Enunciado

103 . Uma gota de chuva com massa variável. Em um problema de propulsão de um foguete, a massa é variável. Outro problema com massa variável é fornecido por uma gota de chuva caindo no interior de uma nuvem que contém muitas gotas minúsculas. Algumas dessas gotículas aderem à gota que cai, fazendo, portanto, aumentar sua massa à medida que ela cai.

A força sobre a gota de chuva é dada por

F e x t = d p d t = m d v d t + v d m d t

Suponha que a massa da gota de chuva dependa da distância x percorrida durante sua queda. Então, m = k x , onde k é uma constante, portanto, d m / d t = k v . Como F e x t = m g , obtemos

m g = m d v d t + v ( k v )

Ou, dividindo por k ,

x g = x d v d t + v 2

Essa equação diferencial possui uma solução na forma v = a t , onde a é uma aceleração constante. Considere a velocidade inicial da gota igual a zero. ( a ) Usando a solução proposta para v , determine a aceleração a . ( b ) Calcule a distância percorrida pela gota até o instante t = 3,0   s . ( c ) Sabendo que k = 2,0   g / m , ache a massa da gota de chuva para t = 3,0   s . (Para muitos outros aspectos intrigantes deste problema, veja o artigo de K. S. Krane,

American Journal of Physics, Vol. 49   ( 1981 ) , p. 113 - 117 .)

Passo 1

Vem comigo que agente faz essa juntos.

O problema no primeiro item quer que achemos a aceleração a , usando a equação dada no enunciado.

Do enunciado sabemos que x 0 = 0 e v 0 = 0 e que a aceleração é constante, então usando a cinemática para um movimento com aceleração constante, temos:

x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

⇒ x = 1 2 a t 2

Sabemos também que:

d v d t = a

v = a t

Vamos as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Vamos pegar a equação que ele deu no enunciado, temos:

x g = x d v d t + v 2

Substituindo com o que sabemos, temos:

1 2 a t 2 g = 1 2 a t 2 a + a 2 t 2

⇒ g = a + 2 a

⇒ a = g 3

⇒ a = 3,26   m / s 2

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Para saber a distância percorrida pela gota, vamos usar que:

x = 1 2 a t 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

x = 1 2 g 3 ( 3 ) 2

⇒ x = 3 2 g

Logo temos que:

x = 14,7   m

Passo 4

Agora por último o item ( c ) .

Do enunciado sabemos que m = k x , e no item anterior calculamos a distância percorrida x em t = 3   s , logo:

m = ( 2 ) ( 14,7 )

Assim temos que:

m = 29,4   g

E finalizamos com sucesso a questão!

Resposta

( a )

a = 3,26   m / s 2

( b )

x = 14,7   m

( c )

29,4   g

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