Componentes de Vetores e Vetores Unitários

Teoria Completa

Componentes de um vetor

Em Física, vemos situações onde usaremos uma, duas ou três dimensões.

As componentes de um vetor são os valores da grandeza nessas direções que iremos usar.

Quando fazemos exercícios com uma dimensão, não usamos um vetor porque o sinal desta grandeza é o suficiente para determinar a direção e sentido.

Normalmente, temos:

Quando temos um movimento na horizontal, se o valor da grandeza for positivo ela está para direita e se for negativo estará para esquerda.

Quando temos um movimento na vertical, se o valor da grandeza for positivo ela está para cima e se for negativo estará para baixo.

Nas outras situações, como as de duas dimensões, usaremos, para referência, um plano cartesiano.

Ele é nada mais que uma combinação de movimento vertical com movimento horizontal. Geralmente, utilizamos:

eixo   x movimento horizontal eixo   y movimento vertical

Quando o valor da componente HORIZONTAL é positivo significa que está “apontandopara direita e o valor negativo significando que está “apontadopara esquerda.

Enquanto isso, quando o valor da componente VERTICAL é positivo significando que está “apontandopara cima e o valor negativo significando que está “apontadopara baixo.

Ah, tudo isso são convenções usadas. Se numa questão o carinha te disser que pra baixo é positivo você acredita nele, ok? Se não disser nada usa essa convenção. :D~

Tá, vamos ao que interessa. Saca só esse gráfico:

Nessa figura temos desenhado um vetor v , certo?

Repare que ele se desloca 3 em x (HORIZONTAL), e 2 em y (VERTICAL), em relação a origem.

Então sua componente horizontal vale 3 , e sua componente vertical vale 2 .

Mas como escrever esse vetor?

A forma mais comum de escrevê-lo é usando os vetores unitários i ^ e j ^ .

Esses vetores nada mais são que a representação do deslocamento em cada direção.

O i ^ é o deslocamento no eixo x , que é o deslocamento horizontal.

O j ^ é o deslocamento no eixo y , que é o deslocamento vertical.

Esse vetor vai ficar escrito assim;

v = 3 i ^ + 2 j ^

Onde o valor da componente x é escrito multiplicado por i ^ e o valor de y é escrito multiplicado por j ^ .

Obs: Muitas vezes você também pode encontrar os vetores escritos nesse formato;

v = ( 3 ,   2 )

Onde o primeiro algarismo antes da virgula é o valor da componente x e o algarismo após a virgula é o valor da componente y . Então fique atento!

Vetor em 3 Dimensões

Vimos até agora situações com vetores em duas dimensões, mas existem, também, casos com três dimensões. Mas como escrever um vetor em três dimensões?

Dificilmente você vai ter o valor do vetor e o ângulo, normalmente as componentes são dados do problema.

A atenção, agora, deve ser dada aos eixos. Vamos dar uma olhada no “plano” cartesiano em 3 D .

E agora? O que é vertical ou horizontal??? Calma, relaxa, vamos entender isso juntos?

A forma fácil de ver quanto é o valor de cada componente é desenhar o eixo cartesiano.

Vamos ver um exemplo.

Vamos chamar esse vetor de v .

Qual vai ser a componente em x ?

v x = 2

Qual vai ser a componente em y ?

v y = 3

Qual vai ser a componente em z ?

v z = 6

Como vou escrever isso vetorialmente? Esse é o grande problema, o x e o y não mudam nada, eles continuam multiplicados por i ^ e j ^ . Mas e o eixo z ? Tem um cara “chapéu” para ele também: o k ^ . Logo, o vetor vai ficar assim:

v = v x i ^ + v y j ^ + v z k ^

Sacou? Como fica então???

v = 2 i ^ + 3 j ^ + 6 k ^

E, agora, temos o nosso vetor em três dimensões.

Obs.2: Vetores de três dimensões também podem ser escritos no outro formato! Fica assim;

v = ( 2 ,   3 ,   6 )

Módulo de um vetor

O valor numérico de algumas grandezas é muito importante para os estudos da física. No caso dos vetores esse valor numérico é chamado de Módulo do vetor, e é escrito, para um vetor v qualquer, como v , as vezes você pode encontrar ele escrito como v .

Qual a diferença? Nenhuma, vai a gosto do freguês ^_^

Mas como calculamos o módulo? Temos uma fórmula para isso.

v 2 = v x 2 + v y 2

Com v x sendo a componente x do vetor, e v y sendo a componente y do vetor.

Essa fórmula lembra a fórmula de Pitágoras né?

Ainda em relação ao vetor v do gráfico, já vimos que,

v x = 3

v y = 2

v 2 = 3 2 + 2 2 = 9 + 4

v = 13

Então seu módulo vale 13 .

Para o vetor com três dimensões a fórmula é parecida

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2

Decompondo um vetor

Em muitos casos não saberemos as componentes do vetor, mas sim seu módulo e o ângulo que este vetor faz com algum dos eixos.

Como vamos achar as componentes então?

Vamos considerar

v = 10

θ = 60 °

Para achar cada componente basta multiplicar o módulo pelo seno ou cosseno do ângulo.

Agora ferrou né? Quando usar seno? Quando usar cosseno?

Aqui vai uma malandragem para conseguir lembrar SEMPRE quando usar seno e quando usar cosseno.

Percebe que a componente x está “COlada” com o ângulo? Então vamos usar COsseno

v x = 10 v 1 2 cos 60 ° = 5

Repare agora que a componente y está “SEparada” do ângulo, então vamos usar SEno

v y = 10 v 3 2 sen 60 ° = 5 3

Pronto, agora já temos as componentes do vetor!

Viu que a partir do ângulo conseguimos chegar nas componentes, né? Então a partir das componentes conseguimos chegar no ângulo da mesma forma!!!

Vimos que a componente y está relacionada com o s e n θ

Vimos que a componente x está relacionada com o cos θ

Que que isso lembra ?????? Nada ? =(

Então eu te lembro!

s e n θ cos θ = t g   θ

Assim podemos relacionar o ângulo com as componentes:

t g   θ = v y v x

Viu que o ângulo é feito sempre com o eixo + O x (o eixo horizontal)? Nos exercícios vão ser dados vários ângulos, nem sempre o que formam com o eixo + O x . Existem várias formas de fazer com os ângulos, mas vamos sempre buscar achar o ângulo com o eixo + O x para usar essas equações !!!

Isso é importantissimoooo, não esquece ein!

Multiplicação por um escalar

Falta um último detalhe, a multiplicação por um escalar. Nome bonito né?

Mas o que diabos é a multiplicação por um escalar?

É quando você multiplica um número por um vetor, ainda usando o vetor v ali de cima. Vamos multiplica-lo por 5 .

5 v = 5 3 i ^ + 4 j ^

Fazer essa conta basta fazer a distributiva, vai ficar assim

5 v = 5 3 i ^ + 4 j ^ = 5 3 i ^ + 5 4 j ^

5 v = 15 i ^ + 20 j ^

Soma e Subtração de vetores por componentes

Vamos ver mais para frente como calcular velocidade média, aceleração média, forças, etc.

Em todos esses casos precisamos saber somar ou subtrair vetores.

Mas como faz? Relaaaaxa, é de boa. Se liga só, vamos pegar dois vetores

v = 3 i ^ + 4 j ^

u = - 2 i ^ + 2 j ^

Se vamos calcular a soma desses vetores, basta somarmos suas componentes:

v + u = 3 + - 2 i ^ + 4 + 2 j ^

v + u = i ^ + 6 j ^

Se fosse subtração, basta diminuirmos suas componentes.

v - u = 3 - - 2 i ^ + 4 - 2 j ^

v - u = 5 i ^ + 2 j ^

Beleza? Vamos para os exercícios para fixar isso melhor!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 28 – 1.16.

Você pode achar uma grandeza vetorial que possua módulo igual a zero, tendo, porém, componentes diferentes de zero? Explique. É possível o módulo de um vetor ser menor que o módulo de qualquer de seus componentes? Explique

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Passo 1

Como a questão trabalha com vetor, módulo e suas componentes, vamos usar a seguinte equação para resolver as questões

A 2 = A x 2 + A y 2

Passo 2

Como o módulo do vetor é igual a 0 , temos:

0 = A x 2 + A y 2

Como as componentes x e y são diferentes de zero, temos que a soma de dois números positivos tem como resultado 0 , o que seria impossível.

Passo 3

A 2 = A x 2 + A y 2

Na equação o módulo do vetor é sempre o módulo de uma componente somado ao módulo da outra componente. Como os dois resultados são sempre positivos, não há como o módulo do vetor ser menor que uma das componentes.

Resposta

N ã o   e   N ã o   : )

Exercício Resolvido #2

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 22– 10.

Um vetor tem uma componente x negativa e uma componente y positiva. Seu ângulo, medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, vale:

  1. Entre zero e 90 graus
  2. Entre 90   e 180 graus
  3. Mais de 180 graus
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Passo 1

Vamos desenhar um vetor de acordo com as condições dadas no problema para entendermos o que está acontecendo.

Passo 2

Como podemos ver na figura, o ângulo está entre 90 ° e 180 ° . O veto está no segundo quadrante, ou seja, o ângulo é 90 + θ , onde o valor de θ é 0 < θ < 90 .

Passo 3

Quer uma outra idéia pra pensar? Sabemos que as componentes de um vetor são

x = A cos θ

y = A s e n θ

Como A é sempre positivo, o que define a componente ser positiva ou negativa é o c o s   e s e n do ângulo. Assim, fica mais tranquilo identificar em qual quadrante está o ângulo. Se a componente x é negativa, o c o s ( θ ) é negativo, se a componente y é positiva, o s e n ( θ ) é positivo.

Resposta

L e t r a   b )

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 30 – 1.34 - Modificado.

Escreva cada vetor indicado na figura abaixo em termos de vetores unitários î   e   j ^ .

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Passo 1

Para calcular cada componente vamos precisar saber o módulo de cada vetor e a o ângulo que o vetor faz com o eixo + O x

V x = V cos θ

V y = V s e n θ

Passo 2

Considerando o ângulo com o eixo + 0 x temos:

A = 8   m

θ A = 270 °

A x = 8 cos 270 °

A y = 8 s e n 270 °

A x = 0 m

A y = - 8 m

A = ( - 8 j ^ )   m

Passo 3

Como o ângulo com o eixo + O y vale 30 ° , o ângulo com o eixo + O x vale 60 °

Assim temos:

B = 15   m

θ B = 60 °

B x = 15 cos 60 °

B y = 15 s e n 60 °

B x = 15 2 m

B y = 15 3 2 m

B = 15 2 î + 15 3 2 j ^ m

Passo 4

Como o ângulo com o eixo - O x val 25,0 ° e o ângulo está abaixo do eixo, temos que o ângulo com eixo + O x vale 180 ° + 25 ° .

Assim temos:

C = 12   m

θ C = 205 °

C x = 12 cos 205 °

C y = 12 s e n 205 °

C x = - 10,9   m

C y = - 5 m

C = - 10,9 î - 5 j ^ m

Passo 5

O ângulo com o eixo + O x vale 53 ° + 90 ° = 143 °

Assim temos:

D = 10   m

θ D = 143 °

D x = 10 cos 143 °

D y = 10 s e n 143 °

D x = - 8 m

D y = 6 m

D = - 8 î + 6 j ^ m

Resposta

A = ( - 8 j ^ )   m

B = 15 2 î + 15 3 2 j ^ m

C = - 10,9 î - 5 j ^ m

D = - 8 î + 6 j ^ m

Exercício Resolvido #4

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 24– 53.

Determine as componentes x e y dos seguintes três vetores do plano x y .

  1. Um vetor deslocamento de 10 m que forma um ângulo de 30 ° no sentido horário a partir do eixo + y
  2. Um vetor velocidade de 25   m / s que forma um ângulo de 40 ° no sentido anti-horário com o eixo - x .
  3. Uma força de 40   l b que forma um ângulo de 120 ° no sentido anti-horário com o eixo - y .
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Passo 1

Para calcular cada componente vamos precisar saber o módulo de cada vetor e a o ângulo que o vetor faz com o eixo + O x

V x = V cos θ

V y = V s e n θ

Passo 2

Considerando o ângulo que o vetor faz com o eixo + 0 x temos:

D = 10 m

θ D = 60 °

Substituindo os valores:

D x = D cos 60 °

D y = D s e n 60 °

Componentes:

D x = 5 m

D y = 10 3 2 = 5 3 m

Passo 3

Considerando o ângulo que o vetor faz com o eixo + 0 x temos:

V = 25 m / s

θ V = 22 0 °

Substituindo os valores:

V x = V cos 22 0 °

V y = V s e n 22 0 °

Componentes:

V x = - 19,1   m / s

V y = - 16   m / s

Passo 4

Considerando o ângulo que o vetor faz com o eixo + 0 x temos:

F = 40 l b

θ D = 3 0 °

Substituindo os valores:

F x = F cos 3 0 °

F y = F s e n 3 0 °

Componentes:

F x = 40 3 2 = 20 3   l b

F y = 20   l b

Resposta

D x = 5 m

D y = 5 3 m

V x = - 19,1   m / s

V y = - 16   m / s

F x = 20 3   l b

F y = 20   l b

Exercício Resolvido #5

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 30 – 1.40.

Determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes:

  1. A x =   - 8,60 c m                         A y =   5,20 c m
  2. A x =   - 9,70 m                         A y =   - 2,45 m
  3. A x =   7,75 k m                         A y =   - 2,70 k m
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Passo 1

Para calcular o módulo a partir das componentes vamos utilizar a seguinte fórmula:

A 2 = A x 2 + A y 2

Para saber o sentido e a direção do vetor, temos que prestar muita atenção aos sinais das camponentes e saber que:

t g   θ = A y A x  

Passo 2

a) A x =   - 8,60 c m                         A y =   5,20 c m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = - 8,60 c m 2 + 5,20 c m 2

A 2 = 101 c m 2

A 10 c m

Calculando o valor de θ :

t g   θ = 5,20 c m - 8,60 c m =   - 0,60

Como a componente x é negativa e a componente y é positiva, o vetor esta no segundo quadrante.

Pega a calculadora aí, que vamos precisar dela pra achar que:

θ = 148,8 °

E o vetor vai ficar tipo assim:

Passo 3

b) A x =   - 9,70 m                         A y =   - 2,45 m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = - 9,70 m 2 + - 2,45 m 2

A 2 = 100   m 2

A = 10 m

Calculando o valor de θ :

t g   θ = - 2,45   m - 9,70   m =   0,25

Como a componente x negativa e a componente y é negativa, o vetor esta no terceiro quadrante.

Ih! Vamos ter que usar a calculadora pra achar esse ângulo aí!

Calculando, teremos:

θ = 194,4 °

Passo 4

c) A x =   7,75 k m                         A y =   - 2,70 k m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = 7,75 k m 2 + - 2,70 k m 2

A 2 = 67   k m 2

A = 8,20   k m

Calculando o valor de θ :

  t g   θ = - 2,70 k m 7,75 k m = -   0,35

Como a componente x é positiva e a componente y é negativa, o vetor esta no quarto quadrante.

Logo:

θ = 340,8 °

Resposta

  1. A 10 c m

  2. A = 10 m

A = 8,20   k m

Exercício Resolvido #6

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 25 - Modificado

O vetor A tem componentes A x = 1,3   c m , A y = 2,25   c m ; o vetor B tem componentes B x = 4,1   c m , B y = - 3,75   c m

  1. Encontre A + B
  2. Calcule o módulo do vetor anterior
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Passo 1

a)

Temos as componentes do vetor A , ele fica

A = A x i ^ + A y j ^

A = 1,3 i ^ + 2,25 j ^   c m

Passo 2

Temos as componentes do vetor B , ele fica

B = B x i ^ + B y j ^

B = 4,1 i ^ - 3,75 j ^   c m

Passo 3

Agora que temos os vetores A e B podemos encontrar S somando as componentes de A e B

S x = 1,3 A x + 4,1 B x = 5,4   c m

S y = 2,25 A y + - 3,75 B y = - 1,5   c m

S = 5 , 4 i ^ - 1,5 j ^   c m

Passo 4

b)

Para encontrar o módulo de S fazemos

S 2 = S x 2 + S y 2

S 2 = 5,4 2 + - 1,5 2

S = 5,60   c m

Resposta

  1. S = 5,4 i ^ - 1,5 j ^   c m
  2. S = 5,60   c m

Exercício Resolvido #7

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 30 – 1.45.

Use componentes de vetores para determinar o módulo e a direção do vetor necessários para equilibrar os dois vetores demonstrados na Figura 1.36 . Considere o vetor 625   N ao longo do eixo - O y e considere o eixo + O x ortogonal a ele, no sentido da direita.

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Passo 1

O primeiro passo da questão é achar o vetor resultante da soma dos vetores dados. Depois que acharmos o vetor resultando, para estar equilíbrio, as componentes precisam ser nulas, ou seja, basta adicionarmos um vetor contrário ao vetor resultante.

Passo 2

Para somar dois vetores vamos decompor cada um deles, para isso, podemos observa-los de uma outra forma:

Decompondo o vetor A :

A x = 875 . cos 30 ° i

A y = 875 . s e n ( 30 ° ) j

A x = 875 3 2 i

A y = 875 2 j

Decompondo o vetor B :

B x = 625 . cos 270 ° i

B y = 625 . s e n ( 270 ° ) j

B x = 0 i

B y =   - 625 j

Passo 3

Assim, o vetor resultante da soma dos vetores A + B

C = A + B

C x = 875 3 2 + 0 i

C y = 875 2 - 625 j =   -   187,5 j

Passo 4

Como o vetor necessário equilibrar precisa ser oposto ao vetor resultante temos:

D =   -   C

D = - 875 3 2 i + 187,5 j

Passo 5

Para calcular o módulo do vetor D vamos usar suas componentes:

D = D x 2 + D y 2

D = - 875 3 2 2 + + 187,5 2

D = 780

Passo 6

Para saber o sentido e a direção do vetor, vamos usar suas componentes para saber o ângulo em relação ao eixo + O x .

A r c   t g θ = D y D x

A r c   t g θ = 187,5 - 875 3 2 = -   0,24

Calculando na sua calculadorazinha, você vai achar:

θ = - 14 °  

Mas CALMA AÍ, antes tem que dar uma olhada nas componentes!

Como a componente em y é positiva e a componente x é negativa, o vetor está no segundo quadrante. Logo:

θ = 180 º - 14 º

θ = 166 º

Passo 7

Passo 8

Resposta

D = 780

θ = 166 º

Exercício Resolvido #8

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 32 – 1.71- Modificado.

Você deseja programar o movimento do braço de um robô em uma linha de montagem para se mover no plano x y . Seu primeiro deslocamento é A ; seu segundo deslocamento é B , cujo módulo é igual a 6,40 c m , formando um ângulo de 63,0 ° , medido considerando-se uma rotação do eixo + O x para o eixo - O y . A resultante C = A + B   dos dois deslocamentos deve também possuir módulo igual a 6,40 c m , porém formando um ângulo de 22,0 ° , medido considerando-se uma rotação de eixo + O x para o eixo + O y .

  1. Desenhe um diagrama para escala aproximada para estes vetores.
  2. Ache os componentes de A
  3. Ache o módulo e a direção de A

Dados:

s e n   22 ° = 0,374 cos 22 ° = 0,927 s e n 63 º = 0,891 cos 63 º = 0,453

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Passo 1

Bom, sabemos que a partir de módulo de um vetor e do seu ângulo conseguimos todas as informações das componentes dele, certo? Foi dado no problema:

C = A + B

C = 6,40 c m θ C = 22 °

B = 6,40 c m θ B = 297 °

Assim podemos decompor cada vetore e analisar suas componentes. Vamos fazer o movimento do robô?

Passo 2

Alternativa a)

Pra fazer esse diagrama vamos fazer primeiro o vetor C e depois o vetor B ,   que são os vetores que nós conhecemos. Vamos usar o método geométrico.

Passo 3

Alternativa b)

Decompondo o vetor C .

C x = 6,4 . cos 22 º

C y = 6,4 . s e n 22 °

Substituindo os valores temos:

C x = 5,93 c m

C y = 2,39 c m

C = ( 5,93 c m i ^ + 2,39 c m j ^ )

Passo 4

Decompondo o vetor B .

B x = 6,4 . cos 297 º = 6,4 cos 63 º

B y = 6,4 . s e n 297 ° = - 6,4 s e n 63 º

Substituindo os valores temos:

B x = 2,90 c m

B y = - 5,70 c m

B = ( 2,9 c m i ^ - 5,7 c m j ^ )

Passo 5

Assim, substituindo na equação os valores das componentes do vetor C   e   B , temos:

C = A + B

5,93 c m i ^ + 2,39 c m j ^ = α i ^ + β j ^ + ( 2,9 c m i ^ - 5,7 c m j ^ )

Analisando cada componente separadamente temos:

a = 5,93 c m - 2,9 c m

β = 2,39 c m + 5,7 c m

Assim:

A = ( 3,03 c m i ^ + 8,09 c m j ^ )

Passo 6

Alternativa c)

Para achar o módulo de A vamos usar aquela fórmula das componentes, se lembra?

A 2 = A x 2 + A y 2

A = ( 3,03 c m i + 8,09 c m j )

Substituindo os valores temos:

A 2 = 3,03 2 + 8,09 2

A = 8,64 c m

Passo 7

Para achar o ângulo, só pela componentes já da pra saber que ele está no primeiro quadrante.

Tirou isso da onde ???????

As duas componentes são positivas, ou seja, o seno e o cosseno do ângulo do vetor A são positivos.

Agora vamos usar as componentes para achar o ângulo:

t g   θ A = A y A x

t g θ A = 8,09 3,03 = 2,66

Fazendo o cálculo desse ângulo pela calculadora, vamos ter que:

θ A = 70 °

Resposta

  1. A = ( 3,03 c m i + 8,09 c m j )
  2. A = 8,64 c m

θ A = 70 °

Exercício Resolvido #9

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 32 – 1.76.

Em um vôo de treinamento, uma aprendiz de piloto voa de Lincoln, no Estado de Nebraska, até Clarinda, no Iowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri: depois até Manhattan, no Kansas, como na figurinha abaixo. Os ângulos formados pelos deslocamentos são medidos em relação ao norte: 0 ° significa sentido sul para o norte, 90 °   é o leste, 180 ° é o sul e 270 ° é o oeste. Use o método dos componentes para achar:

  1. A distância que ela terá de voar para voltar para Lincoln
  2. A direção (em relação ao norte) que ela deverá voar para voltar ao ponto de partida. Ilustre a solução fazendo um diagrama vetorial.

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Passo 1

Nesse exercício, além de dar aquele rolé pelos Estados Unidos, vamos trabalhar com deslocamentos. Se lembra, laaaaa na teoria, dos carrinhos? Então, como deslocamentos são vetores e no final ele quer voltar para o mesmo ponto, temos que deslocamento total é zero, ou seja, a soma vetorial precisa ser zero.

Passo 2

Alternativa a)

Como o deslocamento total é zero, temos:

A + B + C + D = 0

Onde:

A = L i n c o l n C l a r i n d a

B = C l a r i n d a S t .   J o s e p h

C = S t .   J o s e p h M a n h a t t a n

D = M a n h a t t a n L i n c o l n

Passo 3

Agora vamos analisar componente por componente, começando pela componente para o leste (ou eixo x ).

Para calcular a componente em x do primeiro vetor, temos o seguinte:

Como o ângulo 85 ° se refere ao ângulo que ela faz com o eixo y , temos que a componente em x será o módulo do vetor multiplicado por s e n   85 ° (e não por um cosseno como estamos acostumados)!

Logo, teremos:

A x + B x + C x + D x = 0

147 k m   s e n 85 ° i ^ + 106 k m   s e n 167 ° i ^   + 166 k m   s e n 235 ° i ^ + D x = 0

147 k m . 0,9962 i ^ + 106 k m . 0,225 i ^ + 166 k m . - 0,8192 i ^ + D x = 0

146 k m + 24 k m - 135 k m + D x = 0

D x = - 35 k m   i ^

Passo 4

Agora vamos analisar componente por componente, começando pela componente para o norte (ou eixo y ):

A y + B y + C y + D y = 0

147 k m   c o s 85 ° j ^ + 106 k m   c o s 167 ° j ^ + 166 k m   c o s 235 ° j ^ + D y = 0

147 k m .   0,0872 j ^ + 106 k m . - 0,9744 j ^ + 166 k m . - 0,5736 j ^ + D y = 0

13 k m   j ^ - 103 k m   j ^ - 95 k m   j ^ + D y = 0

D y = 185 k m   j ^

Passo 5

Para calcular o módulo, vamos usar a fórmula das componentes:

D = - 35 k m 2 + 185 k m 2

D = 189 k m

Passo 6

A ângulo do vetor, em relação ao norte, é:

t g   θ D = D x D y = - 35 k m 185 k m = - 0,189

θ D = 349 °

Como o s e n o do ângulo é negativo e o c o s s e n o do ângulo é positivo, o ângulo está no quarto quadrante.

Resposta

a) D = 189 k m

b) θ D = 349 °

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