Enunciado

Em 1976, Gerard O'Neill propôs que grandes estações espaciais habitáveis fossem construídas em órbita ao redor da Terra e da Lua. Como quedas livres prolongadas apresentam efeitos médicos adversos, ele propôs construir as estações com a forma de longos cilindros postos a girar em torno de seus eixos para dar aos habitantes a sensação de gravidade. Uma dessas colônias de O'Neill é planejada para ter 5,0 milhas de comprimento e um diâmetro de 0,60 mi. Um trabalhador no interior da colônia experimentaria uma sensaçào de "gravidade", pois estaria em um referencial acelerado por causa da rotação. (a) Mostre que a "aceleração da gravidade" experimentada pelo trabalhador na colônia de O'Neill é igual à sua aceleração centrípeta. Dica: Imagine alguém "assistindo" de fora da colónia. (b) Se supomos que a estação espacial é composta de vários pisos que estão a diferentes distâncias (raios) do eixo de rotação, mostre que a "aceleração da gravidade" vai se tornando mais fraca à medida que o trabalhador vai se aproximando do eixo. (c) Quantas revoluções por minuto esta estação espacial deve realizar para produzir uma "aceleração da gravidade" de 9,8   m / s 2 na região mais externa da estação?

Passo 1

Letra (a)

A aceleração de alguém que esteja na estação é dada por v 2 / r , apontando para o centro de rotação. Se esse alguém abandonar um objeto da nave, uma pessoa assistindo de fora da nave veria o objeto se deslocar em linha reta, com velocidade constante, porque não vai haver nenhuma força atuando nele. Contudo, para a pessoa que abandonou o tal do objeto, este objeto vai ter uma aceleração v 2 / r , apontando no sentido contrário ao centro de rotação.

Passo 2

Letra (b)

Todos os pisos rotacionam com o mesmo período T. Se o piso em que a pessoa se encontra tem um raio de rotação r, sua velocidade é dada por:

v = 2 π r T

Passo 3

A “aceleração da gravidade” nada mais é do que a aceleração centrípeta, que é dada por:

a c = v 2 r = 2 π r T 2 r

a c = 4 π 2 T 2 ∙ r

Esse resultado mostra que se a gente diminuir o r, a aceleração também diminui.

Passo 4

Letra (c)

A gente já sabe que:

a c = 4 π 2 r T 2

Agora isola o T:

T = 4 π 2 r a c

Agora a gente substitui os valores:

T = 4 π 2 ( 0,30   m i × 1,609   k m m i ) 9,8   m / s 2

T = 44   s = 0,74   m i n

Passo 5

O número de revoluções por minuto é a frequência, que é o inverso do período:

1 T = 1   r e v 0,74   m i n = 1,4   r e v / m i n

Resposta

Letra (a): ver solução

Letra (b): ver solução

Letra (c): 1,4 ver/min

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