Enunciado

12.39. Uma esfera sólida, uniforme, de massa igual a 1000 kg, possui um raio de 5,0 m. (a) Ache a força gravitacional que essa casa exerce sobre uma massa pontual de 2,0 kg colocada nas seguintes distâncias do centro da casca: (i) 5,01 m, (ii) 2,50 m. (b) Desenhe um gráfico qualitativo do módulo da força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual m em função da distância r de m do centro da esfera. Inclua a região de r=0 a r → ∞

Passo 1

Vamos começar resolvendo o item (a). Bom a esfera tem R = 5   m e no caso (i), a massa pontual está a uma distância r = 5,01   m , então r > R , logo, essa força gravitacional pode ser calculada como se calcula duas massas pontuais a uma distância r

F i = G ⋅ M m r 2

Agora é só substituir os valores

F i = 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1000 ⋅ 2 5,01 2

Fazendo essa continha

F i = 5,32 ⋅ 10 - 9   N

Passo 2

Agora vamos calcular para o caso (ii). Bem agora r = 2,5   m , então r < R , mas como a esfera é sólida, então F > 0 . Nesse caso a gente tem que lembrar que a massa M pode ser entendida com a sobreposição de infinitas cascas de esfera. Como a massa pontual está em 2,5   m , então toda parte da esfera sólida acima desse ponto, a gente desconsidera para o calculo da força, ou seja, a massa M da esfera sólida para o calculo dessa força é menor.

Um jeito simples que a gente pode calcular a massa da nova esfera, é pela densidade. A esfera que está interagindo agora tem metade do raio da esfera de 5   m mas a mesma densidade. Então podemos calcular a densidade

ρ = M V

Lembra como calcula o volume de uma esfera?

V = 4 3 π R 3

Então

ρ = 3 M 4 π R 3

E também sabemos que

ρ = M 2 V 2

Então

M 2 = ρ ⋅ V 2

Vamos colocar o volume em função do raio

M 2 = 3 M 4 π R 3 ⋅ 4 3 π r 3

A gente pode cortar várias coisas nessa equação

M 2 = M R 3 ⋅ r 3

Agora substituindo os valores

M 2 = 1000 5 3 ⋅ 2,5 3

Isso dá

M 2 = 125   k g

Passo 3

Temos tudo para calcular a força gravitacional F i i

F i i = G ⋅ M m r 2

Substituindo os valores

F i i = 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 125 ⋅ 2 2,5 2

Fazendo essa continha

F i i = 2.67 ⋅ 10 - 9   N

Passo 4

Agora vamos desenhar o gráfico. Vamos ver como o gráfico se comporta nos pontos em que r < R . O calculo da força fica assim

F r = G ⋅ M 2 m r 2

Mas a massa também depende de r , então

F r = G ⋅ M R 3 ⋅ r 3 m r 2

Isso vai dar

F r = G M m R 3 ⋅ r

Ou seja, o gráfico se comporta como uma reta, com coeficiente angular G M m R 3 .

Agora vamos ver nos pontos em que r ≥ R .

Nesses pontos podemos calcular a força como

F r = G ⋅ M m r 2

Então nesses pontos a função é do tipo

F r   α 1 r 2

Então fica algo parecido com isso

Resposta

  1. F i = 5,32 ⋅ 10 - 9   N

F i i = 2.67 ⋅ 10 - 9   N

b)

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