Velocidade e Período Orbital

Teoria Completa

Sabemos que, aqui no Sistema Solar, os planetas orbitam em torno do Sol, certo? Mas o que é, de fato, orbitar?

Orbitar significa andar à volta de algo, estar na esfera de ação ou de influência de alguém ou algo.

Ou seja, quando um objeto está orbitando em torno de outro, significa que ele está seguindo uma trajetória (chamada órbita) em volta desse objeto, “puxado” por alguma força.

Velocidade Orbital

Inicialmente, vamos aproximar todas as órbitas à órbitas circulares, beleza?

Vamos ter então a força gravitacional agindo como força centrípeta, lembra dela? A expressão dela é:

F c p = m v 2 R

Igualando as forças, então:

m v 2 R = G M m R 2

E podemos, então, encontrar a expressão da velocidade orbital:

v = G M R

Lembrando sempre que a direção é tangencial à trajetória circular.

Período Orbital

Quando temos a velocidade orbital em mãos, é moleza encontrar o período orbital.

Mas o que seria esse período orbital? Bem simples! É o tempo necessário para um objeto que orbita outro completar uma volta completa. Vamos às equações.

Lá do MCU, sabemos que:

v = ω R

E também:

ω = 2 π T

Já encontramos a velocidade orbital v , que é dada por:

v = G M R

Juntando tudo:

2 π T   R = G M R

Simplificando:

T = 2 π R 3 G M

Tranquilinho? Aqui é basicamente aplicação da fórmula. Vamo que vamo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista 11, questão 3 – Gravitação, Universidade Federal Fluminense, 2014

Qual deve ser a velocidade orbital de um satélite que descreve uma órbita circular a 780 k m acima da superfície terrestre?

Dados:

Constante gravitação: 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 k g 2

Massa da Terra:   5,98 ∙ 10 24   k g  

Raio da Terra: 6,37 ∙ 10 6   m

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Passo 1

Como vimos na teoria, a fórmula da velocidade é:

V = G M R

Então basta substituirmos os valores e achar a velocidade.

Mas vamos entender como deduzí-la de novo?

F R = G M m R 2 = m ∙ a = m V 2 R

V 2 = G M R

V = G M R

Lembrando os dados do problema:

G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 k g 2

M =   5,98 ∙ 10 24   k g  

R = 6,37 ∙ 10 6   m

Passo 2

Pronto, basta substituir os valores na fórmula.

V = G M R

V = 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 5,98 ∙ 10 24 6,37 ∙ 10 6 + 780 ∙ 10 3

V = 7,47 × 10 3   m / s

ou

  V = 7,47   k m / s

Note que na segunda linha substituímos o R pelo raio da terra mais a distância do satélite à superfície da terra.

Resposta

V = 7,47   k m / s

Exercício Resolvido #2

Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 1, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 398 – Exemplo 13.4

Um ônibus espacial numa órbita de 300km de altura ( ≈ 180   m i ) quer capturar um satélite menor para efetuar reparos. Quais são os valores de velocidade do ônibus e do satélite nesta órbita?

Dados:

- Massa da Terra: 5,972 × 10 24 k g

- Raio da Terra: 6,37 × 10 3   k m

- Constante Gravitação: 6,67 × 10 - 11 m 3 k g - 1 s - 2

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Passo 1

A primeira coisa a se pensar é: será que são duas velocidades ou uma só? O ônibus deseja chegar junto ao satélite, para isso eles tem que estar lado a lado na trajetória. Se a velocidade não depende da massa do corpo, somente da massa que os atrai (a Terra), da distância em que se encontra o corpo (mesma distância para o ônibus e para o satélite) e da constante gravitacional, então ambas as velocidades são as mesmas.

Passo 2

Sabendo disto, basta aplicar a fórmula.

v = G M R

Só que o raio da órbita circular não é o raio da Terra, já que o ônibus e o satélite estão a uma altura de 300 k m , assim

R = R T + h

E teremos

v = G M R T + h

No SI esses valores são

R T = 6,37 × 10 3 k m = 6,37 × 10 6 m

h = 300 k m = 3 × 10 5 m = 0,3 × 10 6   m

Substituindos os dados

v = 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 5,972 ∙ 10 24 6,37 ∙ 10 6 + 0,30 ∙ 10 6

v = 7 727,9   m / s

Resposta

v = 7727,9   m / s

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2015.1- ME7

Dois satélites orbitam em torno de um planeta que tem distribuição esfericamente simétrica de massa. Cada um está sujeito apenas à força gravitacional do planeta, descrevendo movimentos circulares uniformes. Se o primeiro satélite tem velocidade v em uma órbita de raio R e o segundo velocidade v / 2 , então o raio da órbita do segundo satélite é

(a) R

(b) 2 R

(c) 4 R

(d) R / 2

(e) R / 4

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Passo 1

Que nem vimos na teoria, pela 2ª lei de Newton, a velocidade do primeiro satélite vai ser dada por:

v = G M R ,

onde G é a constante gravitacional e M seria a massa do planeta.

Passo 2

Seja R ' o raio do segundo satélite. Sua velocidade é v / 2 . Então, pela mesma regra:

v 2 = G M R '

⇒ v = 2 G M R '

Passo 3

Juntando as 2 equações:

G M R = 2 G M R '

Dividindo por G M dos 2 lados:

1 R = 2 R '

⇒ R ' = 2 R

⇒ R ' = 4 R

Resposta

Alternativa (c)

Exercício Resolvido #4

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 400 ex. 40 – Modificado.

Um satélite, com uma massa de 300   k g , se move em uma órbita circular 5,00   .   10 7   m acima da superfície da Terra. (a) Qual é a força gravitacional sobre o satélite? (b) Qual é a rapidez do satélite? (c) Qual é o período do satélite?

Dados:

G = 6,673.10 - 11 N . m 2 / k g 2    

M T = 5,97.10 24 k g

R T = 6371   k m

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Passo 1

(a) Vamos calcular aqui a força gravitacional sobre o satélite. Sabemos que a fórmula da força gravitacional é:

F g = G M m r 2

Temos que:

F g = 6,673.10 - 11 . 5,97.10 24 . 300 6371.10 3 + 5,00.10 7 2 = 37,6   N

Passo 2

(b) Para calcular a rapidez do satélite, basta nos lembrarmos da fórmula da força centrípeta:

F g = m v 2 r

Logo:

v = F g r m

v = 37,6 . 6371.10 3 + 5.10 7 300 = 2658,04   m / s

Podemos escrever, então:

v = 2,66   k m / s

Passo 3

(c) O período do satélite é dado por:

T = 2 π r v

T = 2 π . 6371.10 3 + 5,00.10 7 2,66.10 3 = 1,333.10 5 s

Resposta

(a) 37,6   N

(b) 2,66   k m / s

(c) 1,333.10 5 s

Exercício Resolvido #5

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 31 - Modificado

Centenas de milhares de asteroides giram em torno do Sol no interior do cinturão de asteroides, que se estende desde uma distância do Sol de 3.10 8   k m até cerca de 5.10 8   k m . a) Ache o período orbital (em anos) para i) um asteroide na parte interna do cinturão e ii) um asteroide na parte externa do cinturão. Considere órbitas circulares.

Dados:

M S o l = 2 ∙ 10 30   k g

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Passo 1

a)

Ele quer o período dos asteroides, mas como vamos fazer isso?

Vimos na teoria que sabemos calcular a velocidade do asteroide, vamos começar pelo asteroide na parte interna do cinturão.

V i n t = G M S o l R i n t

Sabendo a velocidade e considerando ela contante temos

V i n t = Δ S Δ t = 2 π R i n t T

Dessa forma

G M S o l R = 2 π R i n t T

T = 2 π R i n t 3 / 2 G M S o l

T = 2 π ∙ 3 ∙ 10 8 ∙ 10 3 3 / 2 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 2 ∙ 10 30 = 8,9 ∙ 10 7 s = 2,83   a n o s