Enunciado

Uma rede de difração possui 200 ranhuras/mm. Uma luz que contém todos os comprimentos de onda entre 550   n m e 700   n m incide perpendicularmente na rede. (a) Qual é a menor ordem que se superpõe a outra ordem? (b) Qual é a maior ordem para a qual o espectro completo está presente?

Passo 1

(a) Vamos lembrar da equação que dá a posição de cada ordem gerada pela rede de difração:

d sen ⁡ θ = m λ

Se nós temos dois comprimentos de onda diferentes ( λ 1 e λ 2 ), gerando ordens diferentes ( m 1 e m 2 ) na mesma posição θ , podemos escrever duas relações:

d sen ⁡ θ = m 1 λ 1 d sen ⁡ θ = m 2 λ 2

Vamos dividir a segunda equação pela primeira:

m 2 λ 2 m 1 λ 1 = d sen ⁡ θ d sen ⁡ θ = 1

m 2 λ 2 = m 1 λ 1

Passo 2

Vamos supôr que as ordens que se superõem são “vizinhas”, nesse caso:

m 2 = m 1 + 1

Substituindo na igualdade de cima:

m 1 + 1 λ 2 = m 1 λ 1

m 1 λ 2 - λ 1 = - λ 2

m 1 = λ 2 λ 1 - λ 2 = 550 700 - 550 = 3,6

Como m só pode assumir valores inteiros, isso indica que a superposição ocorre a partir da quarta ordem.

Vamos verificar isso. Se m 1 = 4 e λ 1 = 700   n m , então:

m 1 λ 1 = 2800   n m

E se m 2 = 4 + 1 = 5 e λ 2 = 550 :

m 2 λ 2 = 2750   n m

Beleza, os dois valores são bastante próximos. Então a menor ordem para a qual existe superposição é a quarta, que se sobrepõe à quinta.

Passo 3

(b) Vamos lembrar da relação que dá a posição angular dos máximos da rede:

d sen ⁡ θ = m λ

O problema aqui é o seguinte: quanto maior for o comprimento de onda, menor ordens vão “aparecer” na nossa tela, pois o valor de θ vai passar de 90 ° mais rápido.

Então, para encontrar a maior ordem que permite o espectro inteiro (desde λ = 550   n m até λ = 700   n m ), vamos ver qual é a maior ordem que aparece para o maior comprimento de onda.

Passo 4

Nós sabemos que sen ⁡ θ ≤ 1 , então:

sen ⁡ θ = m λ d ≤ 1

Vamos usar λ = 700   n m , e podemos calcular d , já que temos 200 ranhuras a cada milímetro:

d = 10 - 3 200 = 5000   n m

Então:

m λ d = m 700 5000 ≤ 1

m ≤ 7,14

Isso quer dizer que a maior ordem para a qual todo o espectro está presente é a sétima.

Resposta

(a) A menor ordem que se superpõe a outra ordem é a quarta.

(b) A maior ordem para a qual todo o espectro está presente é a sétima.

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