Enunciado

16 . Você dispõe de um resistor de 200   V , de um indutor de 0,900   H , de um capacitor de 6,00   μ F e uma fonte de tensão com amplitude de tensão de 30,0   V e frequência angular de 250   r a d / s , todos conectados em série. ( a ) Quais são os valores de v , v R , v L e v C   em t = 20,0   m s ? Compare v R + v L + v C com v nesse instante. ( b ) Quais são os valores de V R , V L e V C ? Compare V com V R + V L + V C   . Explique por que essas duas quantidades não são iguais.

Passo 1

A solução desse exercício é dada completamente por várias das equações que aprendemos nessa seção até o momento.

Então prepare o livro para uma consultinha caso tenha fugido da cabeça alguma delas, mas pode ficar de boa que eu colocarei todas aqui para você lembrar.

Então, vem comigo e vamos matar juntos essa questão.

Passo 2

a ) Esse exercício pede as voltagens instantâneas nos terminais de R , de L e de C então teremos que calcular cada um do jeitinho que a gente aprendeu.

Resistor – Em fase com i :

v R = V R cos ⁡ ω t = I R cos ⁡ ω t

Indutor – Adiantada 90 ° em relação a i :

v L = V L cos ⁡ ( ω t + 90 ° ) = - I X L sen ⁡ ω t

Capacitor – Atrasada 90 ° em relação a i :

v C = V L cos ⁡ ( ω t - 90 ° ) = I X C sen ⁡ ω t

Voltagem instantânea:

v = V cos ⁡ ( ω t + ϕ )  

Opa opa, o enunciado nos dar algumas informações, mas não exatamente todas que precisamos então vamos ter que dar os nossos pulos e usar a informação que temos para conseguir elas.

Não sabe como? Vem que te ensino

Passo 3

Para conseguir resolver bonitinho nós precisamos de X C , X L , ϕ e I mas para resolver I precisamos de Z e para descobrirmos Z precisamos de X C e X L , para descobrirmos ϕ também precisamos de X C e X L e o enunciado nos dar as informações para achá-los então vamos começar com eles:

X C = 1 ω C = 1 ( 250   r a d / s ) ( 6,0 ⋅ 10 - 6   F ) = 666,7   Ω

X L = ω L = ( 250   r a d / s ) ( 0,900   H ) = 225   Ω

Agora podemos descobrir o Z :

Z = R 2 + ( X L - X C ) ² = ( 200 Ω ) 2 + ( 225   Ω - 666,7   Ω ) ² = 484,9   Ω

Agora podemos descobrir I :

I = V Z = 30,0   V 484,9   Ω = 0,06187   A

Agora só falta ϕ :

ϕ = arctan ⁡ X L - X C R = arctan ⁡ 225   Ω - 666,7   Ω 200 Ω = - 1,145   r a d

Pronto, agora temos toda informação necessária para dar continuidade a nossa resolução.

Passo 4

Voltando as equações que tínhamos antes vamos substituir os valores:

Resistor:

v R = I R cos ⁡ ω t = 0,06187   A 200   Ω cos ⁡ [ ( 250   r a d / s ) ( 20,0 ⋅ 10 - 3   s ) ] = 3,51   V

Indutor:

v L = - I X L sen ⁡ ω t = - 0,06187   A ( 225   Ω ) sen ⁡ [ ( 250   r a d / s ) ( 20,0 ⋅ 10 - 3   s ) ] = 13,35   V

Capacitor:

v C = I X C sen ⁡ ω t = 0,06187   A ( 666,7   Ω ) sen ⁡ [ ( 250   r a d / s ) ( 20,0 ⋅ 10 - 3   s ) ] = - 39,55   V

Voltagem instantânea:

v = V cos ⁡ ( ω t + ϕ ) = ( 30,0   V ) cos ⁡ [ ( 250   r a d / s ) ( 20,0 ⋅ 10 - 3   s ) - 1,145   r a d ] = - 22,69   V

Somando v R , v L e v C temos que:

v R + v L + v C = 3,51   V + 13,35   V - 39,55   V = - 22,69

A soma é igual a v !!

Passo 5

b )

Resistor:

V R = I R = 0,06187   A 200   Ω = 12,4   V

Indutor:

V L = I X L = 0,06187   A 225   Ω = 13,9   V

Capacitor:

V C = I X C = 0,06187   A 666,7   Ω = 41,2   V

V R + V L + V C = 12,4   V + 13,9   V + 41,2   V = 67,5   V

Não é igual ao V dado pelo enunciado porque a voltagem máxima de cada um não ocorre ao mesmo tempo devido às diferenças de fase entre o resistor, indutor e capacitor.

Resposta

a )

v R = 3,51   V

v L = 13,35   V

v C = - 39,55   V

v = - 22,69   V

v R + v L + v C = v

b )

V R = 12,4   V

V L = 13,9   V

V C = 41,2   V

V R + V L + V C ≠ V

Explicado acima

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