Conservação de Energia

Teoria Completa

Quando Newton fez os seus estudos sobre gravitação, ele disse que as leis da física usadas até então na superfície da Terra eram universais e valeriam para todo o universo...

O que mais podemos aplicar no estudo do movimento dos corpos celestiais? Nada mais nada menos do que nossa amiga, a mão na roda e quebra-galho conservação de energia.

A conservação feita aqui é provavelmente mais simples do que as que fazemos normalmente, já que possui somente dois termos: a energia potencial gravitacional e a energia cinética.

Energia potencial gravitacional

Expressa a energia entre dois corpos, devendo portanto ser somada várias vezes no caso em que estamos estudando um sistema de mais de um corpo.

Já vimos que sua expressão é:

E g r a v = - G M m R

Onde M e m são as massas dos corpos, G é a constante gravitacional e R é a distância entre os corpos.

Energia cinética

É a quantidade de energia que um corpo de massa m carrega quando se move com uma velocidade v . Sua expressão é bem simples e já nossa conhecida:

E c i n = m v 2 2

A conservação em si é a mesma que você já aprendeu. Pegando dois instantes diferentes, sabemos que:

E a n t e s = E d e p o i s

E, portanto:

E g r a v , a n t e s + E c i n , a n t e s = E g r a v , d e p o i s + E c i n , d e p o i s

Conservação de Energia em Órbitas Circulares

Quando temos órbitas circulares, sabemos que:

F g r a v = G M m R 2 = F c p = m v 2 R

v 2 = G M R

Podemos reescrever a energia cinética como:

E c i n = m v 2 2 = G M m 2 R

Logo a Energia Mecânica é dada por:

E m e c = E c i n + E g r a v = G M m 2 R - G M m R = - G M m 2 R

Logo, em órbitas circulares, teremos a energia mecânica constante!

Tranquilo? Não tem mistério, só não deixe de fazer os exercícios. Vamo que vamo!

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Exercício Resolvido #1

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 51 – Modificada.

Um corpo é largado, a partir do repouso, de uma altura de 4 , 0   .   10 6   m acima da superfície da Terra. Se não existe resistência do ar, qual é sua rapidez ao atingir a Terra?

Dados:

G = 6,673.10 - 11 N . m 2 / k g 2    

M T = 5,97.10 24 k g

R T = 6,37.10 6   m

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Passo 1

Para, resolver essa questão vamos usar a conservação de energia que acabamos de aprender:

E g r a v , a n t e s + E c i n , a n t e s = E g r a v , d e p o i s + E c i n , d e p o i s

Como o corpo é largado a partir do repouso a uma altura de 4 , 0   .   10 6   m acima da superfície, temos:

E c i n , a n t e s = 0

E g r a v , a n t e s = - G M T m R T + h  

Depois, quando o corpo atinge a Terra, temos:

E c i n ,   d e p o i s = 1 2 m v 2

E g r a v ,   d e p o i s = - G M T m R T

Logo, temos:

- G M T m R T + h = 1 2 m v 2 - G M T m R T

Passo 2

Reescrevendo a expressão obtida no passo 1, temos:

v = 2 G M T R T - G M T R T + h

Substituindo os dados:

v = 2 . 6,673.10 - 11 . 5,97.10 24 6,37.10 6 - 6,673.10 - 11 . 5,97.10 24 6,37.10 6 + 4,0.10 6 = 6,9   k m / s  

Resposta

v = 6,9   k m / s

Exercício Resolvido #2

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 52- Modificada.

Um corpo é lançado diretamente para cima da superfície da Tera, com uma rapidez inicial de 4,0   k m / s . Qual é a altura máxima que ele alcança?

Dados:

G = 6,673.10 - 11 N . m 2 / k g 2    

M T = 5,97.10 24 k g

R T = 6,37.10 6   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos aplicar a conservação de energia para resolver essa questão:

E g r a v , a n t e s + E c i n , a n t e s = E g r a v , d e p o i s + E c i n , d e p o i s

Antes temos:

E g r a v , a n t e s = - G M T m R T

E c i n , a n t e s = 1 2 m v 2

Depois temos:

E g r a v , d e p o i s = - G M T m R T + h

E c i n , d e p o i s = 0

Substituindo na fórmula, temos:

- G M T m R T + 1 2 m v 2 = - G M T m R T + h

Passo 2

Agora vamos reescrever a equação para encontrarmos o h :

R T + h = - G M T m - G M T m R T + 1 2 m v 2

h = - G M T - G M T R T + 1 2 v 2 - R T

Substituindo os valores, temos:

h = - 6,673.10 - 11 5,97.10 24 - 6,673.10 - 11 . 5,97.10 24 6,37.10 6 + 1 2 4.10 3 2 - 6,37.10 6 = 9,4.10 5   m

Resposta

h = 9,4.10 5   m

Exercício Resolvido #3

UNICAMP-P1-2007- Q1

O gráfico abaixo representa a aceleração da gravidade (em m / s 2 ) em função da distância ao centro R   m de um asteroide esférico cujo raio é de 40   k m

(a) Calcule a velocidade de escape de um corpo neste asteroide.

(b) Até que distância da superfície irá o corpo se ele deixar a superfície do asteroide com uma velocidade radial de 100   m / s ?

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Passo 1

(a)

Do principio da Conservação de Energia:

- G M m R + 1 2 m v 2 = 0

Podemos deduzir a fórmula da velocidade de escape:

V e = 2 G M R

Mas, pela segunda Lei de Newton temos:

F = m a

G M m R 2 = m a g

a g R = G M R

Onde a g é a aceleração da gravidade na superfície que podemos tirar do gráfico! Olhando lá

a g = 2 m / s 2

Então:

V e = 2 a g R = 2 ( 2,0   m / s 2 ) ( 40   .     10 3   m ) = 4,0   .   10 2   m / s

Passo 2

(b)

Do princípio da Conservação de Energia:

- G M m R + 1 2 m v 2 = - G M m R + h

Mas, sabemos que:

G M R = a g R

G M = a g R 2

Substituindo isso:

- a g R + 1 2 v 2 = - a g R 2 R + h