultando, para estar equilíbrio, as componentes precisam ser nulas, ou seja, basta adicionarmos um vetor contrário ao vetor resultante.

Passo 2

Para somar dois vetores vamos decompor cada um deles, para isso, podemos observa-los de uma outra forma:

Decompondo o vetor A → :

A x → = 875 . cos ⁡ 30 ° i