Enunciado

12.13. Duas esferas uniformes, cada uma com massa igual a 0,260 kg, estão fixas nos pontos A e B (Figura 12.33). Determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração inicial de uma esfera uniforme com massa 0,010 kg quando ela é liberada do repouso no ponto P e sofrendo apenas atrações gravitacionais das esferas situadas em A e B.

Passo 1

Vamos começar desenhando a situação.

Vamos também lembrar de como se calcular a força de atração gravitacional

F g = G ⋅ M ⋅ m d 2

Onde M e m são as massas, d é a distância entre os centros de gravidade dos corpos e G é a constante gravitacional universal

6,67408 ⋅ 10 - 11 m 3 k g ⋅ s 2

Passo 2

Bem, a gente precisa calcular a aceleração da esfera pequena, e para isso a gente precisa da força, porque

F → = m ⋅ a →

F R = m ⋅ a

Nós não podemos calcular a aceleração sem saber a força, mas a gente pode calcular a força com as informações que a gente já tem. Bem a força resultante vai ser a soma das forças de interação da esfera P com a esfera A e a esfera B, ou seja

F R → = F A P → + F B P →

Repare que as forças ficarão do seguinte modo

Então pela simetria do desenho, a gente só vai ter força na vertical da figura, as componentes na horizontal se cancelam. Sabendo disso a gente pode calcular a força vertical em uma das forças.

F A = G ⋅ M A ⋅ m d A 2

Logo

F A y = G ⋅ M A ⋅ m d A 2 ⋅ cos ⁡ θ

F A y = G ⋅ M A ⋅ m d A 2 ⋅ 6 10

Agora vamos fazer para a outra força, mas olha só, repare no desenho que M A = M B , d A = d B e os ângulos também são iguais, logo F A = F B e F A x = F B x .

Então

F B y = G ⋅ M ⋅ m d 2 ⋅ 6 10

Agora M = M A = M B e d = d A = d B .

E por tanto

F R y = F R = 2 ⋅ G ⋅ M ⋅ m d 2 ⋅ 6 10

Passo 3

Agora a gente já tem a força, então a gente já pode calcular a aceleração.

F R = m ⋅ a

2 ⋅ G ⋅ M ⋅ m d 2 ⋅ 6 10 = m ⋅ a

Olha só, a gente pode cortar o m

2 ⋅ G ⋅ M d 2 ⋅ 6 10 = a

Agora é só substituir os valores e calcular, lembrando de colocar tudo no SI, por tanto 10   c m vira 0,1   m .

a = 2 ⋅ 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 0,26 0,1 2 ⋅ 6 10

a = 2,1 m s 2

A gente já tem o módulo da aceleração. Agora vamos pensar sobre o sentido e a direção, olha só

F → = m ⋅ a →

Essa equação mostra que a força é um vetor que é o resultado de um escalar multiplicado pelo vetor aceleração, por tanto, a força e a aceleração tem mesma direção e sentido.

Logo a direção da aceleração é vertical e seu sentido é para baixo.

Resposta

Módulo: 2,1 m s 2

Direção: Vertical

Sentido: Para baixo

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