Velocidade de escape e rotação da Terra

Teoria Completa

Quando fizemos o cálculo da velocidade de escape da Terra, encontramos a seguinte expressão:

v e s c a p e = 2 G M R

Mas tem um porém. Quando fizemos este cálculo, não consideramos o movimento de rotação da Terra.

“Mas que saco! Tudo tem que complicar!”

Calma, querido aluno, isso é sinal de que você está evoluindo no estudo da Física, inserindo cada vez mais detalhes e se aproximando da realidade. =D

Agora vamos devagar e rapidinho tu vai entender.

Antes de tudo: você lembra o que é o movimento de rotação da Terra? Isso mesmo! É o movimento onde a terra gira em torno do seu próprio eixo. Este é o movimento que marca um dia terrestre, ou seja:

T r o t a ç ã o = 24   h o r a s

Agora precisamos saber como esse movimento influencia na velocidade de um corpo que tenta sair da terra. Se liga na imagem:

Com a imagem conseguimos encontrar a velocidade que está sendo adicionada ao corpo de massa m devido ao movimento de rotação da Terra.

v r o t a ç ã o = ω R c o s φ

O ângulo φ é chamado de latitude e é sempre medido a partir da linha do Equador.

A velocidade angular ω pode, como sempre ser substituída por:

ω = 2 π T r o t a ç ã o

E então:

v r o t a ç ã o = 2 π T r o t a ç ã o   R c o s φ

E a velocidade de escape corrigida tem a seguinte expressão:

v e s c a p e = 2 G M R - 2 π T r o t a ç ã o R c o s φ

Tranquilo?

Essa teoria só complementa o que já vimos lá na velocidade de escape, mas é importante que você saiba a definição do ângulo de latitude e como este movimento de rotação da Terra influencia nos corpos na superfície.

Bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 30

Desejamos lançar uma espaçonave da superfície da Terra de modo que ela também escape do sistema solar. a) Calcule a velocidade relativa ao centro da Terra com a qual ela deve ser lançada. Considere os efeitos gravitacionais do Sol e da Terra e inclua o efeito da velocidade orbital da Terra, mas despreze a resistência do ar. b) A rotação da Terra pode auxiliar a atingir esta velocidade de escape. Calcule a velocidade que a espaçonave deve possuir em relação à superfície da Terra se a espaçonave for lançada da Flórida no ponto indicado na figura abaixo. A rotação da Terra em torno do seu eixo e seu movimento orbital em torno do Sol possuem o mesmo sentido de rotação. Em Cabo Canaveral um lançamento ocorre na latitude de 28,5 °

ao norte do equador. c) A European Space Agency (ESA) utiliza uma plataforma de lançamento na Guiana Francesa (imediatamente ao norte do Brasil), situada a 5,15 ° ao norte do equador. Com que velocidade em relação à superfície da Terra deve uma espaçonave ser lançada da plataforma de lançamento na Guiana Francesa para que ela escape do sistema solar?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos pensar juntos. O foguete vai pra bem longe do Sol, certo? Então a força gravitacional vai ser baixíssima, tendendo a zero. Sendo assim, a forma de calcular essa velocidade fica sendo a partir da energia, cujo valor é zero no infinito.

É fácil pensar desse jeito. É só analisar o enunciado, se o corpo está “fugindo” do Sol, velocidade calculada por energia. Se o corpo está do ladinho do Sol fielmente, velocidade calculada pela força resultante de rotação.

Passo 2

a)

Que comecemos os trabalhos com a conservação da energia.

E f i n a l = E i n i c i a l

A energia inicial vai ser a energia gravitacional da Terra mais a energia gravitacional do Sol mais a energia cinética resultado da velocidade.

0 = m V 2 2 - G M T m R T - G M S m R S

Lembrando que R T é o raio da Terra e R S é o raio da orbita terrestre.

Dando aquela consultada no Google vemos que

R T = 6,38 ∙ 10 6   m

R S = 1,5 ∙ 10 11   m

Além disso

M T = 5,97 ∙ 10 24   k g

M S = 1,99   .   10 30   k g

Como ele está na Terra e a terra está se movendo.

V = 2 G M T R T + M S R s = 43527 m / s

Passo 3

Repara que temos um detalhe a levar em consideração aqui, a translação da Terra.

Essa velocidade que achamos é a velocidade total, mas ele já possui uma velocidade inicial que é a da translação da terra, precisamos então subtrair essa velocidade. Primeiro vamos acha-la

Sabemos o tempo que a Terra demora pra dar uma volta ao redor do Sol, e sabemos o percurso então

v t r a n s = 2 π R S T t r a n s

Onde

T t r a n s = 365   .   24   .   3600 = 3,1536   .   10 7   s

Então

v t r a n s = 29885,8   m / s

Passo 4

A velocidade de escape então vai ser

V e s c = V - v t r a n s = 13641,2   m / s

Passo 5

b)

Agora estamos levando em consideração a rotação da Terra também, então a velocidade vai ser um pouco menor de novo. Precisamos achar a velocidade de rotação da Terra e subtrair na velocidade que achamos no item a

V r o t = 2 π R T T r o t

Onde

T r o t = 24   .   3600 = 86400   s

Cuidado com um detalhe, ele não está no equador, está em um ponto com ângulo ϕ , a velocidade precisa ser corrigida, seria

V r o t = 2 π R T T r o t ∙ cos ⁡ ϕ

Ele sai da Flórida então.

V r o t = 2 π R T T r o t ∙ cos ⁡ ϕ = 2 π R T T r o t cos ⁡ 28,5 °

Encontramos então

V r o t = 409   m / s

Passo 6

A velocidade de escape vai ser

V e s c F l o r i d a = V e s c - V r o t = 13232,2   m / s

Passo 7

c)

Dessa vez ele sai da Guiana francesa então a velocidade de rotação ali vai ser

V r o t = 2 π R T T r o t ∙ cos ⁡ ϕ = 2 π R T T r o t cos ⁡ 5,15 °

Encontramos então

V r o t = 462   m / s

Passo 8

A velocidade de escape vai ser

V e s c G u i a n a = V e s c - V r o t = 13179,2   m / s

Resposta

  1. V e s c = 13641,2   m / s
  2. V e s c F l o r i d a = 13232,2   m / s
  3. V e s c G u i a n a = 13179,2   m / s

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