Enunciado

14. Responda os itens a seguir:

(a) Fazendo as suposições necessária e encontrando certas distâncias estelares, estime a rapidez que uma nave espacial teria que ter para levar seus passageiros à estrela mais próxima (não o Sol!) e trazê-los de volta, em 1 ano terrestre, conforme medido por um observador na nave. Suponha que os passageiros façam a viagem de ida e volta com rapidez constante, e ignores efeitos devido a partida e à parada da nave.

(b) Quanto tempo decorreria, na Terra, durante esta viagem de ida e volta? Inclua 2,0 anos terrestres para uma exploração a baixa velocidade dos planetas na vizinhança da estrela.

Passo 1

(a) Para resolver esse item, temos que usar as relações que existem entre a equação de comprimento-contração L = L 0 1 - ( v / c ) 2 e de tempo ∆ t = L / v   para estimar a velocidade da nave espacial. Observe que não há efeito de dilatação do tempo durante o período de exploração de dois anos. Mas e a “tal” distância da estrela mais próxima, sem ser o Sol. Bom! A outra estrela mais próxima da Terra é Alpha Centauri e está há aproximadamente 4 anos-luz de nosso planeta. Temos então os dados que precisamos! Chega de conversa e bora pros cálculos:

Passo 2

Temos que, tomando os viajantes como referência, o tempo decorrido ∆ t é dado por:

∆ t = L v

Mas L = L 0 1 - ( v / c ) 2 . Logo:

∆ t = L 0 1 - v c 2 v

Vamos multiplicar cada lado da equação acima pela velocidade da luz c   ,para ver se podemos encontrar algo que nos ajude:

c ∆ t = c L 0 1 - v c 2 v

Opa! A partir da multiplicação anterior obtemos o produto c ∆ t no primeiro lado da equação, que não é nada mais que a distância que a luz percorre em um certo intervalo de tempo. Como o tempo ∆ t que o exercício nos fornece é de 1 ano; c ∆ t nos fornece o valor de 1 ano-luz. Não vamos nos esquecer também do valor que adotamos para a estrela mais próxima, nosso L 0 , que é de 4 anos-luz. Agora, só resta fazer as contas e substituir os valores numéricos:

1   a n o - l u z = ( 4   a n o s - l u z ) 1 - v c 2 v c  

1   a n o - l u z 4   a n o s - l u z   = 1 - v c 2 v c  

Elevam-se os dois lados da equação ao quadrado:

1   a n o - l u z 4   a n o s - l u z 2 = 1 - v c 2 v c   2

1 16 = 1 - v c 2 v c 2

v c 2 = 16 - 16 v c 2

17 v c 2 = 16

v 2 c 2 = 16 17

v 2 = 16 17 c 2

v = 16 17 c ≅ 0,97 c

Logo, a velocidade exigida é de 0,97 vezes a velocidade da luz c .

Passo 3

(b) Vamos expressar o tempo total decorrido ( t t o t a l ) , como a soma dos tempos das viagens ( t v i a g e n s ) e da exploração ( t e x p l o r a ç ã o ) :

t t o t a l = t v i a g e n s +   t e x p l o r a ç ã o

Bom! O tempo de exploração é dado pela questão e igual a 2,0   anos. Encontraremos o tempo das viagens, dividindo a distância total percorrida, 8,0 anos-luz, já que é ida e volta; pela velocidade da nave obtida na letra (a). Vamos lá!

t t o t a l = 8,0   a n o s - l u z   0,97 c   m / s + 2,0   a n o s

t t o t a l ≅ 10,247   a n o s

Resposta

a) A nave teria que ter uma rapidez aproximadamente igual a 0,97 vezes a velocidade da luz.

b) O tempo decorrido seria de aproximadamente 10,247   anos.

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