Enunciado

15.10E Calcule o valor total da carga negativa (de todos os elétrons) (A) na Terra e (B) na Lua, supondo que o número de prótons em cada um desses corpos seja igual ao número de nêutrons. (C) Suponha que cada um desses corpos perca uma fração f de seus elétrons, ficando dessa forma positivamente carregado. Para que valor de f a repulsão coulombiana entre a Terra e a Lua neutralizaria a atração gravitacional?

Passo 1

Show de bolinhas meus amores, primeiramente na letra (A), temos que a Terra é um corpo de carga elétrica estável. Dessa forma, a carga negativa da Terra terá de ser aproximadamente igual a carga positiva. Então se a gente encontrar a carga positiva da Terra, então podemos aproximar nossa carga negativa. Belezera, o enunciado nos disse que o número de prótons e de nêutrons são iguais

Mas calma lá, porque isso pode nos ajudar a descobrir o número de prótons na Terra, saca só, a massa das partículas principais são:

E como na Terra só sabemos da existência dessas 3 partículas subatômicas (sem levar em conta os léptons e quarks que formam essas particulas), a massa total da Terra M T será uma soma das massas totais existentes dessas partículas na Terra:

M T = a 1 m p + a 2 m n + a 3 m e

Onde a 1 ,   a 2 e a 3 são o numero de prótons, nêutrons e elétrons existentes na Terra respectivamente. Mas sabemos que o numero de prótons de nêutrons são iguais a 1 = a 2 , logo:

M T = a 1 m p + m n + a 3 m e

E se a gente reparar, vamos perceber que a massa m p do proton e m n do nêutron são beeemmm parecidas, por uma aproximação de apenas duas casas, tal que:

m p = 1,67 × 10 - 24 ≈ m n = 1,67 × 10 - 24

E além disso a massa m e do elétron é tão pequena que perto das outras particulas é menor por um fator 10 4 de diferença em relação ao próton e o nêutron . E dessa forma, se formos fazer uma aproximação de até 4 casa decimais, a massa do eletron não fará diferença. E dito isso, 4 casas decimais já está de bom tamanho pra gente, de forma que podemos desprezar essa massa do elétron na nossa soma total, logo:

M T = a 1 m p + m p

M T = a 1 2 m p

M T = 2 a 1 m p

Portanto o número de prótons na Terra é aproximadamente:

a 1 = M T 2 m p

Passo 2

Iradoso, e dado que a massa da Terra é M T = 5,9 × 10 24   k g e a massa do elétron em quilos é m p = 1,67 × 10 - 27 kg , logo:

a 1 = 5,9 × 10 24 2 1,67 × 10 - 27

a 1 = 1,7 7 × 10 51

Portanto, a carga positiva da Terra é dada por:

q + = a 1 × e

Onde e é a carga elementar do próton e = 1,6 × 10 - 19 , dessa forma:

q + = 1,8 × 10 51 × 1,6 × 10 - 19

q + = 2,9 × 10 32   C

Xuxu no mel, então como queremos a carga negativa, devemos pegar o valor negativo dessa carga positiva, portanto:

q - = - q +

q - = - 2,9 × 10 32   C

Passo 3

Agora na letra (B), queremos encontrar a carga negativa da Lua, e pra isso podemos usar o mesmo processo que fizemos pra Terra, sabendo que a massa total da Lua é igual a 7,36 × 10 22   kg , o número de prótons existentes na Lua é igual:

a 1 = M L 2 m p

a 1 = 7,36 × 10 22 2 1,67 × 10 - 27

a 1 = 2,2 × 10 49

Então o número total de prótons que existentes na Lua é a 1 = 2,2 × 10 49 , portanto, a carga positiva da Lua é:

q + = a 1 × e

q + = 2,2 × 10 49 × 1,6 × 10 - 19

q + = 3,5 × 10 3 0   C

Dessa forma a carga negativa da Lua é aproximadamente q - = - 3,5 × 10 30   C .

Passo 4

Belezoca, agora na letra (C) queremos encontrar o valor da fração f de elétrons que a Terra e Lua devem perder afim de que a força repulsiva resultante desse desnível de cargas seja equivalente a força gravitacional entre os corpos

Perai vamos com carinho. A força gravitacional entre a Lua e a Terra é dada através da relação:

F G = G M T M L R 2

Onde R é a distância entre a Terra e a Lua. MAAASS, a força elétrica repulsiva entre elas é dada por:

F E = k q 1 q 2 R 2

Onde R será a distância entre as cargas, nesse caso a mesma distância R entre a Terra e a Lua. E q 1 e q 2 serão as cargas positivas da Terra e da Lua. Como essas forças devem se anular, temos que:

F G = F E

G M T M L R 2 = k q 1 q 2 R 2

G M T M L = k q 1 q 2

Passo 5

Essas cargas positivas q 1 e q 2 serão devido a uma fração f de elétrons que retiramos da carga inicial. Então podemos escrever essas novas cargas como:

q 1 = f q + T ,     q 2 = f q + L

Onde q 1 e q 2 são as novas cargas positivas da Terra e da Lua respectivamente. As cargas iniciais, nós medimos na letra (A) e (B) dadas por:

q + T = 2,9 × 10 32   C ,     q + L = 3,5 × 10 30   C

Logo:

q 1 = f 2,9 × 10 32 ,     q 2 = f 3,5 × 10 30

Dessa forma nossa igualdade se torna:

G M T M L = k q 1 q 2

G M T M L = k f 2,9 × 10 32 f 3,5 × 10 30

Isolando f , temos:

f 2 = G M T M L k 2,9 × 10 32 3,5 × 10 30

Substituindo os valores da massa da Terra e da Lua, e as constantes k e G , temos que:

f 2 = 6,67 × 10 - 11 5,9 × 10 24 × 7,36 × 10 22 9 × 10 9 × 2,9 × 10 32 3,5 × 10 30

f 2 = 3.2 × 10 - 36

f = 3.2 × 10 - 36

f = 1,8 × 10 - 18

Portanto os corpos precisarão perder uma fração f = 1,8 × 10 - 18 de seus elétrons para que a força elétrica seja suficiente para evitar a atração gravitacional. O que é uma fração MUUUUUITOOOO pequena, isso mostra que qualquer variação no número total de elétrons da Terra e da Lua já altera bastante as forças cósmicas que atuam sobre a gente.

Resposta

  1. q - = - 2,9 × 10 32   C
  2. q - = - 3,5 × 10 30   C
  3. f = 1,8 × 10 - 18
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