Componentes de Vetores e Vetores Unitários

Teoria Completa

Componentes de um vetor

Em Física, vemos situações onde usaremos uma, duas ou três dimensões.

As componentes de um vetor são os valores da grandeza nessas direções que iremos usar.

Quando fazemos exercícios com uma dimensão, não usamos um vetor porque o sinal desta grandeza é o suficiente para determinar a direção e sentido.

Normalmente, temos:

Quando temos um movimento na horizontal, se o valor da grandeza for positivo ela está para direita e se for negativo estará para esquerda.

Quando temos um movimento na vertical, se o valor da grandeza for positivo ela está para cima e se for negativo estará para baixo.

Nas outras situações, como as de duas dimensões, usaremos, para referência, um plano cartesiano.

Ele é nada mais que uma combinação de movimento vertical com movimento horizontal. Geralmente, utilizamos:

eixo   x ⟹ movimento horizontal eixo   y ⟹ movimento vertical

Quando o valor da componente HORIZONTAL é positivo significa que está “apontandopara direita e o valor negativo significando que está “apontadopara esquerda.

Enquanto isso, quando o valor da componente VERTICAL é positivo significando que está “apontandopara cima e o valor negativo significando que está “apontadopara baixo.

Ah, tudo isso são convenções usadas. Se numa questão o carinha te disser que pra baixo é positivo você acredita nele, ok? Se não disser nada usa essa convenção. :D~

Tá, vamos ao que interessa. Saca só esse gráfico:

Nessa figura temos desenhado um vetor v → , certo?

Repare que ele se desloca 3 em x (HORIZONTAL), e 2 em y (VERTICAL), em relação a origem.

Então sua componente horizontal vale 3 , e sua componente vertical vale 2 .

Mas como escrever esse vetor?

A forma mais comum de escrevê-lo é usando os vetores unitários i ^ e j ^ .

Esses vetores nada mais são que a representação do deslocamento em cada direção.

O i ^ é o deslocamento no eixo x , que é o deslocamento horizontal.

O j ^ é o deslocamento no eixo y , que é o deslocamento vertical.

Esse vetor vai ficar escrito assim;

v → = 3 i ^ + 2 j ^

Onde o valor da componente x é escrito multiplicado por i ^ e o valor de y é escrito multiplicado por j ^ .

Obs: Muitas vezes você também pode encontrar os vetores escritos nesse formato;

v → = ( 3 ,   2 )

Onde o primeiro algarismo antes da virgula é o valor da componente x e o algarismo após a virgula é o valor da componente y . Então fique atento!

Vetor em 3 Dimensões

Vimos até agora situações com vetores em duas dimensões, mas existem, também, casos com três dimensões. Mas como escrever um vetor em três dimensões?

Dificilmente você vai ter o valor do vetor e o ângulo, normalmente as componentes são dados do problema.

A atenção, agora, deve ser dada aos eixos. Vamos dar uma olhada no “plano” cartesiano em 3 D .

E agora? O que é vertical ou horizontal??? Calma, relaxa, vamos entender isso juntos?

A forma fácil de ver quanto é o valor de cada componente é desenhar o eixo cartesiano.

Vamos ver um exemplo.

Vamos chamar esse vetor de v → .

Qual vai ser a componente em x ?

v x = 2

Qual vai ser a componente em y ?

v y = 3

Qual vai ser a componente em z ?

v z = 6

Como vou escrever isso vetorialmente? Esse é o grande problema, o x e o y não mudam nada, eles continuam multiplicados por i ^ e j ^ . Mas e o eixo z ? Tem um cara “chapéu” para ele também: o k ^ . Logo, o vetor vai ficar assim:

v → = v x i ^ + v y j ^ + v z k ^

Sacou? Como fica então???

v → = 2 i ^ + 3 j ^ + 6 k ^

E, agora, temos o nosso vetor em três dimensões.

Obs.2: Vetores de três dimensões também podem ser escritos no outro formato! Fica assim;

v → = ( 2 ,   3 ,   6 )

Módulo de um vetor

O valor numérico de algumas grandezas é muito importante para os estudos da física. No caso dos vetores esse valor numérico é chamado de Módulo do vetor, e é escrito, para um vetor v → qualquer, como v → , as vezes você pode encontrar ele escrito como v → .

Qual a diferença? Nenhuma, vai a gosto do freguês ^_^

Mas como calculamos o módulo? Temos uma fórmula para isso.

v → 2 = v x 2 + v y 2

Com v x sendo a componente x do vetor, e v y sendo a componente y do vetor.

Essa fórmula lembra a fórmula de Pitágoras né?

Ainda em relação ao vetor v → do gráfico, já vimos que,

v x = 3

v y = 2

v → 2 = 3 2 + 2 2 = 9 + 4

v → = 13

Então seu módulo vale 13 .

Para o vetor com três dimensões a fórmula é parecida

v → 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2

Decompondo um vetor

Em muitos casos não saberemos as componentes do vetor, mas sim seu módulo e o ângulo que este vetor faz com algum dos eixos.

Como vamos achar as componentes então?

Vamos considerar

v → = 10

θ = 60 °

Para achar cada componente basta multiplicar o módulo pelo seno ou cosseno do ângulo.

Agora ferrou né? Quando usar seno? Quando usar cosseno?

Aqui vai uma malandragem para conseguir lembrar SEMPRE quando usar seno e quando usar cosseno.

Percebe que a componente x está “COlada” com o ângulo? Então vamos usar COsseno

v x = 10 ⏟ v → ⋅ 1 2 ⏟ cos ⁡ 60 ° = 5

Repare agora que a componente y está “SEparada” do ângulo, então vamos usar SEno

v y = 10 ⏟ v → ⋅ 3 2 ⏟ sen ⁡ 60 ° = 5 3

Pronto, agora já temos as componentes do vetor!

Viu que a partir do ângulo conseguimos chegar nas componentes, né? Então a partir das componentes conseguimos chegar no ângulo da mesma forma!!!

Vimos que a componente y está relacionada com o s e n θ

Vimos que a componente x está relacionada com o cos ⁡ θ

Que que isso lembra ?????? Nada ? =(

Então eu te lembro!

s e n θ cos ⁡ θ = t g   θ

Assim podemos relacionar o ângulo com as componentes:

t g   θ = v y v x

Viu que o ângulo é feito sempre com o eixo + O x (o eixo horizontal)? Nos exercícios vão ser dados vários ângulos, nem sempre o que formam com o eixo + O x . Existem várias formas de fazer com os ângulos, mas vamos sempre buscar achar o ângulo com o eixo + O x para usar essas equações !!!

Isso é importantissimoooo, não esquece ein!

Multiplicação por um escalar

Falta um último detalhe, a multiplicação por um escalar. Nome bonito né?

Mas o que diabos é a multiplicação por um escalar?

É quando você multiplica um número por um vetor, ainda usando o vetor v → ali de cima. Vamos multiplica-lo por 5 .

5 v → = 5 3 i ^ + 4 j ^

Fazer essa conta basta fazer a distributiva, vai ficar assim

5 v → = 5 3 i ^ + 4 j ^ = 5 ∙ 3 i ^ + 5 ∙ 4 j ^

5 v → = 15 i ^ + 20 j ^

Soma e Subtração de vetores por componentes

Vamos ver mais para frente como calcular velocidade média, aceleração média, forças, etc.

Em todos esses casos precisamos saber somar ou subtrair vetores.

Mas como faz? Relaaaaxa, é de boa. Se liga só, vamos pegar dois vetores

v → = 3 i ^ + 4 j ^

u → = - 2 i ^ + 2 j ^

Se vamos calcular a soma desses vetores, basta somarmos suas componentes:

v → + u → = 3 + - 2 i ^ + 4 + 2 j ^

v → + u → = i ^ + 6 j ^

Se fosse subtração, basta diminuirmos suas componentes.

v → - u → = 3 - - 2 i ^ + 4 - 2 j ^

v → - u → = 5 i ^ + 2 j ^

Beleza? Vamos para os exercícios para fixar isso melhor!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 28 – 1.16.

Você pode achar uma grandeza vetorial que possua módulo igual a zero, tendo, porém, componentes diferentes de zero? Explique. É possível o módulo de um vetor ser menor que o módulo de qualquer de seus componentes? Explique

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Passo 1

Como a questão trabalha com vetor, módulo e suas componentes, vamos usar a seguinte equação para resolver as questões

A 2 = A x 2 + A y 2

Passo 2

Como o módulo do vetor é igual a 0 , temos:

0 = A x 2 + A y 2

Como as componentes x e y são diferentes de zero, temos que a soma de dois números positivos tem como resultado 0 , o que seria impossível.

Passo 3

A 2 = A x 2 + A y 2

Na equação o módulo do vetor é sempre o módulo de uma componente somado ao módulo da outra componente. Como os dois resultados são sempre positivos, não há como o módulo do vetor ser menor que uma das componentes.

Resposta

N ã o   e   N ã o   : )

Exercício Resolvido #2

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 22– 10.

Um vetor tem uma componente x negativa e uma componente y positiva. Seu ângulo, medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, vale:

  1. Entre zero e 90 graus
  2. Entre 90   e 180 graus
  3. Mais de 180 graus
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Passo 1

Vamos desenhar um vetor de acordo com as condições dadas no problema para entendermos o que está acontecendo.

Passo 2

Como podemos ver na figura, o ângulo está entre 90 ° e 180 ° . O veto está no segundo quadrante, ou seja, o ângulo é 90 + θ , onde o valor de θ é 0 < θ < 90 .

Passo 3

Quer uma outra idéia pra pensar? Sabemos que as componentes de um vetor são

x = A cos ⁡ θ

y = A s e n θ

Como A é sempre positivo, o que define a componente ser positiva ou negativa é o c o s   e s e n do ângulo. Assim, fica mais tranquilo identificar em qual quadrante está o ângulo. Se a componente x é negativa, o c o s ⁡ ( θ ) é negativo, se a componente y é positiva, o s e n ( θ ) é positivo.

Resposta

L e t r a   b )

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 30 – 1.34 - Modificado.

Escreva cada vetor indicado na figura abaixo em termos de vetores unitários î   e   j ^ .

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Passo 1

Para calcular cada componente vamos precisar saber o módulo de cada vetor e a o ângulo que o vetor faz com o eixo + O x

V x = V cos ⁡ θ

V y = V s e n θ

Passo 2

Considerando o ângulo com o eixo + 0 x temos:

A = 8   m

θ A = 270 °

A x = 8 cos ⁡ 270 °

A y = 8 s e n 270 °

A x = 0 m

A y = - 8 m

A → = ( - 8 j ^ )   m

Passo 3

Como o ângulo com o eixo + O y vale 30 ° , o ângulo com o eixo + O x vale 60 °

Assim temos:

B = 15   m

θ B = 60 °

B x = 15 cos ⁡ 60 °

B y = 15 s e n 60 °

B x = 15 2 m

B y = 15 3 2 m

B → = 15 2 î + 15 3 2 j ^ m

Passo 4

Como o ângulo com o eixo - O x val 25,0 ° e o ângulo está abaixo do eixo, temos que o ângulo com eixo + O x vale 180 ° + 25 ° .

Assim temos:

C = 12   m

θ C = 205 °

C x = 12 cos ⁡ 205 °

C y = 12 s e n 205 °

C x = - 10,9   m

C y = - 5 m

C → = - 10,9 î - 5 j ^ m

Passo 5

O ângulo com o eixo + O x vale 53 ° + 90 ° = 143 °

Assim temos:

D = 10   m

θ D = 143 °

D x = 10 cos ⁡ 143 °

D y = 10 s e n 143 °

D x = - 8 m

D y = 6 m

D → = - 8 î + 6 j ^ m

Resposta

A → = ( - 8 j ^ )   m

B → = 15 2 î + 15 3 2 j ^ m

C → = - 10,9 î - 5 j ^ m

D → = - 8 î + 6 j ^ m

Exercício Resolvido #4

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 24– 53.

Determine as componentes x e y dos seguintes três vetores do plano x y .

  1. Um vetor deslocamento de 10 m que forma um ângulo de 30 ° no sentido horário a partir do eixo + y
  2. Um vetor velocidade de 25   m / s que forma um ângulo de 40 ° no sentido anti-horário com o eixo - x .
  3. Uma força de 40   l b que forma um ângulo de 120 ° no sentido anti-horário com o eixo - y .
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Passo 1

Para calcular cada componente vamos precisar saber o módulo de cada vetor e a o ângulo que o vetor faz com o eixo + O x

V x = V cos ⁡ θ

V y = V s e n θ

Passo 2

Considerando o ângulo que o vetor faz com o eixo + 0 x temos:

D = 10 m

θ D = 60 °

Substituindo os valores:

D x = D cos ⁡ 60 °

D y = D s e n 60 °

Componentes:

D x = 5 m

D y = 10 3 2 = 5 3 m

Passo 3

Considerando o ângulo que o vetor faz com o eixo + 0 x temos:

V = 25 m / s

θ V = 22 0 °

Substituindo os valores:

V x = V cos ⁡ 22 0 °

V y = V s e n 22 0 °

Componentes:

V x = - 19,1   m / s

V y = - 16   m / s

Passo 4

Considerando o ângulo que o vetor faz com o eixo + 0 x temos:

F = 40 l b

θ D = 3 0 °

Substituindo os valores:

F x = F cos ⁡ 3 0 °

F y = F s e n 3 0 °

Componentes:

F x = 40 3 2 = 20 3   l b

F y = 20   l b

Resposta

D x = 5 m

D y = 5 3 m

V x = - 19,1   m / s

V y = - 16   m / s

F x = 20 3   l b

F y = 20   l b

Exercício Resolvido #5

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 30 – 1.40.

Determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes:

  1. A x =   - 8,60 c m                         A y =   5,20 c m
  2. A x =   - 9,70 m                         A y =   - 2,45 m
  3. A x =   7,75 k m                         A y =   - 2,70 k m
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Passo 1

Para calcular o módulo a partir das componentes vamos utilizar a seguinte fórmula:

A 2 = A x 2 + A y 2

Para saber o sentido e a direção do vetor, temos que prestar muita atenção aos sinais das camponentes e saber que:

t g   θ = A y A x  

Passo 2

a) A x =   - 8,60 c m                         A y =   5,20 c m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = - 8,60 c m 2 + 5,20 c m 2

A 2 = 101 c m 2

A ≅ 10 c m

Calculando o valor de θ :

t g   θ = 5,20 c m - 8,60 c m =   - 0,60

Como a componente x é negativa e a componente y é positiva, o vetor esta no segundo quadrante.

Pega a calculadora aí, que vamos precisar dela pra achar que:

θ = 148,8 °

E o vetor vai ficar tipo assim:

Passo 3

b) A x =   - 9,70 m                         A y =   - 2,45 m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = - 9,70 m 2 + - 2,45 m 2

A 2 = 100   m 2

A = 10 m

Calculando o valor de θ :

t g   θ = - 2,45   m - 9,70   m =   0,25

Como a componente x negativa e a componente y é negativa, o vetor esta no terceiro quadrante.

Ih! Vamos ter que usar a calculadora pra achar esse ângulo aí!

Calculando, teremos:

θ = 194,4 °

Passo 4

c) A x =   7,75 k m                         A y =   - 2,70 k m

A 2 = A x 2 + A y 2

Substituindo os valores:

A 2 = 7,75 k m 2 + - 2,70 k m 2

A 2 = 67   k m 2

A = 8,20   k m

Calculando o valor de θ :

  t g   θ = - 2,70 k m 7,75 k m = -   0,35

Como a componente x é positiva e a componente y é negativa, o vetor esta no quarto quadrante.

Logo:

θ = 340,8 °

Resposta

  1. A ≅ 10 c m

  2. A = 10 m

A = 8,20   k m