Teoria

Fala aí, você chegou no Responde Aí. E vamos estudar tudo sobre Leis de Kepler.

As Leis de Kepler

Você já parou pra pensar em como os planetas orbitam o sol? Você já parou pra pensar em o que é uma órbita? Pois um tal de Kepler, já

Uma órbita é quando um corpo gira ao redor de outro!

Terra em órbita ao redor do Sol.
Terra em órbita ao redor do Sol.

As Leis de Kepler são três leis que falam como funcionam as órbitas planetárias. Essas leis são:

  • 1ª Lei de Kepler: Lei das órbitas elípticas.
  • 2ª Lei de Kepler: Lei das áreas.
  • 3ª Lei de Kepler: Lei dos períodos.

1ª Lei de Kepler

A primeira lei explica como funciona a órbita e a posição do sol, vamos ver exatamente o que o Kepler definiu e tentar decifrar pra nós a utilidade da lei.

Cada planeta se move em uma órbita elíptica, com o Sol ocupando um dos focos da elipse”.

Então a gente pode desenhar a órbita em forma de elipse, e os focos tem a mesma distância do centro da elipse e ficam posicionados mais ou menos assim.

E sobre os pontos da trajetória elíptica que o planeta pode estar, existem dois específicos que são os mais famosos. São eles o Periélio e o Afélio!

  • Afélio: ponto da órbita mais longe do sol.
  • Periélio: ponto da órbita mais perto do sol.

2ª Lei de Kepler

A segunda lei de Kepler já é um pouco mais prática e ajuda a gente a encontrar relações entre as distâncias percorridas pelo planeta em diferentes pontos da órbita, saca só:

A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais a intervalos de tempos iguais”.

Podemos dizer que razão entre uma área qualquer e um intervalo de tempo qualquer deve permanecer constante para todo o movimento

Outra coisa que podemos deduzir é que: Um planeta fica mais rápido quando está próximo do sol, e mais devagar quando está longe do sol.

Combinando isso com a fórmula ali em cima, podemos dizer que a velocidade do afélio multiplicada pelo raio do afélio, tem que ser igual a velocidade do periélio multiplicada pelo raio do periélio.

3ª Lei de Kepler

Essa lei nos dá uma relação com o período, vamos dar uma olhada no enunciado e entender.

Os quadrados dos períodos de translação dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas.

Onde é o período da órbita do planeta, ou seja, o tempo que ele leva para dar um volta completa, é o comprimento do semi-eixo maior da elipse descrita pelo planeta, é a massa do corpo que está no centro, se for um caso de um planeta e o sol é a massa do sol, e é a constante gravitacional universal.

Videoaula

Que aprender mais? Então se liga nessa aula

Agora que você sabe tudo das Leis de Kepler, que tal tentar uns exercícios aqui em baixo 👇

2ª Lei de Kepler

3ª Lei de Kepler

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Julgue verdadeiro ou falso:

(a) Para que a lei das áreas seja válida, a força da gravidade deve variar com o inverso da distância entre um planeta e o Sol.

(b) O planeta mais próximo do Sol possui o menor período orbital.

(c) A rapidez orbital de Vênus é maior do que a rapidez orbital da Terra.

(d) O período orbital de um planeta permite que se determine com precisão a sua massa.

Passo 1

Analisando uma por uma, temos:

(a) A relação entre força da gravidade e distância, só veio a ser formulada e provada muito depois de Kepler expressar suas três Leis, com nada menos que Isaac Newton provando a relação por meio do seu cálculo recém inventado. Para Kepler expressar a sua segunda Lei, ele precisou apenas considerar que o momento angular dos planetas em relação ao seu movimento em torno do Sol fosse constante. MAAASSS, ainda assim o que Newton descobriu foi que a força da gravidade varia com o inverso do quadrado da distância, portanto, a afirmativa (a), mais do que nunca é FALSA.

Passo 2

(b) Vimos que o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo da distância ao Sol, portanto, quanto menor a distância ao Sol, menor o período orbital. A afirmativa é VERDADEIRA.

Passo 3

(c) Lembrando lá da escolinha, sabemos que Vênus é mais perto do Sol do que a Terra, portanto, se lembrarmos que:

ω = G M R 3

Concluímos que a rapidez orbital ( ω ) é inversamente proporcional à potencia 3 2 da distância do planeta ao Sol. Como a distância de Vênus ao Sol é menor que a distância da Terra ao Sol, sua rapidez orbital é MAIOR. A afirmativa é VERDADEIRA.

Passo 4

(d) Pela expressão:

T = 2 π R 3 G M

Percebemos que a massa M dessa formula não é a massa do planeta, porque ela corta durante a demonstração dessa fórmula. A afirmativa é FALSA.

Resposta

F-V-V-F

Exercício Resolvido #2

Durante qual estação, no hemisfério norte, a Terra possui sua maior rapidez orbital em torno do Sol? Em qual estação ela possui sua menor rapidez orbital? Dica: A Terra está no periélio no início de janeiro.

Passo 1

Sabemos que o momento angular do sistema Terra-Sol se mantém constante, portanto:

m v a r a = m v p r p

v a r a = v p r p

Portanto, a velocidade é maior quando a distância é menor. Onde concluímos que a velocidade no periélio é maior, beleza?

Passo 2

Sabemos que aqui no Brasil(que está no hemisfério sul), em janeiro, estamos no verão. Como nos foi dado a dica que a Terra está no periélio (onde a rapidez orbital é maior!) no início de janeiro, é só a gente inverter: no hemisfério norte a estação vigente em janeiro é o inverno.

E a menor rapidez orbital será no afélio, quando a estação no hemisfério norte é o verão.

Resposta

Inverno. Verão.

Exercício Resolvido #3

Um planeta orbita em torno de uma estrela massiva. Quando no periélio, o planeta tem uma rapidez de 5,0   .   10 4   m / s e está a 1,0   .   10 15   m da estrela. O raio orbital aumenta para 2,2   .   10 15   m no afélio. Qual é a rapidez do planeta no afélio?

Passo 1

Conservando o momento angular, temos:

v a r a = v p r p

Substituindo os valores:

v a   .   2,2   .   10 15 = 1,0   .   10 15   .   5,0   .   10 4

v a = 5,0 2,2   .   10 4 = 2,27   .   10 4   m / s

Resposta

v a = 2,27   .   10 4   m / s

Exercício Resolvido #4

A rapidez de um asteróide é 20   k m / s no periélio e 14   k m / s no afélio. (a) Determine a razão entre as distâncias do afélio e de periélio. (b) Na média, este asteróide está mais afastado ou mais próximo do Sol do que a Terra? Explique.

Dados

Distância média entre Sol e a Terra: 149,6   . 10 6   k m = 149,6   . 10 9   m

Passo 1

a) Usando a conservação do momento angular:

v a r a = v p r p

r a r p = v p v a

Substituindo os valores:

r a r p = 20 14 = 10 7

Passo 2

b) Usando a terceira lei de Kepler temos que:

T 2 ∝ R m é d i o 3

Portanto, quanto maior o período, maior a distância média do planeta ao sol, certo? Sabemos também que, para calcular a velocidade orbital média de um corpo celeste, usamos:

v m é d i a = 2 π R m é d i o T

Então, o período é inversamente proporcional à velocidade orbital, e portanto, a velocidade orbital é inversamente proporcional ao raio médio, tranquilo? E o que fazemos com isso? Temos o raio médio e o período de translação da Terra, vamos calcular essa velocidade então!

v m é d i a = 2 π   .   149,6   . 10 9 24   .   3600   .   365 ≅ 30 k m / s

Como a velocidade máxima do asteróide é 20   k m / s , sua velocidade média é menor que a velocidade média da Terra e, portanto, o seu raio médio é maior, e então, ele está mais distante do Sol do que a Terra.

Resposta

a) r a r p = 10 7

b) Mais distante

Exercício Resolvido #5

O novo cometa Alex-Casey tem uma órbita muito elíptica, com um período de 127,4 anos. Se a aproximação máxima do Alex-Casey ao Sol é 0,1   U A , qual é o seu maior afastamento do Sol?

Dados:

G = 6,67 × 10 - 11 N m 2 / K g 2

M T e r r a = 5,98 × 10 24 K g

1 U A = 149 × 10 9 m

Passo 1

Aqui usaremos uma aproximação para o raio médio, dada por:

R m é d i o = r a + r p 2

Sabemos também que:

T = 2 π R m é d i o 3 G M

E então:

R m é d i o = G M T 2 π 2 1 3

Temos que passar o período pra segundos também! Como uma ano tem 365 dias, um dia 24 horas, 1 hora tem 60 minutos e 1 minuto tem 60 segundos:

T = 127,4 × 365 × 24 × 60 × 60   s

Substituindo os valores:

R m é d i o = 54.5   .   10 9   m

Passando para UA (lembrando que 1 U A ≈ 149 × 10 9 m ):

R m é d i o = 54.6 × 10 9 149 × 10 9

R m é d i o = 0,37   U A

Passo 2

Como

R m é d i o = r a + r p 2

Então temos que

r a = 2 R m é d i o - r p

Pelo enunciado temos que r p = 0,1   U A , assim

r a = 2 0,37 - 0,1

r a = 0,6 4   U A

Resposta

0,6 4   U A

Exercício Resolvido #6

O raio da órbita da Terra é 1,496   .   10 11   m e o da órbita de Urano é 2,87   .   10 12   m . Qual é o período orbital de Urano?

Passo 1

Usando diretamente a terceira lei de Kepler:

T T e r r a T U r a n o 2 = R T e r r a R U r a n o 3

Substituindo valores:

1 T U r a n o 2 = 1,496   .   10 11 2,87   .   10 12 3

Resolvendo:

T U r a n o =   84   a n o s

Resposta

84   a n o s

Exercício Resolvido #7

O asteroide Hektor, descoberto em 1907, possui uma órbita quase circular de raio 5,16   U A em torno do Sol. Determine o período deste asteróide.

Passo 1

Pela terceira lei de Kepler, temos:

T T e r r a T H e k t o r 2 = R T e r r a R H e k t o r 3

Substituindo os valores:

1   a n o T H e k t o r 2 = 1   U A 5,16   U A 3

Resolvendo:

T H e k t o r = 11,7   a n o s

Resposta

11,7   a n o s

Exercício Resolvido #8

A massa de Saturno é de 5,69   .   10 26   k g . (a) Determine o período de sua Lua Mimas, cujo raio orbital médio é de 1,86   .   10 8   m . (b) Determine o raio orbital médio de sua Lua Titã, cujo período é de 1,38   .   10 6   s .

Passo 1

a) Aqui podemos usar a fórmula resultante da lei da gravitação de Newton, dada por:

T = 2 π R 3 G M

Substituindo os valores:

T = 2 π 1,86   .   10 8 3 6,67   .   10 - 11   .   5,69   .   10 26

E então:

T = 8,18   .   10 4   s

Passando para horas:

T = 8,18   .   10 4 3600 = 22,7   h

Passo 2

b) Aqui, para facilitar, podemos simplesmente usar a terceira lei de Kepler com os dados do enunciado junto com o encontrado no item anterior.

T m i m a s T t i t ã 2 = R m i m a s R t i t ã 3

R t i t ã = R m i m a s T t i t ã T m i m a s 2 / 3

Substituindo os valores:

R t i t ã = 1,86 ⋅ 10 6 1,38 ⋅ 10 6 8,18 ⋅ 10 4 2 / 3

Encontramos então:

R t i t ã = 1,22   .   10 7   m

Resposta

a) T m i m a s = 22,7   h

b) R t i t ã = 1,22   .   10 7   m

Exercício Resolvido #9

O cometa de Haley está em uma órbita fortemente elíptica em torno do Sol, com um período de cerca de 76 anos. Sua última aproximação máxima do Sol ocorreu em 1987. Em qual ano do século XX ele estava viajando com sua máxima rapidez orbital e com sua mínima rapidez orbital em torno do Sol?

Passo 1

Já vimos que no periélio, onde a distância do sol é menor, a velocidade orbital é maior, já no afélio, temos a distância maior e a velocidade menor.

Portanto, no ano de 1987, quando o cometa estava mais próximo do sol, ele tinha sua maior rapidez orbital, já para ter sua menor rapidez orbital, ele deveria estar no afélio, que está meio período distante do periélio, certo?

Então, pra descobrir em qual ano o cometa estava no afélio, basta subtrairmos meio período do ano de 1987, resultando então no ano de 1949.

Resposta

1987. 1949.

Exercício Resolvido #10

Considere um planeta movendo-se numa órbita somente sob ação do campo gravitacional do Sol. Tomando o centro de massa do Sol como referência, assinale a afirmativa incorreta:

Obs: Periélio: ponto da órbita mais próximo do Sol;

Afélio: ponto da órbita mais longe do Sol.

a) A componente angular   v q da velocidade no periélio e afélio é nula.

b) A componente angular da aceleração a q é sempre zero.

c) O raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais, o que corresponde à conservação do momento angular.

d) Energia e momento angular são conservados.

e) O módulo da velocidade no periélio é maior que a no afélio.

Passo 1

Vamos julgar cada alternativa:

a)

O movimento de um planeta em torno do sol, como a Terra, por exemplo tem órbita elíptica. Se a velocidade não tivesse componente angular no afélio nem no periélio ao chegar lá o planeta “iria embora” saindo da órbita. Para continuar em órbita deve sempre ter essa componente angular. Então... ALTERNATIVA INCORRETA .

Passo 2

b)

Não existe aceleração angular no movimento de órbita, apenas centrípeta. Resposta Correta.

Passo 3

c)

Isso é justamente a Segunda Lei de Kepler.

Passo 4

d)

Temos a força gravitacional como uma força conservativa, logo a energia total se conserva. Como a força gravitacional atua no centro de massa do planeta, não haverá torque e por consequência não haverá variação de energia cinética. True Story!

Passo 5

e)

Pela Terceira Lei de Kepler, temos:

T a f 2 R a f 3 = T p e 2 R p e 3

Lá da cinemática angular, a gente viu que a velocidade pode ser calculada por:

v = 2 π R T

Logo, o T será:

T = 2 π R v

Substituindo na lei de Kepler, temos:

4 π 2 R a f 2 v a f 2 R a f 3 = 4 π 2 R p e 2 v p e 2 R p e 3

v a f 2 R a f = v p e 2 R p e

Isolando a velocidade do periélio...

v p e = v a f R a f R p e

Como o R a f é a maior distância da órbita, teremos que R a f > R p e , ou seja, R a f R p e > 1 .

Desta forma...

v p e > v a f

Resposta certinha!!

Resposta

a) A componente angular   v q da velocidade no periélio e afélio é nula.

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