Leis de Kepler

Teoria Completa

Introdução

Você já pensou porquê a terra demora 365 dias pra completar uma volta em torno do sol?

E se eu te dissesse que é possível calcular esse período, não só pra terra mas também para outros planetas e que esse cálculo não é tão complicado, você acreditaria?

Me acompanha até o final da teoria que a gente vai aprender junto como fazer isso e muitas outras coisas sobre o movimento dos planetas.

Um cientista chamado Johannes Kepler constatou 3 leis que podemos usar para resolver nossos exercícios. Vamos dar uma olhada nelas?

1ª Lei de Kepler

A primeira lei explica como funciona a órbita e a posição do sol, vamos ver exatamente o que o Kepler definiu e tentar decifrar pra nós a utilidade da lei.

Enunciado:

“Cada planeta se move em uma órbita elíptica, com o Sol ocupando um dos focos da elipse”.

E o que isso quer dizer? Na nossa língua é que a trajetória do planeta é elíptica e o sol fica localizado num foco ou no outro.

Então a gente pode desenhar a órbita em forma de elipse, e os focos tem a mesma distância do centro da elipse e ficam posicionados mais ou menos assim.

2ª Lei de Kepler

A segunda lei de Kepler já é um pouco mais prática e ajuda a gente a encontrar relações entre as distâncias percorridas pelo planeta em diferentes pontos da órbita, saca só:

Enunciado:

“A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais a intervalos de tempos iguais”.

Traduzindo, esse enunciado diz que a razão entre uma área qualquer A e um intervalo de tempo qualquer ∆ t deve permanecer constante para todo o movimento, certo?

Se liga nessa imagem:

Pela lei, sabemos que as áreas tem tamanhos A iguais e são percorridas no mesmo tempo ∆ t , e o único jeito dessas áreas serem iguais é se a relação abaixo for verdadeira.

l 2 < l 1

E eu falo isso pois a área depende da distância do sol até o planeta e também do comprimento do setor, então se a distância de l 2 for maior logo seu comprimento de arco deve ser menor.

E para achar a velocidade basta a gente fazer

v = l ∆ t

l 2 ∆ t < l 1 ∆ t

Então

v 2 < v 1

Ou seja, concluímos que a velocidade é menor quanto mais afastado do sol e maior quanto mais próximo do sol.

E sobre os pontos da trajetória elíptica que o planeta pode estar, existem dois específicos que são os mais famosos. São eles o Periélio e o Afélio!

“O que? Peri- o que?”, calma mano, essas são só duas nomenclaturas, dois nomes bonitinhos que são usados na gravitação:

  • Afélio: ponto da órbita mais longe do sol.
  • Periélio: ponto da órbita mais perto do sol.

Pra decorar isso rápido, olha só esse mnemônico: PERIÉLIO tem PER de PERTO e AFÉLIO tem AF de AFASTADO.

Suponha agora que queremos calcular uma área pequena d A . Vamos usar um pouco dos nossos conhecimentos de Cálculo para descobrir algumas outras relações...

Então vamos parar de pensar na área A e pensar em um pedacinho muito pequeno dessa área ( d A ) . É como se tivéssemos pegando uma fatia de pizza e dividindo ela em muitos e muitos pedaços menores.

E o que compõe esse setor circular de área d A ? Se a gente destacar um setor qualquer, podemos ver algumas componentes dele.

E se a gente diminuir ele muito, vai se aproximando por um triângulo:

Então podemos aproximar nossa área d A para uma área de um triângulo de altura r e base r d θ (lembrando que θ varia quanto mais aumentamos ou diminuímos o tamanha da nossa fatia), portanto:

d A = b . h 2   =   r d θ   .   r 2

d A = r 2 d θ 2

Dividindo os dois lados por d t :

d A d t = r 2 2 d θ d t

E como:

ω = d θ d t

Temos:

d A d t = ω . r 2 2

Mas até agora fizemos muitos cálculos e pensamos de várias maneiras, mas não chegamos a lugar nenhum então para colocar a cereja em cima do bolo vamos nos lembrar, lá da dinâmica de rotação, o conceito de momento angular:

L = m v r × s e n θ

Ou em termos da velocidade angular:

L = m ω r ²

Aprendemos que o momento angular só varia se existirem forças externas agindo gerando torque no sistema, o que não é o caso. Portanto, L é constante. E podemos reescrever:

L m = ω . r 2

Finalmente, relacionando as duas equações:

d A d t = L 2 m = c t e .

Agora sim provamos que áreas iguais são percorridas em tempos iguais, já que consideramos que o sistema está livre da ação de forças externas que geram torque e que por causa disso o momento angular do sistema se conserva.

Outra conclusão que temos a partir da análise da conservação do momento angular, é a seguinte:

L 1 = L 2

m v 1 r 1 s e n θ 1 = m v 2 r 2 s e n θ 2

Mas isso não ajuda muito, né. Esse ângulo θ atrapalha as coisas. Mas existe dois pontos específicos da trajetória elíptica aonde esse ângulo θ vale 90 º . Eles são o afélio e o periélio.

L a = L p

m v a r a = m v p r p

v a r a = v p r p

Ou seja, a velocidade do afélio multiplicada pelo raio do afélio, tem que ser igual a velocidade do periélio multiplicada pelo raio do periélio.

Essa última relação só é válida para afélio e periélio.

Agora que a gente já conhece essa relação, que tal colocar em prática? Imagina que um planeta no afélio possui velocidade 6 × 10 4 m / s   e raio orbital nessa posição de 4 × 10 15 m , se no periélio o raio diminui para 1,5 × 10 15 m calcule a velocidade do planeta no periélio.

Bom o primeiro passo é nomear os nossos valores pra não confundir na hora de substituir ok?

v a = 6 × 10 4 m / s  

r a = 4 × 10 15 m

r p = 1,5 × 10 15 m

v p = ?

Agora a gente substitui na formulinha encontrada:

v a r a = v p r p

6 × 10 4 × 4 × 10 15 = 1,5 × 10 15 × v p

Cortando as notações iguais e isolando a velocidade do periélio.

v p = 6 × 4 × 10 4 1,5 = 16 × 10 4 m / s  

Entramos a velocidade, bora pra ultima lei!

3ª Lei de Kepler

Essa lei nos dá uma relação com o período, vamos dar uma olhada no enunciado e entender.

Enunciado:

“Os quadrados dos períodos de translação dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas.”

Existe a seguinte proporcionalidade entre o período ao quadrado e o raio da dos semi-eixos ao cubo:

T 2 R 3 = 4 π 2 G M

Onde T é o período da órbita do planeta, ou seja, o tempo que ele leva para dar um volta completa, R é o comprimento do semi-eixo maior da elipse descrita pelo planeta e M é a massa do corpo que está no centro, se for um caso de um planeta e o sol M é a massa do sol.

Se a gente jogar R para o outro lado e extrair a raiz, teremos a equação pro período orbital do planeta.

T = 2 π R 3 G M

Se liga no que a gente encontrou, lembra que no inicio te disse que aprenderíamos a calcular o tempo que um planeta demorava pra fazer a órbita em torno do sol? Vamos calcular pra terra e mostrar que a equação funciona, dados:

M t e r r a = 5,973   6 ×   10 24 k g

M s o l = 1,99 × 10 30 k g

R = 149,598 × 10 6   k m

G = 6,67 × 10 - 11 m 3 k g s 2

Vamo colocar os valores na equação, lembrando só de passar o raio para metros multiplicando por 10 3 .

E aqui vai um bizu maneiro pra vocês, se o menor dos corpos em órbita tiver massa relevante a equação fica:

T = 2 π R 3 G ( M 1 + M 2 )

Que é o nosso caso aqui, então substituindo e convertendo o raio pra metros multiplicando por 10 3 :

T = 2 π 149,598 × 10 6 × 10 3 3 6,67 × 10 - 11 × ( 5,973   6 ×   10 24 + 1,99 × 10 30 )

T = 2 π × 2,522 × 10 13 = 31,55 × 10 6 s

Tá mas e como eu passo isso pra dias? Lembra que um dia tem 86400 segundos? Só dividir:

T = 31,55 × 10 6 86400 ≅ 365   D i a s

A conta não bate exata, e as casas decimais que sobrarem é o que a gente coloca na conta do ano bissexto.

Unidade astronômica

Outra definição que é muito usada é uma medida de distância especial: a unidade astronômica. Esta é bem simples:

1   U A   =   149   597   870   700   m

Esse numerozão aí é a distância média entre a Terra e o nosso Sol que a gente usou como R no exemplo!

Tranquilo? Talvez tenham sido muito conteúdo novo de uma vez, mas fica tranquilo, dá uma olhada nos exercícios que já já você vai ficar fera!

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 397 ex. 1

Julgue verdadeiro ou falso:

(a) Para que a lei das áreas seja válida, a força da gravidade deve variar com o inverso da distância entre um planeta e o Sol.

(b) O planeta mais próximo do Sol possui o menor período orbital.

(c) A rapidez orbital de Vênus é maior do que a rapidez orbital da Terra.

(d) O período orbital de um planeta permite que se determine com precisão a sua massa.

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Passo 1

Analisando uma por uma, temos:

(a) Aprendemos juntamente com as leis de Kepler, as leis de Newton da gravitação, que nos diz que a força da gravidade varia com o inverso do quadrado da distância, portanto, a afirmativa é FALSA.

Passo 2

(b) Vimos que o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo da distância ao Sol, portanto, quanto menor a distância ao Sol, menor o período orbital. A afirmativa é VERDADEIRA.

Passo 3

(c) Lembrando lá da escolinha, sabemos que Vênus é mais perto do Sol do que a Terra, portanto, se lembrarmos que:

ω = G M R 3

Concluímos que a rapidez orbital ( ω ) é inversamente proporcional à potencia 3 2 da distância do planeta ao Sol. Como a distância de Vênus ao Sol é menor que a distância da Terra ao Sol, sua rapidez orbital é MAIOR. A afirmativa é VERDADEIRA.

Passo 4

(d) Pela expressão:

T = 2 π R 3 G M

Percebemos que a massa M dessa formula não é a massa do planeta, porque ela corta durante a demonstração dessa fórmula. A afirmativa é FALSA.

Resposta

F-V-V-F

Exercício Resolvido #2

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 397 ex.3

Durante qual estação, no hemisfério norte, a Terra possui sua maior rapidez orbital em torno do Sol? Em qual estação ela possui sua menor rapidez orbital? Dica: A Terra está no periélio no início de janeiro.

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Passo 1

Sabemos que o momento angular do sistema Terra-Sol se mantém constante, portanto:

m v a r a = m v p r p

v a r a = v p r p

Portanto, a velocidade é maior quando a distância é menor. Onde concluímos que a velocidade no periélio é maior, beleza?

Passo 2

Sabemos que aqui no Brasil(que está no hemisfério sul), em janeiro, estamos no verão. Como nos foi dado a dica que a Terra está no periélio (onde a rapidez orbital é maior!) no início de janeiro, é só a gente inverter: no hemisfério norte a estação vigente em janeiro é o inverno.

E a menor rapidez orbital será no afélio, quando a estação no hemisfério norte é o verão.

Resposta

Inverno. Verão.

Exercício Resolvido #3

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 400 ex. 37

Um planeta orbita em torno de uma estrela massiva. Quando no periélio, o planeta tem uma rapidez de 5,0   .   10 4   m / s e está a 1,0   .   10 15   m da estrela. O raio orbital aumenta para 2,2   .   10 15   m no afélio. Qual é a rapidez do planeta no afélio?

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Passo 1

Conservando o momento angular, temos:

v a r a = v p r p

Substituindo os valores:

v a   .   2,2   .   10 15 = 1,0   .   10 15   .   5,0   .   10 4

v a = 5,0 2,2   .   10 4 = 2,27   .   10 4   m / s

Resposta

v a = 2,27   .   10 4   m / s

Exercício Resolvido #4

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 400 ex. 39

A rapidez de um asteróide é 20   k m / s no periélio e 14   k m / s no afélio. (a) Determine a razão entre as distâncias do afélio e de periélio. (b) Na média, este asteróide está mais afastado ou mais próximo do Sol do que a Terra? Explique.

Dados

Distância média entre Sol e a Terra: 149,6   . 10 6   k m = 149,6   . 10 9   m

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Passo 1

a) Usando a conservação do momento angular:

v a r a = v p r p

r a r p = v p v a

Substituindo os valores:

r a r p = 20 14 = 10 7

Passo 2

b) Usando a terceira lei de Kepler temos que:

T 2 ∝ R m é d i o 3

Portanto, quanto maior o período, maior a distância média do planeta ao sol, certo? Sabemos também que, para calcular a velocidade orbital média de um corpo celeste, usamos:

v m é d i a = 2 π R m é d i o T

Então, o período é inversamente proporcional à velocidade orbital, e portanto, a velocidade orbital é inversamente proporcional ao raio médio, tranquilo? E o que fazemos com isso? Temos o raio médio e o período de translação da Terra, vamos calcular essa velocidade então!

v m é d i a = 2 π   .   149,6   . 10 9 24   .   3600   .   365 ≅ 30 k m / s

Como a velocidade máxima do asteróide é 20   k m / s , sua velocidade média é menor que a velocidade média da Terra e, portanto, o seu raio médio é maior, e então, ele está mais distante do Sol do que a Terra.

Resposta

a) r a r p = 10 7

b) Mais distante

Exercício Resolvido #5

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 399 ex. 22

O novo cometa Alex-Casey tem uma órbita muito elíptica, com um período de 127,4 anos. Se a aproximação máxima do Alex-Casey ao Sol é 0,1   U A , qual é o seu maior afastamento do Sol?

Dados:

G = 6,67 × 10 - 11 N m 2 / K g 2

M T e r r a = 5,98 × 10 24 K g

1 U A = 149 × 10 9 m

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Passo 1

Aqui usaremos uma aproximação para o raio médio, dada por:

R m é d i o = r a + r p 2

Sabemos também que:

T = 2 π R m é d i o 3 G M

E então:

R m é d i o = G M T 2 π 2 1 3

Temos que passar o período pra segundos também! Como uma ano tem 365 dias, um dia 24 horas, 1 hora tem 60 minutos e 1 minuto tem 60 segundos:

T = 127,4 × 365 × 24 × 60 × 60   s

Substituindo os valores:

R m é d i o = 54.5   .   10 9   m

Passando para UA (lembrando que 1 U A ≈ 149 × 10 9 m ):

R m é d i o = 54.6 × 10 9 149 × 10 9

R m é d i o = 0,37   U A

Passo 2

Como

R m é d i o = r a + r p 2

Então temos que

r a = 2 R m é d i o - r p

Pelo enunciado temos que r p = 0,1   U A , assim

r a = 2 0,37 - 0,1

r a = 0,6 4   U A

Resposta

0,6 4   U A

Exercício Resolvido #6

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 399 ex. 23

O raio da órbita da Terra é 1,496   .   10 11   m e o da órbita de Urano é 2,87   .   10 12   m . Qual é o período orbital de Urano?

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Passo 1

Usando diretamente a terceira lei de Kepler:

T T e r r a T U r a n o 2 = R T e r r a R U r a n o 3

Substituindo valores:

1 T U r a n o 2 = 1,496   .   10 11 2,87   .   10 12 3

Resolvendo:

T U r a n o =   84   a n o s

Resposta

84   a n o s

Exercício Resolvido #7

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 399 ex. 24

O asteroide Hektor, descoberto em 1907, possui uma órbita quase circular de raio 5,16   U A em torno do Sol. Determine o período deste asteróide.

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Passo 1

Pela terceira lei de Kepler, temos:

T T e r r a T H e k t o r 2 = R T e r r a R H e k t o r 3

Substituindo os valores:

1   a n o T H e k t o r 2 = 1   U A 5,16   U A 3

Resolvendo:

T H e k t o r = 11,7   a n o s

Resposta

11,7   a n o s

Exercício Resolvido #8

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 400 ex. 33 - Modificado

A massa de Saturno é de 5,69   .   10 26   k g . (a) Determine o período de sua Lua Mimas, cujo raio orbital médio é de 1,86   .   10 8   m . (b) Determine o raio orbital médio de sua Lua Titã, cujo período é de 1,38   .   10 6   s .

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Passo 1

a) Aqui podemos usar a fórmula resultante da lei da gravitação de Newton, dada por:

T = 2 π R 3 G M

Substituindo os valores:

T = 2 π 1,86   .   10 8 3 6,67   .   10 - 11   .   5,69   .   10 26

E então:

T = 8,18   .   10 4   s

Passando para horas:

T = 8,18   .   10 4 3600 = 22,7   h

Passo 2

b) Aqui, para facilitar, podemos simplesmente usar a terceira lei de Kepler com os dados do enunciado junto com o encontrado no item anterior.

T m i m a s T t i t ã 2 = R m i m a s R t i t ã 3

R t i t ã = R m i m a s T t i t ã T m i m a s 2 / 3

Substituindo os valores:

R t i t ã = 1,86 ⋅ 10 6 1,38 ⋅ 10 6 8,18 ⋅ 10 4 2 / 3

Encontramos então:

R t i t ã = 1,22   .   10 7   m

Resposta

a) T m i m a s = 22,7   h

b) R t i t ã = 1,22   .   10 7   m

Exercício Resolvido #9

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 397 ex. 4

O cometa de Haley está em uma órbita fortemente elíptica em torno do Sol, com um período de cerca de 76 anos. Sua última aproximação máxima do Sol ocorreu em 1987. Em qual ano do século XX ele estava viajando com sua máxima rapidez orbital e com sua mínima rapidez orbital em torno do Sol?

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Passo 1

Já vimos que no periélio, onde a distância do sol é menor, a velocidade orbital é maior, já no afélio, temos a distância maior e a velocidade menor.

Portanto, no ano de 1987, quando o cometa estava mais próximo do sol, ele tinha sua maior rapidez orbital, já para ter sua menor rapidez orbital, ele deveria estar no afélio, que está meio período distante do periélio, certo?

Então, pra descobrir em qual ano o cometa estava no afélio, basta subtrairmos meio período do ano de 1987, resultando então no ano de 1949.

Resposta

1987. 1949.

Exercício Resolvido #10

USP-P3-2015-3

Considere um planeta movendo-se numa órbita somente sob ação do campo gravitacional do Sol. Tomando o centro de massa do Sol como referência, assinale a afirmativa incorreta:

Obs: Periélio: ponto da órbita mais próximo do Sol;

Afélio: ponto da órbita mais longe do Sol.

a) A componente angular   v q da velocidade no periélio e afélio é nula.

b) A componente angular da aceleração a q é sempre zero.

c) O raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais, o que corresponde à conservação do momento angular.

d) Energia e momento angular são conservados.

e) O módulo da velocidade no periélio é maior que a no afélio.

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Passo 1

Vamos julgar cada alternativa:

a)

O movimento de um planeta em torno do sol, como a Terra, por exemplo tem órbita elíptica. Se a velocidade não tivesse componente angular no afélio nem no periélio ao chegar lá o planeta “iria embora” saindo da órbita. Para continuar em órbita deve sempre ter essa componente angular. Então... ALTERNATIVA INCORRETA .

Passo 2

b)

Não existe aceleração angular no movimento de órbita, apenas centrípeta. Resposta Correta.

Passo 3

c)

Isso é justamente a Segunda Lei de Kepler.

Passo 4

d)

Temos a força gravitacional como uma força conservativa, logo a energia total se conserva. Como a força gravitacional atua no centro de massa do planeta, não haverá torque e por consequência não haverá variação de energia cinética. True Story!

Passo 5

e)

Pela Terceira Lei de Kepler, temos:

T a f 2 R a f 3 = T p e 2 R p e 3

Lá da cinemática angular, a gente viu que a velocidade pode ser calculada por:

v = 2 π R T

Logo, o T será:

T = 2 π R v

Substituindo na lei de Kepler, temos:

4 π 2 R a f 2 v a f 2 R a f 3 = 4 π 2 R p e 2 v p e 2 R p e 3

v a f 2 R a f = v p e 2 R p e

Isolando a velocidade do periélio...

v p e = v a f R a f R p e

Como o R a f é a maior distância da órbita, teremos que R a f > R p e , ou seja, R a f R p e > 1 .

Desta forma...

v p e > v a f

Resposta certinha!!

Resposta

a) A componente angular   v q da velocidade no periélio e afélio é nula.

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