Aceleração da gravidade no interior de cascas e esferas

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Teoria

Até agora aprendemos como calcular o campo gravitacional gerado por corpos maciços, certo? Mas e se tivéssemos somente uma casca de massa? Como ela agiria na criação de um campo gravitacional?

Vamos analisar dois casos: o do campo gravitacional dentro e fora de uma casca esférica, ou seja, para r < R e r > R , respectivamente.

Campo gravitacional dentro da casca esférica( r < R )

Vamos primeiramente considerar o ponto O como centro da casca esférica .

Vamos traçar os campos gerados por alguns “caquinhos” de mesma massa (são os pontinhos verdes espalhados de forma simétrica na superfície da casca) no seu centro.

Viu só? Todos os campos têm o mesmo módulo e estão dispostos de forma que o campo resultante no centro seja nulo:

g O = 0

A simetria esférica da casca nos garante que isso irá ocorrer quando considerarmos todos os caquinhos presentes na superfície! Ou seja, quando r < R , sempre teremos:

g = 0

Campo gravitacional fora da casca esférica( r > R )

Assim como na efera maciça, a casca esférica nos permite fazer o acúmulo da massa no centro da casca, portanto, quando r > R , teremos:

g = G M r 2

Onde M é a massa total da casca.

Também ainda não calculamos o campo gravitacional dentro de uma esfera maciça. Podemos ver isso agora, topa? Então bora lá!

Campo gravitacional no interior de uma esfera maciça( r < R )

Quando queremos calcular o campo com r < R , é só a gente considerar a massa que está dentro dessa esfera de raio r . Vamos chamar essa massa de m .

Como a esfera é homogênea, podemos garantir que:

m 4 π r 3 3 = M 4 π R 3 3 → m r 3 = M R 3

Portanto, o campo é:

g = G m r 2

Substituindo o valor de m :

g = G M R 3   r

Podemos então resumir tudo com dois gráficos:

Show de bola? Bora praticar!

Campo gravitacional fora da casca esférica( r > R )

Campo gravitacional no interior de uma esfera maciça( r < R )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Explique por que o campo gravitacional dentro de uma esfera maciça de massa homogênea é diretamente proporcional a r e não inversamente proporcional a r .

Passo 1

Quando queremos calcular o campo com r < R , é só a gente considerar a massa que está dentro dessa esfera de raio r . Vamos chamar essa massa de m .

Como a esfera é homogênea, podemos garantir que:

m 4 π r 3 3 = M 4 π R 3 3 → m r 3 = M R 3

Portanto, o campo é:

g = G m r 2

Substituindo o valor de m :

g = G M R 3   r

Resposta

Exercício Resolvido #2

A uma profundidade igual à metada do raio da Terra, a aceleração da gravidade vale cerca de:

  1. g
  2. 2 g
  3. g / 2
  4. g / 4
  5. g / 8
  6. Não se pode determinar a resposta com os dados fornecidos

Passo 1

Sabemos que a fórmula que nos dá a aceleração da gravidade dentro da esfera, a uma distância r do centro é:

g = G M R 3 r

Quando a profundidade é h , temos que a distância do ponto considerado ao centro é:

r = R - h

No enunciado, nos foi dado que:

h = R 2

E então:

r = R 2

Substitituindo:

g ' = G M R 3 R 2

Como a aceleração da gravidade na superfície, g , é dada por:

g = G M R 2

Conclui-se que:

g ' = g 2

Resposta

Letra C

Exercício Resolvido #3

Uma casca esférica fina e homogênea tem 2,0   m de raio e 300   k g de massa, e seu centro está localizado na origem de um sistema de coordenadas. Outra casca esférica fina e homogênea, com 1,00   m de raio e 150   k g de massa, está dentro da casca maior, com seu centro em 0,600   m no eixo x . Qual é a força gravitacional de atração entre as duas cascas?

Passo 1

O campo gravitacional dentro da casca de 2,0   m é nulo e, portanto, a força gravitacional também é nula.

Pela 3ª lei de Newton, concluímos que a casca interna também não exerce força sobre a casca externa.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Duas cascas esféricas finas, homogêneas e concêntricas, possuem massas M 1 e M 2 e raios a e 2 a , como na Figura 11-26. Qual é a magnitude da força gravitacional sobre uma partícula pontual de massa m (não mostrada) localizada (a) a uma distância 3 a do centro das cascas? (b) a uma distância 1,9 a do centro das cascas? (c) a uma distância 0,9 a do centro das cascas?

Passo 1

a) Como a distância é maior que os raios das duas cascas, podemos acumular a massa no centro das duas cascas e então:

F = G M 1 + M 2 m 3 a 2

F = G M 1 + M 2 m 9 a 2

Passo 2

b) À distância de 1,9 a , estamos dentro da casca maior e fora da casca menor, certo? Portanto, a casca maior NÃO exercerá força sobre a massa m , mas a casca menor, podemos acumular a massa no centro da mesma. Se liga então:

F = G M 1 m 1,9 a 2

F = G M 1 m 3,61 a 2

Passo 3

c) Já à distância de 0,9 a , estamos dentro das duas cascas, portanto, o campo gravitacional é nulo e, portanto, a força gravitacional também é nula.

Resposta

  1. F = G M 1 + M 2 m 9 a 2
  2. F = G M 1 m 3,61 a 2
  3. F = 0

Exercício Resolvido #5

Uma casca esférica, uniforme, de massa igual a 100   k g , possui um raio de 5,0   m . (a) Ache a força gravitacional que essa casca exerce sobre uma massa pontual de 2,0   k g colocada nas seguintes distâncias do centro da casca: (i) 5,01   m , (ii) 4,99   m , (iii) 2,72   m . (b) Desenhe um gráfico qualitativo do módulo da força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual m em função da distância r de m do centro da esfera. Inclua a região de r = 0 a r → ∞ .

Passo 1

a)

(i) Para distâncias maiores que o raio da casca, basta acumular a massa no centro da casca:

F = G M m r 2 = 6,67.10 - 11   .   100   .   2 5,01 2

F = 5,31   .   10 - 10   N

Passo 2

(ii) Como a distância é menor que o raio da casca:

F = 0   N

Passo 3

(iii) Novamente, como a distância é menor que o raio:

F = 0   N

Passo 4

b)

Resposta

    1. F = 5,31   .   10 - 10   N
    2. F = 0   N
    3. F = 0   N

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