Leis de Kepler

Teoria Completa

A gente já aprendeu como Newton contribui com a Gravitação Universal. Mas ele não foi o único interessado em estudar os astros. E ele não conseguiu descobrir tudo sozinho (e ainda temos muito para descobrir)

Um cientista chamado Johannes Kepler constatou 3 leis que podemos usar para resolver nossos exercícios. Saca só!

1ª Lei de Kepler

Enunciado:

“Cada planeta se move em uma órbita elíptica, com o Sol ocupando um dos focos da elipse”.

A lei trata do movimento dos planetas do nosso sistema solar, só que temos que lembrar alguns conceitos de elipse que já aprendemos no colégio, mas que nunca voltaram a ser usadas:

  • A elipse possuí um centro e dois focos
  • Os focos ficam sobre o semi-eixo maior, mas também existe o semi eixo-menor
  • Na figura, b representa o semi-eixo menor, a representa o semi-eixo maior (que representa o maior “raio” da elipse) e c representa a distância do centro até um dos focos.

É interessante analisar e perceber a relação entre a ,   b e c e como o Teorema de Pitágoras pode ser útil para nos ajudar a descobrir um desses valores em nossos exercícios.

2ª Lei de Kepler

Enunciado:

“A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais a intervalos de tempos iguais”.

Esse enunciado nos mostra que a razão entre uma área qualquer A e um intervalo de tempo qualquer ∆ t deve permanecer constante para todo o movimento, certo?

Mas se liga nessa imagem:

Pela lei, sabemos que as áreas tem tamanhos A iguais e são percorridas no mesmo tempo ∆ t , mas claramente você vê que a relação entre os comprimentos é:

l 2 < l 1

Se dividirmos os dois lados por ∆ t , temos que:

v 2 < v 1

Ou seja, concluímos que a velocidade no periélio é maior que a velocidade no afélio.

“O que? Peri- o que?”, calma mano, essas são só duas nomenclaturas, dois nomes bonitinhos que são usados na gravitação:

  • Afélio: ponto da órbita mais longe do sol.
  • Periélio: ponto da órbita mais perto do sol.

Pra decorar isso rápido, olha só esse mnemônico: PERIÉLIO tem PER de PERTO e AFÉLIO tem AF de AFASTADO.

Ou seja, quando os planetas passam mais próximo do sol, eles aumentam sua velocidade de translação do movimento elíptico, e quando estão mais longe eles perdem parte dessa velocidade. Show?

Suponha agora que queremos calcular uma área pequena d A . Vamos usar um pouco dos nossos conhecimentos de Cálculo para descobrir algumas outras relações...

Então vamos parar de pensar na área A e pensar em um pedacinho muito pequeno dessa área ( d A ) . É como se tivéssemos pegando uma fatia de pizza e dividindo ela em muitos e muitos pedaços menores. Quando fazemos isso, podemos considerar que o arco da nossa fatia de pizza (a borda dela) se torna uma linha e então o que era um setor circular, se torna um triânguloEntão podemos aproximar nossa área d A para uma área de um triângulo de altura r e base r d θ (lembrando que θ varia quanto mais aumentamos ou diminuímos o tamanha da nossa fatia), portanto:

d A = b . h 2   → d A =   r d θ   .   r 2 → d A = r 2 d θ 2

Dividindo os dois lados por d t :

d A d t = r 2 2 d θ d t = 1 2   ω . r 2

Só que d θ d t representa a Velocidade Angular do movimento, então:

d A d t = ω . r 2

Mas até agora fizemos muitos cálculos e pensamos de várias maneiras, mas não chegamos a lugar nenhum então para colocar a cereja em cima do bolo vamos nos lembrar, lá da dinâmica de rotação, o conceito de momento angular:

L = m v r = m ω r ²

Aprendemos que o momento angular só varia se existirem forças externas agindo gerando torque no sistema, o que não é o caso. Portanto, L é constante. E podemos reescrever:

L m = ω . r 2

Finalmente, relacionando as duas equações:

d A d t = L 2 m = c t e .

Agora sim provamos que áreas iguais são percorridas em tempos iguais, já que consideramos que o sistema está livre da ação de forças externas que geram torque e que por causa disso o momento angular do sistema se conserva.

Outra conclusão que podemos a partir da análise da conservação do momento angular, é a seguinte:

L a = L p

m v a r a = m v p r p

v a r a = v p r p

Ou seja, a velocidade do afélio multiplicada pelo raio do afélio, tem que ser igual a velocidade do periélio multiplicada pelo raio do periélio.

Essa última relação pode ser usada em diversos exercícios e portanto, vale a pena tê-la decorada.

3ª Lei de Kepler

Enunciado:

Existe a seguinte proporcionalidade

T 2 ∝ R 3 ∝ M - 1

Onde T é o período do planeta, o tempo que ele leva para dar um volta completa, R é o comprimento do eixo maior da elipse descrita pelo planeta e M é a massa do planeta.

Isso pode ser comprovado ao utilizar a lei de Newton da gravitação para encontrar o período órbital, encontrando a seguinte expressão:

T = 2 π R 3 G M

Unidade astronômica

Outra definição que é muito usada é uma medida de distância especial: a unidade astronômica. Esta é bem simples:

1   U A   =   149   597   870   700   m

Esse numerozão aí é a distância média entre a Terra e o nosso Sol!

Tranquilo? Talvez tenham sido muito conteúdo novo de uma vez, mas fica tranquilo, dá uma olhada nos exercícios que já já você vai ficar fera!

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 397 ex. 1

Julgue verdadeiro ou falso:

(a) Para que a lei das áreas seja válida, a força da gravidade deve variar com o inverso da distância entre um planeta e o Sol.

(b) O planeta mais próximo do Sol possui o menor período orbital.

(c) A rapidez orbital de Vênus é maior do que a rapidez orbital da Terra.

(d) O período orbital de um planeta permite que se determine com precisão a sua massa.

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Passo 1

Analisando uma por uma, temos:

(a) Aprendemos juntamente com as leis de Kepler, as leis de Newton da gravitação, que nos diz que a força da gravidade varia com o inverso do quadrado da distância, portanto, a afirmativa é FALSA.

Passo 2

(b) Vimos que o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo da distância ao Sol, portanto, quanto menor a distância ao Sol, menor o período orbital. A afirmativa é VERDADEIRA.

Passo 3

(c) Lembrando lá da escolinha, sabemos que Vênus é mais perto do Sol do que a Terra, portanto, se lembrarmos que:

ω = G M R 3

Concluímos que a rapidez orbital ( ω ) é inversamente proporcional à potencia 3 2 da distância do planeta ao Sol. Como a distância de Vênus ao Sol é menor que a distância da Terra ao Sol, sua rapidez orbital é MAIOR. A afirmativa é VERDADEIRA.

Passo 4

(d) Pela expressão:

T = 2 π R 3 G M

Percebemos que a massa M dessa formula não é a massa do planeta, porque ela corta durante a demonstração dessa fórmula. A afirmativa é FALSA.

Resposta

F-V-V-F

Exercício Resolvido #2

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 397 ex.3

Durante qual estação, no hemisfério norte, a Terra possui sua maior rapidez orbital em torno do Sol? Em qual estação ela possui sua menor rapidez orbital? Dica: A Terra está no periélio no início de janeiro.

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Passo 1

Sabemos que o momento angular do sistema Terra-Sol se mantém constante, portanto:

m v a r a = m v p r p

v a r a = v p r p

Portanto, a velocidade é maior quando a distância é menor. Onde concluímos que a velocidade no periélio é maior, beleza?

Passo 2

Sabemos que aqui no Brasil(que está no hemisfério sul), em janeiro, estamos no verão. Como nos foi dado a dica que a Terra está no periélio (onde a rapidez orbital é maior!) no início de janeiro, é só a gente inverter: no hemisfério norte a estação vigente em janeiro é o inverno.

E a menor rapidez orbital será no afélio, quando a estação no hemisfério norte é o verão.

Resposta

Inverno. Verão.

Exercício Resolvido #3

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 400 ex. 37

Um planeta orbita em torno de uma estrela massiva. Quando no periélio, o planeta tem uma rapidez de 5,0   .   10 4   m / s e está a 1,0   .   10 15   m da estrela. O raio orbital aumenta para 2,2   .   10 15   m no afélio. Qual é a rapidez do planeta no afélio?

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Passo 1

Conservando o momento angular, temos:

v a r a = v p r p

Substituindo os valores:

v a   .   2,2   .   10 15 = 1,0   .   10 15   .   5,0   .   10 4

v a = 5,0 2,2   .   10 4 = 2,27   .   10 4   m / s

Resposta

v a = 2,27   .   10 4   m / s

Exercício Resolvido #4

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 400 ex. 39

A rapidez de um asteróide é 20   k m / s no periélio e 14   k m / s no afélio. (a) Determine a razão entre as distâncias do afélio e de periélio. (b) Na média, este asteróide está mais afastado ou mais próximo do Sol do que a Terra? Explique.

Dados

Distância média entre Sol e a Terra: 149,6   . 10 6   k m = 149,6   . 10 9   m

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Passo 1

a) Usando a conservação do momento angular:

v a r a = v p r p

r a r p = v p v a

Substituindo os valores:

r a r p = 20 14 = 10 7

Passo 2

b) Usando a terceira lei de Kepler temos que:

T 2 ∝ R m é d i o 3

Portanto, quanto maior o período, maior a distância média do planeta ao sol, certo? Sabemos também que, para calcular a velocidade orbital média de um corpo celeste, usamos:

v m é d i a = 2 π R m é d i o T

Então, o período é inversamente proporcional à velocidade orbital, e portanto, a velocidade orbital é inversamente proporcional ao raio médio, tranquilo? E o que fazemos com isso? Temos o raio médio e o período de translação da Terra, vamos calcular essa velocidade então!

v m é d i a = 2 π   .   149,6   . 10 9 24   .   3600   .   365 ≅ 30 k m / s

Como a velocidade máxima do asteróide é 20   k m / s , sua velocidade média é menor que a velocidade média da Terra e, portanto, o seu raio médio é maior, e então, ele está mais distante do Sol do que a Terra.

Resposta

a) r a r p = 10 7

b) Mais distante

Exercício Resolvido #5

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 399 ex. 22

O novo cometa Alex-Casey tem uma órbita muito elíptica, com um período de 127,4 anos. Se a aproximação máxima do Alex-Casey ao Sol é 0,1   U A , qual é o seu maior afastamento do Sol?

Dados:

G = 6,67 × 10 - 11 N m 2 / K g 2

M T e r r a = 5,98 × 10 24 K g

1 U A = 149 × 10 9 m

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Passo 1

Aqui usaremos uma aproximação para o raio médio, dada por:

R m é d i o = r a + r p 2

Sabemos também que:

T = 2 π R m é d i o 3 G M

E então:

R m é d i o = G M T 2 π 2 1 3

Temos que passar o período pra segundos também! Como uma ano tem 365 dias, um dia 24 horas, 1 hora tem 60 minutos e 1 minuto tem 60 segundos:

T = 127,4 × 365 × 24 × 60 × 60   s

Substituindo os valores:

R m é d i o = 54.5   .   10 9   m

Passando para UA (lembrando que 1 U A ≈ 149 × 10 9 m ):

R m é d i o = 54.6 × 10 9 149 × 10 9

R m é d i o = 0,37   U A

Passo 2

Como

R m é d i o = r a + r p 2

Então temos que

r a = 2 R m é d i o - r p

Pelo enunciado temos que r p = 0,1   U A , assim

r a = 2 0,37 - 0,1

r a = 0,6 4   U A

Resposta

0,6 4   U A

Exercício Resolvido #6

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 399 ex. 23

O raio da órbita da Terra é 1,496   .   10 11   m e o da órbita de Urano é 2,87   .   10 12   m . Qual é o período orbital de Urano?

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Passo 1

Usando diretamente a terceira lei de Kepler:

T T e r r a T U r a n o 2 = R T e r r a R U r a n o 3

Substituindo valores:

1 T U r a n o 2 = 1,496   .   10 11 2,87   .   10 12 3

Resolvendo:

T U r a n o =   84   a n o s

Resposta

84   a n o s